解析学

測度と積分

概要

目次

1. 第1章 測度と積分の基礎

   可測空間と可測写像、可測空間上の測度と積分の定義など、測度論の基礎用語を扱う。

   $$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
   1. 1. 測度論の基礎用語
   2. 2. 測度空間上の積分

2. 第2章 測度論の基本定理

   Lebesgue優収束定理、Tonelli-Fubiniの定理、複素数値測度とRadon-Nikodymの定理など、積分の基本定理を扱う。

   $$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
   1. 3. 測度論の基本定理(1)
   2. 4. 測度論の基本定理(2)

3. 第3章 $L^p$ 空間

   $L^p$ 空間の完備性と双対性、数え上げ測度とHilbert空間のCONSと直和を扱う。

   $$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
   1. 5. $L^p$ 空間の完備性と双対性
   2. 6. 数え上げ測度とell^p空間

4. 第4章 Radon測度とLebesgue測度

   局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度とRiesz-Markov-角谷の表現定理、Lebesgue測度の基本的性質と変数変換公式を扱う。

   $$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
   1. 7. 局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度
   2. 8. Lebesgue測度の基本的性質

5. 第5章 Bochner積分

   関数解析学の技術的なところでしばしば現れるBanach空間値関数の積分、Bochner積分を扱う。

   $$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
   1. 9. Bochner積分