除外点位相

同義語：excluded point topology

概要

前提知識: 位相空間, 閉包, 分離公理, コンパクト空間

除外点位相（excluded point topology）とは、集合 $X$ の一点 $p$ を固定し、$X$ 自身と、$p$ を含まない部分集合の全体を開集合とする位相である。$p$ の近傍は $X$ だけであり、$p$ 以外の点はすべて開集合 $\{q\}$ をなす。その結果、空間全体はコンパクトで連結なのに、$p$ を除くと離散空間が残る。二点以上の集合では、$T_0$ で正規性条件と遺伝正規性条件を満たすが $T_1$ でなく、閉な一点 $\{p\}$ が $G_\delta$ 集合にならない、弧状連結だが弧連結でない、などの反例を与える。
以下、記号 $p$ はつねにこの特別な点を表し、$q,r$ は $p$ と異なる点を表す。

定義

一点を含まない集合を開集合とする位相

$X$ を空でない集合、$p\in X$ とする。
$$\tau^p:=\{X\}\cup\{U\subset X\mid p\notin U\}$$
を $X$ 上の除外点位相（excluded point topology）という。

$\tau^p$ が位相であることは次のように確かめられる。$\emptyset$ は $p$ を含まず、$X$ は定義により $\tau^p$ に属する。開集合の族の合併は、$X$ を含めば $X$、含まなければ $p$ を含まない。二つの開集合の共通部分は、一方が $X$ なら他方そのもの、そうでなければ $p$ を含まない。
除外点位相の開集合は、同じ点 $p$ についての特定点位相の閉集合（$X$ と $p$ を含まない集合）とちょうど同じ族である。つまり特定点位相の開集合と閉集合の役割を入れ替えたものが除外点位相である。
$X=\{p,q\}$ のとき、開集合は $\emptyset,\{q\},X$ であり、$q\mapsto1$、$p\mapsto0$ で Sierpiński空間と同相になる。この場合は特定点位相（特定点 $q$）とも一致する。三点以上のとき、除外点位相はどの特定点位相とも同相でない（下の thm-ept-connected の 4 と、特定点位相が既約であること）。以下では、各主張に必要な台集合の大きさ（二点以上か三点以上か）を個別に書く。

直感

$p$ は「どの開集合にも入れない点」である。$p$ を含む開集合は $X$ だけなので、$p$ に近づくことはどの点からも自由にでき、どんな点列も $p$ に収束する。一方 $p$ 以外の点は孤立していて、互いに完全に切り離されている。$p$ が全体をつなぐ一点の「蝶番」になっていて、それを外すとばらばらの点だけが残る。

閉集合と閉包

閉集合・閉包・導集合

$X$ に除外点位相 $\tau^p$ を入れる。

閉集合は、$\emptyset$ と、$p$ を含むすべての部分集合である。
$\overline{\emptyset}=\emptyset$ であり、空でない $A\subset X$ について $\overline{A}=A\cup\{p\}$ である。
部分空間 $X\setminus\{p\}$ は開集合で、相対位相は離散位相である。各 $q\neq p$ について $\{q\}$ は開集合であり、$p$ の近傍は $X$ だけである。
$A\subset X$ の導集合 $A'$ は、$A\setminus\{p\}\neq\emptyset$ なら $\{p\}$、そうでなければ $\emptyset$ である。
$D\subset X$ が稠密であることと、$X\setminus\{p\}\subset D$ かつ $D\neq\emptyset$ であることは同値である。

補集合が開集合であることは、補集合が $X$（もとの集合が空）か、$p$ を含まない（もとの集合が $p$ を含む）ことと同値である。
空でない $A$ について $A\cup\{p\}$ は $A$ を含む閉集合であり、$A$ を含む閉集合は空でないので $p$ を含む。
$X\setminus\{p\}$ の部分集合はどれも $p$ を含まないので $X$ の開集合であり、とくに相対開集合である。$p$ を含む開集合は $X$ だけである。
$q\neq p$ は開近傍 $\{q\}$ が $A\setminus\{q\}$ と交わらないので、どの $A$ の導集合にも属さない。$p$ の近傍は $X$ だけなので、$p\in A'$ と $A\setminus\{p\}\neq\emptyset$ は同値である。
稠密なら各開集合 $\{q\}$（$q\neq p$）と交わるので $X\setminus\{p\}\subset D$ であり、$\overline{\emptyset}=\emptyset$ なので $D\neq\emptyset$ である。逆はこのとき 2 より $\overline{D}=D\cup\{p\}=X$ となる。$\square$

分離公理

分離公理の名前は分離公理の記事に従う。正則性条件・正規性条件・遺伝正規性条件・完全正規性条件には $T_1$ を含めない。部分集合 $A,B$ が分離されているとは $\overline{A}\cap B=A\cap\overline{B}=\emptyset$ であることをいう。

分離された二集合の判定

$X$ に除外点位相 $\tau^p$ を入れる。$A,B\subset X$ が分離されていることは、「$A=\emptyset$ または $B=\emptyset$、あるいは $A,B$ が $X\setminus\{p\}$ の互いに素な部分集合であること」と同値である。とくに $A,B$ がともに空でないとき、分離されていることと、$A,B$ が $X\setminus\{p\}$ の互いに素な部分集合であることは同値である。

一方が空なら、$\overline{\emptyset}=\emptyset$ なので二つの共通部分はともに空である。ともに空でないとき、prop-ept-closure の 2 より $\overline{A}\cap B=(A\cap B)\cup(\{p\}\cap B)$、$A\cap\overline{B}=(A\cap B)\cup(A\cap\{p\})$ なので、両方が空であることは $A\cap B=\emptyset$、$p\notin A$、$p\notin B$ と同値である。$\square$

一方が空の場合を除くことは省けない。$A=\emptyset$、$B=\{p\}$ は分離されているが、$B$ は $X\setminus\{p\}$ に含まれない。

分離公理の成否

$X$ に除外点位相 $\tau^p$ を入れ、$|X|\ge2$ とする。

$X$ は $T_0$ であるが、$T_1$ でも $T_2$ でもなく、正則性条件を満たさない。
$X$ は正規性条件と遺伝正規性条件を満たす。
$\{p\}$ は閉集合だが $G_\delta$ 集合でない。とくに $X$ は完全正規性条件を満たさない。
$|X|\ge3$ のとき、ともに空でない分離された二集合 $\{q\}$、$\{r\}$（$q\neq r$）があり、2 の遺伝正規性条件は空でない組に対しても実際に働く。

相異なる二点の少なくとも一方 $q$ は $p$ と異なり、開集合 $\{q\}$ がその点だけを含むので $T_0$ である。$p$ を含み $q$ を含まない開集合はないので $T_1$ でない。$p$ の開近傍は $X$ だけなので、$q$ の開近傍と交わり、$T_2$ でない。閉集合 $\{p\}$ と点 $q\notin\{p\}$ について、$\{p\}$ を含む開集合は $X$ だけなので、正則性条件も成り立たない。
空でない閉集合はすべて $p$ を含むので、互いに素な閉集合 $A,B$ の一方は空であり、$A=\emptyset$ なら開集合 $\emptyset$ と $X$ で分けられる（$B=\emptyset$ も同様）。分離された二集合の一方が空なら同様に分けられる。ともに空でなければ、prop-ept-separated により $A,B$ は $p$ を含まない互いに素な集合なので、それ自身が互いに素な開集合である。
$\{p\}$ は $p$ を含むので閉集合である。$\{p\}=\bigcap_nU_n$ と開集合の可算個の共通部分で書けたとすると、各 $U_n$ は $p$ を含むので $X$ に等しく、共通部分は $X\neq\{p\}$ になる。$\square$

2 と 3 から、正規性条件を満たしても閉集合が $G_\delta$ 集合とは限らない。つまり完全正規性条件の後半（閉集合がすべて $G_\delta$）は正規性条件から出ない。また遺伝正規性条件を満たす $T_1$ 空間は正規性条件を満たす $T_1$ 空間、すなわち $T_4$ 空間なので Hausdorff である（分離公理の定理「$T_4$ から $T_0$ までの含意」）が、$|X|\ge2$ の除外点位相は $T_0$ で遺伝正規性条件を満たすのに Hausdorff でない。$T_1$ を $T_0$ に弱めると、この含意は成り立たない。

コンパクト性と連結性

空でない閉集合がどれも交わる空間を ultraconnected という。空でない開集合がどれも交わる空間は既約空間（hyperconnected ともいう）である。連結な空間 $X$ の点 $x$ について $X\setminus\{x\}$ が完全不連結空間であるとき、$x$ を $X$ の分散点（dispersion point）という。

コンパクト性・連結性・道

$X$ に除外点位相 $\tau^p$ を入れる。

$X$ はコンパクト空間である。
$X$ は連結空間であり、ultraconnected である。
任意の $a,b\in X$ に対し、$t<1/2$ で $a$、$t=1/2$ で $p$、$t>1/2$ で $b$ をとる $f\colon[0,1]\to X$ は連続である。とくに $X$ は弧状連結である。
$|X|\ge3$ なら $X$ は既約でない。
$|X|\ge2$ なら、$[0,1]$ から $X$ への連続な単射は存在しない。とくに相異なる二点を結ぶ弧はなく、$X$ は弧連結でない。
$\{X\}\cup\{\{q\}\mid q\neq p\}$ は弧状連結な開集合からなる開基であり、$X$ は局所弧状連結である。一方 $|X|\ge2$ なら、$p$ は弧連結な近傍をもたない。
$X$ は散在的（空でない部分集合がどれも孤立点をもつ。孤立点）である。
$|X|\ge2$ なら、$p$ は $X$ の分散点である。

開被覆は $p$ を覆う元を含み、それは $X$ なので、その一枚が有限部分被覆である。
$X=U\cup V$ を互いに素な開集合への分割とすると、$p$ を含むほうは $X$ で、もう一方は空である。空でない閉集合はすべて $p$ を含むので、どの二つも交わる。
$p$ を含まない開集合 $U$ について、$f^{-1}(U)$ は、$a\in U$ なら $[0,1/2)$ を、$b\in U$ なら $(1/2,1]$ を集めたもので、$[0,1]$ の開集合である（$a$ や $b$ が $p$ のときは $U$ に含まれないので該当しない）。$U=X$ なら逆像は $[0,1]$ である。
相異なる $q,r\neq p$ について、$\{q\}$ と $\{r\}$ は互いに素な空でない開集合である。
連続な単射 $g\colon[0,1]\to X$ があったとすると、像は二点以上なので $p$ と異なる点 $q=g(t)$ を含む。$\{q\}$ は開集合なので $g^{-1}(\{q\})=\{t\}$ は $[0,1]$ の開集合になるが、$[0,1]$ の一点集合は開集合でない。弧（弧状連結空間の定義「弧連結性」）は連続な単射なので、相異なる二点を結ぶ弧もない。
$p$ の近傍は $X$ だけであり、$q\neq p$ の開近傍はすべて $\{q\}$ を含むので、この族は開基である。$X$ は 3 により、一点集合は定値の道により弧状連結である。$p$ の近傍は $X$ だけで、5 により弧連結でない。
空でない $A$ が $q\neq p$ を含めば、$\{q\}\cap A=\{q\}$ が相対開集合なので $q$ は孤立点である。そうでなければ $A=\{p\}$ で、一点の空間の点は孤立点である。
2 により $X$ は連結である。$X\setminus\{p\}$ は離散空間（prop-ept-closure の 3）なので、二点以上の部分集合は一点とその補集合に分けられ、完全不連結である。$\square$

一点への収縮

$H\colon X\times[0,1]\to X$ を、$t<1$ で $H(x,t)=x$、$t=1$ で $H(x,1)=p$ と定める。$p$ を含まない開集合 $U$ の逆像は $U\times[0,1)$、$X$ の逆像は $X\times[0,1]$ で、どちらも積位相の開集合なので $H$ は連続である。$H(p,t)=p$ なので、$\{p\}$ は $X$ の強変位レトラクト（変位レトラクト）であり、$X$ は可縮空間である。弧連結でない（thm-ept-connected の 5）のに可縮である。

$|X|\ge3$ の除外点位相は、ultraconnected だが既約でない。特定点位相の三点以上の場合は逆に、既約だが ultraconnected でない。どちらも散在的で連結なので、$T_1$ を仮定しなければ「散在的なら完全不連結」は成り立たない（$T_1$ 空間では、二点以上の連結集合 $C$ の孤立点 $x$ について $\{x\}$ が $C$ の開かつ閉な部分集合になるので、成り立つ）。

可算性と点列

可算公理・可分性・点列

$X$ に除外点位相 $\tau^p$ を入れる。

$X$ は第1可算公理を満たす。
$X$ のすべての点列は $p$ に収束する。とくに $X$ は点列コンパクトである。
$X$ が第2可算公理を満たすことと、$X$ が高々可算であることは同値である。
$|X|\ge2$ のとき、$X$ が可分空間であることと、$X$ が高々可算であることは同値である。

$p$ の局所基として $\{X\}$、$q\neq p$ の局所基として $\{\{q\}\}$ がとれる。
$p$ の近傍は $X$ だけなので、どの点列も最初の項から $p$ の近傍に入る。部分列も $p$ に収束する。
$X$ が高々可算なら thm-ept-connected の 6 の開基は高々可算である。逆に $\mathcal{B}$ を開基とすると、$q\neq p$ について開集合 $\{q\}$ の点 $q$ に対し $q\in B\subset\{q\}$ となる $B\in\mathcal{B}$ が要るので $\{q\}\in\mathcal{B}$ である。よって $q\mapsto\{q\}$ は $X\setminus\{p\}$ から $\mathcal{B}$ への単射であり、$\mathcal{B}$ が高々可算なら $X$ も高々可算である。
prop-ept-closure の 5 により、稠密な集合は $X\setminus\{p\}$ を含み、逆に $X\setminus\{p\}$ は空でないので稠密である。$\square$

2 はコンパクトで第1可算な空間が点列コンパクトであること（第1可算公理の系「コンパクトならば点列コンパクト」）の具体例でもある。Hausdorff でない空間では点列の極限はただ一つとは限らず、ここでは $p$ がすべての点列の極限になる。
一方、非可算集合 $X$ の除外点位相はコンパクトなので Lindelöf空間だが、開部分空間 $X\setminus\{p\}$ は非可算な離散空間なので Lindelöf でも可分でもない。コンパクト性・Lindelöf 性は閉部分空間には遺伝するが、開部分空間には遺伝しない。

反例の表

外す条件	反例	成り立たなくなること
Hausdorff 性	二点以上の集合 $X$ の除外点位相のコンパクト集合 $\{q\}$	コンパクト集合は閉集合である
部分空間が閉集合であること	無限集合 $X$ の除外点位相の開部分空間 $X\setminus\{p\}$	コンパクト空間の部分空間はコンパクトである
Hausdorff 性	二点以上の集合 $X$ の除外点位相	弧状連結なら弧連結である
$T_1$（$T_0$ は残す）	二点以上の集合 $X$ の除外点位相	遺伝正規性条件を満たせば Hausdorff である
$T_1$	二点以上の集合 $X$ の除外点位相	散在的な空間は完全不連結である
距離化可能性	二点以上の集合 $X$ の除外点位相	閉集合は $G_\delta$ 集合である

1 行目は $\{q\}$ が有限なのでコンパクトで、$p$ を含まないので閉でないこと（prop-ept-closure の 1）、2 行目は thm-ept-connected の 1 と prop-ept-closure の 3、3 行目は thm-ept-connected の 3・5、4 行目は thm-ept-separation の 1・2、5 行目は thm-ept-connected の 2・7、6 行目は thm-ept-separation の 3 による（距離空間では閉集合は $G_\delta$ 集合である：Gδ集合の命題「距離空間の閉集合は $G_\delta$-集合」）。