Spernerの定理

極大鎖 $C_0\subsetneq\cdots\subsetneq C_n$ が $A$ を含むなら、層の数から $C_k=A$ である。そのような極大鎖は、$\emptyset=C_0\subsetneq\cdots\subsetneq C_k=A$ と $A=C_k\subsetneq\cdots\subsetneq C_n=[n]$ の組で決まる。前半は $A$ の元を 1 つずつ加える順序、すなわち $A$ の元の並べ方で決まり $k!$ 通り、後半は $[n]\setminus A$ の元の並べ方で決まり $(n-k)!$ 通りである。$\square$

$A\in\mathcal F$ について、$A$ を含む極大鎖の集合を $\mathcal C_A$ とする。$A\neq B$ が $\mathcal F$ に属するとき、$\mathcal C_A\cap\mathcal C_B=\emptyset$ である。実際、1 本の極大鎖が $A$ と $B$ をともに含めば、鎖の 2 元は比較できるので $A\subset B$ か $B\subset A$ となり、$\mathcal F$ が Sperner 族であることに反する。極大鎖は全部で $n!$ 本なので、lem-sperner-chains-through により
$$ \sum_{A\in\mathcal F}|A|!\,(n-|A|)!=\sum_{A\in\mathcal F}|\mathcal C_A|=\Bigl|\bigcup_{A\in\mathcal F}\mathcal C_A\Bigr|\le n! $$
である。両辺を $n!$ で割れば、$|A|!\,(n-|A|)!/n!=\binom n{|A|}^{-1}$ だから不等式を得る。等号は $\bigcup_{A\in\mathcal F}\mathcal C_A$ が極大鎖の全体であるとき、すなわちすべての極大鎖が $\mathcal F$ の元を含むときに限る。各極大鎖が含む $\mathcal F$ の元は、上の議論により高々 1 つである。$\square$

$0\le k< n$ について
$$ \binom{n}{k+1}\Big/\binom nk=\frac{n-k}{k+1} $$
であり、これは $k<(n-1)/2$（すなわち $k+1\le\lfloor n/2\rfloor$）なら $1$ より大きく、$k=(n-1)/2$ なら $1$、$k>(n-1)/2$（すなわち $k\ge\lceil n/2\rceil$）なら $1$ より小さい。したがって
$$ \binom n0< \binom n1< \cdots< \binom n{\lfloor n/2\rfloor},\qquad\binom n{\lceil n/2\rceil}>\binom n{\lceil n/2\rceil+1}>\cdots>\binom nn $$
であり、$n$ が奇数なら $\binom n{\lfloor n/2\rfloor}=\binom n{\lceil n/2\rceil}$ である。最大値は $k=\lfloor n/2\rfloor,\lceil n/2\rceil$ でだけとられ、その値は $\binom nm$ である（$\binom{n}{\lceil n/2\rceil}=\binom{n}{n-\lceil n/2\rceil}=\binom nm$）。$\square$

$m:=\lfloor n/2\rfloor$ とおく。lem-sperner-unimodal により各 $A\in\mathcal F$ について $\binom n{|A|}^{-1}\ge\binom nm^{-1}$ なので、thm-sperner-lym から
$$ |\mathcal F|\binom nm^{-1}\le\sum_{A\in\mathcal F}\binom n{|A|}^{-1}\le1 $$
となり、不等式を得る。層 $\binom{[n]}{m}$ と $\binom{[n]}{\lceil n/2\rceil}$ は大きさ $\binom nm$ の Sperner 族なので等号を与える。
逆に $|\mathcal F|=\binom nm$ とする。上の 2 つの不等号はともに等号になる。1 つ目の等号と lem-sperner-unimodal から、$\mathcal F$ の元はすべて第 $\lfloor n/2\rfloor$ 層か第 $\lceil n/2\rceil$ 層に属する。2 つ目の等号と thm-sperner-lym から、すべての極大鎖は $\mathcal F$ の元をちょうど 1 つ含む。
$n$ が偶数なら、$\mathcal F\subset\binom{[n]}{m}$ で大きさが等しいので $\mathcal F=\binom{[n]}{m}$ である。
$n=2m+1$ が奇数のとき、$\mathcal F\subset\binom{[n]}{m}\cup\binom{[n]}{m+1}$ である。$\mathcal F$ が第 $m$ 層の元を含まなければ、$\mathcal F\subset\binom{[n]}{m+1}$ で大きさが等しいので $\mathcal F=\binom{[n]}{m+1}$ である。$\mathcal F$ が第 $m$ 層の元 $A$ を含むとする。
$\mathcal F$ の第 $m$ 層の部分は「1 元の入れ替え」で閉じている：$A\in\mathcal F$、$|A|=m$ とし、$A'$ を $|A'|=m$、$|A\cap A'|=m-1$ を満たす集合とする（$A$ の元を 1 つ別の元に入れ替えたもの）。$B:=A\cup A'$ は $m+1$ 元集合で、$A\subsetneq B$ だから $B\notin\mathcal F$ である。$A'\subsetneq B$ なので、$A'$ と $B$ をともに含む極大鎖がある。その極大鎖の第 $m$ 層・第 $m+1$ 層の元は $A'$ と $B$ だけであり、$\mathcal F$ の元はこの 2 層にしかないので、この極大鎖が含む $\mathcal F$ の元は $A'$ か $B$ である。$B\notin\mathcal F$ だから $A'\in\mathcal F$ である。
任意の $m$ 元集合 $D$ は、$A$ から出発して $A\setminus D$ の元を 1 つずつ $D\setminus A$ の元に入れ替えることで、$|A\setminus D|$ 回の入れ替えで得られる。各段で上の性質を使えば $D\in\mathcal F$ である。よって $\binom{[n]}{m}\subset\mathcal F$ であり、大きさが等しいので $\mathcal F=\binom{[n]}{m}$ である。$\square$

存在を $n$ についての帰納法で示す。$n=0$ では $2^{[0]}=\{\emptyset\}$ で、1 元の鎖 $\emptyset$ は第 $0$ 層から第 $0$ 層までの対称鎖である。
$n\ge1$ とし、$2^{[n-1]}$ の対称鎖分解があるとする。その各鎖 $A_i\subsetneq\cdots\subsetneq A_{n-1-i}$ から、$2^{[n]}$ の次の 2 本の鎖を作る（2 本目は元の鎖が 2 元以上のときだけ作る）。
$$ A_i\subsetneq A_{i+1}\subsetneq\cdots\subsetneq A_{n-1-i}\subsetneq A_{n-1-i}\cup\{n\}, $$
$$ A_i\cup\{n\}\subsetneq A_{i+1}\cup\{n\}\subsetneq\cdots\subsetneq A_{n-2-i}\cup\{n\}. $$
1 本目は第 $i$ 層から第 $n-i$ 層まで、2 本目は第 $i+1$ 層から第 $n-1-i$ 層まで、層を飛ばさずに進むので、どちらも $2^{[n]}$ の対称鎖である。$2^{[n]}$ の元 $X$ は、$n\notin X$ なら $X\in2^{[n-1]}$ がただ 1 本の元の鎖に属し、作った 1 本目の鎖にだけ現れる。$n\in X$ なら $X\setminus\{n\}$ がただ 1 本の元の鎖に属し、それがその鎖の最後の元なら 1 本目の鎖の最後に、そうでなければ 2 本目の鎖にだけ現れる。よって作った鎖たちは $2^{[n]}$ の対称鎖分解である。
本数について：対称鎖が第 $i$ 層から第 $n-i$ 層まで進むとき、$i\le n-i$ だから $i\le\lfloor n/2\rfloor\le n-i$ であり、鎖は第 $\lfloor n/2\rfloor$ 層の元をちょうど 1 つ含む。逆に第 $\lfloor n/2\rfloor$ 層の各元はちょうど 1 本の鎖に属する。よって鎖の本数は $\binom n{\lfloor n/2\rfloor}$ である。$\square$