極分解

$P'=UPU^*$ は Hermite で、$x^*P'x=(U^*x)^*P(U^*x)>0$（$x\ne0$）なので正定値であり、$P'U=UP=A$ である。$P'^2=UP^2U^*=(UP)(UP)^*=AA^*$ なので、平方根の一意性により $P'=(AA^*)^{1/2}$ である。逆に $A=P''U''$ と書けば $A^*=U''^*P''$ は $A^*$ の極分解なので、極分解の一意性から $P''=\lvert A^*\rvert=(AA^*)^{1/2}=P'$、$U''=P''^{-1}A=U$ である。$\square$

1：$\lvert A\rvert$ は Hermite なので $\bigl\lvert\lvert A\rvert x\bigr\rvert^2=x^*\lvert A\rvert^2x=x^*A^*Ax=\lvert Ax\rvert^2$ である。両辺が $0$ になる $x$ は等しいので $\operatorname{Ker}\lvert A\rvert=\operatorname{Ker}A$ である。
2：存在。$\lvert A\rvert$ は Hermite なので $K^n=\operatorname{Im}\lvert A\rvert\oplus\operatorname{Ker}\lvert A\rvert$ は直交分解である（$\langle\lvert A\rvert x,y\rangle=\langle x,\lvert A\rvert y\rangle$ から $(\operatorname{Im}\lvert A\rvert)^\perp=\operatorname{Ker}\lvert A\rvert$）。$\operatorname{Im}\lvert A\rvert$ の上で $V(\lvert A\rvert x):=Ax$ と定める。$\lvert A\rvert x=\lvert A\rvert x'$ なら 1 により $Ax=Ax'$ なので矛盾なく定まり、線形で、1 により長さを保つ。$\operatorname{Ker}\lvert A\rvert=\operatorname{Ker}A$ の上では $V:=0$ とする。すると $V\lvert A\rvert=A$ であり、$V$ は $\operatorname{Im}\lvert A\rvert=(\operatorname{Ker}A)^\perp$ の上で長さを保つので、$\operatorname{Ker}V=\operatorname{Ker}A$ で部分等長である。$\operatorname{Im}V=V(\operatorname{Im}\lvert A\rvert)=\operatorname{Im}A$ である。
一意性：$A=V'\lvert A\rvert$ なら、$V'$ は $\operatorname{Im}\lvert A\rvert$ の上で $V'(\lvert A\rvert x)=Ax$ と決まり、$\operatorname{Ker}V'=\operatorname{Ker}A$ なら $(\operatorname{Im}\lvert A\rvert)^\perp=\operatorname{Ker}A$ の上で $0$ である。よって $V'=V$ である。
3：$\dim\operatorname{Ker}A=n-\operatorname{rank}A=\dim(\operatorname{Im}A)^\perp$ なので、それぞれの正規直交基底を対応させる等長写像 $W\colon\operatorname{Ker}A\to(\operatorname{Im}A)^\perp$ がある。$U:=V$（$(\operatorname{Ker}A)^\perp$ 上）、$U:=W$（$\operatorname{Ker}A$ 上）とおくと、$U$ は直交する 2 つの部分空間をそれぞれ $\operatorname{Im}A$、$(\operatorname{Im}A)^\perp$ に等長に写すのでユニタリであり、$\operatorname{Ker}A$ 上で $\lvert A\rvert=0$ なので $U\lvert A\rvert=V\lvert A\rvert=A$ である。$\square$

$A^*A=P^2$、$AA^*=UP^2U^{-1}=(UPU^{-1})^2$ であり、$P$ と $UPU^{-1}$ はどちらも正定値 Hermite 行列である。$UP=PU$ なら $UPU^{-1}=P$ なので $AA^*=P^2=A^*A$ である。逆に $A$ が正規なら $P^2=(UPU^{-1})^2$ で、平方根の一意性から $P=UPU^{-1}$、すなわち $UP=PU$ である。$\square$

要点：Hermite 行列 $X$ の固有値 $\lambda$ の固有空間は、$e^X$ の固有値 $e^\lambda$ の固有空間に一致する。$t\mapsto e^t$ は $\mathbb{R}$ 上で単射なので、$e^X$ から $X$ の固有空間と固有値が復元できる。逆写像の連続性は、固有値が正の数の有界閉区間にとどまることとコンパクト性による。

$A=Ue^X$ と書くと $\det e^X>0$ なので、$\det A$ の符号は $\det U=\pm1$ に等しい。よって thm-polar-exp の同相写像は $\mathrm{SO}(n)\times\mathcal{H}_n(\mathbb{R})$ を $\mathrm{GL}_n^+(\mathbb{R})$ の上へ、$\mathrm{O}^-(n)\times\mathcal{H}_n(\mathbb{R})$ を $\{\det< 0\}$ の上へ写す。$\mathrm{O}(n)$ の弧状連結成分は $\mathrm{SO}(n)$ と $\mathrm{O}^-(n)$ の 2 つであり（直交群 の定理「直交群の位相」）、$\mathcal{H}_n(\mathbb{R})$ はベクトル空間で弧状連結なので、主張が従う。$\square$

1：$A^*JA=J$ から $A^{-1}=J^{-1}A^*J$ であり、$AJ^{-1}A^*=A(J^{-1}A^*J)J^{-1}=J^{-1}$ である。$J^{-1}=J^{\top}=\varepsilon J$ を代入して $\varepsilon$ で割ると $AJA^*=J$、すなわち $A^*\in G_J(K)$ である。$\det A^*=\overline{\det A}$ なので、行列式 $1$ の条件も保たれる。
2：$B:=A^*A=P^2$ は 1 により $G$ に属する Hermite 行列で、thm-polar-exp により $B=e^{2X}$ となる $X\in\mathcal{H}_n(K)$ がただ 1 つある（$P=e^X$）。$G=G_J(K)$ または $G_J(K)\cap\mathrm{SL}_n(K)$ の場合、$BJB=J$ から $JBJ^{-1}=B^{-1}$、すなわち $e^{2JXJ^{-1}}=e^{-2X}$ である（行列の指数関数 の命題「相似・転置・固有ベクトル」の (R1)）。$J$ は実の直交行列なので $JXJ^{-1}=JXJ^*$ も Hermite であり、thm-polar-exp の単射性から $JXJ^{-1}=-X$、すなわち $JX=-XJ$ である。行列式 $1$ の条件がある場合、$\det P>0$、$\lvert\det U\rvert=1$（$K=\mathbb{R}$ なら $\det U=\pm1$）と $\det A=1$ から $\det P=1$ なので、$e^{\operatorname{tr}X}=\det e^X=1$（同じ記事の定理「指数関数の固有値と行列式」）より $\operatorname{tr}X=0$ である。よって $X\in\mathfrak{p}$ である。
逆に $X\in\mathfrak{p}$ なら $e^X\in G$ である。実際 $JXJ^{-1}=-X$ から $Je^XJ^{-1}=e^{-X}$、すなわち $(e^X)^*Je^X=e^XJe^X=J$ であり、$\operatorname{tr}X=0$ なら $\det e^X=1$ である。とくに $P=e^X\in G$ で、$U=AP^{-1}\in G$ である。
3：thm-polar-exp の同相写像 $\mathrm{U}_n(K)\times\mathcal{H}_n(K)\to\mathrm{GL}_n(K)$ を部分集合 $(G\cap\mathrm{U}_n(K))\times\mathfrak{p}$ に制限すると、2 とその逆によって像はちょうど $G$ になるので、$G$ への同相写像である。$s\in[0,1]$ について $Ue^X\mapsto Ue^{(1-s)X}$ は $G$ の中の変位レトラクションである（$(1-s)X\in\mathfrak{p}$）。$G\cap\mathrm{U}_n(K)$ はコンパクトな $\mathrm{U}_n(K)$ の閉部分集合なのでコンパクトである。$\mathfrak{p}$ は実ベクトル空間なので弧状連結で可縮であり、残りの主張が従う。$\square$

ex-polar-groups の 2（$p=1$、$q=3$）により、$(U,X)\mapsto Ue^X$ は $(\mathrm{O}(1)\times\mathrm{O}(3))\times\mathfrak{p}\to\mathrm{O}(1,3)$ の同相写像で、$\mathfrak{p}=\{X_b\mid b\in\mathbb{R}^3\}$ である。$\mathfrak{p}$ は弧状連結なので、単位元を含む弧状連結成分どうしが対応し、$\mathrm{O}(1)\times\mathrm{O}(3)$ の単位元の成分は $\{1\}\times\mathrm{SO}(3)$ である（直交群 の定理「直交群の位相」）。よって分解の存在・一意性と同相が従う。