素イデアル・極大イデアル

$(\Rightarrow )$ $a,b\in R$に対して、$(a+\mathfrak{p})(b+\mathfrak{p})=\mathfrak{p}$が成り立つとする。 このとき、$ab\in \mathfrak{p}$であり$\mathfrak{p}$が素イデアルなので$a\in \mathfrak{p}$または$b\in \mathfrak{p}$である。 よって、$R/\mathfrak{p}$において積が零元になるときにはどちらかの元が零元となるので、$R/\mathfrak{p}$は整域。 $(\Leftarrow )$ $a,b\notin \mathfrak{p}$を任意に取る。 $(a+\mathfrak{p})(b+\mathfrak{p})=ab+\mathfrak{p}$であるが、$R/\mathfrak{p}$は整域なので$ab+\mathfrak{p}\ne \mathfrak{p}$が成り立つ。 よって、$ab\notin \mathfrak{p}$より$\mathfrak{p}$は素イデアル。

$(\Rightarrow )$ 対偶を示す。 $a\ne 0$を零因子とすると、$ab=0$となるような$b\ne 0$が存在する。 よって、$a,b\notin (0)$だが$ab\in (0)$を満たすような$a,b$が存在するので$(0)$は素イデアルではない。 $(\Leftarrow )$ 対偶を示す。 $(0)$が素イデアルではないので、ある$a,b\in R$が存在して$a,b\notin (0)$だが$ab\in (0)$が成り立つ。 よって、$a,b$は0ではない零因子なので$R$は整域ではない。

背理法で示す。 $I_m\subset \mathfrak{p}$を満たす$1\le m\le n$が存在しないと仮定する。 $k=1,\cdots ,n$に対して、$x_k\in I_k\mathrm{\setminus }\mathfrak{p}$が取れる。 このとき、$x_1\cdots x_n\in I_1\cap \cdots \cap I_n$であるが、$x_1\cdots x_n\notin \mathfrak{p}$なのでこれは矛盾。

$(R/I)/(\mathfrak{p}/I)\cong R/\mathfrak{p}$
なので、左辺が整域であることと右辺が整域であることは同値であることから従う。

$R$を環、$\mathfrak{m}$を極大イデアルとする。 このとき、$R/\mathfrak{m}$は体であり、体は整域なので$R/\mathfrak{m}$は整域である。 よって$\mathfrak{m}$は素イデアルである。

$R$を可換環、$I$をイデアルとする。 $0\in \sqrt{I}$は明らか。 $a,b\in \sqrt{I}$とする。 このときある$m,n$が存在して$a^m,b^n\in I$である。 $(-a+b{)}^{m+n}$の各項は$a^m$または$b^n$で割り切れるので$-a+b\in \sqrt{I}$。 また、任意の$r\in R$に対して、$(ra{)}^n\in I$なので$ra\in \sqrt{I}$。 以上より、$\sqrt{I}$は$R$のイデアルである。

(1)$\sqrt{\sqrt{I}}\supset \sqrt{I}$は明らか。 $\sqrt{\sqrt{I}}\subset \sqrt{I}$を示す。 $r\in \sqrt{\sqrt{I}}$を任意に取る。 ある$n>0$が存在して$r^n\in \sqrt{I}$なので、ある$m>0$が存在して$(r^n{)}^m\in I$。 つまり、ある$mn>0$が存在して$r^{mn}\in I$なので、$r\in \sqrt{I}$。 以上より、$\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$。 (2)$\sqrt{I+J}\subset \sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$を示す。 $r\in \sqrt{I+J}$を任意に取る。 ある$n>0$と$a\in I,b\in J$が存在して$r^n=a+b$と書ける。 $a^1=a,b^1=b$なので$a\in \sqrt{I},b\in \sqrt{J}$で$a+b\in \sqrt{I}+\sqrt{J}$である。 つまり$r^n\in \sqrt{I}+\sqrt{J}$なので$r\in \sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$より$\sqrt{I+J}\subset \sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$が成り立つ。 $\sqrt{I+J}\supset \sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$を示す。 $r\in \sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$を任意に取る。 ある$n>0$と$a\in \sqrt{I},b\in \sqrt{J}$が存在して$r^n=a+b$と書ける。 $a\in \sqrt{I},b\in \sqrt{J}$よりある$i,j>0$が存在して$a^i\in I,b^j\in J$が成り立つ。 $(r^n{)}^{i+j}=(a+b{)}^{i+j}\in I+J$なので、$r\in \sqrt{I+J}$。 以上より、$\sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$。

$\sqrt{\mathfrak{p}}\supset \mathfrak{p}$は明らか。 $\sqrt{\mathfrak{p}}\subset \mathfrak{p}$を示す。 $p\in \sqrt{\mathfrak{p}}$を任意に取る。 ある$n>0$が存在して$p^n\in \mathfrak{p}$が存在する。 $p^n=p\cdot p^{n-1}$であり、$\mathfrak{p}$は素イデアルなので$p\in \mathfrak{p}$または$p^{n-1}\in \mathfrak{p}$が成り立つ。 これを繰り返すことで$p\in \mathfrak{p}$となるので$\sqrt{\mathfrak{p}}\subset \mathfrak{p}$である。 つまり、$\mathfrak{p}$が素イデアルならば$\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}$が成り立つ。