偶関数と奇関数

1：$f,g$ が偶関数、$c\in\mathbb{C}$ なら $(f+cg)(-x)=f(x)+cg(x)$ である。奇関数でも同じである。2：$f(x)=f(-x)=-f(x)$ から $2f(x)=0$ である。3：$x=0$ とすると $f(0)=-f(0)$ である。4：たとえば $f$ が偶関数、$g$ が奇関数なら $(fg)(-x)=f(x)\cdot(-g(x))=-(fg)(x)$ であり、ほかの場合も同じである。5：$f$ が奇関数で $g$ が奇関数なら $g(f(-x))=g(-f(x))=-g(f(x))$ であり、$g$ が偶関数なら同じ計算で符号が付かない。$f$ が偶関数なら $g(f(-x))=g(f(x))$ である。$\square$

存在：$f_{\mathrm e}(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}2=f_{\mathrm e}(x)$、$f_{\mathrm o}(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}2=-f_{\mathrm o}(x)$ なので、$f_{\mathrm e}$ は偶関数、$f_{\mathrm o}$ は奇関数であり、足すと $f$ になる。
一意性：$f=g+h=g'+h'$（$g,g'$ は偶関数、$h,h'$ は奇関数）とすると、$g-g'=h'-h$ は偶関数でも奇関数でもある（prop-eof-basic の 1）。prop-eof-basic の 2 から $g=g'$、$h=h'$ である。
1：$P_{\mathrm e}=\frac12(\mathrm{id}+R)$、$P_{\mathrm o}=\frac12(\mathrm{id}-R)$ であり、$R$ が線形で $RR=\mathrm{id}$ だから、$P_{\mathrm e}P_{\mathrm e}=\frac14(\mathrm{id}+2R+RR)=\frac12(\mathrm{id}+R)=P_{\mathrm e}$、$P_{\mathrm e}P_{\mathrm o}=\frac14(\mathrm{id}-RR)=0$ であり、残りも同じ計算である。直和であることは存在と一意性の言いかえである。
2：$x\mapsto-x$ は連続で微分可能なので、$f$ が連続・微分可能なら $Rf$ もそうである。微分可能なら合成関数の微分から $(Rf)'(x)=-f'(-x)$、すなわち $(Rf)'=-R(f')$ である。よって
$$ (f_{\mathrm e})'=\tfrac12\bigl(f'-R(f')\bigr)=(f')_{\mathrm o},\qquad(f_{\mathrm o})'=\tfrac12\bigl(f'+R(f')\bigr)=(f')_{\mathrm e} $$
である。区間 $[-a,a]$ 上で $f$ が Riemann 積分可能なら（複素数値なら実部と虚部それぞれに次の議論を使う）、分割を $x\mapsto-x$ で裏返すと各小区間での上限と下限が入れ替わらずに移るので、$Rf$ も積分可能で $\int_{-a}^aRf=\int_{-a}^af$ である。よって $f_{\mathrm e}$、$f_{\mathrm o}$ も積分可能である。$\square$

1：thm-eof-decomposition の 2 で、$f$ が偶関数なら $f=f_{\mathrm e}$、$f_{\mathrm o}=0$ なので $(f')_{\mathrm e}=(f_{\mathrm o})'=0$ であり、$f'=(f')_{\mathrm o}$ は奇関数である。奇関数でも同じである。
2：$x\in I$ を固定し、$F(-x)=\int_0^{-x}f(t)\,dt$ で $t=-s$ と置換すると $dt=-ds$ で、$s$ は $0$ から $x$ まで動くので
$$ F(-x)=-\int_0^xf(-s)\,ds $$
である。$f$ が偶関数なら右辺は $-F(x)$、奇関数なら $F(x)$ である。
3：微分積分学の基本定理により $F'=f$ であり、区間の上で導関数が等しい 2 つの関数は定数の差しかないので、原始関数は $F+C$ に限る。$f$ が奇関数なら $F$ は偶関数で、定数も偶関数なので $F+C$ は偶関数である。$f$ が偶関数なら $F$ は奇関数なので、$F+C$ が奇関数であることは定数 $C$ が奇関数であること、すなわち $C=0$ と同値である（prop-eof-basic の 2）。$\square$

すべての奇数 $n$ で $a_n=0$ なら、各項 $a_nx^n$ は偶関数なので部分和も偶関数で、その極限 $f$ も偶関数である。逆に $f$ が偶関数とする。冪級数は収束区間の内側で何回でも微分でき、$a_n=f^{(n)}(0)/n!$ である（冪級数 の系「何回でも微分できることと係数の公式」）。thm-eof-derivative の 1 をくり返し使うと、$f^{(n)}$ は $n$ が偶数なら偶関数、奇数なら奇関数である。prop-eof-basic の 3 から、奇数 $n$ で $f^{(n)}(0)=0$、すなわち $a_n=0$ である。奇関数の場合も同じである。$\square$

1：$g$ が奇関数なら $\overline g$ も奇関数なので、$f\overline g$ は奇関数である（prop-eof-basic の 4）。連続な奇関数 $h$ について $\int_{-a}^ah=0$ である（対称性を用いた積分 の命題「偶関数・奇関数と、区間を裏返す置換」。複素数値なら実部と虚部に使う）。
2：$\|f_{\mathrm e}+f_{\mathrm o}\|^2=\|f_{\mathrm e}\|^2+\langle f_{\mathrm e},f_{\mathrm o}\rangle+\langle f_{\mathrm o},f_{\mathrm e}\rangle+\|f_{\mathrm o}\|^2$ であり、1 から中の 2 項は $0$ である。
3：$f-g=f_{\mathrm o}+(f_{\mathrm e}-g)$ で、$f_{\mathrm e}-g$ は偶関数なので、2 と同じ計算で主張の等式を得る。$\|f_{\mathrm e}-g\|^2=0$ なら連続関数 $\lvert f_{\mathrm e}-g\rvert^2$ の積分が $0$ なので $g=f_{\mathrm e}$ である（積分で定める内積 の定理「関数の内積は内積である」と同じ論法）。$\square$

$f_{\mathrm e}$、$f_{\mathrm o}$ は $2\pi$ 周期で、thm-eof-decomposition の 2 から積分可能である。$f_{\mathrm o}(x)\cos nx$ と $f_{\mathrm e}(x)\sin nx$ は奇関数である（prop-eof-basic の 4）。積分可能な奇関数 $h$ について、thm-eof-decomposition の 2 の証明で見たように $\int_{-\pi}^{\pi}h=\int_{-\pi}^{\pi}Rh=-\int_{-\pi}^{\pi}h$ なので $\int_{-\pi}^{\pi}h=0$ である。よって $a_n(f_{\mathrm o})=b_n(f_{\mathrm e})=0$ であり、積分の線形性から $a_n(f)=a_n(f_{\mathrm e})+a_n(f_{\mathrm o})=a_n(f_{\mathrm e})$、同様に $b_n(f)=b_n(f_{\mathrm o})$ である。$\square$