原始素因数

$$\newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}} \newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}} \newcommand{bbe}[0]{\mathbb{e}} \newcommand{Bu}[0]{\mathbf{u}} \newcommand{Bv}[0]{\mathbf{v}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{CC}[0]{\mathscr{C}} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{ind}[0]{\operatorname{ind}} \newcommand{K}[0]{\mathbb{K}} \newcommand{LCM}[0]{\mathrm{LCM}} \newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{nequiv}[0]{\not\equiv} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{Ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

Lucas数列は、一般的な 円分多項式
$$\Phi_n(X, Y)=(X^n-Y^n)/\prod_{d< n, d\mid n}\Phi_d(X, Y)=Y^{\varphi(n)}\Phi_n(X/Y, 1)$$
を用いて
$$u_n=\prod_{d\mid n, d>1}\Phi_d(\alpha, \beta)$$
とあらわされる。

$\Phi_d(\alpha, \beta)$ の整除性については、つぎの定理が成り立つ。

$q_d=\Phi_d(\alpha, \beta)$ と定めると、
$p$$2Q$ を割り切らない素数で $q_n$ を割り切るとき $n=\rho(p) p^k$ となる。

$m=\rho(p)$ とおく。$p$$q_n$ を割り切るから $u_n$ も割り切るので $m\mid n$ である。

$m< n$ と仮定し、$s$$m\mid (n/s)\mid n$ となる素数とする。
$q_n$
$$\prod_{d\mid n, (n/s)\nmid d}q_d=\frac{u_n}{u_{n/s}}$$
を割り切るので
$p$$u_n/u_{n/s}$ を割り切る。
前ページの定理2 より
$$p^e\mid\mid u_m, p^f\mid\mid \frac{n}{sm}$$
となる整数 $e, f$ をとると
$$p^{e+f}\mid\mid u_{n/s}$$
かつ
$$p^{e+f+1}\mid u_n$$
となるが、 前ページの定理2 より
$$p^{f+1}\mid \frac{n}{m}$$
となるから、 $f$ のとり方より $s=p$ である。よって $n/m$$p$ の冪でなければならない。

参考文献

[1]
G. H. Hardy and E. M. Wright, revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman, An Introduction to the Theory of Numbers, 6th Ed., Oxford University Press, 2008
[2]
G. H. Hardy and E. M. Wright, 訳: 示野 信一、矢神 毅, 数論入門I 原書6版, 数学クラシックス, 丸善出版, 2022
[3]
G. H. Hardy and E. M. Wright, 訳: 示野 信一、矢神 毅, 数論入門II 原書6版, 数学クラシックス, 丸善出版, 2022
[5]
D. P. Parent, Exercises in Number Theory, Springer-Verlag, 1984
[6]
Trygve Nagell, Introduction to Number Theory, Reprint Edition, American Mathematical Society (original: John Wiler & Sons, Inc.), 2001
[7]
Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records (3rd ed. pbk.), Springer, 2013
[9]
Edouard Lucas, Théorie des nombres, Gauthier-Villars, 1891
[11]
D. P. Parent, Exercices des théorie des nombres, BORDAS, 1978
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