本書は、A. Grothendieck の連続講演「Le groupe de Brauer」I（Azumaya 代数）、II（コホモロジー論）、III（補足と計算）を道案内にして、スキームの Brauer 群の理論を解説する参考書である。I と II は Séminaire Bourbaki の 1964/65 年と 1965/66 年の講演で、III を加えた3篇が論文集『Dix exposés sur la cohomologie des schémas』（North-Holland・Masson、1968年）に収められている。 原論文は、体の中心単純環の同値類として古典的に定義された Brauer 群を、スキーム上の理論に作り直した。I では、エタール局所に行列環になる代数（Azumaya 代数）を導入し、それが $\mathrm{PGL}_r$ トーサーや Severi–Brauer スキームと同じものであることを示して、Brauer 群 $\mathrm{Br}(X)$ を $H^2(X,\mathbb{G}_m)$ に埋め込む。II では、捩れ部分 $\mathrm{Br}'(X)=H^2(X,\mathbb{G}_m)_{\mathrm{tors}}$ との比較、正則スキームでの関数体への埋め込み、Kummer 列による $\ell$ 部分の計算（余階数 $B_2-\rho$）を扱う。III では、体と次元1のスキーム、Hensel 離散付値環上の曲面（M. Artin の定理）、曲線束と Tate–Šafarevič 群、fppf位相と相対 Picard 関手、純性、ブローアップと双有理不変性、Tate 加群を通した Néron–Severi 群との双対性、不分岐コホモロジー、余次元フィルトレーションと Weil・Tate・Hodge の予想との関係、エタールコホモロジーと fppf コホモロジーの比較定理までを一気に論じる。 この論文は、その後の多くの研究の出発点になった。Giraud の非可換コホモロジー（ジェルブ）による $\mathrm{Br}$ と $\mathrm{Br}'$ の比較、Artin–Mumford による単有理だが有理でない3次元多様体の構成、Colliot-Thélène–Ojanguren らの不分岐コホモロジーと有理性の研究、Bloch–Ogus の理論、Tate と Milne による有限体上の曲面の Brauer 群と Tate 予想の関係（Artin–Tate の公式）、Brauer–Manin 障害の研究などが、この流れの上にある。 本書は原論文の翻訳ではない。原論文の節の順序ではなく、Azumaya 代数、コホモロジー的 Brauer 群、低次元の計算、fppf位相、純性と双有理不変性、双対性、高次の双有理不変量と予想、という主題ごとの7章に頁を立て、現代の記号と言葉で書き直した。原論文は、当時の読者が EGA と SGA 4 を手元に置いていることを前提に、多くの段を「よく知られている」「直ちに分かる」で済ませている。本書はその段を補って証明を閉じ、各主張が本書の中で証明し切れたもの（完結）、引用した定理や仮定に依るもの（条件付き）、証明を閉じられなかったもの（未完結）、印字のままでは成り立たないもの（偽）のどれに当たるかを区別して示す。エタールコホモロジーの基本定理、曲面の交叉理論、Weil 予想の Deligne による証明など、外部から引く結果は引用であることを明示する。各頁の末尾には、原論文の番号と頁との対応表を置く。 原論文との違いは、構成と記号のほかに次の点にある。原論文が見込みや予想として述べた箇所は、証明した主張と区別して予想として書く。仮定が足りない主張は、足りない仮定（「固有」「分離閉」「正則」など）を補った形で述べ、補わないと成り立たない具体的な状況をあわせて示す。原論文が他の文献に譲った構成（Raynaud の結果など）は、引用であることを明記する。 その後の進展も、2026年9月の時点で分かっている範囲で各頁に記した。有限体上の滑らかな射影多様体について、$\ell$ 進 Betti 数が $\ell$ によらないことは、Deligne による Weil 予想の証明（1974年）から従う。正則スキームから余次元 $2$ 以上の閉集合を除いても Brauer 群が変わらないという純性は、正則スキーム一般について Gabber と Česnavičius の仕事で確立された。滑らかな可換群スキームについてエタールコホモロジーと fppf コホモロジーが一致するという原論文の付録の比較定理は、その後、標準的な道具として広く使われている。本書は、これらの後代の結果を原論文の主張と混同しないように書き分けている。 原論文には、印字のままでは成り立たない主張がいくつかある。本書はそれぞれについて正しい形と、成り立たない具体的な状況を示す。代表的なものを挙げる。I の 1.3 は、完全列の左端を $1\to H^1(X,\mathbb{G}_m)$ と印字しているが、正しくは左に $H^0(X,\mathrm{PGL}_n)$ が付き、実射影平面の上で $n=2$ とすると $L\mapsto L^{\oplus n}$ の核は自明にならない。II では、第1 Betti 数 $B_1$ を Picard スキームの次元としているが、正しくはその2倍である。II の 3.5 は、$\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$ 上有限型で被約なスキームの Picard 群が有限生成であることを「もっともらしい」とするが、これは成り立たず、Bourbaki 版の注記自身が Bass と Murthy の指摘として訂正している。II の 3.1 と 3.4 にも、準コンパクト性の仮定や有限体上での $B_2$ の読み方についての不備がある。III では、曲線束の閉ファイバーの局所不変量についての整除と等号の主張 (4.26)–(4.29) と、有限体上の固有曲線の上での等号 (4.43) が一般には成り立たず、有限体上の射影直線の上の円錐曲線束で破れる。ほかに、純性の定理 (6.1) c) d) は余次元 $2$ 以上に限る必要があり、(7.3) や (9.2) には「固有」の仮定が、補題 (11.3) には添字の範囲の修正が、補題 (11.4) には閉部分スキームが空でないという仮定が要る。最もよく知られているのは、§10.4 で余次元フィルトレーションと Hodge フィルトレーションの等号として掲げた予想である。この形はそのままでは成り立たず（たとえば楕円曲線の3乗の $H^3$ で破れる）、原論文自身の1968年10月の追記も元の形が誤りであることを認めて、Hodge 分解について安定な最大の部分に置き換えた。これが今日の一般 Hodge 予想であり、Grothendieck は翌1969年にこの事情を短い論文にまとめた。 原論文の時点で未解決だった問題のその後にも触れる。II の問い、すなわち $\mathrm{Br}(X)\to H^2(X,\mathbb{G}_m)_{\mathrm{tors}}$ が全射か（$\mathrm{Br}=\mathrm{Br}'$ か）は、Gabber がアフィンスキームなどの場合に示し、de Jong が豊富な可逆層をもつスキームへ広げた。一方で、分離的でないスキームでは等号が崩れることが Edidin–Hassett–Kresch–Vistoli により示された。II (1.11) の予想は Grothendieck–Serre 予想として知られるようになり、体を含む正則局所環の場合などで解決された。有限体上の曲面については、因子についての Tate 予想が Brauer 群の有限性と同値であることが Tate と Milne により示された。Tate 予想は、有限体上の Abel 多様体の因子の場合（Tate）や K3 曲面の場合に証明されたが、一般には未解決である。Hodge 予想と、修正後の一般 Hodge 予想も未解決である。III の §2 で紹介される M. Artin の問い（$\mathrm{Spec}\,\mathbb{Z}$ 上固有なスキームの Brauer 群は有限か）は、次元1以下では原論文の計算で肯定的に答えられるが、一般には未解決で、有限体上の曲面では Tate 予想と結びつけて研究されている。 読むには、可換環論（平坦性、Hensel 局所環、正則局所環）、ホモロジー代数（長完全列、スペクトル系列）、スキーム論（エタール射、固有射、ブローアップ、降下）、層とエタールコホモロジー、Galois コホモロジーと類体論の初歩が要る。第2章の後半からは、代数曲面の交叉理論と Néron–Severi 群、Tate 加群と Tate捻りなどの $\ell$ 進の道具が要り、第7章の最後では Hodge 理論の初歩を使う。すべてを先に学ぶ必要はなく、第1章と第2章の前半は、スキーム論と層コホモロジーの基本と体の Galois コホモロジーの初歩があれば読み始められる。分野ごとの要点、頁ごとに要る前提の対応表、読む順序の案、全頁に共通する記号と約束は、最初の頁「0-1 前提知識と読み方」にまとめた。

旧Mathpediaの二つの完成稿を、原稿ごとの境界と番号体系を保って二部構成にした参考書である。第I部はネット、第II部はフィルターを用いて、閉包・連続性・Hausdorff性・コンパクト性・直積位相・Tychonoffの定理を並行して扱う。さらに、二つの定式化を往復するための編集補節を加えた。 【第I部・ネット】 本稿においては、ネットの収束を用いた位相空間論の基本的議論を説明する。ネットは単純に述べれば点列を一般化した概念である。位相空間論においてネットを用いるメリットは、位相的性質をネットの収束により直観的に扱うことが出来る点であり、複雑な関数空間の位相を取り扱う関数解析の議論においては頻繁に用いられる。点列は、距離空間に代表される第一可算空間における収束の問題を扱うのに十分有効であるが、関数解析学における弱位相、弱 $*$-位相のような第一可算性のない位相における収束の問題を扱う際、必ずしも十分ではない。しかし点列の収束をネットの収束に一般化することで、位相空間の可算性に関わらず点列による収束の議論と全く同様の議論が有効になる。また、ネットの概念を用いればある種の命題の証明がほとんど自明化されることもある。ネットはフィルターと同値な概念であり、同様にフィルターによる位相空間論も展開されるが、こちらは集合論の議論において用いられることが多い。本稿においてはネットによる閉性、連続性、Hausdorff 性、コンパクト性などの基本的な位相的性質の特徴付けを行う。また点列との対比のため可算性のある位相空間において、それらの点列による特徴付けを、実際に位相空間の可算性を用いて行う。そして最後にネットにより比較的容易な証明が可能であるTychonoff の定理を示す。 【第II部・フィルター】 本稿においては、フィルターの収束を用いた位相空間論の基本的議論を説明する。位相空間におけるフィルターは単純に述べれば点列を抽象化した概念である。位相空間論においてフィルターを用いるメリットは、位相的性質を収束を中心に扱うことと、超フィルターという強力な概念を駆使することで、収束に関わる性質（特に Hausdorff性 やコンパクト性）を上手く扱えることである。抽象的な位相空間を取り扱う一般位相の議論においては頻繁に用いられる。フィルターはネットと同値な概念であり、同様にネットによる位相空間論も展開されるが、こちらは関数解析の議論において用いられることが多い。本稿においてはフィルターによるコンパクト性やHausdorff 性などの基本的な位相的性質の特徴づけを行い、フィルターにより比較的容易な証明が可能であるTychonoff の定理を示すことを目標とする。

このテキストでは、現代数学のどの方面に進むにあたっても必要となる位相空間論の基本事項を、証明をつけた形で解説する。読者には、集合と写像の言葉への慣れを期待する。たとえば、和集合・共通部分などの集合の操作や、全射・単射・像・逆像などの概念には親しんでいるものとする。さらに、具体例を理解するためには、連続性の $\varepsilon$-$\delta$ 論法を用いた定義や、数列の収束の定義、実数の基本性質などを理解していることが望ましい。 現代数学では、点の集まりとしての集合に構造を付加することにより、多彩な概念を構成していく。例えば、代数学においては、集合に加法や乗法などの演算という構造を付加して群、環、体などといった概念を考える。位相空間は、集合にある種の構造を付加することで、写像の連続性や点列の収束など、ある種の「近さ」にまつわる議論を可能にしたものである。つまり、端的に言えば、位相空間とは「近さ」が定義される場所である。 座標平面 $\mathbb{R}^2$ の中には、我々が慣れ親しんだ数多くの図形、たとえば、線分、円、三角形、四角形がある。こうした図形には、自然に「近さ」の概念があると考えられるが、実際にこれらの図形は $\mathbb{R}^2$ からの相対位相という自然な方法で、位相空間とみなすことができる。しかし、図形を位相空間とみなすことは、同時に「近さ」以外の要素を捨象することでもある。その結果として、通常では同じとは思えない図形が、位相空間として同一（正式な用語では「同相」）となることがある。実際、いま述べた円、三角形、四角形はすべて互いに同相である。しかし、線分はこれらと同相ではない。このように、位相空間の立場では図形がかなり「粗く」分類されることになるが、この立場での図形の分類を目指す学問が位相幾何学である。 上に述べたことからも、位相空間論は幾何学の基礎として重要なことは推察されると思うが、位相空間論の重要性は幾何学に留まるものではない。数学の様々な分野で、直観的には図形とは思えない集合に位相空間の構造を与えることで、ある種の図形的考察が可能となる。一つ例を挙げれば、関数解析学においては、関数のなす集合に位相空間としての構造を与えることで「関数空間」をつくり、関数を点とする一種の図形として取り扱うことで解析学の問題解決に豊富な道具を提供している。

常微分方程式の初期値問題から、Sobolev空間版Gaussの発散定理、楕円型正則性、調和関数、Laplace–Poisson方程式、波動方程式へ進む。

有界・非有界作用素、射影値測度、スペクトル定理、極分解、直和・テンソル積、コンパクト作用素、摂動論、作用素イデアル、von Neumann環、解析ベクトルを体系的に扱う。

複素微分と正則関数、冪級数、複素線積分、Cauchy理論、Laurent展開と留数、複素Banach空間値正則関数までを扱う。

Euclid空間の多変数微分法から、Euclid空間内の多様体、微分形式、計量、Riemann測度、向き、Stokesの定理までを体系的に扱う。

測度空間論の基礎用語から、測度と積分の基本定理、$L^p$ 空間の完備性と双対性、局所コンパクトHausdorff空間上のRadon測度とLebesgue測度、Bochner積分へ進む。

ノルムと内積から、セミノルム位相・汎弱位相、Hahn–Banachの定理、Krein–Milmanの端点定理、Fréchet空間と関数解析の基本定理へ進む。

グラフ理論について基礎的な内容を解説する。