被覆空間の分類定理

1 の写像が基点付きの同型類の上で矛盾なく定まり単射であることは ccl-prop-unique、全射であることは ccl-thm-exist である。2 は ccl-prop-conj と 1 から、3 は ccl-prop-order から従う。4 について、$H(E,e_0)$ が自明であることは、$p_*$ が単射なので（被覆空間の記事の定理「基本群との関係」の 1）$\pi_1(E,e_0)$ が自明であること、すなわち $E$ が単連結であることと同値である。$G$ に対応する被覆はシートが $[G:G]=1$ 枚なので、全単射な被覆写像、したがって連続な全単射の開写像（被覆写像は開写像）であり、同相写像である。シートの数については節「設定と定義」の最後の段落による。$\square$

要点：$p_1$ と $p_2$ の両方について均一に被覆される弧状連結な開集合 $W$ をとると、$p_1$ の $W$ 上のシートはどれも、$f$ によって $p_2$ のシートの一枚の上へ同相に写る。そこから $f$ の像が開かつ閉であること、$p_2$ のシートが $f$ について均一に被覆されることが従う。

必要性：$f$ が基点付きの同型なら、$f$ は同相写像なので $f_*\pi_1(E_1,e_1)=\pi_1(E_2,e_2)$ であり、$p_2\circ f=p_1$ から
$$ H(E_1,e_1)=(p_2\circ f)_*\pi_1(E_1,e_1)=p_{2*}f_*\pi_1(E_1,e_1)=p_{2*}\pi_1(E_2,e_2)=H(E_2,e_2) $$
である。
十分性：$E_1$ は弧状連結かつ局所弧状連結であり、$p_{1*}\pi_1(E_1,e_1)=H(E_2,e_2)$ なので、持ち上げの判定法により $p_1$ の $p_2$ に沿った持ち上げ $f\colon E_1\to E_2$ で $f(e_1)=e_2$ となるものがある。$p_2\circ f=p_1$ なので $f$ は被覆の射である。役割を入れ替えて、被覆の射 $g\colon E_2\to E_1$ で $g(e_2)=e_1$ となるものもある。$g\circ f$ と $\mathrm{id}_{E_1}$ はどちらも $p_1$ の $p_1$ に沿った持ち上げで、$e_1$ で一致するので、$E_1$ が連結であることから等しい（被覆空間の記事の定理「持ち上げの一意性」）。同様に $f\circ g=\mathrm{id}_{E_2}$ であり、$f$ は同相写像である。基点を保つ被覆の射はどれも $p_1$ の持ち上げで $e_1$ を $e_2$ に送るので、同じ定理によりただ一つである。$\square$

$p\circ\sigma_h=p$ なので $p_H$ は矛盾なく定まり、$p=p_H\circ q$ と商位相の性質から連続であり、$p$ が全射なので全射である。$\tilde B$ の開集合 $W$ について $q^{-1}(q(W))=\bigcup_{h\in H}\sigma_h(W)$ は開集合の和なので、$q$ は開写像である。
$U\in\mathcal U$ と $\gamma(1)\in U$ をとる。$q(x)=q(y)$ なら $p(x)=p(y)$ であり、$p$ は $U_{[\gamma]}$ 上で単射なので、$q|_{U_{[\gamma]}}$ は単射である。連続な単射の開写像なので、$q|_{U_{[\gamma]}}$ は開集合 $q(U_{[\gamma]})$ の上への同相写像であり、$p_H|_{q(U_{[\gamma]})}=p|_{U_{[\gamma]}}\circ(q|_{U_{[\gamma]}})^{-1}$ は $q(U_{[\gamma]})$ から $U$ への同相写像である。
二つの集合 $q(U_{[\gamma]})$、$q(U_{[\gamma']})$ は一致するか交わらない。実際、交われば $x\in U_{[\gamma]}$、$y\in U_{[\gamma']}$ と $h\in H$ で $y=\sigma_h(x)$ となるものがある。$\sigma_h(U_{[\gamma]})=U_{[h\cdot\gamma]}$ は $y$ を含むので (ii) により $U_{[h\cdot\gamma]}=U_{[\gamma']}$ であり、$q\circ\sigma_h=q$ から $q(U_{[\gamma']})=q(\sigma_h(U_{[\gamma]}))=q(U_{[\gamma]})$ である。(iii) と $q$ の全射性から $p_H^{-1}(U)=q(p^{-1}(U))$ は集合 $q(U_{[\gamma]})$ たちの和である。以上により $p_H^{-1}(U)$ は互いに交わらない開集合の和で、各々が $p_H$ により $U$ の上へ同相に写る。$\mathcal U$ は $B$ を覆うので $p_H$ は被覆写像であり、最後の主張も示された。$E_H=q(\tilde B)$ は弧状連結な $\tilde B$ の連続像なので弧状連結である。
部分群を求める。$b_0$ を基点とするループ $\gamma$ について、$\gamma_t(s):=\gamma(ts)$ とおくと $t\mapsto[\gamma_t]$ は $\gamma$ の $p$ に沿った持ち上げで $[c_{b_0}]$ から $[\gamma]$ へ至る（普遍被覆の記事の定理「普遍被覆の存在」の証明の段 5）。$q$ と合成すれば $\gamma$ の $p_H$ に沿った持ち上げで、$e_H$ から $q([\gamma])$ へ至る。よって $e_H\cdot[\gamma]=q([\gamma])$ であり、
$$ e_H\cdot[\gamma]=e_H\iff[\gamma]=\sigma_h([c_{b_0}])=h\ \text{となる}\ h\in H\ \text{がある}\iff[\gamma]\in H $$
である。$e_H$ の安定化群は $H(E_H,e_H)$ なので（節「設定と定義」の事実 1）、$H(E_H,e_H)=H$ である。$\square$

前半：作用は推移的なので $p^{-1}(b_0)=\{e\cdot g\mid g\in G\}$ であり、節「設定と定義」の事実 2 により $H(E,e\cdot g)=g^{-1}H(E,e)g$ である。$g$ はすべての元を動くので、$H(E,e)$ の共役類全体が現れる。
後半：$f\colon E_1\to E_2$ を被覆の同型とすると、$f(e_1)\in p_2^{-1}(b_0)$ であり、$f$ は $(E_1,e_1)$ から $(E_2,f(e_1))$ への基点付きの同型なので、ccl-prop-unique により $H(E_1,e_1)=H(E_2,f(e_1))$ である。前半によりこれは $H(E_2,e_2)$ と共役である。逆に $H(E_1,e_1)=g^{-1}H(E_2,e_2)g$ なら、前半により $H(E_2,e_2\cdot g)=H(E_1,e_1)$ であり、ccl-prop-unique により $(E_1,e_1)$ と $(E_2,e_2\cdot g)$ は基点付きで同型である。$\square$

$f$ があれば $H_1=p_{2*}f_*\pi_1(E_1,e_1)\subset p_{2*}\pi_1(E_2,e_2)=H_2$ である。逆に $H_1\subset H_2$ なら、持ち上げの判定法により $p_1$ の $p_2$ に沿った持ち上げ $f$ で $f(e_1)=e_2$ となるものがただ一つあり、これが被覆の射である。ccl-lem-morphism-covering により $f$ は被覆写像である。$E_2$ も弧状連結かつ局所弧状連結なので、被覆 $f\colon E_1\to E_2$ に節「設定と定義」の最後の段落を（底空間を $E_2$ として）当てると、そのシートの数は $[\pi_1(E_2,e_2):f_*\pi_1(E_1,e_1)]$ である。$p_{2*}$ は単射で（被覆空間の記事の定理「基本群との関係」の 1）、$\pi_1(E_2,e_2)$ を $H_2$ に、$f_*\pi_1(E_1,e_1)$ を $H_1$ に同型に写すので、この指数は $[H_2:H_1]$ に等しい。$\square$

被覆写像は全射なので $\Phi(E)$ は空でない。
成分と軌道：$E$ の弧状連結成分 $C$ は開かつ閉で、$p|_C$ は $B$ の被覆である（局所弧状連結空間の記事の命題「被覆空間の弧状連結成分」）。とくに $C$ はファイバーと交わる。ファイバーの点 $e,e'$ が同じ成分にあれば、$E$ の中の $e$ から $e'$ への道を $p$ で写したループ $\gamma$ について $e\cdot[\gamma]=e'$ である。逆に $e'=e\cdot[\gamma]$ なら持ち上げた道が $e$ と $e'$ を結ぶ。よって $C\cap p^{-1}(b_0)$ はちょうど一つの軌道である。
忠実：被覆の射 $f,f'\colon E_1\to E_2$ がファイバーの上で一致するとする。$E_1$ の各弧状連結成分 $C$ はファイバーの点 $e$ を含み、$f|_C$ と $f'|_C$ はどちらも $p_1|_C$ の $p_2$ に沿った持ち上げで $e$ で一致するので、$C$ が連結であることから等しい（被覆空間の記事の定理「持ち上げの一意性」）。
充満：同変写像 $\varphi\colon\Phi(E_1)\to\Phi(E_2)$ をとる。$E_1$ の弧状連結成分 $C$ とファイバーの点 $e\in C$ を選び、$\varphi(e)$ を含む $E_2$ の弧状連結成分を $C'$ とする。$e\cdot g=e$ なら $\varphi(e)\cdot g=\varphi(e\cdot g)=\varphi(e)$ なので、節「設定と定義」の事実 1 により
$$ H(C,e)=(e\text{ の安定化群})\subset(\varphi(e)\text{ の安定化群})=H(C',\varphi(e)) $$
である。ccl-prop-order により基点を保つ被覆の射 $f_C\colon(C,e)\to(C',\varphi(e))$ がある。$C$ のファイバーの点はすべて $e\cdot g$ の形で、$f_C(e\cdot g)=f_C(e)\cdot g=\varphi(e)\cdot g=\varphi(e\cdot g)$ である。$E_1$ の弧状連結成分は互いに交わらない開集合なので、$f_C$ たちを貼り合わせた $f\colon E_1\to E_2$ は連続な被覆の射で、$\Phi(f)=\varphi$ である。
本質的全射：空でない右 $G$ 集合 $S$ を軌道に分けて $S=\bigsqcup_jS_j$ とし、$s_j\in S_j$ と安定化群 $H_j$ を選ぶ。ccl-thm-exist の被覆 $(E_{H_j},e_{H_j})$ の非交和 $E:=\bigsqcup_jE_{H_j}$ を考える。よい開集合はすべての $p_{H_j}$ に関して均一に被覆されるので（ccl-thm-exist の最後の主張）、その上のシートを全部集めれば $E\to B$ に関しても均一に被覆され、$E\to B$ は被覆である。$\Phi(E_{H_j})$ は推移的で $e_{H_j}$ の安定化群は $H_j$ なので、$e_{H_j}\cdot g\mapsto s_j\cdot g$ は $\Phi(E_{H_j})$ から $S_j$ への同変な全単射である（群の作用の記事の定理「軌道・安定化群定理」の右作用版。$e_{H_j}\cdot g=e_{H_j}\cdot g'$ と $gg'^{-1}\in H_j$ と $s_j\cdot g=s_j\cdot g'$ は同値）。これらを並べて $\Phi(E)\cong S$ を得る。
充満忠実かつ本質的全射なので、$\Phi$ は圏同値である（圏同値の記事の命題「圏同値の十分条件」）。$\square$