電磁場のエネルギー運動量テンソル
真空中の電磁場 $F$ に対して、''エネルギー運動量テンソル''を
$$
\begin{align}
T(X,Y)=\frac{1}{\mu_0}\left(g^\ast(X\lrcorner F,Y\lrcorner F)-\frac{1}{4}||F||^2g(X,Y)\right)
\end{align}
$$
と定義する。
ここで、$g^\ast$ は双対接空間に定義される内積である。
チャートに関して成分表示すると
$$
\begin{align}
T_{\mu\nu}=\frac{1}{\mu_0}\left(F_{\mu\rho}F_\nu^{\ \rho}-\frac{1}{4}F_{\rho\omega}F^{\rho\omega}g_{\mu\nu}\right)
\end{align}
$$
である。
あるLorentz座標系 $\{x^0,x^1,x^2,x^3\}$ に関して、
$$
F=\sum_i\frac{1}{c}E_idx^i\wedge dx^0+\frac{1}{2}\sum_{i,j,k}\epsilon_{ijk}B_idx^j\wedge dx^k
$$
と表すとき、
$$
\begin{align}
T_{00}&=\frac{1}{2}(\mathbb{E}\cdot\mathbb{D}+\mathbb{H}\cdot\mathbb{B}),\\
T_{i0}&=-\frac{1}{c}\mathbb{S}_i,\ \mathbb{S}=\mathbb{E}\times\mathbb{H},\\
T_{ij}&=-\epsilon_0E_iE_j-\mu_0H_iH_j+\frac{1}{2}(\mathbb{E}\cdot\mathbb{D}+\mathbb{H}\cdot\mathbb{B})\delta_{ij}
\end{align}
$$
となる。
ただし、$\mathbb{D}=\varepsilon_0\mathbb{E},\mathbb{B}=\mu_0\mathbb{H}$ である。
\begin{align} ||F||^2&=2(\sum_iF_{0i}F^{0i}+\sum_{i< j}F_{ij}F^{ij})=-\frac{2}{c^2}|\mathbb{E}|^2+2|\mathbb{B}|^2,\\ T_{00}&=\frac{1}{\mu_0}(F_0^{\ \alpha}+F_{0\alpha}+\frac{1}{4}||F||^2) =\frac{1}{\mu_0}(\frac{1}{c^2}|\mathbb{E}|^2-\frac{1}{2c^2}|\mathbb{E}|^2+\frac{1}{2}|\mathbb{B}|^2) =\frac{1}{2}(\mathbb{E}\cdot\mathbb{D}+\mathbb{H}\cdot\mathbb{B}),\\ T_{i0}&=\frac{1}{\mu_0}F_0^{\ \nu}F_{i\nu}=-\frac{1}{\mu_0}F_{j0}F_i^{\ j}=-\frac{1}{\mu_0c}\sum_{j,k}E_j\epsilon_{ijk}B_k =-\frac{1}{c}(\mathbb{E}\times\mathbb{H})_i,\\ T_{ij}&=\frac{1}{\mu_0}(F_i^{\ \mu}F_{j\mu}-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}g_{ij}) =\frac{1}{\mu_0}(F_i^{\ 0}F_{j0}+F_{ik}F_{jk}+\frac{1}{2}(|\mathbb{E}|^2/c^2-|\mathbb{B}|^2)\delta_{ij})\\ &=\frac{1}{\mu_0}(-\frac{1}{c^2}E_iE_j+\epsilon_{ikl}\epsilon_{jkm}B_lB_m+\frac{1}{2}(|\mathbb{E}|^2/c^2-|\mathbb{B}|^2)\delta_{ij})\\ &=-\varepsilon_0E_iE_j+\frac{1}{\mu_0}(\delta^i_j\delta^l_m-\delta^i_m\delta^l_j)B_lB_m+\frac{1}{2}(\mathbb{E}\cdot\mathbb{D}-\mathbb{B}\cdot\mathbb{H})\delta_{ij},\\ &=-\varepsilon_0E_iE_j+\mathbb{B}\cdot\mathbb{H}\delta_{ij}-\frac{1}{\mu_0}B_jB_i+\frac{1}{2}(\mathbb{E}\cdot\mathbb{D}-\mathbb{B}\cdot\mathbb{H})\delta_{ij} =-\varepsilon_0E_iE_j-\mu_0H_iH_j+\frac{1}{2}(\mathbb{E}\cdot\mathbb{D}+\mathbb{B}\cdot\mathbb{H})\delta_{ij} \end{align}
さらに、次が成り立つ。
$$ \begin{align} \partial^\mu T_{\mu\nu}=\mu_0F_\nu^{\ \mu}J_\mu \end{align} $$
\begin{align} \partial^\mu T_{\mu\nu}&=\partial^\mu(F_{\mu\lambda}F_\nu^{\ \lambda}-\frac{1}{4}F_{\lambda\rho}F^{\lambda\rho}g_{\mu\nu}),\\ &=\partial^\mu F_{\mu\lambda}F_\nu^{\ \lambda}+F_{\mu\lambda}\partial^\mu F_\nu^{\ \lambda}-\frac{1}{4}\partial^\mu(F_{\lambda\rho}F^{\lambda\rho})g_{\mu\nu},\\ &=\partial^\mu F_{\mu \lambda}F_\nu^{\ \lambda}+F_{\mu \lambda}\partial^\mu F_\nu^{\ \lambda}-\frac{1}{2}(\partial_\nu F_{\lambda\rho})F^{\lambda\rho},\\ &=\partial^\mu F_{\mu\lambda}F_\nu^{\ \lambda}+F_{\mu\lambda}\partial^\mu F_\nu^{\ \lambda}+\frac{1}{2}(\partial_\lambda F_{\rho\nu}+\partial_\rho F_{\nu\lambda})F^{\lambda\rho},\\ &=\partial^\mu F_{\mu \lambda}F_\nu^{\ \lambda}=\mu_0F_\nu^{\ \lambda}J_\lambda,\ (\because\ \partial^\mu F_{\mu\nu}=\mu_0J_\nu) \end{align}
また、上の式を時間と空間の成分に分解すると次が得られる。
\begin{align}
-\frac{\partial w}{\partial t}&={\rm div}\mathbb{S}+\mathbb{E}\cdot\mathbb{j},\\
\frac{1}{c^2}\frac{\partial\mathbb{S}}{\partial t}&={\rm div}\mathbb{M}-(\rho\mathbb{E}+\mathbb{j}\times\mathbb{B})
\end{align}
となる。ただし、
\begin{align}
J&=\rho dx^0-\sum_{k=1}^3j_kdx^k,\\
w&:=\frac{1}{2}(\mathbb{E}\cdot\mathbb{D}+\mathbb{H}\cdot\mathbb{B}),\\
M_{ij}&:=-T_{ij}=\epsilon_0E_iE_j+\mu_0H_iH_j-\frac{1}{2}(\mathbb{E}\cdot\mathbb{D}+\mathbb{H}\cdot\mathbb{B})\delta_{ij},\\
{\rm div}\mathbb{M}&=\sum_{i,j=1}^3\partial_iM_{ij}\partial_j
\end{align}
と置いた。
\begin{align} \partial^\mu T_{\mu0} &=\partial^0T_{00}+\partial^iT_{i0} =-\frac{1}{c}\frac{\partial w}{\partial t}-\frac{1}{c}\partial_iS_i \\ \mu_0F_0^{\ \mu}J_\mu &=\mu_0F_{0\mu}J^\mu =\mu_0F_{0i}J^i =-\mu_0\frac{1}{c}E_iJ^i =\mu_0\frac{1}{c}E_ij^i,\\ \partial^\mu T_{\mu i} &=\partial^0T_{0i}+\partial^jT_{ji} =\frac{1}{c^2}\partial_tS_i-\partial^jM_{ji}, \\ \mu_0F_i^{\ \mu}J_\mu &=\mu_0F_{i0}J^0+\mu_0F_{ij}J^j \end{align}
