因果構造の連続性

$I^{-}$ が外側連続であるとする。
$t^{-}$ を測度 $\mu$ に関する過去体積関するとする。
任意の点 $p\in M$ に対して、$K\subset M\mathrm{\setminus }\overline{I^{-}(p)}$ で $\mu (M\mathrm{\setminus }\overline{I^{-}(p)})-\epsilon <\mu (K)$ となるコンパクト集合 $K$ を取ると、外側連続性より $p$ の近傍 $U$ があり、点列 $\{p_n\}\in U,p_n\to p$ に対して、$K\subset M\mathrm{\setminus }\overline{I^{-}(p_n)}$ となる。
よって $t^{-}(p_n)<\mu (M)-\mu (K)<t^{-}(p)+\epsilon$ であるから上半連続である。
$t^{-}$ は常に下半連続であるから連続である。

逆に $t^{-}$ が連続、従って上半連続であるとする。（途中）

$(1)\iff (2)$

$I^{+}(q)\subset I^{+}(p)\iff q\in \overline{I^{+}(p)}$ と $I^{-}(p)\subset I^{-}(q)\iff p\in \overline{I^{-}(q)}$ を示せばよい。
$I^{+}(q)\subset I^{+}(p)$ とする。
点列 $\{q_n\}\in I^{+}(q),q_n\to q$ を考えると、$q\in \overline{I^{+}(p)}$ である。
逆に、$q\in \overline{I^{+}(p)}=\overline{J^{+}(p)}$ とする。
$q^{\prime }\in I^{+}(q)$ に対して $q,q^{\prime }$ を結ぶ時間的曲線を $\alpha$とする。
$q$ の小さい近傍を $U$ とし、$\overline{q}\in \alpha \cap U\cap I^{+}(q)$ を任意に選ぶ。
点列 $\{q_n\}\in I^{-}(\overline{q})\cap U$ で $q_n\to q$ かつ $q_n\in I^{+}(p)$ となるものが存在する($q\in \overline{I^{+}(p)}$ より)。
このとき $p<<q_n<<\overline{q}<<q^{\prime }$ であるから $I^{+}(q)\subset I^{+}(p)$ である。
よって $I^{+}(q)\subset I^{+}(p)\iff q\in \overline{I^{+}(p)}$ となる。
$I^{-}(p)\subset I^{-}(q)\iff p\in \overline{I^{-}(q)}$ も同様である。

$(2)\Rightarrow (3)$

$q\in \partial I^{+}(p)$ ならば、$q\in \overline{I^{+}(p)}$ かつ $q\notin I^{+}(p)$ である。
(3)を仮定しているから、$p\in \overline{I^{-}(q)}$ かつ $p\notin I^{-}(q)$ となり $p\in \partial I^{-}(q)$ である。

$(3)\Rightarrow (2)$

$q\in \overline{I^{+}(p)}$ ならば、$q\in \partial I^{+}(p)$ または $q\in I^{+}(p)$ である。
(2)を仮定しているから、$p\in \partial I^{-}(q)$ または $p\in I^{-}(q)$ となり $p\in \overline{I^{-}(p)}$ である。

$I^{-}$ が外側連続であるとする。
特に $q\in M$ において $I^{-}$ は外側連続であるとする。
$q\in \overline{I^{+}(p)}$ かつ $p\notin \overline{I^{-}(q)}$ となる $p\in M$ が存在すると仮定して矛盾を導く。
$p\notin \overline{I^{-}(q)}$ と $I^{-}$ の外側連続性により、$q$ の適当な近傍 $V$ があり、任意の $q^{\prime }\in V$ に対して、$p\notin \overline{I^{-}(q^{\prime })}$ とできる。
しかし $q\in \overline{I^{+}(p)}$ であるから、$q^{\prime }\in V$ で $p\in I^{-}(q^{\prime })$ となるものが存在して矛盾する。

逆に、過去反射的であるとする。
$I^{-}$ が外側連続でないとして矛盾を導く。
$I^{-}$ が外側連続でないから、コンパクト集合 $K$ と $p\in M$ で $K\cap \overline{I^{-}(p)}=\mathrm{\varnothing }$ かつ 点列 $p_n\to p$ で $K\cap \overline{I^{-}}(p_n)\ne \mathrm{\varnothing }$ となるものが存在するようなものがある。
点列 $r_n\in K\cap \overline{I^{-}}(p_n)$ を任意に選び、必要なら部分列を取ることで $r_n\to r\in K$ とする。
任意の $s\in I^{-}(r)$ に対して、$n$ が十分大きいとき $p_n\in I^{+}(s)$ であるから、$p\in \overline{I^{+}(s)}$ である。
過去反射律より $s\in \overline{I^{-}(p)}$ であり、従って $I^{-}(r)\subset \overline{I^{-}(p)}$ である。
よって $r\in \overline{I^{-}(r)}\subset \overline{I^{-}(p)}$ であるが、$r\in K$ であるから、$K\cap \overline{I^{-}(p)}=\mathrm{\varnothing }$ に矛盾する。