Strongly Causal時空

$(1)\Rightarrow(2)$ は自明である。
逆に条件(2)が成り立つとする。
$p$ の任意の近傍 $U$ に対して、2つの近傍 $p\in V\subset U'\subset U$ で $V$ が $U'$ の中で因果的凸であるものが存在する。
$U'$ に対して、(2)の条件を満たす近傍として $V$ を取ることが出来る。
このとき $V$ に2つの端点を持つ $M$ のcausal曲線 $\gamma$ は(2)の条件より $U'$ に含まれるが、$V$ は $U'$ の中で因果的凸であるから $\gamma\subset V$ である。
従って、$V$ は $M$ において因果的凸である。

$(1)\Rightarrow(2)$

$\mathcal{B}_A$ がある位相の開基となっていることはすぐにわかる。
さらに $\mathcal{B}_A$ の元は $M$ の元の位相に関して開集合であるから、$M$ の元の位相はAlexandorv位相より細かい。
任意 $x\in M$ と $x$ の任意の近傍 $U\ni x$ に対して、$(M,g)$ はstrong cuausal時空であるから、$x\in V\subset U$ で $<<_V$ と $<<$ が一致するような近傍 $V$ が存在する。
従って、$p,q\in V$ で $p<<_Vx,\ x<<_Vq$ となる2点に対して $q\in I^-(q)\cap I^+(p)\subset U$ となる。

$(2)\Rightarrow(3)$

自明である。

$(3)\Rightarrow(1)$

待遇を取り、(1)の否定から(3)の否定を導く。
ある点 $p$ がstrongly causalでないとする。
$p$ の凸近傍 $W$ を取り、$W$ に対して相対コンパクトな $p$ の近傍 $U\subset W$ を取る。
さらに必要なら $U$ を小さく取り直し、$U$ の中で因果的凸な $p$ の近傍族 $\{V_n\},\ p\in V_n,\ \bigcap_nV_n=\{p\}$ を取る。
十分大きい $n$　と任意の $p_n,r_n\in V_n$ に対して、$p_n$ から出発し $r_n$ に戻ってくる $W$ に含まれない未来向きのcausal曲線を $\gamma_n$ とする。
$U$ は $W$ に対して相対コンパクトだから $q_n\in\gamma_n\cap\partial U$ は必要なら部分列を取れば $q_n\rightarrow q\rightarrow\partial U$ となる。
$W$ は凸近傍であり、$q_n<< r_n$ かつ $r_n\rightarrow_W p$ であるから、$q<<_Wp$ である。
$q_1<< q<< q_2$ となる任意の $q_1,q_2\in M$ に対して、$q_1<< p$ である。
また十分大きい $n$ に対して、$p_n<< q<< q_2$ である。
$p_n$ を $p<<_{V_n}p_n$ となるように取れば、$p_n\in I^+(q_1)\cap I^-(q_2)$ である。
よって、$p$ は $I^+(q_1)\cap I^-(q_2)$ の集積点であるから、$p$ の任意の近傍は $I^+(q_1)\cap I^-(q_2)$ と交わりを持つ。

結論を否定して矛盾を導く。
結論の否定により、点列 $\{t_n\},\ t_n\rightarrow b$ で $\gamma(t_n)\in K$ となるものが存在する。
$K$ のコンパクト性より必要なら部分列を取り直し $\gamma(t_n)\rightarrow p\in K$ となる。
$\gamma$ は延長不可能でるから別の点列 $\{u_n\},\ u_n\rightarrow b$ で $\gamma(u_n)$ が $p$ に収束しないものが存在しなければならない（もし全ての点列が $p$ に収束すれば定義より延長可能になってしまう）。
必要なら点列の番号を付け替えて、$t_1< u_1< t_2< u_2<\cdots< t_i< u_{i+1}<\cdots< b$ であるとしてよい。
$\gamma(u_n)$ は $p$ に収束しないからある近傍 $U\ni p$ があり、$\gamma(u_n)\notin U$ である。
任意の$p$ の近傍 $V(\subset U)$ に対して、ある $k$ があり、$\gamma(t_k),\gamma(t_{k+1})\in V$ であり、 $\gamma(u_k)\notin U$ である。
これは $p$ がstrongly causalであることに矛盾する。

$\{\alpha_n\}$ の極限点列を $p=p_0\le p_1\le p_2\le\cdots\le p_n=q$ とする（$n=\infty$ だと擬極限曲線が延長不可能になり上の命題よりあり得ない）。
擬極限曲線を $\lambda=\bigcup_{i=0}^{n-1}\overrightarrow{p_ip_{i+1}}$ とする。
このとき、$\overrightarrow{p_ip_{i+1}}\subset K$ でかつある凸近傍 $C_i$ があり $\overrightarrow{p_ip_{i+1}}\subset C_i$ となっているとしてよい。
このとき、部分列 $\{\alpha_m\}$ があり、$\alpha_m(s_{m,i}),\alpha_m(s_{m,i+1})\subset C_i$ となっていて、
$$ \begin{align} L(\alpha_m([s_{m,i},s_{m,i+1}]))\le L(\overrightarrow{\alpha_m(s_{m,i})\alpha_m(s_{m,i+1})}) \end{align} $$
である。
ただし、$\overrightarrow{\alpha_m(s_{m,i})\alpha_m(s_{m,i+1})}$ は $\alpha_m(s_{m,i}),\alpha_m(s_{m,i+1})$ を結ぶ未来向き測地線である。
凸近傍内では $L$ は連続であるから、
$$ \begin{align} \lim_{m\rightarrow\infty}L(\alpha_m)\le L(\lambda) \end{align} $$