箙の表現

$Q$ が有向サイクル $c$ を持つとする。任意の正の整数 $m$ に対して $c^m$ は道であり、その長さは $m$ に比例して増える。異なる長さの道は異なる基底元なので、$KQ$ は無限個の一次独立な元を持ち、無限次元である。
逆に $Q$ が有向サイクルを持たないとする。道の中で同じ頂点が二度現れれば、その二度の出現の間が有向サイクルになる。したがって、どの道も各頂点を高々一度しか通らず、その長さは $|Q_0|-1$ 以下である。$Q_1$ は有限集合なので、長さがこの上界以下の矢の列は有限個しかない。従って道全体が有限集合であり、それを基底とする $KQ$ は有限次元である。

表現 $V$ に対して
$$ M(V):=\bigoplus_{i\in Q_0}V_i $$
とおく。頂点の道 $e_i$ は $M(V)$ を $V_i$ へ射影するものとして作用させる。道 $p\colon i\to j$ は、$V_i$ 上では $V_p\colon V_i\to V_j$ として作用し、他の直和成分上では $0$ として作用させる。道の積の定義と $V_{qp}=V_q\circ V_p$ により、これは $KQ$ の左作用を定める。表現の射 $f=(f_i)_i$ に対して $M(f):=\bigoplus_i f_i$ とおけば、矢との可換条件からすべての道の作用と可換するので、$M(f)$ は $KQ$-線形である。従って函手
$$ M\colon \operatorname{Rep}_K(Q)\to KQ\text{-}\operatorname{Mod} $$
を得る。
逆に左 $KQ$-加群 $N$ に対して、頂点 $i$ の空間を $N_i:=e_iN$ とする。$1=\sum_i e_i$ と冪等元の直交性から
$$ N=\bigoplus_{i\in Q_0}e_iN $$
である。矢 $a\colon i\to j$ について、左乗法で
$$ N_a\colon e_iN\to e_jN,\qquad x\mapsto ax $$
を定める。実際、道多元環では $a=e_jae_i$ なので $ax\in e_jN$ である。$KQ$-線形写像 $g\colon N\to N'$ は $g(e_ix)=e_ig(x)$ を満たすため、制限 $g_i\colon e_iN\to e_iN'$ は表現の射をなす。これで函手
$$ R\colon KQ\text{-}\operatorname{Mod}\to\operatorname{Rep}_K(Q) $$
を得る。
$V$ から $M(V)$ を作って $R$ を施すと、$e_iM(V)=V_i$ であり、矢の作用も元の $V_a$ であるから $R(M(V))=V$ である。一方、$N$ から $R(N)$ を作って $M$ を施すと、上の直和分解により $M(R(N))=\bigoplus_i e_iN$ は $N$ と自然に同型である。この同型は各道の作用と両立する。従って二つの函手は互いに逆な同値を与える。最後に、有限直和 $M(V)=\bigoplus_iV_i$ の次元は $\sum_i\dim_KV_i$ なので、有限次元性も保たれる。

$V_1$ の部分空間 $U$ を $V_1=\ker f\oplus U$ となるように選ぶ。このとき $f|_U\colon U\to\operatorname{im}f$ は同型である。また $V_2=\operatorname{im}f\oplus C$ となる補空間 $C$ を選ぶ。すると線形写像 $f$ は直和分解
$$ (\ker f\to0)\oplus(U\xrightarrow{f|_U}\operatorname{im}f)\oplus(0\to C) $$
に分かれる。基底を選べば第1項は $S_1^{\oplus\dim\ker f}$、第2項は $P^{\oplus\dim U}$、第3項は $S_2^{\oplus\dim C}$ に同型である。$\dim U=\operatorname{rank}f$、$\dim C=\dim\operatorname{coker}f$ より主張を得る。

矢 $a\colon i\to j$ と $v\in\ker f_i$ について、$f_jV_a(v)=W_af_i(v)=0$ なので $V_a(v)\in\ker f_j$ である。従って制限により表現 $K$ が得られ、包含 $k\colon K\to V$ は表現の射になる。表現の射 $h\colon U\to V$ が $fh=0$ を満たすとき、各 $h_i$ は唯一の線形写像 $\bar h_i\colon U_i\to K_i$ に分解する。矢に沿う二つの合成が等しいことは、包含 $K_j\hookrightarrow V_j$ に合成した後で $h$ の可換条件から分かる。包含は単射なので $\bar h$ 自身が表現の射であり、これが核の普遍性を示す。
同様に $W_a(\operatorname{im}f_i)\subseteq\operatorname{im}f_j$ だから、$[w]\mapsto[W_a(w)]$ は代表元によらず定まり、余核表現 $C$ を作る。$h\colon W\to U$ が $hf=0$ を満たせば、各 $h_i$ は唯一の射 $\bar h_i\colon C_i\to U_i$ に分解する。商射 $W_i\to C_i$ が全射なので、$h$ の可換条件から $\bar h$ の可換条件が従う。これは余核の普遍性である。
像は余核の核として作るので、その頂点 $i$ の空間は $\operatorname{im}f_i$ となる。従って列の完全性を定める像と核の一致は、すべての頂点での一致と同値である。この構成は頂点集合の有限性を使わない。$\square$