始対象(豊穣圏)
概要
始対象(豊穣圏)（enriched initial object）とは、豊穣圏 $\mathcal{C}$ の対象 $0$ で、すべての対象 $x$ に対してHom対象 $\mathcal{C}(0,x)$ が基礎圏 $\mathcal{V}$ の終対象（テンソル単位ではない）と同型になるものであり、空図式の豊穣余極限にあたる。豊穣始対象は台の圏の始対象で台の圏の同型を除いて一意であり、基礎圏の始対象は自己豊穣化した $\mathcal{V}$ の豊穣始対象、始対象のテンソルも豊穣始対象になる。集合による豊穣化では通常の始対象に一致し、$\mathbf{Ab}$ 豊穣では零対象になるが、$\mathbf{Cat}$ 豊穣では台の圏の始対象でも自己Hom圏に非自明な自己射が残れば豊穣始対象でない。局所Kanな単体的圏では対応する準圏の始対象を与える。
定義
通常の始対象は、任意の対象への射をただ一つ持つ。豊穣圏では射の集まりが集合以外の構造を持つため、「ただ一つ」をその構造全体について要求する。
基礎圏を局所小で完備・余完備な対称モノイダル閉圏 $(\mathcal V,\otimes,I)$ とする。これは以下を一括して扱う十分条件であり、始対象の定義だけの最小条件ではない。閉性とは、内部Hom $[U,V]$ と自然な全単射
$$
\mathcal V(T\otimes U,V)\cong\mathcal V(T,[U,V])
$$
があることをいう。$\mathbf1_{\mathcal V}$ は $\mathcal V$ の終対象であり、テンソル単位 $I$ と区別する。
$\mathcal V$-豊穣圏 $\mathcal C$ は、対象、Hom対象 $\mathcal C(x,y)\in\mathcal V$、合成
$$
\mathcal C(y,z)\otimes\mathcal C(x,y)\longrightarrow\mathcal C(x,z)
$$
と単位 $I\to\mathcal C(x,x)$ を持つ。合成は結合律と単位律を満たす。台の通常圏 $\mathcal C_0$ は同じ対象を持ち、
$$
\mathcal C_0(x,y)=\mathcal V(I,\mathcal C(x,y))
$$
を射集合とする。
始対象(豊穣圏)（enriched initial object）は、すべての $x\in\mathcal C$ に対して
$$
\mathcal C(0,x)\cong\mathbf1_{\mathcal V}
$$
となる対象 $0$ である。同型は $\mathcal V$ の中の同型である。言い換えると、任意のパラメータ $T\in\mathcal V$ に対して射 $T\to\mathcal C(0,x)$ がただ一つ存在する。
終対象への射は一意なので、この同型を選ぶ自由はない。合成との整合性も終対象への射の一意性により従う。この定義は空の通常図式の豊穣余極限（余極限(豊穣圏)）である。一般のconicalな余極限の定義とその空図式への特殊化は Kel05 §3.8、式(3.55)による。
直感
要求するHom対象は $\mathcal V$ の「始対象」ではなく「終対象」である。そこへの射を、どんな試験対象からも一意にしたいからである。集合では一点集合、アーベル群では零群、圏では終圏になる。基礎圏のテンソル単位と終対象が一致しない場合もある。
例と反例
$\mathcal V=\mathbf{Set}$、$\otimes=\times$ なら $I=\mathbf1_{\mathcal V}=\{*\}$ である。定義は $\mathcal C(0,x)$ が一点集合という条件、すなわち通常の始対象そのものである。特に集合の圏の空集合は始対象である。$\operatorname{Hom}(\emptyset,X)$ は空集合ではなく一点集合である。
基礎を $\mathbf{Cat}$、テンソルを直積とする。$M=\mathbb Z/2\mathbb Z$ に対し、一対象の圏 $BM$ を、自己射の集合が $M$、合成が加法である圏とする。
一対象 $c$ の $\mathbf{Cat}$-豊穣圏 $\mathcal D$ を $\mathcal D(c,c)=BM$ で定める。豊穣合成 $BM\times BM\to BM$ は射を $(r,s)\mapsto r+s$ に送る。$M$ の可換性により
$$
(r'+r)+(s'+s)=(r'+s')+(r+s)
$$
なので、これは関手である。結合律と単位律は加法の法則から従う。
台の圏の射 $\mathcal D_0(c,c)$ は $BM$ の対象に対応するため一つだけで、$c$ は台の圏の始対象である。しかし $BM$ は非恒等の自己射を持ち、終圏と同型ではない。したがって $c$ は豊穣始対象ではない。「台の圏の始対象なら豊穣始対象」という一般の含意への反例である。
$\mathbf{Pos}$-豊穣ではこの始対象の反例は作れない。一点しか持たない順序集合は一点順序集合そのものだからである。ただし通常の積と豊穣積は、$\mathbf{Pos}$-豊穣でも異なり得る。
性質と証明
豊穣始対象は $\mathcal C_0$ の始対象である。
$\mathcal C(0,x)\cong\mathbf1_{\mathcal V}$ に $\mathcal V(I,-)$ を適用すると
$$
\mathcal C_0(0,x)\cong\mathcal V(I,\mathbf1_{\mathcal V})
$$
を得る。終対象の定義により右辺は一点集合である。これが通常の始対象の条件である。 $\square$
豊穣始対象 $0,0'$ の間には、台の圏においてただ一つの同型がある。
豊穣始対象は台圏で始対象になる。従って対象間の一意な射とその逆については 始対象 の命題「始対象の一意性」を適用する。同型とは台圏の同型を意味するので、この結論が求める一意性である。
$\mathcal V$ の通常の始対象 $O$ は、内部Homによる自己豊穣圏 $\mathcal V$ の豊穣始対象である。
任意の $T,X\in\mathcal V$ について
$$
\mathcal V(T,[O,X])\cong\mathcal V(T\otimes O,X).
$$
$T\otimes-$ は閉性と対称性により左随伴であり、始対象を保つ。したがって $T\otimes O$ は始対象で、右辺は一点集合である。全 $T$ について成り立つため、$[O,X]$ は終対象である。ここでは $T=I$ だけで判定していない。 $\square$
任意の豊穣圏に始対象が存在するわけではない。たとえば空でない集合だけの充満 $\mathbf{Set}$-豊穣部分圏には始対象がない。どの空でない $A$ からも二点集合への二つの定値写像があるからである。
空図式と∞圏への接続
空の通常圏からの図式にはデータがない。その余極限 $0$ のHomによる条件は
$$
\mathcal C(0,x)\cong\lim_{\emptyset}\mathcal C(-,x)
=\mathbf1_{\mathcal V},
$$
となり、上の定義を正確に回収する。一般の重み付き余極限（重み付き極限(豊穣圏)）を、任意の豊穣添字圏上の「定値単位」で定義できるという主張ではない。
単体的集合の圏 $\mathcal V=\mathbf{sSet}$ を直積でモノイダル化すると、豊穣始対象は $\mathcal C(0,x)\cong\Delta^0$ を要求する。さらに全HomがKan複体である局所Kanな単体的圏では、ホモトピー整合的脈体 $N_{\mathrm{hc}}\mathcal C$ は準圏をなし、その写像空間（写像空間(∞圏)）は単体的Homで表される。したがって豊穣始対象はこの準圏の始対象（始対象(∞圏)）になる。ここでは局所Kan脈体の比較と、始対象の「全写像空間が可縮」という判定を引用する。HTT09 Proposition 1.1.5.10、§2.2、Proposition 1.2.12.4の双対。
∞圏で必要なのは一点との同型ではなく可縮性である。一般の単体的モデル圏から計算するときはcofibrant–fibrant対象の部分圏を使い、未置換のHomをそのまま導来写像空間とはしない。相対圏の単体的局所化から得た表示も、必要な局所Kan置換とモデル比較を経て用いる。これらの一般比較は本記事の初歩的証明とは別の引用基礎である。
単位対象と終対象を区別する
始対象から出るHomが基礎圏の終対象になるのは、全ての試験対象から一意に写したいからである。モノイダル単位 $I$ は合成の恒等射を指定する役割を持つが、そのために任意の対象から $I$ へ射が一意になるわけではない。Abでは $I=\mathbb Z$、終対象は零群である。$\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(\mathbb Z,\mathbb Z)$ には各整数の乗算があるので、$\mathbb Z$ を零群の代わりに置くと一意性は失われる。
豊穣始対象 $0$ の恒等射は $I\to\mathcal C(0,0)\cong\mathbf1_{\mathcal V}$ である。この射自体は終対象への一意な射である。Abの場合は零準同型になるが、単位律と矛盾しない。$0$ から出るHom対象も零群なので、そこへの単位作用は唯一の自己写像であり、恒等写像でもある。零対象において恒等射と零射が等しくなる、という加法圏の現象がここに現れる。
テンソルによる始対象の複製
豊穣圏 $\mathcal C$ におけるテンソル $U\odot a$ は、基礎圏の対象 $U$ をパラメータとして
$$\mathcal C(U\odot a,x)\cong[U,\mathcal C(a,x)]$$
を $x$ に豊穣自然に満たす対象である。集合の場合は $U$ 個の $a$ の余積に対応するが、一般には加群のテンソルや圏の直積などの構造を含む。存在を仮定したうえで始対象との関係を調べる。
$0$ が豊穣始対象で、$U\odot0$ が存在するなら、$U\odot0$ も豊穣始対象である。
任意の $x$ に対し、テンソルの普遍性と $0$ の始対象性から
$$\mathcal C(U\odot0,x)\cong[U,\mathbf1_{\mathcal V}]$$
となる。右辺が終対象であることを示す。任意の $T$ に対して閉性により
$$\mathcal V(T,[U,\mathbf1_{\mathcal V}])\cong\mathcal V(T\otimes U,\mathbf1_{\mathcal V})$$
であり、終対象性から右辺は一点集合である。従って任意の $T$ から右辺の内部Homへの射は一意で、この内部Homは終対象である。全ての $x$ でHom対象が終対象になったので $U\odot0$ は豊穣始対象である。$\square$
$U$ が空集合に対応する場合だけの結果ではない。任意の $U$ について、元の始対象が全ての写し出しを一意にしているため、パラメータを増やしても新しい射は生じない。Abの零群に任意のアーベル群をテンソルして零群を得る計算は、この普遍性の具体例である。
余テンソルがあると通常の始対象から昇格できる
通常の始対象性を豊穣始対象性へ昇格するためには、単位対象だけの検査から一般のパラメータの検査へ移す方法が必要である。全ての $T$ に対して余テンソル $T\pitchfork x$ があれば、一般のパラメータ $T$ を終域の対象の側へ移せる。この方法は 余極限(豊穣圏) の命題「余テンソルによる昇格」を空図式へ適用したものなので、証明はそこを参照する。
具体的には、台圏の始対象 $a$ に対して
$$\mathcal V(T,\mathcal C(a,x))\cong\mathcal C_0(a,T\pitchfork x)$$
となる。右辺は $a$ の通常の始対象性から一点である。従って左辺も全ての $T$ で一点となり、Hom対象が終対象になる。ここで余テンソルの存在という仮定を使っており、任意の豊穣圏の台の始対象に対する一般の主張ではない。
前のCat反例では台の始対象が豊穣始対象にならないので、必要な余テンソルが全て存在するという仮定は満たされない。仮定を確認せずに上の式を使うと、反例の非自明な自己2射を消したことになってしまう。Hom対象の情報を取り戻す構成が実際に圏の対象として存在するかどうかが、昇格の可否を決める。
Ab豊穣での特別な帰結
Ab豊穣圏では各Hom対象はアーベル群であり、合成は双加法的である。この構造により、始対象と終対象の関係は一般の基礎より強くなる。普通の集合豊穣圏では始対象が終対象になるとは限らないが、加法的なHomの零元が両側を結びつける。
Ab豊穣圏で $0$ が豊穣始対象なら、$0$ は豊穣終対象でもある。
豊穣始対象性により $\mathcal C(0,0)$ は零群であり、従って恒等射 $1_0$ はこの群の零元である。任意の対象 $x$ と射 $f\in\mathcal C(x,0)$ に対し、単位律と合成の双加法性から
$$f=1_0f=0f=0$$
となる。従って $\mathcal C(x,0)$ の全ての元は零であり、そのHom対象は零群である。Abの終対象は零群なので、これは $0$ が豊穣終対象であることを示す。$\square$
この証明で $0f=0$ となるのは、合成が加法を保つからである。例えば左因子を $0=0+0$ と書いて分配すると、$0f=0f+0f$ になり、加法逆元を加えて $0f=0$ を得る。単に各Hom集合へ零という名前の元を置くだけでは、この計算を使えない。豊穣化には、射に構造があることだけでなく、その構造と合成が両立することが含まれる。
よく使う加群圏では、通常の始対象である零加群はHom加群の意味でも零対象になる。逆に、零加群を対象から除いた充満部分圏では、他の対象のHom加群が同じでも始対象は存在しなくなることがある。例えば非零な $k$-ベクトル空間だけを残すと、どの候補 $V$ にも自己射 $0$ と $1_V$ が異なって存在し、始対象性は満たされない。
CatとPosでの一意性
Catの終対象は一対象・一射の圏である。従ってCat豊穣始対象から各対象へのHom圏には、ただ一つの1射だけでなく、その1射の自己2射も恒等一つしかない。唯一の対象を持つHom圏であっても、自己射の群が残っていれば終圏ではない。台圏の唯一性と豊穣唯一性の差は、この2射に現れる。
Posの終対象は一点順序集合である。Hom順序集合の元が一つなら順序も一つに決まるので、Pos豊穣では台圏の始対象から豊穣始対象性が従う。この事実は、Posにおける任意の全単射が同型という意味ではない。二元以上のHomでは、全単射な単調写像の逆が単調とは限らない。始対象の判定は一点という特別な対象に関するものだから、一般の普遍構成より簡単になる。
単体的Homの一意性
単体的集合の終対象は $\Delta^0$ で、各次元にただ一つの単体を持ち、面と退化は全て一意に決まる。従って豊穣始対象は、頂点の一意性だけでなく全ての高次の単体の一意性を課す。頂点が一つでも、非自明なループや高次単体があればこの条件は満たさない。一方、∞圏の始対象の判定では写像空間の可縮性が使われ、厳密な単体の個数とは異なる。
例えば、対象を $0,1$ とし、自己Homを $\Delta^0$、$C(1,0)$ を空単体的集合、$C(0,1)$ を二対象の間に各向きただ一つの射を持つ亜群の脈体 $K$ とする単体的圏がある。合成は恒等射による単位作用だけなので圏の公理を満たす。全HomはKan複体であり、$K$ は可縮だが二頂点を持つので $\Delta^0$ と同型ではない。このため $0$ は厳密な豊穣始対象ではないが、対応する∞圏では $0$ から各対象への写像空間が可縮で、始対象になる。厳密な同型とホモトピー同値を区別する必要がある。
反例で確かめる条件
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| Hom対象全体が終対象であること（台の射の一意性は保つ） | $\mathcal V=\mathrm{Cat}$、一対象 $c$ の自己Hom圏を $B(\mathbb Z/2)$ とする（rem-initial-object-enriched-underlying） | 台の圏の始対象を豊穣始対象とみなすこと。射は一つでも、その射の自己変換が二つ残る |
関連項目
参考文献
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