方べきの定理（高校数学）

方針：$OX^2$ を三平方の定理で $OM$ と $t$ で表す。
$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OM}+t\boldsymbol u$ で、$\overrightarrow{OM}$ は $\ell$ に垂直なので $\overrightarrow{OM}\cdot\boldsymbol u=0$ である。したがって
$$ OX^2=\bigl(\overrightarrow{OM}+t\boldsymbol u\bigr)\cdot\bigl(\overrightarrow{OM}+t\boldsymbol u\bigr)=OM^2+2t\,\overrightarrow{OM}\cdot\boldsymbol u+t^2|\boldsymbol u|^2=OM^2+t^2 $$
である（$O$ が $\ell$ の上にあって $M=O$ のときも同じ式が成り立つ）。$X$ が $\Gamma$ の上にあることは $OX^2=r^2$、つまり $t^2=r^2-OM^2$ と同じである。右辺が正なら $t=\pm h$ の 2 つ、$0$ なら $t=0$ だけ、負なら解はない。$\square$

方針：lem-pop-line-circle の $M$ と $\boldsymbol u$ で $A,B,P$ を表し、内積を計算する。
段 1（点を表す）。lem-pop-line-circle により、$A=M-h\boldsymbol u$、$B=M+h\boldsymbol u$ と書ける（$h=\sqrt{r^2-OM^2}\ge0$。接するときは $h=0$ で $A=B=M$）。$P$ も $\ell$ の上にあるので、実数 $c$ を使って $P=M+c\boldsymbol u$ と書ける。
段 2（内積）。$\overrightarrow{PA}=A-P=(-h-c)\boldsymbol u$、$\overrightarrow{PB}=B-P=(h-c)\boldsymbol u$ なので
$$ \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(-h-c)(h-c)|\boldsymbol u|^2=(c+h)(c-h)=c^2-h^2 $$
である。
段 3（方べき）。prf-pop-line-circle と同じ計算で $OP^2=OM^2+c^2$ である。また $h^2=r^2-OM^2$ である。したがって
$$ OP^2-r^2=(OM^2+c^2)-(OM^2+h^2)=c^2-h^2 $$
である。段 2 と比べて $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=OP^2-r^2$ を得る。$\square$

方針：$\ell$ の点を $P+s\boldsymbol u$ と書き、円の上にある条件を $s$ の 2 次方程式にする。解の積が方べきになる。
段 1（方程式）。$\boldsymbol u$ を $\ell$ の向きの長さ $1$ のベクトルとし、$\ell$ の点を $X=P+s\boldsymbol u$ と書く。$\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{OP}+s\boldsymbol u$ なので
$$ OX^2-r^2=s^2+2s\,\overrightarrow{OP}\cdot\boldsymbol u+OP^2-r^2 $$
である。$X$ が円の上にある条件は、右辺が $0$ になることである。
段 2（解と係数の関係）。$A=P+s_1\boldsymbol u$、$B=P+s_2\boldsymbol u$ とすると、$s_1,s_2$ は段 1 の $s$ の 2 次方程式の 2 つの解である（接するときは重解 $s_1=s_2$）。$s^2$ の係数は $1$ なので、解と係数の関係により $s_1s_2=OP^2-r^2$ である。
段 3（内積）。$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=s_1\boldsymbol u\cdot s_2\boldsymbol u=s_1s_2|\boldsymbol u|^2=s_1s_2$ なので、段 2 と合わせて主張を得る。$\square$

方針：thm-pop-main を接線と割線に使う。
接線では $A=B=T$ なので、thm-pop-main により $\overrightarrow{PT}\cdot\overrightarrow{PT}=PT^2=\operatorname{pow}(P)$ である。2 本の接線の接点を $T,T'$ とすると $PT^2=PT'^2=\operatorname{pow}(P)$ で、長さは等しい。$P$ は外部にあるので $\operatorname{pow}(P)>0$ であり、$P$ を通る直線と $\Gamma$ の交点 $A,B$ について、内積 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ は正、つまり $A,B$ は $P$ から見て同じ向きにあり、$PA\cdot PB=\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\operatorname{pow}(P)=PT^2$ である。$\square$

方針：$A,B,C$ を通る円 $\Gamma$ をとり、直線 $PC$ が $\Gamma$ と交わるもう 1 つの点が $D$ であることを示す。
段 1（円をとる）。$C$ は直線 $AB$ の上にない（$C$ が直線 $AB$ の上にあれば、$C$ は 2 直線の交点 $P$ に一致するが、$C\ne P$ である）。よって $A,B,C$ は一直線上になく、3 点を通る円 $\Gamma$ がただ 1 つある（三角形の外心）。
段 2（もう 1 つの交点）。直線 $PC$ は $\Gamma$ と $C$ で交わるので、lem-pop-line-circle により、もう 1 つの交点 $D'$ がある（接するときは $D'=C$）。thm-pop-main を直線 $AB$ と直線 $CD'$ に使うと
$$ \overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD'}=\operatorname{pow}_\Gamma(P)=\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD} $$
である（最後の等号は仮定）。
段 3（$D'=D$）。$D,D'$ は直線 $PC$ の上にあるので、$\boldsymbol u$ をこの直線の向きの長さ $1$ のベクトルとして $\overrightarrow{PC}=c\boldsymbol u$、$\overrightarrow{PD}=d\boldsymbol u$、$\overrightarrow{PD'}=d'\boldsymbol u$ と書ける。段 2 から $cd'=cd$ で、$C\ne P$ より $c\ne0$ なので $d'=d$、すなわち $D'=D$ である。よって $D$ は $\Gamma$ の上にある。$\square$

方針：$f(x,y)$ を平方完成して、中心からの距離の 2 乗が現れることを見る。
$D,E,F$ の定め方から
$$ f(x,y)=x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2-r^2=(x-a)^2+(y-b)^2-r^2 $$
である。$x=p$、$y=q$ を代入すると、$(p-a)^2+(q-b)^2$ は中心 $O=(a,b)$ と $P$ の距離の 2 乗 $OP^2$ なので、$f(p,q)=OP^2-r^2=\operatorname{pow}(P)$ である。$\square$

方針：prop-pop-equation により方べきの差は $f_1-f_2$ であり、これが 1 次式になる。
段 1（1 次式）。prop-pop-equation により、$\operatorname{pow}_{\Gamma_1}(P)=\operatorname{pow}_{\Gamma_2}(P)$ は $f_1(p,q)-f_2(p,q)=0$ と同じである。$x^2+y^2$ が消えて、$f_1-f_2=(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)$ となる。
段 2（直線であること）。中心は $\left(-\dfrac{D_1}2,-\dfrac{E_1}2\right)$、$\left(-\dfrac{D_2}2,-\dfrac{E_2}2\right)$ で、これらが異なるので $(D_1-D_2,E_1-E_2)\ne(0,0)$ である。よって段 1 の式は直線を表す。
段 3（垂直）。直線 $\alpha x+\beta y+\gamma=0$ の法線ベクトルは $(\alpha,\beta)$ である。ここでは $(D_1-D_2,E_1-E_2)$ で、中心 $O_1$ から $O_2$ へのベクトル $\left(\dfrac{D_1-D_2}2,\dfrac{E_1-E_2}2\right)$ の $2$ 倍に等しい。よって根軸は $O_1O_2$ に垂直である。$\square$

方針：1 は交点 $I$ で作る三角形 $O_1IO_2$ に三平方の定理とその逆を使う。2 は thm-pop-main を点 $O_1$ に使う。
段 1（1 の前半）。交点 $I$ で $O_1I=r_1$、$O_2I=r_2$ である。$\angle O_1IO_2=90^\circ$ なら三平方の定理により $d^2=r_1^2+r_2^2$ である。逆に $d^2=r_1^2+r_2^2$ なら、三平方の定理の逆により $\angle O_1IO_2=90^\circ$ である。
段 2（1 の後半）。$\operatorname{pow}_{\Gamma_2}(O_1)=O_1O_2^2-r_2^2=d^2-r_2^2$ なので、$\operatorname{pow}_{\Gamma_2}(O_1)=r_1^2$ は $d^2=r_1^2+r_2^2$ と同じである。
段 3（2）。1 により $\operatorname{pow}_{\Gamma_2}(O_1)=r_1^2>0$ なので、$O_1$ は $\Gamma_2$ の外部にある。thm-pop-main により $\overrightarrow{O_1X}\cdot\overrightarrow{O_1Y}=r_1^2>0$ である。内積が正なので $X,Y$ は $O_1$ から見て同じ向きにあり（$Y$ は半直線 $O_1X$ の上にある）、$O_1X\cdot O_1Y=r_1^2$ である。これは $Y=X'$ ということである。接するときは $X=Y$ で $O_1X^2=r_1^2$ となり、$X$ は $\Gamma_1$ の上にあって $X'=X$ である。
段 4（2 の後半）。$\Gamma_2$ の点 $X$ をとると、$O_1$ は $\Gamma_2$ の外部にあるので $X\ne O_1$ であり、直線 $O_1X$ は $\Gamma_2$ と $X$ で交わる。lem-pop-line-circle により、もう 1 つの交点 $Y$（接するときは $Y=X$）がある。段 3 により $X'=Y$ は $\Gamma_2$ の上にある。$\square$

方針：どれも定義の式に成分を代入して展開する。3 では prop-pop-orthogonal を使う。
段 1（1）。$v=(1,-2x_1,-2y_1,x_1^2+y_1^2-r_1^2)$ なので
$$ Q(v)=4x_1^2+4y_1^2-4(x_1^2+y_1^2-r_1^2)=4r_1^2 $$
である。$\pi_P$ は $r_1=0$、$(x_1,y_1)=(p,q)$ の場合なので $Q(\pi_P)=0$ である。
段 2（2）。$P=(p,q)$ として、定義に代入すると
$$ \langle\pi_P,v\rangle=(-2p)(-2x_1)+(-2q)(-2y_1)-2\bigl((x_1^2+y_1^2-r_1^2)+(p^2+q^2)\bigr) $$
である。$-2$ でくくると $-2\bigl(p^2-2px_1+x_1^2+q^2-2qy_1+y_1^2-r_1^2\bigr)=-2\bigl((p-x_1)^2+(q-y_1)^2-r_1^2\bigr)$ で、括弧の中は $\operatorname{pow}_{\Gamma_1}(P)$ である。$P$ が $\Gamma_1$ の上にあることは方べきが $0$ であることと同じである。
段 3（3）。同じく代入すると
$$ \langle v,w\rangle=4x_1x_2+4y_1y_2-2\bigl((x_2^2+y_2^2-r_2^2)+(x_1^2+y_1^2-r_1^2)\bigr) $$
である。$-2\bigl(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+y_1^2-2y_1y_2+y_2^2\bigr)=-2d^2$ を使うと、右辺は $2(r_1^2+r_2^2)-2d^2$ に等しい。prop-pop-orthogonal の 1 により、直交は $d^2=r_1^2+r_2^2$、つまり $\langle v,w\rangle=0$ と同値である。$\square$