環の定義
集合$R$と$R$上の二項演算、和(加法)$+$と積(乗法)$\cdots$の組$(R,+,\cdots)$で以下を満たすものを環という。 (和)(R,+)は可換群である。 (積)任意の$a,b,c\in R$に対して$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$が成り立つ。 (分配法則)任意の$a,b,c\in R$に対して
$
a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c
$
$
(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c
$
が成り立つ。 (乗法単位元)乗法単位元と呼ばれる$1\in R$が存在して任意の$a\in R$に対して$1\cdot a=a\cdot 1$が成り立つ。
積$a\cdot b$は省略されて$ab$と書かれる。 $(ab)c=a(bc)=abc$など括弧を省略可能な場合には省略されることもある。 可換群(R,+)の単位元は0と表記され零元(加法単位元)と呼ばれる。 乗法単位元は1と表記される。また、乗法単位元を環の定義に含めないこともある。 以下では単位元と言ったら乗法単位元を指すことにする。
$R$を環とする。 任意の$a,b\in R$に対して$ab=ba$が成り立つならば$R$を可換環という。
R={0}とする。
$
0+0=0
$
$
0\cdot 0=0
$
によって演算を定めるとこれは環になる。 この環を零環と呼ぶ。 零環は加法単位元(零元)と乗法単位元が一致する環として特徴づけることができる。
$R$を環とする。 $r\in R$に対して$rr^\prime=r^\prime r=1$となるような$r^\prime\in R$が存在するならば、$r$を可逆元、あるいは単元という。 $r$が可逆元であるとき、$rr^\prime=r^\prime r=1$を満たす$r^\prime$を乗法逆元と呼び、$r^{-1}$と書く。 $R$の可逆元全体の集合を$R^\times$と表記する。
$R$を環とする。 $R^\times$は$R$の積を演算として群になる。
任意に$a,b\in R^\times$を取る。 $(a^{-1}b)(b^{-1}a)=1$より$a^{-1}b$は可逆元で$a^{-1}b\in R^\times$である。 よって、$R^\times$は群である。
$K$を可換環とする。 $K$が$K/\{0\}=K^\times$を満たすならば、$K$を体という。
$R$を環とする。 $ab=0$かつ$b\neq 0$ならば$a$を左零因子という。 $ab=0$かつ$a\neq 0$ならば$b$を右零因子という。 右零因子と左零因子をまとめて零因子という。
$R$を環とする。 1ではない元$r\in R$が$r^2=r$を満たすならば$r$は零因子である。
$a\in R,a\neq0$に対して、$ar^2=ar$より、
$
ar(r-1)=0
$
が成り立ち、$r\neq1$なので$r$は零因子。
$R\neq\{0\}$を可換環とする。 $R$が0以外に零因子を持たないならば$R$を整域という。
$R$を可換環とする。 $R$は整域$\Leftrightarrow$任意の$a,b,c\in R,c\neq0$に対して$ac=bc$ならば$a=b$が成り立つ。
($\Rightarrow$) $ac=bc$より$(a-b)c=0$だが、$R$は整域で0以外に零因子を持たず$c\neq0$なので$a-b=0$。 よって$a=b$が成り立つ。 ($\Leftarrow$) $a,b\in R$に対して$ab=0$かつ$b\neq0$とする。 このとき、$0=ab=(a-0)b=ab-0b$より$ab=0b$で、$b\neq0$なので$a=0$が成り立つ。 よって、$R$は整域。
体は整域である。
$K$を体とする。 $K^\times=K/\{0\}$なので、$K/\{0\}$の任意の元は可逆元である。 $a,b\in K$を任意に取る。 $ab=0$かつ$a\neq 0$であるとする。 このとき$b\neq 0$ならば乗法逆元$b^{-1}$が存在する。 $ab=0$の右から$b^{-1}$を掛けると$a=0$となるがこれは$a\neq 0$と矛盾する。 よって、$ab=0$かつ$a\neq 0$ならば$b=0$である。 同様にして$ab=0$かつ$b\neq 0$ならば$a=0$である。 以上より$K$は0以外に零因子を持たないので$K$は整域である。
元の数が有限な整域は体である。
$R$を元の数が有限な整域とする。 $R\neq\{0\}$なので$0$でない元$r$を任意に取れる。 $r^1,r^2,\cdots,\in R$を考えると、$|R|$は有限なので適当な自然数$i< j$が存在して$r^i=r^j$が成り立つ。
$
rr^{i-1}(r^{j-i}-1)=0
$
$R$は整域で$r\neq 0$なので$r^{i-1}(r^{j-i}-1)=0$である。 これを繰り返すと$r^{j-i}-1=0$が得られる。 つまり、
$
rr^{j-i-1}=1
$
が成り立つので、$r^{j-i-1}$は$r$の乗法逆元で$r$は可逆元である。 以上より、$R$の任意の0ではない元は可逆元なので$R/\{0\}=R^\times$が成り立ち、$R$は体である。
$R$を環、$K$を体とする。 空でない部分集合$S\subset R$が$R$の演算と単位元によって環となるとき$S$を部分環という。 空でない部分集合$L\subset K$が$K$の演算と単位元によって体となるとき$L$を部分体という。
$R$を環とする。 $R$自身と$\{0\}$は$R$の部分環になる。 これらを自明な部分環という。
$
\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]=\{a+b\sqrt{-2}|a,b\in\mathbb{Z}\}
$
と定義すると、これは$\mathbb{C}$の部分環であり、さらには整域である。
$R$を環とする。 $S$は$R$の部分環である$\Leftrightarrow$$1\in S$で、任意の$a,b\in S$に対して$-a+b,ab\in S$が成り立つ。
($\Rightarrow$)は明らか。($\Leftarrow$)を示す。 任意の$a,b\in S$に対して$-a+b\in S$なので$S$は加法について$R$の部分群になる。 任意の$a,b\in S$に対して$ab\in S$なので$S$には$R$と同じ積が定義できてそれは$S$で閉じている。 以上より、$S$には$R$と同じ演算が定義されるので$S$は$R$の部分環である。
$R$を環、$S_1,S_2$を部分環とする。 $S_1\cap S_2$も$R$の部分環になる。
$1\in S_1\cap S_2$は明らか。 任意に$a,b\in S_1\cap S_2$を取る。 $S_1,S_2$は部分環なので、$-a+b,ab\in S_1$かつ$-a+b,ab\in S_2$が成り立ち、$-a+b,ab\in S_1\cap S_2$である。 よって、$S_1\cap S_2$も$R$の部分環になる。
$R$を整域、$S$を部分環とする。 $S$は整域である。
$a\in S\backslash\{0\}$を任意に取る。 $a$は$R$の元として零因子ではないので、$R$と同じ演算を持つ$S$においても零因子ではない。 よって$S$は整域である。
$R$を環とする。 任意の$r\in R$に対して$r^2=r$が成り立つならば、$R$は可換環である。 このような環をブール環という。
$a,b\in R$を任意に取る。
$
a^2+b^2=a+b=(a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2
$
より、$ab+ba=0$が成り立つ。 $a+a=aa+aa=0$より$a=-a$が任意の元について成り立つので、
$
ab=-ba=ba
$
よって、$R$は可換環。
$R\neq\{0\}$を元の数が有限な環とする。 $R\backslash R^\times$の元は零因子である。
$a\in R\backslash R^\times,b\in R$を任意に取る。 $a,a^2,\cdots$を考えると$|R|$は有限なのである$i< j$が存在して$a^i=a^j$が成り立つ。
$
a^i(1-a^{j-i})=0
$
より$a^i=0$または$a^{j-i}=1$である。 $a^{j-i}=1$が成り立つとすると、$aa^{j-i-1}=1$より$a\not\in R^\times$に矛盾する。 よって$a^i=0$が成り立ち、$aa^{i-1}=0$なので$a$は零因子。
