Gergonne点とNagel点

$B(0,0)$、$C(15,0)$、$A\left(\dfrac{42}5,\dfrac{56}5\right)$ とする。$a=BC=15$、$AB^2=\left(\dfrac{42}5\right)^2+\left(\dfrac{56}5\right)^2=\dfrac{1764+3136}{25}=196$ より $c=14$、$CA^2=\left(\dfrac{33}5\right)^2+\left(\dfrac{56}5\right)^2=\dfrac{1089+3136}{25}=169$ より $b=13$ である。$s=21$ で
$$ s-a=6,\qquad s-b=8,\qquad s-c=7 $$
である。面積は $S=\dfrac12\cdot15\cdot\dfrac{56}5=84$ である。
(1) 内接円。1 点から円に引いた 2 本の接線の長さは等しいので、内接円が辺 $BC$、$CA$、$AB$ に接する点を $D$、$E$、$F$ とすると、$BD=BF=s-b=8$、$CD=CE=s-c=7$、$AE=AF=s-a=6$ である（三角形の内心と傍心）。よって
$$ \frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=\frac87\cdot\frac76\cdot\frac68=1 $$
で、Cevaの定理（高校数学） の逆により $AD$、$BE$、$CF$ は 1 点で交わる。内心は $I(8,4)$、内接円の半径は $r=\dfrac Ss=4$ で、$D=(8,0)$ である。
(2) 傍接円。辺 $BC$ の外側にある傍接円（中心 $I_A$）が辺 $BC$ に接する点を $D'$ とする。三角形の内心と傍心 の公式で $I_A=\dfrac{-aA+bB+cC}{-a+b+c}=(7,-14)$、半径は $r_A=\dfrac S{s-a}=14$ で、$I_A$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足は $D'=(7,0)$ である。$BD'=7=s-c$、$D'C=8=s-b$ である。他の 2 つの傍接円の接点 $E'$（辺 $CA$ の上）、$F'$（辺 $AB$ の上）でも同じく $CE'=s-a=6$、$E'A=s-c=7$、$AF'=s-b=8$、$F'B=s-a=6$ になり（lem-gn-excircle で示す）、
$$ \frac{BD'}{D'C}\cdot\frac{CE'}{E'A}\cdot\frac{AF'}{F'B}=\frac78\cdot\frac67\cdot\frac86=1 $$
である。$AD'$、$BE'$、$CF'$ も 1 点で交わる。
(3) 並べてみると、辺 $BC$ の上で $D=(8,0)$ と $D'=(7,0)$ は、中点 $M\left(\dfrac{15}2,0\right)$ から反対向きに同じ距離 $\dfrac12$ だけ離れている。

lem-gn-excircle から、$A$ を出て $B$ を回って $D'$ まで辺の上を進む長さは $AB+BD'=c+(s-c)=s$、$C$ を回って進む長さは $AC+CD'=b+(s-b)=s$ である。つまり線分 $AD'$ は、三角形の周を長さ $s$ ずつの 2 つに分ける。ex-gn-start の三角形では $14+7=21$、$13+8=21$ である。$BE'$、$CF'$ も同じく周を二等分する。

ex-gn-start の三角形（$s-a=6$、$s-b=8$、$s-c=7$）で計算する。
(1) Nagel 点。
$$ N_a=\frac{6A+8B+7C}{21}=\frac{6\left(\frac{42}5,\frac{56}5\right)+8(0,0)+7(15,0)}{21}=\left(\frac{\frac{252}5+105}{21},\ \frac{\frac{336}5}{21}\right)=\left(\frac{37}5,\ \frac{16}5\right) $$
である。段 2 のとおり、$N_a$ は $A$ と $D'(7,0)$ を結ぶ線分を $15:6$ に内分する点 $\dfrac{6A+15D'}{21}=\left(\dfrac{\frac{252}5+105}{21},\dfrac{\frac{336}5}{21}\right)$ と一致する。
(2) Gergonne 点。重み $\dfrac16,\dfrac18,\dfrac17$ を $168$ 倍すると $28,21,24$ なので
$$ G_e=\frac{28A+21B+24C}{73}=\left(\frac{\frac{1176}5+360}{73},\ \frac{\frac{1568}5}{73}\right)=\left(\frac{2976}{365},\ \frac{1568}{365}\right)\approx(8.153,\ 4.296) $$
である。

ex-gn-start の三角形で、$I(8,4)$、$N_a\left(\dfrac{37}5,\dfrac{16}5\right)$、$G=\left(\dfrac{0+15+\frac{42}5}3,\dfrac{\frac{56}5}3\right)=\left(\dfrac{39}5,\dfrac{56}{15}\right)$ である。
$$ \frac{2I+N_a}3=\left(\frac{16+\frac{37}5}3,\ \frac{8+\frac{16}5}3\right)=\left(\frac{117}{15},\ \frac{56}{15}\right)=\left(\frac{39}5,\ \frac{56}{15}\right)=G $$
で一致する。長さは $IG=\sqrt{\left(\dfrac15\right)^2+\left(\dfrac4{15}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{9+16}{225}}=\dfrac13$、$GN_a=\sqrt{\left(\dfrac25\right)^2+\left(\dfrac8{15}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{36+64}{225}}=\dfrac23$ で、$IG:GN_a=1:2$ である。

1. 重心 $G=(1:1:1)$ の等長共役点は $(1:1:1)$ で、$G$ 自身である。実際、中線の足は辺の中点なので、中点に関して折り返しても動かない。
2. ex-gn-start の三角形で、$G_e=\left(\dfrac16:\dfrac18:\dfrac17\right)=(28:21:24)$ の等長共役点は $\left(\dfrac1{28}:\dfrac1{21}:\dfrac1{24}\right)$ で、$168$ 倍すると $(6:8:7)=N_a$ である。
3. 同じ三角形で、内心 $I=(a:b:c)=(15:13:14)$ の等長共役点は $\left(\dfrac1{15}:\dfrac1{13}:\dfrac1{14}\right)=(182:210:195)$ で、内心とは異なる点である。等角共役では内心は自分自身と組になったが（等角共役）、等長共役では組になる相手が変わる。

ex-gn-start の三角形で、$\overrightarrow{IG}=\left(-\dfrac15,-\dfrac4{15}\right)$、$\overrightarrow{IG_e}=\left(\dfrac{2976}{365}-8,\dfrac{1568}{365}-4\right)=\left(\dfrac{56}{365},\dfrac{108}{365}\right)$ である。2 つのベクトルが平行かどうかを $x_1y_2-y_1x_2$ で調べると
$$ \left(-\frac15\right)\cdot\frac{108}{365}-\left(-\frac4{15}\right)\cdot\frac{56}{365}=\frac{-324+224}{5475}=-\frac{100}{5475}=-\frac4{219}\ne0 $$
なので平行でなく、$G_e$ は直線 $IG$ の上にない。thm-gn-nagel-line の証明で使った「$2I+N_a=3G$」は、Nagel 点の係数 $s-a$ と内心の係数 $a$ を足すと $s$ にそろうことによっていた。Gergonne 点の係数 $\dfrac1{s-a}$ ではそろわない。

ex-gn-start の三角形で、$G_e=\left(\dfrac16:\dfrac18:\dfrac17\right)$ の等角共役点は、等角共役 の重心座標の式により
$$ \left(a^2\cdot6:b^2\cdot8:c^2\cdot7\right)=(225\cdot6:169\cdot8:196\cdot7)=(1350:1352:1372) $$
である。$N_a=(6:8:7)$ と比べると、$\dfrac{1350}6=225$、$\dfrac{1352}8=169$ で比が等しくないので、別の点である。Gergonne 点と Nagel 点を組にするのは、角の二等分線ではなく辺の中点に関する折り返しである。

正三角形では $a=b=c$ なので $s-a=s-b=s-c$ で、thm-gn-points により $N_a=G_e=\dfrac{A+B+C}3=G$ である。内心も $I=\dfrac{aA+aB+aC}{3a}=G$ なので、4 点がすべて一致する。thm-gn-nagel-line の式 $G=\dfrac{2I+N_a}3$ は $G=G$ となって成り立つが、$I=N_a$ なので 3 点を通る直線は 1 本に決まらない。定理の「$I\ne N_a$ なら」はこの場合を除くための仮定である。逆に $I=N_a$ なら、$G=\dfrac{2I+N_a}3=I$ で、内心 $(a:b:c)$ と重心 $(1:1:1)$ の重心座標が同じなので $a=b=c$ である。つまり除かれるのは正三角形だけである。