写像の相対de Rhamコホモロジー
概要
写像の相対de Rhamコホモロジー（relative de Rham cohomology of a map）とは、多様体の間の $C^\infty$ 級写像 $f\colon S\to M$ について、組 $(\omega,\theta)\in\Omega^q(M)\oplus\Omega^{q-1}(S)$ に微分 $d(\omega,\theta)=(d\omega,f^*\omega-d\theta)$ を入れた複体のコホモロジー $H^q(f)$ である。接続準同型が $f^*$ の長完全列をもち、$C^\infty$ 級ホモトピックな写像では長完全列と両立して同型になる。閉部分多様体の包含では対の相対コホモロジーとなり、$S$ 上で消える形式のコホモロジーに一致して相対サイクルの積分と対になる。代数多様体の対の同じ構成からは $\log2$ などの周期が現れる。
前提知識: de Rhamコホモロジー, 長完全列, 五項補題, 相対ホモロジー
写像の相対 de Rham コホモロジー（relative de Rham cohomology of a map）とは、多様体の間の $C^\infty$ 級写像 $f\colon S\to M$ について、$M$ の微分形式と $S$ の 1 つ低い次数の微分形式の組からなる複体
$$
\Omega^q(f):=\Omega^q(M)\oplus\Omega^{q-1}(S),\qquad d(\omega,\theta):=(d\omega,\ f^*\omega-d\theta)
$$
のコホモロジー $H^q(f)$ である。閉な組 $(\omega,\theta)$ は「$M$ 上の閉形式 $\omega$」と「その引き戻し $f^*\omega$ の $S$ 上の原始形式 $\theta$」の組であり、$H^q(f)$ は $f$ に沿って完全になった閉形式を、原始形式の選び方まで込めて数える。
$f$ が部分多様体の包含 $i\colon S\hookrightarrow M$ なら、$H^q(i)$ は対 $(M,S)$ の相対 de Rham コホモロジー $H^q(M,S)$ であり、$S$ が閉部分多様体なら、$S$ に制限すると $0$ になる形式のコホモロジーに一致する。これは相対特異コホモロジー $H^q(M,S;\mathbb R)$ の微分形式による表示で、相対サイクル（境界が $S$ に入る鎖）の上の積分と対になる。代数多様体の対についても同じ形の複体が使われ、$\log 2$ のような数が周期として現れる。
この記事では、定義から長完全列を導き、その連結準同型が $f^*$ であることを示す。ホモトピックな写像の相対コホモロジーが、ホモトピー作用素で書ける複体の同型で結ばれることを証明する。閉部分多様体の対について、制限が全射であることと、$S$ 上で消える形式の複体が同じコホモロジーを与えることを証明し、相対サイクルとの積分の対、代数多様体の対の例を述べる。
定義
多様体は Hausdorff で第 2 可算な、境界のない $C^\infty$ 級多様体とし、$\Omega^q$ は $C^\infty$ 級 $q$ 形式の空間（$q<0$ なら $0$）とする。
$f\colon S\to M$ を $C^\infty$ 級写像とする。$\Omega^q(f):=\Omega^q(M)\oplus\Omega^{q-1}(S)$ に
$$
d(\omega,\theta):=(d\omega,\ f^*\omega-d\theta)
$$
と微分を入れた複体を $f$ の相対 de Rham 複体、そのコホモロジー $H^q(f)$ を $f$ の相対 de Rham コホモロジーという。
$d^2(\omega,\theta)=d(d\omega,f^*\omega-d\theta)=(0,\ f^*d\omega-df^*\omega+d^2\theta)=0$ なので、これは複体である（$f^*d=df^*$）。$\Omega^\bullet(f)$ は、引き戻し $f^*\colon\Omega^\bullet(M)\to\Omega^\bullet(S)$ の代数的な写像錐を次数を 1 つずらしたものにあたる。$S=\emptyset$ なら $H^q(f)=H^q(M)$ である。
長完全列
$\alpha(\theta):=(0,\theta)$、$\beta(\omega,\theta):=\omega$ とおくと、完全列
$$
\cdots\to H^{q-1}(M)\xrightarrow{\ f^*\ }H^{q-1}(S)\xrightarrow{\ \alpha_*\ }H^q(f)\xrightarrow{\ \beta_*\ }H^q(M)\xrightarrow{\ f^*\ }H^q(S)\xrightarrow{\ \alpha_*\ }H^{q+1}(f)\to\cdots
$$
がある。すなわち接続準同型は $f^*$ である。
$\Omega^{\bullet-1}(S)$ に微分 $-d$ を入れた複体を $\Omega^{\bullet-1}(S)[-d]$ と書く。そのコホモロジーは $q$ 次で $H^{q-1}(S)$ である。$d(0,\theta)=(0,-d\theta)$ なので $\alpha\colon\Omega^{\bullet-1}(S)[-d]\to\Omega^\bullet(f)$ は複体の射であり、$\beta$ も明らかに複体の射である。各次数で
$$
0\to\Omega^{q-1}(S)\xrightarrow{\ \alpha\ }\Omega^q(f)\xrightarrow{\ \beta\ }\Omega^q(M)\to0
$$
は完全なので、複体の短完全列の長完全列（長完全列 の定理「複体の短完全列の長完全列」）が得られる。接続準同型を計算する：閉形式 $\omega\in\Omega^q(M)$ の持ち上げ $(\omega,0)$ について $d(\omega,0)=(0,f^*\omega)=\alpha(f^*\omega)$ なので、接続準同型は $[\omega]\mapsto[f^*\omega]$ である。$\square$
これは BT82 (6.47) と Claim 6.48・Proposition 6.49（pp. 78–79）である。相対ホモロジー の対の長完全列と同じ形で、$H^q(f)$ は「$f^*$ の核と、$1$ つ下の次数の $f^*$ の余核」から組み立てられる。
- $f=\mathrm{id}_M$ なら、すべての $f^*$ が同型なので、完全性から $H^q(\mathrm{id}_M)=0$ である。
- $M$ が 1 点で $S\ne\emptyset$ なら、$H^q(f)\cong\tilde H^{q-1}(S)$ である。ここで $\tilde H^0(S):=H^0(S)/\mathbb R$（定数関数で割る）、$j\ge1$ では $\tilde H^j(S):=H^j(S)$ とする。実際、$H^0(\text{点})=\mathbb R\to H^0(S)$ は定数関数の包含で単射であり、$q\ge1$ では $H^q(\text{点})=0$ である。
- $S$ が 1 点、$M=S^1$、$f$ が 1 点の包含なら、$H^0(S^1)\to H^0(\text{点})$ が同型なので、$H^1(f)\cong H^1(S^1)\cong\mathbb R$、ほかは $0$ である。
2 は位相空間の写像錐で 1 点に写す写像を考えると懸垂が現れること（写像錐(位相)）の微分形式版である。
ホモトピー不変性
$f,g\colon S\to M$ が $C^\infty$ 級ホモトピック、すなわち $C^\infty$ 級写像 $F\colon\mathbb R\times S\to M$ で $F(0,\cdot)=f$、$F(1,\cdot)=g$ となるものがあるとする。de Rhamコホモロジー の補題「ホモトピー作用素」の作用素 $K$ を使い、$h:=K\circ F^*\colon\Omega^q(M)\to\Omega^{q-1}(S)$ とおくと、$dF^*=F^*d$ と同補題の等式から
$$
dh+hd=g^*-f^*
$$
が成り立つ。
上の状況で、
$$
T\colon\Omega^\bullet(g)\to\Omega^\bullet(f),\qquad T(\omega,\theta):=(\omega,\ \theta-h\omega)
$$
は複体の同型で、逆は $(\omega,\theta)\mapsto(\omega,\theta+h\omega)$ である。$T\circ\alpha=\alpha$、$\beta\circ T=\beta$ なので、$T$ は $H^q(g)\cong H^q(f)$ を誘導し、thm-rdr-les の 2 つの長完全列を結ぶ。
$f$、$g$ の相対複体の微分をそれぞれ $d_f$、$d_g$ と書く。
$$
T\,d_g(\omega,\theta)=(d\omega,\ g^*\omega-d\theta-h\,d\omega),\qquad d_f\,T(\omega,\theta)=(d\omega,\ f^*\omega-d\theta+dh\,\omega)
$$
であり、第 2 成分の差は $g^*\omega-f^*\omega-(dh+hd)\omega=0$ である。よって $T$ は複体の射である。$T'(\omega,\theta):=(\omega,\theta+h\omega)$ についても同じ計算で $d_gT'=T'd_f$ が成り立ち、$TT'$、$T'T$ は恒等写像である。$T(0,\theta)=(0,\theta)$、$\beta T=\beta$ は定義から明らかである。$\square$
BT82 Exercise 6.50（p. 79）は、ホモトピックな写像について $H^\bullet(f)$ と $H^\bullet(g)$ が代数として同型であることを示せという演習である。この記事では、積の構造には立ち入らず、ベクトル空間として長完全列と両立する同型を与えた。同書 p. 79 は、向き付けられたベクトル束 $E$ の零切断の補集合 $E^0$ について、合成 $s\circ\pi\colon E^0\to E$（$s$ は零切断）の相対複体で、Thom 形式 $\Phi$ と、単位球面束の 大域角形式 を $E^0$ に引き戻した形式 $\psi$ を $d\psi=-\pi^*s^*\Phi$ となるように選んだ組 $(\Phi,-\psi)$ が閉であることを示し、$s\circ\pi$ が包含 $E^0\hookrightarrow E$ とホモトピックなことからこの型の同型で $H^n(E,E^0)$ の類を得ている。
部分多様体の対
$S\subset M$ を閉部分多様体（部分多様体で $M$ の閉集合）、$i\colon S\hookrightarrow M$ を包含とし、$H^q(M,S):=H^q(i)$ と書く（BT82 p. 79）。$S$ 上で引き戻しが消える形式の部分複体
$$
\Omega^q(M,S):=\{\omega\in\Omega^q(M)\mid i^*\omega=0\}
$$
を考えると、$d(\omega,0)=(d\omega,i^*\omega)=(d\omega,0)$ なので、$\psi(\omega):=(\omega,0)$ は複体の射 $\Omega^\bullet(M,S)\to\Omega^\bullet(i)$ である。
$S\subset M$ を閉部分多様体とする。
- 制限 $i^*\colon\Omega^q(M)\to\Omega^q(S)$ はすべての $q$ で全射である。
- $\psi$ はコホモロジーの同型 $H^q\bigl(\Omega^\bullet(M,S)\bigr)\cong H^q(M,S)$ を誘導する。
1．$k:=\dim S$、$n:=\dim M$ とする。$S$ の各点のまわりに、$M$ の座標近傍 $U_a$ で $U_a\cong V_a\times B$（$V_a\subset\mathbb R^k$ は開集合、$B\subset\mathbb R^{n-k}$ は原点中心の開球）、$S\cap U_a=V_a\times\{0\}$ となるものをとる（部分多様体のスライス座標を積の形に縮める）。$p_a\colon U_a\to S\cap U_a$、$(x',x'')\mapsto(x',0)$ とおくと $p_a\circ i=\mathrm{id}$ である。$S$ は閉集合なので、$\{U_a\}$ と $U_0:=M\setminus S$ は $M$ の開被覆であり、従属する 1 の分割 $\{\rho_a\}\cup\{\rho_0\}$（1の分割）をとる。$\theta\in\Omega^q(S)$ について
$$
\tilde\theta:=\sum_a\rho_a\,p_a^*\bigl(\theta|_{S\cap U_a}\bigr)
$$
とおく。各項は台が $M$ の閉集合 $\operatorname{supp}\rho_a\subset U_a$ に入るので $0$ で延ばして $M$ 上の $C^\infty$ 級形式になり、和は局所有限である。$S$ の上では $\rho_0=0$、$\sum_a\rho_a=1$ なので $i^*\tilde\theta=\sum_a(\rho_a|_S)\,\theta=\theta$ である。
2．1 により $0\to\Omega^\bullet(M,S)\to\Omega^\bullet(M)\xrightarrow{i^*}\Omega^\bullet(S)\to0$ は複体の短完全列で、その接続準同型 $\delta'$ は、閉形式 $\theta\in\Omega^{q-1}(S)$ に、延長 $\tilde\theta$ をとって $[d\tilde\theta]$ を対応させる（$i^*d\tilde\theta=d\theta=0$）。この長完全列と thm-rdr-les の長完全列を $\psi_*$ と恒等写像で結ぶ：
$$
\xymatrix{
H^{q-1}(M) \ar[r] \ar@{=}[d] & H^{q-1}(S) \ar[r]^-{\delta'} \ar@{=}[d] & H^q(\Omega^\bullet(M,S)) \ar[r] \ar[d]^{\psi_*} & H^q(M) \ar[r] \ar@{=}[d] & H^q(S) \ar@{=}[d] \\
H^{q-1}(M) \ar[r] & H^{q-1}(S) \ar[r]^-{-\alpha_*} & H^q(M,S) \ar[r]^-{\beta_*} & H^q(M) \ar[r] & H^q(S)
}
$$
下の行は $\alpha_*$ を $-\alpha_*$ に替えても完全である。左から 2 つ目の四角形は、$d(\tilde\theta,0)=(d\tilde\theta,\theta)$ から $(d\tilde\theta,0)=d(\tilde\theta,0)-(0,\theta)$、すなわち $\psi_*\delta'[\theta]=-\alpha_*[\theta]$ により可換である。$\beta\psi$ は包含なので 3 つ目も可換で、残りは自明である。五項補題 により $\psi_*$ は同型である。$\square$
1 で $S$ が閉集合であることを使った（$U_0=M\setminus S$ が開）。$S=\{1/m\mid m\ge1\}\subset\mathbb R$ は 0 次元の部分多様体だが閉集合でなく、各点で $1$、$0$ を交互にとる $S$ 上の関数は $\mathbb R$ 上の連続関数にさえ延びないので、1 の全射性は成り立たない。
$n\ge1$ とし、単位球面 $S^{n-1}\subset\mathbb R^n$（$n=1$ では 2 点 $\{\pm1\}$）をとる。$\mathbb R^n$ は可縮なので、thm-rdr-les により $H^q(\mathbb R^n,S^{n-1})\cong\tilde H^{q-1}(S^{n-1})$ であり、$q=n$ で $\mathbb R$、ほかは $0$ である（$\tilde H$ は ex-rdr-basic の 2 の意味）。生成元は $(0,\sigma)$ で、$\sigma$ は $S^{n-1}$ 上の全積分 $1$ の $n-1$ 形式（$n=1$ では $1$ で $1$、$-1$ で $0$ の関数）である。thm-rdr-pair の表示では、$\sigma$ の延長 $\tilde\sigma$ について $-[d\tilde\sigma]$ が対応する類である（$\psi_*\delta'=-\alpha_*$）。$d\tilde\sigma$ は $S^{n-1}$ 上で引き戻しが消え、閉単位球の上の積分は Stokes の定理により $\int_{S^{n-1}}\sigma=1$ である。
相対サイクルとの対
$C_q(M)$ を $C^\infty$ 級の特異 $q$ 単体が張る実係数の鎖の空間とし、$f$ の誘導する鎖写像を $f_\sharp$ と書く。相対 de Rham 複体に対応する鎖複体として
$$
C_q(f):=C_q(M)\oplus C_{q-1}(S),\qquad\partial(\gamma,c):=(\partial\gamma-f_\sharp c,\ -\partial c)
$$
をとる。その輪体 $(\gamma,c)$ は、$S$ の輪体 $c$ と、境界が $f_\sharp c$ に等しい $M$ の鎖 $\gamma$ の組である。$f$ が包含なら、$\gamma$ は境界が $S$ に入る鎖、すなわち相対サイクル（相対ホモロジー）である。
$(\omega,\theta)\in\Omega^q(f)$、$(\gamma,c)\in C_q(f)$ について
$$
\langle(\omega,\theta),(\gamma,c)\rangle:=\int_\gamma\omega-\int_c\theta
$$
とおくと、$\langle d(\omega,\theta),(\gamma,c)\rangle=\langle(\omega,\theta),\partial(\gamma,c)\rangle$（左辺の $(\gamma,c)$ は $C_{q+1}(f)$ の元）が成り立つ。したがって対は $H^q(f)\times H_q\bigl(C_\bullet(f)\bigr)\to\mathbb R$ を誘導する。
鎖の上の Stokes の定理 $\int_\gamma d\omega=\int_{\partial\gamma}\omega$ と $\int_c f^*\omega=\int_{f_\sharp c}\omega$ により
$$
\int_\gamma d\omega-\int_c(f^*\omega-d\theta)=\int_{\partial\gamma-f_\sharp c}\omega+\int_{\partial c}\theta=\Bigl\langle(\omega,\theta),\bigl(\partial\gamma-f_\sharp c,\ -\partial c\bigr)\Bigr\rangle
$$
である。閉な組と輪体の対は、組を $d$ の像に、または輪体を $\partial$ の像に替えても変わらない。$\square$
鎖複体の側にも短完全列 $0\to C_\bullet(M)\to C_\bullet(f)\to C_{\bullet-1}(S)\to0$ があり、その双対の長完全列と thm-rdr-les の長完全列は積分で結ばれる（$\alpha$ に対応する所だけ符号 $-1$ がつく）。de Rham の定理（de Rhamコホモロジー の定理「de Rham の定理：特異コホモロジーとの同型」）により $M$ と $S$ の所で積分が同型なので、五項補題 により $H^q(f)\to\operatorname{Hom}\bigl(H_q(C_\bullet(f)),\mathbb R\bigr)$ も同型である。包含の場合、これは相対特異コホモロジー $H^q(M,S;\mathbb R)$ の de Rham 表示である。
代数多様体の対
$k$ を標数 $0$ の体、$X=\operatorname{Spec}A$ を $k$ 上の滑らかな affine 多様体、$D=\operatorname{Spec}B\subset X$ を滑らかな閉部分多様体とし、制限 $\Omega^\bullet_{A/k}\to\Omega^\bullet_{B/k}$（Kähler 微分の de Rham 複体）を $f^*$ の代わりに使って同じ複体 $\Omega^q_{A/k}\oplus\Omega^{q-1}_{B/k}$ を作る。そのコホモロジーを $H^q_{dR}(X,D)$ と書く。affine なので両端の de Rham 複体の大域切断が代数的 de Rham コホモロジーを計算し（de Rhamコホモロジー の定理「affine スキームの場合」）、thm-rdr-les と同じ長完全列がある。$k=\mathbb C$ では、代数的な形式を $C^\infty$ 級の複素数値形式とみなす写像が 2 つの長完全列を結び、Grothendieck の比較定理（同記事の定理「Grothendieck の比較定理」）を $X$ と $D$ に使えば、五項補題により $H^q_{dR}(X,D)\cong H^q\bigl(X(\mathbb C),D(\mathbb C);\mathbb C\bigr)$ が得られる。$D$ が特異点をもつ場合（正規交叉因子など）には別の構成が要り、この記事では扱わない。
$X=\mathbb G_m=\operatorname{Spec}k[t,t^{-1}]$、$D=\{1,2\}$ とする。$H^0_{dR}(X)=k$、$H^1_{dR}(X)=k\cdot[dt/t]$（de Rhamコホモロジー の例「affine 直線と乗法群（標数 0）」）、$H^0_{dR}(D)=k^2$ である。$H^0_{dR}(X)\to H^0_{dR}(D)$ は定数の対角への写像で単射なので、長完全列
$$
0\to H^0_{dR}(X)\to H^0_{dR}(D)\to H^1_{dR}(X,D)\to H^1_{dR}(X)\to H^1_{dR}(D)=0
$$
から $H^0_{dR}(X,D)=0$、$\dim H^1_{dR}(X,D)=(2-1)+1=2$ で、$(dt/t,0)$ と $(0,\mathbb 1_1)$（$\mathbb 1_1$ は点 $1$ で $1$、点 $2$ で $0$）が基底である。$k\subset\mathbb C$ とし、$X(\mathbb C)=\mathbb C^\times$ の相対サイクル $(\gamma,c)$、$\gamma=[1,2]$、$c=\partial\gamma=\{2\}-\{1\}$ との対は、prop-rdr-pairing により
$$
\langle(dt/t,0),(\gamma,c)\rangle=\int_1^2\frac{dt}{t}=\log2,\qquad\langle(0,\mathbb 1_1),(\gamma,c)\rangle=-\bigl(\mathbb 1_1(2)-\mathbb 1_1(1)\bigr)=1
$$
であり、$\log2$ が周期として現れる（周期(代数多様体) の例「$\log 2$ と相対コホモロジー」）。
仮定を外したときの反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $S$ が $M$ の閉集合 | $S=\{1/m\mid m\ge1\}\subset\mathbb R$ | 制限 $i^*\colon\Omega^0(\mathbb R)\to\Omega^0(S)$ の全射性（thm-rdr-pair の 1） |
| $f$ と $g$ のホモトピー | 1 点から離散 2 点 $M=\{0,1\}$ への $f\equiv0$、$g\equiv1$ | $\beta_*$ と両立する同型 $H^0(g)\cong H^0(f)$（thm-rdr-homotopy） |
1 行目は thm-rdr-pair の証明の後の段落で確かめた。2 行目：thm-rdr-les により $H^0(f)=\ker\bigl(f^*\colon H^0(M)\to H^0(\text{点})\bigr)$ で、$\beta_*H^0(f)$ は点 $1$ だけで値をもつ関数の空間、$\beta_*H^0(g)$ は点 $0$ だけで値をもつ関数の空間である。どちらも 1 次元だが $H^0(M)$ の中で異なる部分空間なので、$\beta\circ T=\beta$ をみたす同型 $T$ はない。
関連項目
- 前提: de Rhamコホモロジー, 長完全列, 五項補題, 1の分割
- 比較: 相対ホモロジー, 写像錐(位相), コンパクト台de Rhamコホモロジー, 閉部分多様体のPoincaré双対
- 発展: 周期(代数多様体), 大域角形式, Thom同型
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
