速度合成

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 3つの瞬間の観測者 $X,Y,Z\in T_pM$ が一次従属であるとする。
$T_pM$ の基底 $\{\partial_0,\partial_1,\partial_2,\partial_3\}$ を適当に取り、$X=\partial_0,\ Y=\cosh\theta\partial_0+\sinh\theta\partial_1,\ Z=\cosh\phi\partial_0+\sinh\phi\partial_1,\ 0\le\theta\le\phi$ としてよい。
このとき、$v_1=|Y^X|=c\tanh\theta,\ v_2=|Z^Y|=c\tanh(\phi-\theta)$ であるから、
$$ \begin{aligned} v=|Z^X|=\tanh\phi=\tanh(\phi-\theta+\theta)=\frac{v_1/c+v_2/c}{1+v_1v_2/c^2} \end{aligned} $$
となる。

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