2-1 環準同型とイデアル

$\varphi(0)=0$ なので $0\in\ker\varphi$。$a,b\in\ker\varphi$ なら
$$ \varphi(a-b)=\varphi(a)-\varphi(b)=0-0=0, $$
よって $a-b\in\ker\varphi$。さらに $r\in R,a\in\ker\varphi$ なら
$$ \varphi(ra)=\varphi(r)\varphi(a)=\varphi(r)0=0, $$
従って $ra\in\ker\varphi$。よって核はイデアルです。
像は $\varphi(0)=0$ と $\varphi(1)=1$ を含みます。$x=\varphi(a),y=\varphi(b)$ なら
$$ x-y=\varphi(a-b), \qquad xy=\varphi(ab) $$
も像に入るので、像は部分環です。□

二つの有限和の差は再び同じ形の有限和で、外から $r\in R$ を掛けても係数を $rr_i$ に替えるだけなので、$(a_1,\ldots,a_m)$ はイデアルです。各 $a_i$ は係数 $r_i=1$、他の係数0とすれば含まれます。
$J$ が全 $a_i$ を含むなら、吸収性から $r_ia_i\in J$。加法について閉じるので、その有限和も $J$ に入ります。従って生成イデアル全体が $J$ に含まれます。□

$I=\{0\}$ なら $n=0$ とすればよい。$I\ne\{0\}$ なら、$I$ は非零元 $a$ とその逆元 $-a$ を含むので正整数を含みます。$I$ に属する正整数のうち最小のものを $n$ とします。
任意の $a\in I$ を除法算法で
$$ a=qn+r, \qquad0\le r< n $$
と書きます。$a,n\in I$ なので $r=a-qn\in I$。$n$ の最小性から $r=0$。従って $a\in n\mathbb Z$ で $I\subset n\mathbb Z$。逆に $n\in I$ と吸収性から全 $qn$ が $I$ に入るため $n\mathbb Z\subset I$。よって等号です。
$m\mathbb Z=n\mathbb Z$ で $m,n\ge0$ なら、正の生成元がある場合は互いに割り切るので $m=n$。零の場合も一致します。□

$I=R$ なら $1\in I$。$1$ は単元なので2から3。単元 $u\in I$ があれば、吸収性から
$$ 1=u^{-1}u\in I. $$
さらに $1\in I$ なら任意の $r\in R$ について $r=r1\in I$ なので $I=R$。□

任意の $12a+18b$ は6の倍数なので $(12,18)\subset(6)$。逆に
$$ 6=18-12 $$
は $(12,18)$ に属します。生成イデアルの最小性または吸収性から、6の全倍数が $(12,18)$ に入り $(6)\subset(12,18)$。従って等号です。□

因数定理から $f(2)=0$ と $(x-2)\mid f$ は同値なので
$$ \ker(\operatorname{ev}_2)=(x-2). $$
任意の $q\in\mathbb Q$ は定数多項式 $q$ の像なので、評価写像は全射で
$$ \operatorname{im}(\operatorname{ev}_2)=\mathbb Q. $$
□

$\mathbb Z$ は $0,1$ を含み、差と積で閉じるので $\mathbb Q$ の部分環です。しかし $1\in\mathbb Z$ と $1/2\in\mathbb Q$ に対し
$$ \frac12\cdot1=\frac12\notin\mathbb Z. $$
外部の元による吸収性を満たさないため、イデアルではありません。□