反射的層

茎で調べればよい。$A=\mathcal{O}_{X,x}$（整域）、$M=\mathcal{F}_x$ とする。
1．$\varphi\in M^*$ と $0\ne a\in A$ が $a\varphi=0$ をみたせば、すべての $m$ で $a\varphi(m)=0$、$A$ は整域なので $\varphi(m)=0$ である。
2．$M$ に捩れがないとする。$M\to M\otimes_AK\cong K^r$ は単射で、$M$ の有限個の生成元の分母を払う $0\ne d\in A$ をとると $dM\subset A^r$ である。よって単射 $\iota\colon M\hookrightarrow A^r$ があり、その座標 $\iota_1,\dots,\iota_r$ は $M^*$ の元である。$j(m)=0$ ならすべての $\iota_i(m)=0$ で $m=0$ である。逆に $j$ が単射なら、$M$ は 1 により捩れのない $M^{**}$ の部分加群なので捩れがない。
3．$\dim A=0$ なら $A$ は体で、$M$ は有限次元ベクトル空間なので $M\cong M^{**}$ である。$\dim A=1$ なら、$A$ は 1 次元の正規 Noether 局所環なので離散付値環である（Mat89 定理 11.2, p. 79）。単項イデアル整域上の有限生成で捩れのない加群は自由なので、$M$ は自由で反射的である。$\square$

段階 1：$\mathcal{O}_X$ は延長性をもつ。 $Z\subset U$ を余次元 $2$ 以上とする。$Z$ は $U$ の生成点を含まないので $U\setminus Z$ は $U$ で稠密であり、$\mathcal{O}_X$ は整なので制限は単射である。全射を示す。$f\in\mathcal{O}_X(U\setminus Z)\subset K$ とし、$V=\operatorname{Spec}A\subset U$ をアフィン開集合とする。$A$ の高さ $1$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ に対応する点は $\dim A_\mathfrak{p}=1$ なので $Z$ に入らず、$f\in A_\mathfrak{p}$ である。正規 Noether 整域では $A=\bigcap_{\operatorname{ht}\mathfrak{p}=1}A_\mathfrak{p}$ なので（Mat89 定理 11.5 (ii), p. 81）、$f\in A$ である。$U$ を覆うアフィン開集合ごとに $f$ は $K$ の同じ元として延び、貼り合って $\mathcal{O}_X(U)$ の元になる。
段階 2：任意の連接層 $\mathcal{G}$ について、$\mathcal{G}^\vee$ は延長性をもつ。 単射：$\varphi\in\mathcal{G}^\vee(U)$ が $U\setminus Z$ で $0$ なら、各局所切断 $s$ について $\varphi(s)$ は稠密な開集合で $0$ になる局所関数なので $0$ である。全射：$\psi\in\operatorname{Hom}(\mathcal{G}|_{U\setminus Z},\mathcal{O}|_{U\setminus Z})$ とする。開集合 $V\subset U$ と $s\in\mathcal{G}(V)$ について、段階 1 を $V$ と $Z\cap V$ に使い、$\psi(s|_{V\setminus Z})\in\mathcal{O}(V\setminus Z)$ の延長を $\varphi_V(s)\in\mathcal{O}(V)$ とする。延長の一意性から $\varphi_V$ は制限と両立し $\mathcal{O}$ 線形であり、$\varphi\in\mathcal{G}^\vee(U)$ で $\varphi|_{U\setminus Z}=\psi$ となるものを定める。
段階 3：1 ⇒ 2。 $\mathcal{F}\cong(\mathcal{F}^\vee)^\vee$ は段階 2 により延長性をもち、lem-rfx-torsion の 1 により捩れがない。
段階 4：2 ⇒ 1。 lem-rfx-torsion の 2 により $j=j_{\mathcal{F}}$ は単射である。余核 $\mathcal{Q}$ は連接層なのでその台 $S$ は閉集合で、lem-rfx-torsion の 3 により $S$ は $\dim\mathcal{O}_{X,x}\le1$ の点を含まない。開集合 $U$ と $s\in\mathcal{F}^{\vee\vee}(U)$ をとり、$Z:=S\cap U$ とおく。$U\setminus Z$ の上で $j$ は同型なので $s|_{U\setminus Z}=j(t)$ となる $t\in\mathcal{F}(U\setminus Z)$ があり、延長性から $t=t'|_{U\setminus Z}$ となる $t'\in\mathcal{F}(U)$ がある。$s-j(t')$ は $U\setminus Z$ で $0$ で、段階 2 により $\mathcal{F}^{\vee\vee}=(\mathcal{F}^\vee)^\vee$ の制限は単射なので $s=j(t')$ である。よって $j$ は各開集合で全単射である。
最後の主張は、段階 2 と lem-rfx-torsion の 1 から $\mathcal{G}^\vee$ が 2 をみたすことによる。$\square$

$\subset$ は明らかである。$f$ が右辺に入るとする。$f$ がある近傍で $\mathcal{F}$ の切断になる点 $x\in U$（$f\in\mathcal{F}_x$ となる点）の集合 $W$ は開集合である。生成点と各 $\eta_Y$（$Y\cap U\ne\emptyset$）は $W$ に入り、これらは $\dim\mathcal{O}_{X,x}\le1$ となる $U$ の点のすべてなので、$Z:=U\setminus W$ は余次元 $2$ 以上である。$f$ は $\mathcal{F}(W)$ の元を定め、thm-rfx-hartogs の延長性により $\mathcal{F}(U)$ の元に延びる。延長は $K$ の中で $f$ と一致するので、$f\in\mathcal{F}(U)$ である。$\square$

1． 連接性：アフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}A$ の上で、$M:=\mathcal{O}_X(D)(V)$ とする。$n_Y>0$ となる素因子は有限個なので、その素イデアルの $0$ でない元の冪の積として、$V$ と交わる $n_Y>0$ のすべての $Y$ で $\operatorname{ord}_Y(g)\ge n_Y$ となる $0\ne g\in A$ がとれる。すると $gM\subset\bigcap_{\operatorname{ht}\mathfrak{p}=1}A_\mathfrak{p}=A$（Mat89 定理 11.5）で、$M\cong gM$ は有限生成である。$0\ne a\in A$ について $\mathcal{O}_X(D)(D(a))=M_a$ である（$\supset$ は明らか。$f$ が左辺に入れば、$a$ を含む有限個の素因子での位数の不足を $a^N$ で補って $a^Nf\in M$）。よって $\mathcal{O}_X(D)|_V=\widetilde M$ で、連接層である。
反射性：$\mathcal{O}_X(D)\subset K$ なので捩れがない。延長性を示す。$Z\subset U$ が余次元 $2$ 以上なら、$U$ と交わる素因子 $Y$ の生成点 $\eta_Y$ は $Z$ に入らないので、$U\setminus Z$ と交わる素因子は $U$ と交わる素因子と同じである。$(\operatorname{div}(f)+D)|_U\ge0$ はこれらの $Y$ での位数の条件なので、$\mathcal{O}_X(D)(U\setminus Z)=\mathcal{O}_X(D)(U)$ となる。thm-rfx-hartogs により反射的である。$\eta_Y$ での茎の式は、$\operatorname{ord}_{Y'}(f)\ne0$ または $n_{Y'}\ne0$ となる有限個の素因子 $Y'\ne Y$ を除いた近傍をとれば得られる。$\mathcal{O}_X(D)_\eta=K$ なので階数は $1$ である。
2． $\mathcal{F}$ を階数 $1$ の反射的層とし、同型 $\mathcal{F}_\eta\cong K$ を 1 つ固定する。$\mathcal{F}$ は捩れがないので $\mathcal{F}\to\mathcal{F}_\eta=K$ は単射で、$\mathcal{F}$ を $K$ の部分層とみなせる。各 $Y$ で $\mathcal{F}_{\eta_Y}$ は離散付値環 $\mathcal{O}_{X,Y}$ 上の有限生成で捩れのない階数 $1$ の加群なので、ある整数 $n_Y$ について $\{f\mid\operatorname{ord}_Y(f)\ge-n_Y\}$ に等しい。$n_Y\ne0$ となる $Y$ は有限個である。実際、$X$ を有限個のアフィン開集合 $V$ で覆い、$\mathcal{F}(V)$ の生成元 $g_1,\dots,g_r$ と $0\ne h\in\mathcal{F}(V)$ をとると、$V$ と交わる $Y$ で $-n_Y=\min_i\operatorname{ord}_Y(g_i)$ であり、$n_Y\ne0$ なら、ある $g_i$ が $Y$ に極をもつか、すべての $g_i$ が $Y$ で零点をもち $\operatorname{ord}_Y(h)>0$ となる。そのような $Y$ は有限個である（Weil因子 の補題「位数が零でない素因子の有限性」）。$D:=\sum n_YY$ とおくと、$\mathcal{F}$ と $\mathcal{O}_X(D)$ は 1 により各 $\eta_Y$ で同じ茎をもつ反射的な部分層で、lem-rfx-subsheaf により $\mathcal{F}=\mathcal{O}_X(D)$ である。
3． $D'=D-\operatorname{div}(h)$（$h\in K^\times$）なら、$g\mapsto hg$ が $\mathcal{O}_X(D)\cong\mathcal{O}_X(D')$ を与える（$\operatorname{div}(hg)+D'=\operatorname{div}(g)+D$）。逆に同型 $\alpha\colon\mathcal{O}_X(D)\to\mathcal{O}_X(D')$ があれば、生成点での $\alpha_\eta\colon K\to K$ は $K$ 線形なので、ある $h\in K^\times$ による掛け算である。$K$ の部分層として $\mathcal{O}_X(D')=h\,\mathcal{O}_X(D)=\mathcal{O}_X(D-\operatorname{div}(h))$ となり、1 の茎の式から係数を比べて $D'=D-\operatorname{div}(h)$ である。$\square$

連接層の茎が自由ならその点の近傍で自由なので（Har77 II 演習 5.7, p. 124）、各点 $x$ で $M:=\mathcal{F}_x$ が自由であることを示せばよい。$A:=\mathcal{O}_{X,x}$ とする。$\dim A\le1$ なら lem-rfx-torsion の 3 の証明のとおり $M$ は自由である。$\dim A=2$ とし、$\mathfrak{m}$ を極大イデアルとする。
$M$ は $N:=M^*$ の双対である。$N$ の表示 $A^a\to A^b\to N\to0$ の双対をとると完全列 $0\to M\to A^b\to A^a$ を得るので、$M\subset A^b$ で、商 $C:=A^b/M$ は $A^a$ に埋め込まれ、捩れがない。正則なパラメータ系 $x,y$ をとる。$A/xA$ は 1 次元の正則局所環（Mat89 定理 14.2, p. 105）なので離散付値環である。$x$ は捩れのない $M$ の正則元である。$m\in M$ が $m=xf$（$f\in A^b$）と書ければ、$C$ で $x\bar f=0$、$C$ は捩れがないので $\bar f=0$、$f\in M$ である。よって $M/xM\to(A/xA)^b$ は単射であり、$y$ の像は離散付値環 $A/xA$ の $0$ でない元なので、$(A/xA)^b$ の、したがって $M/xM$ の正則元である。中山の補題から $M/(x,y)M\ne0$ なので、$x,y$ は $M$ 正則列で、$\operatorname{depth}M\ge2$ である。
$A$ は正則なので $M$ の射影次元は有限であり（Mat89 定理 19.2, p. 156）、$\operatorname{depth}A=2$ である（同 定理 17.8, p. 137）。Auslander–Buchsbaum の公式（同 定理 19.1, p. 155。Auslander–Buchsbaumの公式）から $\operatorname{pd}M=\operatorname{depth}A-\operatorname{depth}M\le0$、すなわち $M$ は自由である。$\square$