ζ関数

ζ関数

ζ関数 (zeta function) を
ζ(s)=n=11ns
により定義する。

Dirichlet級数 ζ(1) は発散する。
実際、積分との比較から n=1N1/n=logN+O(1) となることが容易にわかる。
さらに正確に、 Abelの総和公式 から、n=1N1n=logN+γ+O(1N) となる定数
γ が存在することがわかる。

σ=Res>1 のとき、Dirichlet級数 ζ(s) は絶対収束し、
|ζ(s)|ζ(σ)<1+1dttσ=σσ1
が成り立つ。

このことから、ζ(s) の絶対収束座標は 1 であることがわかる。
よって、Res>1 において ζ(s) Euler積
ζ(s)=p(11ps)1
をもつ。

さらに、σ>11 より大きい実数のときは
ζ(σ)>1dttσ=1σ1
となるから、
1σ<ζ(σ)<σσ1
が成り立つ。このことから
limσ1+0(σ1)ζ(σ)=1
となることがわかる。

参考文献

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G. H. Hardy and E. M. Wright, revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman, An Introduction to the Theory of Numbers, 6th Ed., Oxford University Press, 2008
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G. H. Hardy and E. M. Wright, 訳: 示野 信一、矢神 毅, 数論入門I 原書6版, 数学クラシックス, 丸善出版, 2022
[3]
G. H. Hardy and E. M. Wright, 訳: 示野 信一、矢神 毅, 数論入門II 原書6版, 数学クラシックス, 丸善出版, 2022
[5]
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Trygve Nagell, Introduction to Number Theory, Reprint Edition, American Mathematical Society (original: John Wiler & Sons, Inc.), 2001
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Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records (3rd ed. pbk.), Springer, 2013
[9]
Edouard Lucas, Théorie des nombres, Gauthier-Villars, 1891
[11]
D. P. Parent, Exercices des théorie des nombres, BORDAS, 1978
[12]
H. C. Pocklington, The determination of the prime or composite nature of large numbers by Fermat's theorem, Proc. Cambridge Phil. Soc., 1914, 29
[15]
F. Proth, Théorèmes sur les nombres premiers, C. R. Acad. Sci., 87, 926
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