粗空間
概要
粗空間（coarse space）とは、集合 $X$ に対して、$X\times X$ の部分集合のうち「一様に近い点対」とみなすもの（制御集合）の族を指定した構造である。制御集合の族は対角線集合を要素として含み、部分集合・逆・合成・有限和について閉じているという公理で定まり、距離空間の有界粗構造がその基本例である。距離の細かい値や小さいスケールの情報を捨て、空間を遠くから見たときの形だけを扱うための枠組みであり、有界集合の引き戻しが有界で一様な近さを保つ写像（粗写像）と、互いに近い写像の存在まで込めた同型（粗同値）によって粗幾何学の対象を比較する。一様空間が小さいスケールを扱うのに対し、粗空間は大きいスケールを扱う。
定義
$X$ を集合とし、直積集合 $X\times X$ の対角線集合を $\Delta_X:=\{(x,y)\in X\times X\mid x=y\}$ と書く。$X\times X$ の部分集合 $E$ に対して、その逆を $E^{-1}:=\{(y,x)\mid (x,y)\in E\}$、二つの部分集合 $E,F$ の合成を
$$
E\circ F:=\{(x,z)\in X\times X\mid \text{ある } y\in X \text{ が存在して } (x,y)\in E,\ (y,z)\in F\}
$$
と定める。合成の順序は本記事全体でこの向きに固定する。
$X\times X$ の部分集合からなる族 $\mathcal{E}$ が $X$ 上の粗構造（coarse structure）であるとは、次の条件をすべて満たすことをいう。
- $\Delta_X\in\mathcal{E}$。
- $E\in\mathcal{E}$ かつ $F\subset E$ ならば $F\in\mathcal{E}$。
- $E\in\mathcal{E}$ ならば $E^{-1}\in\mathcal{E}$。
- $E,F\in\mathcal{E}$ ならば $E\circ F\in\mathcal{E}$。
- $E,F\in\mathcal{E}$ ならば $E\cup F\in\mathcal{E}$。
このとき組 $(X,\mathcal{E})$ を粗空間（coarse space）といい、混乱のおそれがなければ単に $X$ を粗空間という。$\mathcal{E}$ の要素を粗空間 $X$ の制御集合（controlled set）という。この定義は Roe03 第2章に従う。
粗空間 $(X,\mathcal{E})$ の部分集合 $B\subset X$ が有界であるとは、$B\times B\in\mathcal{E}$ となることをいう。
$(X,\mathcal{E})$、$(Y,\mathcal{F})$ を粗空間とし、$f\colon X\to Y$ を写像とする。
- $f$ が固有（proper）であるとは、$Y$ の任意の有界集合 $B$ に対して $f^{-1}(B)$ が $X$ の有界集合となることをいう。
- $f$ が粗一様（coarsely uniform, bornologous）であるとは、任意の $E\in\mathcal{E}$ に対して $(f\times f)(E):=\{(f(x),f(y))\mid (x,y)\in E\}$ が $\mathcal{F}$ に属することをいう。
- $f$ が粗写像（coarse map）であるとは、$f$ が固有かつ粗一様であることをいう。
$S$ を集合、$(X,\mathcal{E})$ を粗空間とする。二つの写像 $f,g\colon S\to X$ が近い（close）とは、$\{(f(s),g(s))\mid s\in S\}\in\mathcal{E}$ となることをいい、$f\sim g$ と書く。
粗空間の間の写像 $f\colon X\to Y$ が粗同値（coarse equivalence）であるとは、$f$ が粗写像であり、かつ粗写像 $g\colon Y\to X$ で $g\circ f\sim\mathrm{id}_X$ かつ $f\circ g\sim\mathrm{id}_Y$ を満たすものが存在することをいう。
直感
粗空間は、空間を「非常に遠くから眺めたときの形」だけを取り出す枠組みである。制御集合 $E$ に属する点対 $(x,y)$ は「一様に近い」とみなされ、距離の細かい値そのものは意味を持たない。有界な差異はすべて同一視され、無限遠での挙動だけが問題になる。粗写像は「一様な近さ」を保ち、有界集合の引き戻しが有界であるような写像であり、粗同値は互いに近い写像の存在まで込めた同型である。
一様空間との対比は補足の表にまとめる。そこで述べるように、粗構造は「小さいスケール」を扱う一様構造の公理で包含の向きを逆にしたものと見ることができるが、これは公理の形の類比であって、一方から他方を導く定理ではない。
例と反例
$(X,d)$ を距離空間とする。$E\subset X\times X$ が「ある $r>0$ が存在して、任意の $(x,y)\in E$ に対して $d(x,y)< r$」を満たすとき、$E$ を制御集合と定め、このような $E$ 全体のなす族を $\mathcal{E}_d$ と書く。$\mathcal{E}_d$ は $X$ 上の粗構造になる（prop-coarse-space-metric-structure）。これを距離空間 $(X,d)$ の有界粗構造（bounded coarse structure）という。有界粗構造に関する有界集合は、距離の意味で直径が有限な集合にほかならない（prop-coarse-space-bounded-metric）。
有界粗構造は最も基本的な粗構造であり、一般の粗構造の幾何的な意味を考える手掛かりになる。$E$ が制御集合であるとは、$(x,y)$ が $E$ を動くとき $x$ と $y$ が距離の意味で一様に近いということである。一般の粗構造では、逆に「一様な近さ」という概念そのものが制御集合の族によって規定されていると考えればよい。
以下の例と反例では、整数全体 $\mathbb{Z}$ に通常の距離 $d(m,n)=|m-n|$ を入れ、有界粗構造について粗空間とみなす。
$f_3\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ を $f_3(n)=3n+5$ で定めると、$f_3$ は粗写像である。実際、$|f_3(m)-f_3(n)|=3|m-n|$ なので、$d(m,n)< r$ を満たす点対は $d(f_3(m),f_3(n))<3r$ を満たし、$f_3$ は粗一様である。また直径が $r$ 未満の集合 $B$ に対して $f_3^{-1}(B)$ の二点 $m,n$ は $3|m-n|< r$ を満たすから $f_3^{-1}(B)$ の直径は $r/3$ 未満であり、$f_3$ は固有である。
固有性と粗一様性は互いに独立な条件であり、どちらか一方だけでは粗写像にならない。すなわち「固有 ⇏ 粗写像」かつ「粗一様 ⇏ 粗写像」である。
- $f_1\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ を $f_1(n)=n^2$ で定めると、$f_1$ は固有だが粗一様でない。$E=\{(n,n+1)\mid n\in\mathbb{Z}\}$ は制御集合であるが、$(f_1\times f_1)(E)$ に属する点対の距離 $|(n+1)^2-n^2|=|2n+1|$ は $n$ について非有界であり、$(f_1\times f_1)(E)$ は制御集合でない。一方、$\mathbb{Z}$ の直径が有限な部分集合 $B$ は有限集合であり、各 $b\in B$ に対して $n^2=b$ となる整数 $n$ は高々2個だから、$f_1^{-1}(B)=\{n\mid n^2\in B\}$ は有限集合、したがって有界である。
- $f_2\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ を $f_2(n)=0$ で定めると、$f_2$ は粗一様だが固有でない。任意の $E$ に対して $(f_2\times f_2)(E)\subset\{(0,0)\}$ は制御集合であるが、有界集合 $\{0\}$ の逆像 $f_2^{-1}(\{0\})=\mathbb{Z}$ は非有界である。
$\mathbb{R}$ と $\mathbb{Z}$ をそれぞれユークリッド距離とその制限について距離空間とみなし、有界粗構造について粗空間と考える。包含写像 $f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$、$f(n)=n$ は粗同値である。実際、$g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{Z}$ を $g(x)=\lfloor x\rfloor$（$x$ 以下の最大の整数）とすると、$f$ と $g$ はいずれも粗写像であり、$g\circ f=\mathrm{id}_{\mathbb{Z}}$、かつ任意の $x\in\mathbb{R}$ に対して $|x-\lfloor x\rfloor|<1$ であるから $f\circ g\sim\mathrm{id}_{\mathbb{R}}$ が成り立つ。$f$ が粗写像であることは ex-coarse-space-map と同様に確かめられる（$|f(m)-f(n)|=|m-n|$ であり、$f^{-1}(B)=B\cap\mathbb{Z}$ の直径は $B$ の直径を超えない）。$g$ については、$x=\lfloor x\rfloor+\theta_x$（$0\le\theta_x<1$）と書くと、$|\lfloor x\rfloor-\lfloor y\rfloor|\le|x-y|+|\theta_x-\theta_y|<|x-y|+1$ および $|x-y|\le|\lfloor x\rfloor-\lfloor y\rfloor|+|\theta_x-\theta_y|<|\lfloor x\rfloor-\lfloor y\rfloor|+1$ が成り立つ。前者から、$d(x,y)< r$ を満たす点対は $d(g(x),g(y))< r+1$ を満たすので $g$ は粗一様である。後者から、直径が $r$ 未満の $B\subset\mathbb{Z}$ に対して $g^{-1}(B)$ の二点 $x,y$ は $|x-y|< r+1$ を満たすので $g^{-1}(B)$ の直径は有限であり、$g$ は固有である。粗幾何学では粗同値な二つの空間を実質的に同じものとみなすので、$\mathbb{Z}$ は「非常に遠くから見ると」$\mathbb{R}$ と同じ形をしている。
性質
距離空間 $(X,d)$ に対して、ex-coarse-space-metric で定めた族 $\mathcal{E}_d$ は $X$ 上の粗構造である。
$E\in\mathcal{E}_d$ であることを「ある $r>0$ で $E\subset\{(x,y)\mid d(x,y)< r\}$」と言い換えて各条件を確かめる。(1) $\Delta_X$ は $r=1$ でこの形に含まれる。(2) $E\subset\{d< r\}$ かつ $F\subset E$ なら $F\subset\{d< r\}$。(3) 距離の対称性から $E\subset\{d< r\}$ なら $E^{-1}\subset\{d< r\}$。(4) $E\subset\{d< r\}$、$F\subset\{d< s\}$ とし $(x,z)\in E\circ F$ とすると、ある $y$ で $d(x,y)< r$、$d(y,z)< s$ であり、三角不等式から $d(x,z)< r+s$。(5) $E\subset\{d< r\}$、$F\subset\{d< s\}$ なら $E\cup F\subset\{d<\max(r,s)\}$。$\square$
距離空間 $(X,d)$ の有界粗構造において、空でない部分集合 $B\subset X$ が有界であることは、$B$ の直径 $\sup\{d(x,y)\mid x,y\in B\}$ が有限であることと同値である。空集合は常に有界である。
$B\times B\in\mathcal{E}_d$ は、ある $r>0$ で任意の $x,y\in B$ に対し $d(x,y)< r$ となることと同値である。これは直径が $r$ 以下、特に有限であることを意味する。逆に直径が有限なら、それより大きい $r$ を取れば同じ条件が成り立つ。空集合については $\emptyset\times\emptyset=\emptyset\subset\Delta_X$ なので条件 (1)(2) から有界である。$\square$
粗空間 $X$ の恒等写像 $\mathrm{id}_X$ は粗写像である。粗写像 $f\colon X\to Y$、$g\colon Y\to Z$ の合成 $g\circ f\colon X\to Z$ は粗写像である。
$\mathrm{id}_X$ について、有界集合 $B$ の逆像は $B$ 自身であり、制御集合 $E$ の像は $E$ 自身であるから、固有かつ粗一様である。
合成について、$X,Y,Z$ の粗構造を $\mathcal{E},\mathcal{F},\mathcal{G}$ とする。$Z$ の有界集合 $B$ に対し、$g$ の固有性から $g^{-1}(B)$ は $Y$ で有界、$f$ の固有性から $(g\circ f)^{-1}(B)=f^{-1}(g^{-1}(B))$ は $X$ で有界である。$E\in\mathcal{E}$ に対し、$f$ の粗一様性から $(f\times f)(E)\in\mathcal{F}$、$g$ の粗一様性から $((g\circ f)\times(g\circ f))(E)=(g\times g)\big((f\times f)(E)\big)\in\mathcal{G}$ である。$\square$
$S$ を集合、$X$ を粗空間とするとき、写像 $S\to X$ の間の関係 $\sim$ は同値関係である。
$f,g,h\colon S\to X$ とし、$G(f,g):=\{(f(s),g(s))\mid s\in S\}$ と書く。反射律：$G(f,f)\subset\Delta_X$ であり、条件 (1)(2) から $G(f,f)\in\mathcal{E}$。対称律：$G(g,f)=G(f,g)^{-1}$ であり、条件 (3) から従う。推移律：$(f(s),h(s))$ は $y=g(s)$ を経由して $G(f,g)\circ G(g,h)$ に属するので $G(f,h)\subset G(f,g)\circ G(g,h)$ であり、条件 (4)(2) から $G(f,h)\in\mathcal{E}$。$\square$
粗空間を対象とし、粗写像の $\sim$ による同値類を射とすると、代表元の合成によって圏が定まる。この圏において射 $[f]$ が同型射であることは、$f$ が粗同値であることと同値である。
まず、合成が同値類の上で定まることを示す。$X,Y,Z$ の粗構造をそれぞれ $\mathcal{E}_X,\mathcal{E}_Y,\mathcal{E}_Z$ と書く。$f,f'\colon X\to Y$、$g,g'\colon Y\to Z$ を粗写像とし、$f\sim f'$、$g\sim g'$ とする。$G(f,f')\in\mathcal{E}_Y$ であり $g$ は粗一様なので、$G(g\circ f,g\circ f')=(g\times g)(G(f,f'))\in\mathcal{E}_Z$、すなわち $g\circ f\sim g\circ f'$。また $G(g\circ f',g'\circ f')=\{(g(f'(x)),g'(f'(x)))\mid x\in X\}\subset G(g,g')\in\mathcal{E}_Z$ なので条件 (2) から $g\circ f'\sim g'\circ f'$。prop-coarse-space-close-equivalence の推移律により $g\circ f\sim g'\circ f'$ である。
prop-coarse-space-identity-composition により恒等射 $[\mathrm{id}_X]$ と合成が定まり、写像の合成の結合律と恒等写像の性質はそのまま同値類に遺伝するので、圏の公理が成り立つ。
$[f]$ が同型射であるとは、ある粗写像 $g\colon Y\to X$ で $[g]\circ[f]=[\mathrm{id}_X]$ かつ $[f]\circ[g]=[\mathrm{id}_Y]$、すなわち $g\circ f\sim\mathrm{id}_X$ かつ $f\circ g\sim\mathrm{id}_Y$ となることであり、これは粗同値の定義そのものである。$\square$
補足：一様空間との対比
一様空間の一様構造 $\mathcal{U}$ は、対角線を含む $X\times X$ の部分集合（近縁）の空でない族であって、上に閉じ（$U\in\mathcal{U}$、$U\subset V$ なら $V\in\mathcal{U}$）、有限個の共通部分と逆に閉じ、各近縁 $U$ に対して $V\circ V\subset U$ となる近縁 $V$ を持つものである。粗構造と並べると次の対応が見える。
| 観点 | 一様空間 | 粗空間 |
|---|---|---|
| 扱うスケール | 小さいスケール（近さの極限） | 大きいスケール（無限遠での形） |
| 基本の族 | 近縁の族。上に閉じ、有限共通部分で閉じる | 制御集合の族。下に閉じ、有限和で閉じる |
| 距離空間からの例 | ある $\varepsilon>0$ で $\{d<\varepsilon\}$ を含む集合全体 | ある $r>0$ で $\{d< r\}$ に含まれる集合全体 |
| 構造を保つ写像 | 一様連続写像 | 粗写像（固有かつ粗一様） |
| 同一視 | 一様同型 | 粗同値 |
「包含の向きを逆にした」というのは、近縁の族が上に閉じるのに対して制御集合の族が下に閉じる、また有限共通部分で閉じるのに対して有限和で閉じる、という公理の形の対応を指す。両者は互いに定義から導かれる関係にはなく、同じ距離空間から作った一様構造と有界粗構造は一般に異なる情報を持つ。
関連項目
参考文献
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