正規底定理

行ベクトル $(d_1,\dots,d_n)\in L^n$ がすべての $j$ について $\sum_id_i\sigma_i(\beta_j)=0$ を満たすとする。$\sigma_i$ は $K$ 線形なので、$x=\sum_jc_j\beta_j$（$c_j\in K$）について $\sum_id_i\sigma_i(x)=\sum_jc_j\sum_id_i\sigma_i(\beta_j)=0$ であり、これはすべての $x\in L$ で成り立つ。$\sigma_1,\dots,\sigma_n$ は相異なる体の準同型 $L\to L$ なので、Dedekindの独立性定理(指標) の系「体の準同型の線形独立性」により $d_1=\dots=d_n=0$ である。行列の左からの零化ベクトルが $0$ だけなので、行列は可逆である。$\square$

2 ⇒ 1：$c_1,\dots,c_n\in K$ が $\sum_jc_j\sigma_j(\alpha)=0$ を満たすとする。各 $i$ について $\sigma_i^{-1}$ を施すと、$c_j\in K$ は固定されるので $\sum_jc_j\,\sigma_i^{-1}\sigma_j(\alpha)=0$ である。これは列ベクトル $(c_j)$ が行列 $(\sigma_i^{-1}\sigma_j(\alpha))$ で $0$ に移ることを言っているので、2 から $c_1=\dots=c_n=0$ である。よって $\sigma_1(\alpha),\dots,\sigma_n(\alpha)$ は相異なり一次独立で、$n=\dim_KL$ 個あるので基底である。
1 ⇒ 2：$\beta_j:=\sigma_j(\alpha)$ は $L$ の基底なので、lem-normal-basis-matrix により $A:=(\sigma_i\sigma_j(\alpha))_{i,j}$ は可逆である。$i\mapsto\sigma_i^{-1}$ は $G$ の全単射なので、行列 $(\sigma_i^{-1}\sigma_j(\alpha))_{i,j}$ は $A$ の行を並べ替えたものであり、行列式は $\pm\det A\ne0$ である。$\square$

要点：変数の個数についての帰納法で、$1$ 変数の多項式の根が有限個であることに帰着させる。

$K$ が無限体であるとする。$L$ の $K$ 上の基底 $\beta_1,\dots,\beta_n$ を一つとり、変数 $y_1,\dots,y_n$ について $L[y_1,\dots,y_n]$ の $1$ 次式
$$ \ell_\sigma(y):=\sum_{k=1}^ny_k\,\sigma(\beta_k)\qquad(\sigma\in G) $$
を作る。$a=(a_1,\dots,a_n)\in K^n$ を代入すると、$\sigma$ が $K$ 線形なので $\ell_\sigma(a)=\sigma(\alpha_a)$（$\alpha_a:=\sum_ka_k\beta_k$）である。
前の節の多項式 $h(X)=\det(X_{\sigma_i^{-1}\sigma_j})_{i,j}$ に $X_\sigma=\ell_\sigma(y)$ を代入した多項式を $H(y)\in L[y_1,\dots,y_n]$ とすると、$H(a)=\det(\sigma_i^{-1}\sigma_j(\alpha_a))$ である。$H(a)\ne0$ となる $a\in K^n$ があれば、prop-normal-basis-det により $\alpha_a$ は正規元である。lem-normal-basis-polynomial（$E=L$、$S=K$）により、$H\ne0$ を示せば十分である。
要点：$h$ は単位行列を値にとるので $0$ でなく、$H$ は $h$ を可逆な $1$ 次の変数変換で書き直したものなので $0$ でない。

$\sigma$ を $n$ 次元 $K$ ベクトル空間 $L$ の $K$ 線形変換とみて、その最小多項式を $m_\sigma$ と書く（最小多項式(線形代数) の定義「線形写像の最小多項式」）。$\sigma^n=\mathrm{id}$ なので $m_\sigma$ は $X^n-1$ を割る（同じ記事の命題「零化多項式は最小多項式の倍数」）。一方、$\mathrm{id},\sigma,\dots,\sigma^{n-1}$ は $G$ の相異なる元なので、Galois拡大 の補題「Dedekindの独立性補題」により $L$ 上で、したがって $K$ 上で一次独立であり、次数が $n$ 未満の $0$ でない $g\in K[X]$ について $g(\sigma)\ne0$ である。よって $m_\sigma=X^n-1$ である。
$\sigma$ の固有多項式 $\chi_\sigma$ は次数 $n$ のモニック多項式で、$m_\sigma$ で割り切れるので（Cayley–Hamiltonの定理 により $\chi_\sigma(\sigma)=0$ であり、最小多項式(線形代数) の命題「零化多項式は最小多項式の倍数」による）、$\chi_\sigma=m_\sigma$ である。$L$ の基底による $\sigma$ の表現行列に 有理標準形 の系「巡回ベクトルをもつ行列」の 3 ⇒ 1 を当てると、$\alpha,\sigma(\alpha),\dots,\sigma^{n-1}(\alpha)$ が $L$ の $K$ 上の基底になる $\alpha\in L$ がある。$G=\{\mathrm{id},\sigma,\dots,\sigma^{n-1}\}$ なので、これは正規底である。$\square$

$K$ が有限体なら、$L$ は $K$ 上有限次なので有限体である。有限体 の定理「有限体の自己同型群」により $\operatorname{Aut}(L)$ は Frobenius 自己同型で生成される巡回群であり、その部分群 $G$ も巡回群である（巡回群 の命題「巡回群の部分群は巡回群」）。prop-normal-basis-cyclic により $L/K$ は正規底をもつ。$\square$

thm-normal-basis により正規元 $\alpha$ をとる。写像
$$ \Psi\colon\operatorname{Map}(G,K)\to L,\qquad \xi\mapsto\sum_{\rho\in G}\xi(\rho)\,\rho^{-1}(\alpha) $$
は、$\rho^{-1}(\alpha)$（$\rho\in G$）が $L$ の基底なので $K$ 線形な全単射である。$\operatorname{Map}(G,K)$ に $(\sigma\xi)(\tau):=\xi(\tau\sigma)$ で $G$ を作用させると、$\rho':=\rho\sigma$ と置き換えて
$$ \Psi(\sigma\xi)=\sum_{\rho}\xi(\rho\sigma)\,\rho^{-1}(\alpha)=\sum_{\rho'}\xi(\rho')\,\sigma\rho'^{-1}(\alpha)=\sigma\bigl(\Psi(\xi)\bigr) $$
なので、$\Psi$ は $G$ 加群の同型である。Tateコホモロジー の命題「誘導加群のTateコホモロジーの消滅」により $\hat H^n(G,\operatorname{Map}(G,K))=0$ である。$n\ge1$ では $\hat H^n=H^n$ である（同じ記事の定義「Tateコホモロジー」）。$\square$

Galois理論の基本定理 の定理「Galois理論の基本定理」により、$F/K$ は Galois 拡大で、制限 $\sigma\mapsto\sigma|_F$ は同型 $G/H\cong\operatorname{Gal}(F/K)$ を与え、$[F:K]=[G:H]$ である。$\beta$ は $H$ の元で固定されるので $F$ に属する。$\sigma\in G$ について $\sigma(\beta)=\sum_{\rho\in\sigma H}\rho(\alpha)$ は剰余類 $\sigma H$ の上の和であり、$\sigma|_F$ は剰余類 $\sigma H$ だけで決まる。
相異なる剰余類 $C_1,\dots,C_r$（$r=[G:H]$）について $\sum_kc_k\sum_{\rho\in C_k}\rho(\alpha)=0$（$c_k\in K$）とする。剰余類は互いに交わらないので、左辺は基底 $\{\rho(\alpha)\}_{\rho\in G}$ の 1 次結合で、$\rho(\alpha)$（$\rho\in C_k$）の係数が $c_k$ である。よってすべての $c_k=0$ である。したがって $F/K$ の Galois 群の元による $\beta$ の像 $r$ 個は相異なり一次独立で、$r=[F:K]$ なので基底である。
$H=G$ とすると $F=K$ で、$\beta=\sum_\sigma\sigma(\alpha)$ は $K/K$ の正規元、すなわち $0$ でない。この和が $\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha)$ であることは 体のノルムとトレース の定理「埋め込みによる表示」による。$\square$

群環 の例「巡回群の群環」の 1 により $X\mapsto\sigma$ は環の同型 $R\cong K[G]$ を与えるので、以下 $K[G]$ を $R$ と同一視する。$R$ は可換環である。$\varphi_{\alpha_0}\colon R\to L$ は同型なので、$L$ の元は $u\alpha_0$（$u\in R$）とただ一通りに書ける。$x\in R$ について $\varphi_{u\alpha_0}(x)=x(u\alpha_0)=(xu)\alpha_0=\varphi_{\alpha_0}(xu)$ なので、$\varphi_{u\alpha_0}=\varphi_{\alpha_0}\circ m_u$（$m_u$ は $u$ 倍写像）である。よって $u\alpha_0$ が正規元であることは、$m_u\colon R\to R$ が全単射であることと同値である。
$u$ が単数なら $m_{u^{-1}}$ が逆写像である。逆に $m_u$ が全単射なら $xu=1$ となる $x$ があり、$u$ は単数である。$u$ を $g\in K[X]$ の類とすると、$g$ と $X^n-1$ が互いに素なら $ag+b(X^n-1)=1$ となる $a,b\in K[X]$ があって $u$ は単数であり、逆に $u$ が単数なら $ag\equiv1\pmod{X^n-1}$ となる $a$ があり、$g$ と $X^n-1$ の公約式は $1$ を割るので定数である。$\square$