大域角形式

$p\circ r=\pi$ なので $r^*d\psi=-\pi^*e$ であり、上の式の 2 つ目の等号が成り立つ。$0<|v|<1/3$ では $\rho=-1$、$\rho'=0$ なので $\Phi_\psi=\pi^*e$ であり、零切断の近傍では $\pi^*e$ と定めれば $V$ 全体の $C^\infty$ 級形式になる。$V\setminus M$ では完全形式、零切断の近傍では $d\pi^*e=\pi^*de=0$ なので閉である。$|v|>2/3$ では $\rho=0$ なので $\Phi_\psi=0$ であり、台は $\{|v|\le2/3\}$ に含まれ、垂直コンパクト台をもつ（コンパクト集合 $K\subset M$ の上の $\{|v|\le2/3\}$ はコンパクト）。
ファイバー $V_x$ での積分を計算する。$P\colon(0,\infty)\times S_x\to V_x\setminus\{0\}$、$P(t,u)=tu$ は微分同相で、$dP(\partial_t)=u$ が外向きの法線なので、$(0,\infty)\times S_x$ の積の向き（$t$ が先）を $V_x$ の向きへ写す。$|P(t,u)|=t$、$r(P(t,u))=u$ であり、$\pi^*e$ は $V_x$ に制限すると $0$（$\pi$ は $V_x$ の上で定数で、$e$ の次数は $n\ge1$）なので、$P^*(\Phi_\psi|_{V_x})=\rho'(t)\,dt\wedge\psi|_{S_x}$ である。原点は測度 $0$ なので
$$ \int_{V_x}\Phi_\psi=\int_0^\infty\rho'(t)\,dt\cdot\int_{S_x}\psi=\bigl(0-(-1)\bigr)\cdot1=1 $$
である。Thom同型 の命題「Thom 類の特徴づけと Thom 同型の逆写像」の 2 により $[\Phi_\psi]=\Phi$ である。零切断 $s$ の像は $|v|<1/3$ に入るので $s^*\Phi_\psi=s^*\pi^*e=e$ であり、$e(V)=s^*\Phi=[e]$ である。$\square$

第 1 段：台を単位円板束の中へ．Thom 類を代表する閉形式 $\Phi_0\in\Omega^n_{cv}(V)$ をとる。各点 $x_0\in M$ のコンパクト近傍 $K$ の上で $\operatorname{supp}\Phi_0\cap\pi^{-1}(K)$ はコンパクトなので $|v|$ は有界である。内部が $M$ を覆うそのような近傍の局所有限な族 $\{K_i\}$、$\pi^{-1}(K_i)\cap\operatorname{supp}\Phi_0$ の上の $|v|$ の上界 $c_i$、$\operatorname{supp}\chi_i\subset K_i$ の 1 の分割 $\{\chi_i\}$ をとり $R:=1+\sum_i\chi_ic_i$ とおく。$R$ は正の $C^\infty$ 級関数で、$\chi_i(x)>0$ なら $x\in K_i$ なので、$v\in\operatorname{supp}\Phi_0\cap V_x$ について $|v|\le\min_{\chi_i(x)>0}c_i< R(x)$ である。$h(v):=R(\pi(v))\,v$ は $V$ の微分同相で各ファイバー上で正の定数倍なので、$\Phi_1:=h^*\Phi_0$ は閉で垂直コンパクト台をもち、各ファイバーでの積分は $\Phi_0$ と同じ $1$ である。よって $\Phi_1$ も Thom 類を代表し（Thom同型 の同じ命題の 2）、台は $\{|v|<1\}$ に含まれる。
第 2 段：ホモトピー．$e:=s^*\Phi_1$ とおく。$H(t,v):=\varphi(t)v$（$\varphi$ は $t\le0$ で $0$、$t\ge1$ で $1$ の $C^\infty$ 級関数）は $s\circ\pi$ と $\mathrm{id}_V$ を結ぶ $C^\infty$ 級ホモトピーなので、ホモトピー不変性（de Rhamコホモロジー の系「ホモトピー不変性と Poincaré の補題」）により $\Phi_1-\pi^*e=d\beta$ となる $\beta\in\Omega^{n-1}(V)$ がある。$j\colon S\hookrightarrow V$ を包含とし、$\psi:=j^*\beta$ とおく。
第 3 段：確認．$\operatorname{supp}\Phi_1\cap S=\emptyset$ なので $j^*\Phi_1=0$ であり、$d\psi=j^*(\Phi_1-\pi^*e)=-p^*e$ である。$D_x$ は $V_x$ の閉単位円板で、境界 $S_x$ の向きは $D_x$ の境界の向きなので、Stokes の定理（Stokesの定理）により
$$ \int_{S_x}\psi=\int_{D_x}d\beta=\int_{D_x}\Phi_1-\int_{D_x}\pi^*e=\int_{V_x}\Phi_1=1 $$
である（$\Phi_1$ の台は開円板束の中、$\pi^*e|_{V_x}=0$）。よって $\psi$ は大域角形式である。$\square$

$\rho_\gamma a_{\gamma\alpha}$ は $U_\gamma\cap U_\alpha$ 上の形式を $U_\alpha$ 上へ $0$ で延ばしたもので、$\operatorname{supp}\rho_\gamma\subset U_\gamma$ なので $C^\infty$ 級である。$U_\alpha\cap U_\beta$ の上で、$a_{\gamma\beta}-a_{\gamma\alpha}=a_{\alpha\beta}$ と $\sum_\gamma\rho_\gamma=1$ から
$$ \xi_\beta-\xi_\alpha=\sum_\gamma\rho_\gamma(a_{\gamma\beta}-a_{\gamma\alpha})=a_{\alpha\beta} $$
である。したがって $\bigl(\tfrac{d\theta_\beta}{2\pi}-p^*\xi_\beta\bigr)-\bigl(\tfrac{d\theta_\alpha}{2\pi}-p^*\xi_\alpha\bigr)=p^*a_{\alpha\beta}-p^*a_{\alpha\beta}=0$ で $\psi$ は大域的に定まり、$a_{\alpha\beta}$ が閉なので $d\xi_\beta=d\xi_\alpha$ で $e$ も定まる。$d\psi=-p^*d\xi_\alpha=-p^*e$ である。各 $\theta_\alpha$ の向きでは、点 $u=(\cos\theta,\sin\theta)$ の外向きの法線 $u$ と $\partial_\theta=(-\sin\theta,\cos\theta)$ の組の行列式が $1$ なので、$S_x$ の境界の向きは $\theta$ の増える向きである。$p^*\xi_\alpha$ はファイバーに制限すると $0$ なので、$\int_{S_x}\psi=\int_0^{2\pi}d\theta/2\pi=1$ である。$\square$

$U_0$ では $e=d\xi_0$、$U_1$ では $e=d\xi_1$ である。$D_-$ の境界の向きは $C$ と逆なので、Stokes の定理により $\int_{S^2}e=\int_{D_+}d\xi_0+\int_{D_-}d\xi_1=\int_C\xi_0-\int_C\xi_1=-\int_Ca_{01}$ である。$\square$

$\psi$ が閉なら $p^*e=-d\psi=0$ で、$p^*$ の単射性から $e=0$、thm-gaf-euler により $e(V)=[e]=0$ である。逆に大域角形式 $\psi$（thm-gaf-existence）について $[e]=e(V)=0$ なら $e=d\beta$ と書け、$\psi':=\psi+p^*\beta$ は $d\psi'=-p^*e+p^*d\beta=0$ をみたす。$p^*\beta$ はファイバーに制限すると $0$（$n-1\ge1$）なので $p_*\psi'=1$ で、$\psi'$ は閉な大域角形式である。$\square$

要点：$\Phi_\psi=d\rho\wedge\psi-\rho e$ を展開し、$d\rho\wedge d\rho=0$ と、偶数次の $e$ が可換であることを使う。