写像錐(位相)

要点：二つの空間はどちらも $(X\times I)\sqcup Y$ の商空間で、$t\mapsto1-t$ のもとで同値関係が一致する。

1：$CX$ の上では恒等写像、$Y$ の上では包含として、$j\circ f$ は $CX\to C_f$ を経由する。$CX$ は可縮なので（錐(位相)の記事の命題「錐は可縮」）、$j\circ f$ は零ホモトピックである。
2：$G$ があれば、$g\circ f=G\circ j\circ f$ は 1 により零ホモトピックである。逆に $g\circ f$ が零ホモトピックなら、錐(位相)の記事の命題「錐への拡張と零ホモトピー」により $G_0\colon CX\to Z$ で $G_0([x,0])=g(f(x))$ となるものがある。$G_0$ と $g$ は同一視 $[x,0]\sim f(x)$ と両立するので、商写像の普遍性により $G\colon C_f\to Z$ が定まる。
3：$[G]\in[C_f,Z]$ について $f^*j^*[G]=[G\circ j\circ f]$ は 1 により定値写像の類である。逆に $g\circ f$ が零ホモトピックなら、2 により $[g]=j^*[G]$ となる。$\square$

写像柱 $M_f$ と部分空間 $B:=i(X)$ を考える。Whiteheadの定理の記事の命題「写像柱の性質」により、$i$ は $X$ から $B$ への同相写像であり、$r\colon M_f\to Y$（$r(q_M(x,t))=f(x)$、$r(q_M(y))=y$）はホモトピー同値で、$r\circ i=f$、$r\circ j_M=\mathrm{id}_Y$ が成り立つ（$j_M$ は $Y\hookrightarrow M_f$）。
$B$ は近傍の変位レトラクトである。 $q_M^{-1}(B)=X\times\{0\}$ は閉集合なので $B$ は閉集合である。$V:=q_M(X\times[0,\tfrac12))$ は開集合で、$q_M$ は $X\times[0,1)$ の上で開集合への同相写像である（同命題の 1 の証明）。よって $V\times I\to V$、$(q_M(x,t),u)\mapsto q_M(x,(1-u)t)$ は連続で、$B$ を動かさずに $V$ を $B$ へ変形する。
したがって $(M_f,B)$ について、包含と商写像 $\pi\colon M_f\to M_f/B$ が誘導する被約ホモロジーの完全列
$$ \cdots\to\tilde H_k(B)\to\tilde H_k(M_f)\xrightarrow{\pi_*}\tilde H_k(M_f/B)\to\tilde H_{k-1}(B)\to\cdots $$
がある（Hat02 Theorem 2.13, p. 114。切除定理(特異ホモロジー)の記事の命題「良い対の相対ホモロジー」と対の完全列からも得られる）。
項の取り替え。 $i_*$ で $\tilde H_k(X)\cong\tilde H_k(B)$、$r_*$ で $\tilde H_k(M_f)\cong\tilde H_k(Y)$（逆は $j_{M*}$）、prop-mc-cylinder の同相写像 $\psi$ で $\tilde H_k(M_f/B)\cong\tilde H_k(C_f)$ と取り替える。このとき $\tilde H_k(X)\to\tilde H_k(Y)$ は $r_*\circ(\text{包含})_*\circ i_*=(r\circ i)_*=f_*$ に、$\tilde H_k(Y)\to\tilde H_k(C_f)$ は $\psi_*\circ\pi_*\circ j_{M*}=(\psi\circ\pi\circ j_M)_*=j_*$ になる。同型で取り替えても完全性は保たれるので、主張の列は完全である。$\square$

thm-mc-les の完全列で、$\tilde H_k(C_f)$ は $f_*$ の余核（次数 $k$）と核（次数 $k-1$）の拡大になる。すなわち $0\to\operatorname{coker}(f_*)_k\to\tilde H_k(C_f)\to\ker(f_*)_{k-1}\to0$ が完全なので、すべての $f_*$ が同型であることとすべての $\tilde H_k(C_f)$ が 0 であることは同値である。$\square$

要点：$B$ の上のホモトピーを $g$ で $A$ に引き戻し、$(X,A)$ の性質で $X$ に延ばして貼り合わせる。

$C_\iota$ は $CA$ に、底面の包含 $A\to CA$ で $X$ を貼り合わせた空間 $(CA\sqcup X)/(a\sim[a,0])$ である。lem-mc-pushout を $B=CA$、$g(a)=[a,0]$ に使うと、$CA$ は $C_\iota$ の閉集合で、$(C_\iota,CA)$ はホモトピー拡張性質をもつ。$CA$ は空でなく可縮なので（錐(位相)の記事の命題「錐は可縮」）、コファイブレーションの記事の定理「可縮な部分空間をつぶす商写像」により、商写像 $C_\iota\to C_\iota/CA$ はホモトピー同値である。
$X\to C_\iota\to C_\iota/CA$ は $A$ を一点に送る連続な全射なので、連続な全単射 $X/A\to C_\iota/CA$ を誘導する。逆写像は、$CA$ 全体を一点に、$X$ を商写像 $X\to X/A$ で送る $CA\sqcup X\to X/A$ から商写像の普遍性で得られ、連続である。よって $C_\iota/CA\cong X/A$ である。$\square$

底面の包含 $X\to CX$ は、一点への写像の写像柱の端の包含である（$CX=M_{X\to\{*\}}$）。したがってコファイブレーションの記事の例「写像柱」によりコファイブレーションであり、底面は $CX$ の閉集合である。$C_f$ は $Y$ に $CX$ を $f$ で貼り合わせた空間なので、lem-mc-pushout により $j(Y)$ は閉集合で、$(C_f,j(Y))$ はホモトピー拡張性質をもつ。thm-mc-collapse により $C_j\simeq C_f/Y$ であり、$C_f/Y$ は $CX$ の底面を一点につぶした空間 $SX$ と同相である（thm-mc-collapse の証明の後半と同じ議論）。$\square$

1⇒3、2⇒3 は thm-mc-les とホモトピー不変性による。3⇒1：cor-mc-homology-iso により $f$ はホモロジーの同型を誘導するので、Hurewiczの定理の記事の系「ホモロジーによる Whitehead の定理」によりホモトピー同値である。
3⇒2：$f$ は胞体写像なので写像柱 $M_f$ は $X$ を部分複体とする CW 複体であり（Hat02 p. 312。この記事では証明しない）、prop-mc-cylinder により $C_f\cong M_f/X$ も CW 複体である（Hat02 p. 8。この記事では証明しない）。$U:=C_f\setminus\{v\}$（$v$ は錐の頂点）は $Y$ に変位レトラクトし、$V:=q(X\times(0,1])$ は可縮で、$U\cap V\cong X\times(0,1)$ は道連結である。Seifert–van Kampen の定理（Hat02 Theorem 1.20, p. 43）により $\pi_1(C_f)$ は $\pi_1(U)\cong\pi_1(Y)=0$ と $\pi_1(V)=0$ の像で生成されるので、$C_f$ は単連結である。$\pi_k(C_f)\ne0$ となる最小の $k\ge2$ があれば、$C_f$ は $(k-1)$-連結で、Hurewiczの定理 により $\pi_k(C_f)\cong H_k(C_f)=0$ となり矛盾する。よって $C_f$ のホモトピー群はすべて 0 で、一点への写像は弱ホモトピー同値であり、Whiteheadの定理により $C_f$ は可縮である。$\square$

要点：$C_\iota$ の $H_1$ は完全列で $\tilde H_0(A)$ に一致し、$X/A$ はハワイの耳飾りである。