Grothendieck–Riemann–Rochの定理
概要
Grothendieck–Riemann–Rochの定理（Grothendieck–Riemann–Roch theorem）とは、代数閉体上の非特異な準射影多様体の間の滑らかな射影射 $f\colon X\to Y$ と $x\in K(X)$ について、高次順像の交代和 $f_!$ と Chern 指標、相対接層の Todd 類の間に $\operatorname{ch}(f_!x)=f_*(\operatorname{ch}(x)\operatorname{td}(\mathcal T_f))$ が $A(Y)_{\mathbb Q}$ で成り立つという定理である。$Y$ が 1 点なら Euler 標数を表す Hirzebruch–Riemann–Roch の定理になり、曲線では Riemann–Roch の定理になる。射影空間の直線束や曲線のベクトル束では等式を直接確かめられる。
前提知識: Chern類, Grothendieck群, Chow環, Riemann–Rochの定理, 層コホモロジー
Grothendieck–Riemann–Roch の定理（Grothendieck–Riemann–Roch theorem）は、非特異な多様体の射 $f\colon X\to Y$ に沿って、連接層の高次順像の交代和 $f_!$ と Chow 環の押し出し $f_*$ が、Chern 指標 $\operatorname{ch}$ と Todd 類 $\operatorname{td}$ でどう比べられるかを述べる定理である。$Y$ が 1 点なら、$f_!$ は Euler 標数 $\chi(X,\mathcal E)=\sum_i(-1)^i\dim H^i(X,\mathcal E)$ を与え、定理は Hirzebruch–Riemann–Roch の定理 $\chi(X,\mathcal E)=\deg\bigl(\operatorname{ch}(\mathcal E)\operatorname{td}(\mathcal T_X)\bigr)_n$ になる。曲線ではこれが古典的な Riemann–Rochの定理 である。Todd 類は「押し出しと Chern 指標が交換しないずれ」を測る補正項として現れる。
この記事では、Grothendieck 群、Chern 指標、Todd 類、$f_!$ を定めて定理を述べる（定理そのものはこの記事では証明しない）。完全に証明するのは次の 3 つの場合である。射影空間 $\mathbb P^n$ の上の $\mathcal O(m)$ についての Hirzebruch–Riemann–Roch の等式（形式的な留数の変数変換による）、滑らかな因子への閉埋め込みについての等式（Todd 類の逆数が現れる理由が見える）、曲線の上のベクトル束についての等式 $\chi(\mathcal E)=\deg\mathcal E+r(1-g)$ である。
記号
以下 $k$ を代数閉体とし、多様体は $k$ 上の非特異な準射影多様体とする。$A(X)=\bigoplus_rA^r(X)$ を $X$ の Chow環（余次元 $r$ のサイクルの有理同値類）、$A(X)_{\mathbb Q}:=A(X)\otimes\mathbb Q$ とし、$X$ が射影的なら $\deg\colon A^n(X)\to\mathbb Z$（$n=\dim X$）を $0$ サイクルの次数とする。射 $f\colon X\to Y$ について引き戻し $f^*\colon A(Y)\to A(X)$ は環準同型であり、$f$ が固有なら押し出し $f_*\colon A(X)\to A(Y)$ が定まって射影公式 $f_*(f^*y\cdot x)=y\cdot f_*x$ が成り立つ（Har77 Appendix A, A1–A4、p. 426）。局所自由層 $\mathcal E$ の Chern 類 $c_i(\mathcal E)\in A^i(X)$ は Chern類 のとおりで、可逆層 $\mathcal O(D)$ について $c_1=[D]$、引き戻しと可換、短完全列について $c_t(\mathcal E)=c_t(\mathcal E')c_t(\mathcal E'')$ である（同 C1–C3、p. 430）。
階数 $r$ の局所自由層 $\mathcal E$ の Chern 根を $a_1,\dots,a_r$（$c_t(\mathcal E)=\prod_i(1+a_it)$ の形式的な因数分解）とし、
$$
\operatorname{ch}(\mathcal E):=\sum_{i=1}^re^{a_i},\qquad\operatorname{td}(\mathcal E):=\prod_{i=1}^r\frac{a_i}{1-e^{-a_i}}
$$
を $A(X)_{\mathbb Q}$ の元として定める（$a_i$ の対称式なので Chern 類の多項式として意味をもつ）。それぞれ Chern 指標、Todd 類という。$\operatorname{td}(X):=\operatorname{td}(\mathcal T_X)$（$\mathcal T_X$ は接層）と書く。
可逆層 $\mathcal L$ について $\operatorname{ch}(\mathcal L)=e^{c_1(\mathcal L)}$、$\operatorname{td}(\mathcal L)=c_1(\mathcal L)/(1-e^{-c_1(\mathcal L)})=1+\tfrac12c_1+\tfrac1{12}c_1^2+\cdots$ である。Chern 根の計算から、短完全列 $0\to\mathcal E'\to\mathcal E\to\mathcal E''\to0$ について $\operatorname{ch}(\mathcal E)=\operatorname{ch}(\mathcal E')+\operatorname{ch}(\mathcal E'')$、$\operatorname{td}(\mathcal E)=\operatorname{td}(\mathcal E')\operatorname{td}(\mathcal E'')$、また $\operatorname{ch}(\mathcal E\otimes\mathcal F)=\operatorname{ch}(\mathcal E)\operatorname{ch}(\mathcal F)$ が成り立つ（Har77 Appendix A §4、pp. 431–432、Chern類 の注意「Chern指標・Todd類の性質とRiemann–Roch」）。
$X$ の連接層の Grothendieck群 を $K(X)$ とする。$X$ は非特異なので、$K(X)$ は局所自由層の類で生成され、テンソル積で環になり、$\operatorname{ch}$ は環準同型 $K(X)\to A(X)_{\mathbb Q}$ に延びる。固有射 $f\colon X\to Y$ について、連接層 $\mathcal F$ に対し
$$
f_!\mathcal F:=\sum_{i\ge0}(-1)^i[R^if_*\mathcal F]\in K(Y)
$$
とおくと、高次順像の長完全列により加法的な写像 $f_!\colon K(X)\to K(Y)$ が定まる。
$K(X)$ が局所自由層で生成されることと環構造、$\operatorname{ch}$ の延長、$f_!$ の定義は Har77 Appendix A §5（pp. 435–436）に述べられている。$Y=\operatorname{Spec}k$ なら $K(Y)=\mathbb Z$（次元）であり、$f_!\mathcal F=\chi(X,\mathcal F)$ である。
定理
$f\colon X\to Y$ を非特異な準射影多様体の間の滑らかな射影射とし、$\mathcal T_f$ を相対接層とする。すべての $x\in K(X)$ について、$A(Y)_{\mathbb Q}$ で
$$
\operatorname{ch}(f_!x)=f_*\bigl(\operatorname{ch}(x)\cdot\operatorname{td}(\mathcal T_f)\bigr)
$$
が成り立つ。
この定理はこの記事では証明しない。主張は Har77 Appendix A, Theorem 5.3（p. 436）にあり、同書は Borel と Serre の論文を出典に挙げている。$f$ が滑らかなら完全列 $0\to\mathcal T_f\to\mathcal T_X\to f^*\mathcal T_Y\to0$ があり、$\operatorname{td}$ の乗法性から $\operatorname{td}(X)=\operatorname{td}(\mathcal T_f)\cdot f^*\operatorname{td}(Y)$ となる。射影公式を使い、$\operatorname{td}(Y)$ が可逆であることに注意すると、定理の式は
$$
\operatorname{ch}(f_!x)\cdot\operatorname{td}(Y)=f_*\bigl(\operatorname{ch}(x)\cdot\operatorname{td}(X)\bigr)
$$
と同値である。複素数体上では、射影的な複素多様体の間の任意の正則写像（閉埋め込みを含む）について、同じ式がコホモロジー環 $H^*(Y,\mathbb Q)$ で成り立つ（Hir66 Appendix One, Theorem 23.4.3、p. 172）。さらに一般の形（豊富な可逆層をもつ Noether スキームへの射影的な局所完全交叉射）への拡張は Har77 p. 436 が解説している。
Hirzebruch–Riemann–Roch の定理．$Y=\operatorname{Spec}k$、$X$ が $n$ 次元の非特異射影多様体なら、$f_*$ は $A^n(X)$ の次数をとる写像で、定理は局所自由層 $\mathcal E$ について
$$
\chi(X,\mathcal E)=\deg\bigl(\operatorname{ch}(\mathcal E)\operatorname{td}(X)\bigr)_n
$$
となる（Har77 Appendix A, Theorem 4.1、p. 432）。$(\ )_n$ は $A^n(X)_{\mathbb Q}$ の成分である。曲面では Noether の公式 $\chi(\mathcal O_X)=\tfrac1{12}(K^2+c_2)$ が出る（同 Example 4.1.2、p. 433、Noetherの公式）。Todd 類の分母のため、等式は一般に $A(X)_{\mathbb Q}$ でしか意味をもたない。たとえば $\operatorname{td}(\mathbb P^2)=1+\tfrac32h+h^2$（$h$ は直線の類）である。
射影空間の上の直線束
$\mathbb P^n$（$n\ge1$）の超平面の類を $h\in A^1(\mathbb P^n)$ とすると $A(\mathbb P^n)=\mathbb Z[h]/(h^{n+1})$、$\deg h^n=1$ である（Har77 Appendix A, Example 2.0.1、p. 429）。整数 $m$ について $\binom{n+m}{n}:=(m+1)(m+2)\cdots(m+n)/n!$ と書く（$m$ の $n$ 次多項式）。
$n\ge1$ とする。すべての整数 $m$ について
$$
\chi(\mathbb P^n,\mathcal O(m))=\binom{n+m}{n}=\deg\bigl(\operatorname{ch}(\mathcal O(m))\operatorname{td}(\mathbb P^n)\bigr)_n
$$
が成り立つ。
左の等式．$H^i(\mathbb P^n,\mathcal O(m))$ は、$i=0$ では $m$ 次斉次多項式の空間で次元 $\binom{n+m}{n}$（$m\ge0$）、$0< i< n$ では $0$、$i=n$ では $H^0(\mathcal O(-m-n-1))$ の双対である（Har77 III, Theorem 5.1、p. 225）。$m\ge0$ なら $H^n=0$ で $\chi=\binom{n+m}{n}$。$-n\le m\le-1$ ならすべて $0$ であり、積 $(m+1)\cdots(m+n)$ も因子 $m+j$（$j=-m$）が $0$ なので $0$ である。$m\le-n-1$ なら $\chi=(-1)^n\binom{-m-1}{n}=(-1)^n(-m-1)(-m-2)\cdots(-m-n)/n!=\binom{n+m}{n}$ である。
右辺の計算．Euler 完全列 $0\to\mathcal O\to\mathcal O(1)^{n+1}\to\mathcal T_{\mathbb P^n}\to0$（Har77 II, Theorem 8.13、p. 176 の双対）と $\operatorname{td}$ の乗法性、$\operatorname{td}(\mathcal O)=1$ から $\operatorname{td}(\mathbb P^n)=\bigl(h/(1-e^{-h})\bigr)^{n+1}$ であり、$\operatorname{ch}(\mathcal O(m))=e^{mh}$ である。したがって右辺は、$h$ の形式的冪級数 $e^{mh}\bigl(h/(1-e^{-h})\bigr)^{n+1}$ の $h^n$ の係数、すなわち Laurent 級数
$$
F(h):=\frac{e^{mh}}{(1-e^{-h})^{n+1}}
$$
の $h^{-1}$ の係数 $\operatorname{Res}_hF$ である。
変数変換．$u(h):=1-e^{-h}=h-\tfrac12h^2+\cdots$ は位数 $1$ の冪級数である。Laurent 級数 $G(u)$ について
$$
\operatorname{Res}_h\,G(u(h))\,u'(h)=\operatorname{Res}_u\,G(u)\qquad(*)
$$
が成り立つ。実際、両辺は $G$ について線形で、正の冪の項は両辺に寄与しないので $G=u^j$（$j< 0$）で確かめればよい。$j\ne-1$ なら $u^ju'=\bigl(u^{j+1}/(j+1)\bigr)'$ は Laurent 級数の微分で $h^{-1}$ の項をもたない。$j=-1$ なら $u=hv$（$v(0)=1$）と書けて $u'/u=1/h+v'/v$、$v'/v$ は冪級数なので留数は $1$ である。
$u'(h)=e^{-h}=1-u$、$e^{mh}=(1-u)^{-m}$ なので $F(h)=G(u(h))u'(h)$、$G(u):=(1-u)^{-m-1}u^{-n-1}$ である。$(*)$ により $\operatorname{Res}_hF$ は $(1-u)^{-m-1}$ の $u^n$ の係数であり、一般の二項展開 $(1-u)^{-m-1}=\sum_{j\ge0}\frac{(m+1)(m+2)\cdots(m+j)}{j!}u^j$ から $\binom{n+m}{n}$ である。$\square$
滑らかな因子への埋め込み
Todd 類がなぜ現れるかは、閉埋め込みの場合に見える。$Y$ を非特異射影多様体、$S\subset Y$ を非特異な既約因子、$j\colon S\to Y$ を包含とし、$h:=[S]=c_1(\mathcal O_Y(S))\in A^1(Y)$ とおく。$S$ のイデアル層は $\mathcal O_Y(-S)$ であり（Har77 II, Proposition 6.18、p. 145）、法束は $\mathcal N:=j^*\mathcal O_Y(S)$、$c_1(\mathcal N)=j^*h$ である。$j$ は閉埋め込みなので $j_!=[j_*(\,\cdot\,)]$ である。
上の状況で、$Y$ 上の局所自由層 $\mathcal F$ と $b:=[j^*\mathcal F]\in K(S)$ について、$A(Y)_{\mathbb Q}$ で
$$
\operatorname{ch}(j_!b)=j_*\bigl(\operatorname{ch}(b)\cdot\operatorname{td}(\mathcal N)^{-1}\bigr),\qquad\operatorname{ch}(j_!b)\cdot\operatorname{td}(Y)=j_*\bigl(\operatorname{ch}(b)\cdot\operatorname{td}(S)\bigr)
$$
が成り立つ。
冪級数 $\varphi(t):=(1-e^{-t})/t=1-\tfrac12t+\cdots$ を使う。$\operatorname{td}(\mathcal N)^{-1}=\varphi(c_1(\mathcal N))=j^*\varphi(h)$ である（$A(Y)$ は次数が $\dim Y$ を超えると $0$ なので、冪級数への代入は有限和）。
左辺．$\mathcal F$ は局所自由なので、$0\to\mathcal O_Y(-S)\to\mathcal O_Y\to j_*\mathcal O_S\to0$ に $\mathcal F$ をテンソルした $0\to\mathcal F(-S)\to\mathcal F\to j_*j^*\mathcal F\to0$ は完全である。よって $j_!b=[\mathcal F]-[\mathcal F(-S)]$ であり、$\operatorname{ch}(j_!b)=\operatorname{ch}(\mathcal F)(1-e^{-h})$ である。
右辺．$\operatorname{ch}$ は引き戻しと可換なので $\operatorname{ch}(b)=j^*\operatorname{ch}(\mathcal F)$、$j^*$ は環準同型なので $\operatorname{ch}(b)\operatorname{td}(\mathcal N)^{-1}=j^*\bigl(\operatorname{ch}(\mathcal F)\varphi(h)\bigr)$ である。射影公式で $y=\operatorname{ch}(\mathcal F)\varphi(h)$、$x=1_S$ とすると、$j_*1_S=[S]=h$ から
$$
j_*\bigl(\operatorname{ch}(b)\operatorname{td}(\mathcal N)^{-1}\bigr)=\operatorname{ch}(\mathcal F)\,\varphi(h)\,h=\operatorname{ch}(\mathcal F)(1-e^{-h})
$$
となり、1 つ目の等式が出る。
2 つ目の等式．$S$ は非特異なので $0\to\mathcal T_S\to j^*\mathcal T_Y\to\mathcal N\to0$ は完全で、$\operatorname{td}(S)=j^*\operatorname{td}(Y)\cdot\operatorname{td}(\mathcal N)^{-1}$ である。射影公式により $j_*\bigl(\operatorname{ch}(b)\operatorname{td}(S)\bigr)=\operatorname{td}(Y)\cdot j_*\bigl(\operatorname{ch}(b)\operatorname{td}(\mathcal N)^{-1}\bigr)$ であり、1 つ目の等式から従う。$\square$
1 つ目の式は、押し出し $j_*$ と Chern 指標がずれる分が法束の Todd 類の逆数であることを示している。$\operatorname{td}(\mathcal N)^{-1}$ を落とすと、$Y=\mathbb P^2$、$S$ を直線、$\mathcal F=\mathcal O$ としたとき左辺は $1-e^{-h}=h-\tfrac12h^2$、$j_*\operatorname{ch}(\mathcal O_S)=h$ で、次数 $2$ の成分が $-\tfrac12h^2$ だけ食い違う。同じ計算は Hir66 Appendix One, 23.5（pp. 173–174）にコホモロジーの言葉で書かれている。
曲線の上のベクトル束
$C$ を種数 $g$ の非特異射影曲線とする。局所自由層 $\mathcal E$ の次数を $\deg\mathcal E:=\deg c_1(\mathcal E)=\deg(\det\mathcal E)$ と定める。$\mathcal T_C$ は標準層の双対なので $\deg c_1(\mathcal T_C)=2-2g$ であり、$\operatorname{td}(C)=1+\tfrac12c_1(\mathcal T_C)$ から
$$
\deg\bigl(\operatorname{ch}(\mathcal E)\operatorname{td}(C)\bigr)_1=\deg\mathcal E+r(1-g)\qquad(r=\operatorname{rank}\mathcal E)
$$
である。$r=1$ の場合の Hirzebruch–Riemann–Roch は、Riemann–Rochの定理 の定理「Riemann–Rochの定理（Euler 標数の形）」$\chi(\mathcal O_C(D))=\deg D+1-g$ そのものである（非特異曲線の可逆層は因子の層 $\mathcal O_C(D)$ と同型、Har77 II, Corollary 6.16、p. 145）。
種数 $g$ の非特異射影曲線 $C$ の上の階数 $r$ の局所自由層 $\mathcal E$ について
$$
\chi(C,\mathcal E)=\deg\mathcal E+r(1-g)
$$
が成り立つ。すなわち曲線の上では Hirzebruch–Riemann–Roch の定理が成り立つ。
$r$ についての帰納法による。$r=1$ は上で述べた。$r\ge2$ とし、短完全列 $0\to\mathcal L\to\mathcal E\to\mathcal E'\to0$ で $\mathcal L$ が可逆、$\mathcal E'$ が階数 $r-1$ の局所自由層であるものを作る。
$C$ は射影的なので非常に豊富な可逆層 $\mathcal O_C(1)$ があり、$m$ が十分大きければ $\mathcal E(m)$ は大域切断で生成され、特に $0$ でない切断をもつ（Har77 II, Theorem 5.17、p. 121）。それは $0$ でない射 $s\colon\mathcal M:=\mathcal O_C(-m)\to\mathcal E$ を与える。$s$ の核は可逆層 $\mathcal M$ の部分層で、$0$ でなければ $\mathcal M$ の像は捩れ層になるが、局所自由層 $\mathcal E$ は捩れのない部分層しかもたないので像は $0$ となり $s\ne0$ に反する。よって $s$ は単射である。$\mathcal Q:=\mathcal E/\mathcal M$ の捩れ部分層を $\mathcal T$ とし、$\mathcal L$ を $\mathcal T$ の $\mathcal E$ への逆像とする。$\mathcal E/\mathcal L\cong\mathcal Q/\mathcal T$ は捩れのない連接層で、$C$ の局所環は離散付値環なので局所自由であり、階数は $r-1$ である。$\mathcal L$ は局所自由層の部分層なので捩れがなく、$\mathcal M\subset\mathcal L$ で $\mathcal L/\mathcal M=\mathcal T$ は捩れ層なので階数 $1$、したがって可逆である。
$\chi$ は短完全列について加法的であり（Riemann–Rochの定理 の節「Euler 標数の形の Riemann–Roch」）、$\det\mathcal E\cong\mathcal L\otimes\det\mathcal E'$（Har77 II, Exercise 5.16）から $\deg\mathcal E=\deg\mathcal L+\deg\mathcal E'$ である。帰納法の仮定と $r=1$ の場合から
$$
\chi(\mathcal E)=\chi(\mathcal L)+\chi(\mathcal E')=\bigl(\deg\mathcal L+1-g\bigr)+\bigl(\deg\mathcal E'+(r-1)(1-g)\bigr)=\deg\mathcal E+r(1-g)
$$
である。$\square$
例
$f\colon X\to Y$ を非特異射影曲線の間の次数 $d$ の有限射、$\mathcal E$ を $X$ 上の階数 $r$ の局所自由層とし、$g_X,g_Y$ を種数とする。$f$ はアフィン射なので $H^i(Y,f_*\mathcal E)\cong H^i(X,\mathcal E)$ であり（Har77 III, Exercise 4.1、アフィン射）、$f_*\mathcal E$ は捩れのない連接層であり、$Y$ の局所環は離散付値環なので局所自由で、生成点で見ると階数は $dr$ である。thm-grr-curve を両辺に使うと
$$
\deg f_*\mathcal E+dr(1-g_Y)=\deg\mathcal E+r(1-g_X)
$$
を得る。左辺は $\deg\bigl(\operatorname{ch}(f_!\mathcal E)\operatorname{td}(Y)\bigr)_1$、右辺は $\deg\bigl(f_*(\operatorname{ch}(\mathcal E)\operatorname{td}(X))\bigr)_1$ なので、これは rem-grr-main-source の形の Grothendieck–Riemann–Roch の式の両辺の次数が等しいことを表している。$f$ が分離的なら Riemann–Hurwitzの公式 $2g_X-2=d(2g_Y-2)+\deg R$（$R$ は分岐因子）と合わせて $\deg f_*\mathcal E=\deg\mathcal E-\tfrac r2\deg R$、とくに $\deg f_*\mathcal O_X=-\tfrac12\deg R$ となる。
$n=1$ では $\operatorname{td}(\mathbb P^1)=1+h$（$c_1(\mathcal T_{\mathbb P^1})=2h$）、$\operatorname{ch}(\mathcal O(m))=1+mh$ で、$h^1$ の係数は $m+1=\chi(\mathcal O(m))$ である。thm-grr-projective-space の $n=1$ の場合であり、thm-grr-curve の $g=0$、$r=1$ の場合でもある。
反例：仮定を外すと崩れること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| thm-grr-main の「射影的」（固有性） | $f\colon\mathbb A^1_k\to\operatorname{Spec}k$、$x=[\mathcal O]$ | $H^0(\mathbb A^1,\mathcal O)=k[t]$ は無限次元で、$f_!x$ が $K(\operatorname{Spec}k)=\mathbb Z$ の元として定まらない |
| thm-grr-projective-space の Todd 類の補正 | $\mathbb P^n$、$m=0$ | $\deg\operatorname{ch}(\mathcal O)_n=0$ だが $\chi(\mathcal O_{\mathbb P^n})=1$ |
| thm-grr-divisor の $\operatorname{td}(\mathcal N)^{-1}$ | $Y=\mathbb P^2$、$S$ は直線、$\mathcal F=\mathcal O$ | $\operatorname{ch}(j_!b)=h-\tfrac12h^2$ と $j_*\operatorname{ch}(b)=h$ は $A^2$ の成分が異なる |
1 行目では $\mathbb A^1$ 自身は非特異で、$f$ も滑らかであり、外れているのは射影的（固有）であることだけである。2 行目は $\operatorname{td}(\mathbb P^n)$ を $1$ に取り替えた式が $m=0$ で $0\ne1$ となることを示す。
関連項目
- 前提: Chern類, Grothendieck群, Chow環, 層コホモロジー
- 特別な場合: Riemann–Rochの定理, 曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理, Noetherの公式
- 道具: 分裂原理, 射影空間, 法束
- 例: Riemann–Hurwitzの公式, アフィン射
- 発展: 代数的K理論, 交叉理論, Grothendieck双対性
参考文献
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