円分体と作図問題

$$$$
$n$乗根・原始$n$乗根

$n\in\mathbb{N}$$z\in\mathbb{C}$とする。
$ z^n=1 $
の解を1の$n$乗根という。 $n$乗根$\xi$のうち、${\xi}^i\neq1(i=1,\cdots,n-1)$を満たすものを原始$n$乗根という。 特に、$1\leq k\leq n-1$$GCD(k,n)=1$のとき
$ \xi_n=\exp\left(\frac{2k\pi i}{n}\right) $
とすると$\xi_n$は原始$n$乗根となる。

$\mathbb{Q}$$x^n-1$の根は$n$乗根

$f=x^n-1\in\mathbb{Q}[x]$とする。 $f$は重根を持たず、$1,\xi_n,\cdots{\xi_n}^{n-1}$を根に持つ。

$f(\alpha)=0$ならば$\alpha\neq0$で、$f^\prime=nx^{n-1}$より$f^\prime(\alpha)\neq0$。 よって、$f$は重根を持たない。 $1,\xi_n,\cdots{\xi_n}^{n-1}$$f$の根であることは代入すればわかる。

円分体

$\mathbb{Q}(\xi_n)$と書ける体を円分体という。

$\mathbb{Q}(\xi_n)/\mathbb{Q}$はガロア拡大

$\mathbb{Q}(\xi_n)/\mathbb{Q}$はガロア拡大である。

$\xi_n^n-1=0$なので$\xi_n$$\mathbb{Q}$上代数的で、$\mathbb{Q}(\xi_n)/\mathbb{Q}$は代数拡大である。 $\mathbb{Q}$が完全体なので、任意の代数拡大は分離拡大となるため、$\mathbb{Q}(\xi_n)/\mathbb{Q}$は分離拡大。 $\xi_n^n-1=0$の根は$1,\xi_n,\cdots,\xi_n^{n-1}$であり、$1,\xi_n,\cdots,\xi_n^{n-1}\in\mathbb{Q}(\xi_n)$なので$\mathbb{Q}(\xi_n)/\mathbb{Q}$は正規拡大。 以上より、$\mathbb{Q}(\xi_n)/\mathbb{Q}$はガロア拡大。

円分多項式

$ \Phi_n(x)=\prod_{GCD(1,i)=1,1\leq i\leq n}(1-\xi_n^i) $
と定義する。 $\Phi_n$$n$次の円分多項式という。

オイラー関数

写像$\phi:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$
$ \phi(1)=1 $

$ \phi(n)=|(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times|(n\geq 2) $
と定義する。 $\phi$をオイラー関数という。

$\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$

$m,n\in\mathbb{N}$が互いに素であるとする。
$ \phi(mn)=\phi(m)\phi(n) $

$ (\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})^\times\cong(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times\times(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times $
より明らか。

$\Phi_n$$\xi_n$の最小多項式

$\Phi_n$$\xi_n$の最小多項式である。

Mathpediaを支援する

現在のページ

円分体と作図問題
前のページへ
4 / 4
次のページへ
前ページへ
入門テキスト「ガロア理論の基礎」の表紙