接合積

$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}} \newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}} \newcommand{bbe}[0]{\mathbb{e}} \newcommand{Bu}[0]{\mathbf{u}} \newcommand{Bv}[0]{\mathbf{v}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{CC}[0]{\mathscr{C}} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{ind}[0]{\operatorname{ind}} \newcommand{K}[0]{\mathbb{K}} \newcommand{LCM}[0]{\mathrm{LCM}} \newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{nequiv}[0]{\not\equiv} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{Ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

数論的関数 $f, g$接合積 (convolution) $f*g$
$$(f*g)(N)=\sum_{d\mid N}f(d)g(N/d)$$
により定める。

基本的性質

明らかに
$$(f*g)=(g*f),$$
$$((f*g)*h)(N)=(f*(g*h))(N)=\sum_{N=d_1 d_2 d_3}f(d_1)g(d_2)h(d_3)$$
が成り立つ。さらに、$\bbe(N)$ メビウス関数:定理1 で考察した関数
$$\bbe(N)=\sum_{d\mid N}\mu(d)=\left\{\begin{array}{cl} 1 & (N=1)\\ 0 & (N>1)\end{array}\right.$$
と定めると、
$$\bbe *f=f*\bbe =f$$
が成り立つ。すなわち $\bbe$ は、convolutionに関する単位元とみることができる。

$\mathbb{1}(N)$ を、すべての整数に対して $1$ をとる関数とし、多項式 $P(x)$ に対し、$[P]$ を整数 $N$ に対して $P(N)$ を値にとる関数とする(よって $\mathbb{1}=[x^0]$ となる)と、 約数関数 $d_k(N)$ について
$$d_k=\mathbb{1}*[x^k]$$
が成り立つ。とくに
$$d=\mathbb{1}*\mathbb{1}, \sigma=\mathbb{1}*[x]$$
が成り立つ。

つぎの一般的な定理が成り立つ。

$2$つの数論的関数 $f(N), g(N)$ について
$$f*g=e$$
となるとき、
$$f*a=b\Longleftrightarrow a=g*b$$
が成り立つ。

$b=f*a$ ならば
$$g*b=g*(f*a)=(g*f)*a=\bbe *a=a$$
となる。また $a=g*b$ ならば
$$f*a=f*(g*b)=(f*g)*b=\bbe *b=b$$
となる。

また、次の定理も重要である。

$f, g$ が乗法的関数ならば $f*g$ も乗法的関数である。

$N=p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_r^{e_r}$ と素因数分解すると
$$\begin{split} (f*g)(N)= & \sum_{d\mid N}f(N/d) g(d) \\ = & \sum_{0\leq f_i\leq e_i (1\leq i\leq k)} f(p_1^{e_1-f_1}p_2^{e_2-f_2}\cdots p_k^{e_k-f_k})g(p_1^{f_1}p_2^{f_2}\cdots p_k^{f_k}) \\ = & \sum_{0\leq f_i\leq e_i (1\leq i\leq k)} \prod_{i=1}^k f(p_i^{e_i-f_i})g(p_i^{f_i}) \\ = & \prod_{i=1}^k \sum_{f_i=0}^{e_i} f(p_i^{e_i-f_i})g(p_i^{f_i}) \\ = & \prod_{i=1}^k (f*g)(p_i^{e_i}) \end{split}$$
となるので、$f*g$ も乗法的関数である。

この定理は 加法的関数と乗法的関数:定理4 を含んでいる。実際、すべての整数 $N$ に対して $g(N)=1$ となる関数 $g$ は乗法的関数だから、
$f$ が乗法的関数ならば $h(N)=\sum_{d\mid N}f(N)$ により定義される関数 $h$ も乗法的関数である。

参考文献

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G. H. Hardy and E. M. Wright, revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman, An Introduction to the Theory of Numbers, 6th Ed., Oxford University Press, 2008
[2]
G. H. Hardy and E. M. Wright, 訳: 示野 信一、矢神 毅, 数論入門I 原書6版, 数学クラシックス, 丸善出版, 2022
[3]
G. H. Hardy and E. M. Wright, 訳: 示野 信一、矢神 毅, 数論入門II 原書6版, 数学クラシックス, 丸善出版, 2022
[5]
D. P. Parent, Exercises in Number Theory, Springer-Verlag, 1984
[6]
Trygve Nagell, Introduction to Number Theory, Reprint Edition, American Mathematical Society (original: John Wiler & Sons, Inc.), 2001
[7]
Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records (3rd ed. pbk.), Springer, 2013
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Edouard Lucas, Théorie des nombres, Gauthier-Villars, 1891
[11]
D. P. Parent, Exercices des théorie des nombres, BORDAS, 1978
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