フィルターによる位相空間論2：収束点と堆積点
2. 位相空間上のフィルターの収束点と堆積点
編集上の案内： 対応する別の定式化は ネットによる位相空間論2：収束点と堆積点 を参照。
$X$ を位相空間、$\mathcal{F}$ を $X$ 上のフィルター、 $x\in X$ とする。$\mathcal{F}$ が $x$ の近傍系 $\mathcal{N}_x$ の細分となるとき、$x$ を $\mathcal{F}$ の収束点という。
また、$\mathcal{F}$ が $\mathcal{N}_x$ と両立するとき、$x$ を $\mathcal{F}$ の堆積点という。
$x$ が $\mathcal{F}$ の収束点であることを、$\mathcal{F}$ は $x$ に収束するといい、このことを、$\mathcal{F}\rightarrow x$ や、$\lim\mathcal{F} =x$ と表す。
$\mathcal{F}$ を位相空間 $X$ のフィルターとし、$x\in X$ とする。次は互いに同値である。
- $(1)$ $x$ は $\mathcal{F}$ の堆積点である。
- $(2)$ $\mathcal{F}$ の細分で $x$ に収束するものが存在する。
$X$ を位相空間、$A\subset X$、$x\in X$ とする。次は互いに同値である。
- $(1)$ $x\in\overline{A}$.
- $(2)$ $x$ に収束する $A$ 上のフィルターが存在する。
$(2)\Rightarrow(1)$
$\mathcal{F}$ を $x$ に収束する $A$ 上のフィルターとする。このとき、$\mathcal{N}_x\subseteq \mathcal{F}$ かつ $A\in \mathcal{F} $ なので、任意の $x$ の近傍 $V$ は $A$ と交わる。よって $x\in\overline{A}$。
$(1)\Rightarrow(2)$
$x\in\overline{A}$ を一つとる。このとき $\{B\subseteq X | $ ある $V\in\mathcal{N}_x$ が存在し、$A\cap V\subseteq B\}$ は $x$ に収束する $A$ 上のフィルターになる。
$\mathcal{F}$ を位相空間 $X$ のフィルターとする。このとき $\mathcal{F}$ の堆積点全体は $\bigcap_{F\in\mathcal{F}}\overline{F}$ と一致する。
$\mathcal{F}$ を位相空間 $X$ のフィルターとする。$\mathcal{F}$ の堆積点 $x\in X$ と $F\in\mathcal{F}$ を固定。$x$ の近傍 $V\in\mathcal{N}_x$ を任意に取る。堆積点の定義から、$\mathcal{F}$ と $\mathcal{N}_x$ は両立するので、$F\cap V\neq\emptyset$。$V$ は任意なので閉包の定義から、$x\in\overline{F}$。逆も同様。
参考文献
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