Davenport定数

$n:=\lvert G\rvert$ とし、列 $(g_1,\dots,g_n)$ をとる。$s_0:=0$、$s_k:=g_1+\dots+g_k$（$1\le k\le n$）は $n+1$ 個の $G$ の元なので、鳩の巣原理 によりある $0\le i< j\le n$ で $s_i=s_j$ である。このとき $J:=\{i+1,\dots,j\}$ は空でなく、$\sigma(J)=s_j-s_i=0$ である。$\square$

$G=\{0\}$ なら両辺は $1$ である。$G\neq\{0\}$ とし、$G=C_{n_1}\times\cdots\times C_{n_r}$ と同一視して、$v_i$ を第 $i$ 成分が生成元 $1$、ほかの成分が $0$ の元とする。$v_1$ を $n_1-1$ 個、…、$v_r$ を $n_r-1$ 個並べた長さ $\sum_i(n_i-1)$ の列 $S$ を考える。$S$ の部分列の和は $c_1v_1+\dots+c_rv_r$（$0\le c_i\le n_i-1$、$c_i$ は選んだ $v_i$ の個数）の形で、その第 $i$ 成分は $C_{n_i}$ の元 $c_i$ である。和が $0$ なら各 $c_i$ は $n_i$ の倍数なので $c_i=0$ であり、部分列は空である。よって $S$ は零和自由で、$D(G)\ge\sum_i(n_i-1)+1=D^*(G)$ である。$\square$

$C_n$ の不変因子は $n$ だけなので $D^*(C_n)=n$（$n=1$ でも $1$）である。prop-davenport-lower と prop-davenport-upper から $n\le D(C_n)\le n$ を得る。$\square$

要点：$H$ 上の零和自由な列は $G$ 上でも零和自由である。上界は、商群で和が $0$ になる短い部分列を $D(H)$ 個取り出し、その和の列に $H$ での性質を当てる。

$C_p^{\,r}$ の不変因子は $p$ が $r$ 個なので $D^*(C_p^{\,r})=r(p-1)+1$ であり、prop-davenport-lower から $D(C_p^{\,r})\ge r(p-1)+1$ である。逆向きを示す。$k:=r(p-1)+1$ とし、列 $(g_1,\dots,g_k)$ の各元を $g_i=(g_{i1},\dots,g_{ir})\in\mathbb{F}_p^{\,r}$ と成分で書く。$k$ 変数の $r$ 本の多項式
$$ f_l:=\sum_{i=1}^kg_{il}\,x_i^{\,p-1}\in\mathbb{F}_p[x_1,\dots,x_k]\qquad(l=1,\dots,r) $$
は次数が $p-1$ 以下で、次数の和は $r(p-1)< k$、定数項はすべて $0$ である。Chevalley–Warningの定理 の系「Chevalley の定理」により、$0$ でない共通零点 $x$ がある。$I:=\{i\mid x_i\neq0\}$ は空でなく、$x_i^{p-1}$ は $i\in I$ なら $1$、それ以外は $0$ なので、$0=f_l(x)=\sum_{i\in I}g_{il}$ がすべての $l$ で成り立つ。すなわち $\sum_{i\in I}g_i=0$ で、$(g_i)_{i\in I}$ は零和部分列である。$\square$

$\varepsilon_i\in G$ を第 $i$ 成分の生成元とし、$x_i:=X^{\varepsilon_i}$、$y_i:=x_i-1$ とおく。$\mathbb{F}_p[G]$ は標数 $p$ の可換環なので、Frobenius写像 $a\mapsto a^p$ は和を保ち、これをくり返して
$$ y_i^{\,p^{e_i}}=(x_i-1)^{p^{e_i}}=x_i^{\,p^{e_i}}-1=X^{p^{e_i}\varepsilon_i}-1=X^0-1=0 $$
を得る。各 $h\in G$ は $h=\sum_ic_i\varepsilon_i$（$c_i\ge0$ は整数）と書けるので、
$$ X^h-1=\prod_{i=1}^rx_i^{\,c_i}-1=\prod_{i=1}^r(1+y_i)^{c_i}-1 $$
は $y_1,\dots,y_r$ の整数係数の多項式で、定数項が $0$ である。したがって $X^h-1$ は $y_1,\dots,y_r$ が生成するイデアルに入り、$X^h-1=\sum_iy_iu_i$（$u_i\in\mathbb{F}_p[G]$）と書ける。$N+1$ 個のこの形の元の積を展開すると、各項は $y_1^{a_1}\cdots y_r^{a_r}$（$a_1+\dots+a_r=N+1$）と $\mathbb{F}_p[G]$ の元の積である。$\sum_ia_i=N+1>\sum_i(p^{e_i}-1)$ なので、ある $i$ で $a_i\ge p^{e_i}$ となり、$y_i^{a_i}=0$ からその項は $0$ である。$\square$

$G=\{0\}$ なら両辺は $1$ である。$G\neq\{0\}$ とする。$e_1\ge\dots\ge e_r$ と並べれば $(p^{e_1},\dots,p^{e_r})$ は不変因子の条件を満たすので、$D^*(G)=1+N$（$N$ は lem-davenport-nilpotent のもの）である。prop-davenport-lower により $D(G)\ge D^*(G)$ なので、長さ $k:=N+1$ の列 $(g_1,\dots,g_k)$ が零和部分列をもつことを示せばよい。
積 $P:=\prod_{j=1}^k(1-X^{g_j})$ を考える。lem-davenport-nilpotent により $P=(-1)^k\prod_j(X^{g_j}-1)=0$ である。一方、積を展開すると
$$ P=\sum_{J\subset\{1,\dots,k\}}(-1)^{\lvert J\rvert}X^{\sigma(J)} $$
である。基底の元 $X^0$ の係数を比べると、$P=0$ から
$$ \sum_{J:\ \sigma(J)=0}(-1)^{\lvert J\rvert}=0\quad(\mathbb{F}_p\text{ で}) $$
となる。列が零和自由なら、左辺の和に現れる $J$ は $\emptyset$ だけで、左辺は $1\neq0$ である。これは矛盾なので、列は零和部分列をもつ。$\square$

$k\ge N+1$ なので、lem-davenport-nilpotent を $g_1,\dots,g_{N+1}$ に当てれば $\prod_{j=1}^k(1-X^{g_j})=0$ である。prf-davenport-olson と同じく $X^0$ の係数を比べると $1+\sum_{J\neq\emptyset,\ \sigma(J)=0}(-1)^{\lvert J\rvert}\equiv0\pmod p$ である。$\square$