等角共役

$A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(0,6)$ と、内部の点 $P(2,3)$ をとる（三角関数形のCevaの定理 で使ったのと同じ三角形と点）。
(1) 頂点 $A$。$\angle A=90^\circ$ の二等分線は直線 $y=x$ である。直線 $y=x$ に関する折り返しは、点 $(x,y)$ を $(y,x)$ に移す。直線 $AP$ は $A$ と $(2,3)$ を通るので、折り返すと $A$ と $(3,2)$ を通る直線 $y=\dfrac23x$ になる。
(2) 3 辺で折り返した点。$P$ を辺 $BC$（直線 $x+y=6$）、辺 $CA$（直線 $x=0$）、辺 $AB$（直線 $y=0$）に関して折り返した点を $P_a$、$P_b$、$P_c$ とする。$P_b=(-2,3)$、$P_c=(2,-3)$ である。$P_a$ は、$P$ から直線 $x+y=6$ に下ろした垂線の足 $\left(\dfrac52,\dfrac72\right)$ が線分 $PP_a$ の中点になる点なので、$P_a=2\left(\dfrac52,\dfrac72\right)-(2,3)=(3,4)$ である。
(3) 3 点 $P_a$、$P_b$、$P_c$ を通る円の中心 $Q(x,y)$ を求める。$QP_b=QP_c$ は
$$ (x+2)^2+(y-3)^2=(x-2)^2+(y+3)^2 $$
で、展開して整理すると $8x=12y$、つまり $y=\dfrac23x$ である。$QP_b=QP_a$ は
$$ (x+2)^2+(y-3)^2=(x-3)^2+(y-4)^2 $$
で、展開して整理すると $10x+2y=12$、つまり $5x+y=6$ である。2 式を連立すると $5x+\dfrac23x=6$、$\dfrac{17}3x=6$ より
$$ x=\frac{18}{17},\qquad y=\frac{12}{17},\qquad Q\left(\frac{18}{17},\frac{12}{17}\right) $$
である。$Q$ は (1) の直線 $y=\dfrac23x$ の上にある。
(4) 頂点 $B$、$C$ でも、$BP$ が辺 $BA$ となす角と $BQ$ が辺 $BC$ となす角が等しく、$CP$ と $CA$、$CQ$ と $CB$ についても同じである。つまり直線 $BQ$、$CQ$ も、$BP$、$CP$ をそれぞれの角の二等分線で折り返した直線である。

1. 角の二等分線の等角な直線は、それ自身である（$\theta=\dfrac A2$ なら $A-\theta=\dfrac A2$）。
2. ex-isog-start の頂点 $A$ で、直線 $AP$ は方向 $(2,3)$、その等角な直線は方向 $(3,2)$ である。$AP$ が $AB$（$x$ 軸）となす角 $\theta$ は $\tan\theta=\dfrac32$ を満たし、等角な直線が $AB$ となす角は $\tan(90^\circ-\theta)=\dfrac1{\tan\theta}=\dfrac23$ を満たす。
3. 鋭角三角形の頂点 $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線は $AB$ と角 $90^\circ-B$ をなし、$A$ と外心 $O$ を結ぶ直線は $AC$ と角 $90^\circ-B$ をなす。つまり垂線と直線 $AO$ は等角な直線である。証明は 三角関数形のCevaの定理 にある（二等辺三角形 $OAC$ の底角を円周角の定理で求める）。

3 辺が $13,14,15$ の三角形 $B(0,0)$、$C(14,0)$、$A(5,12)$ を使う（三角形の五心 と同じ三角形）。垂心は $H\left(5,\dfrac{15}4\right)$、外心は $O\left(7,\dfrac{33}8\right)$、外接円の半径は $R=\dfrac{65}8$ である。
$H$ を辺 $BC$（$x$ 軸）で折り返すと $H_a\left(5,-\dfrac{15}4\right)$ で、
$$ OH_a^2=(7-5)^2+\left(\frac{33}8+\frac{15}4\right)^2=4+\left(\frac{63}8\right)^2=\frac{256+3969}{64}=\frac{4225}{64}=R^2 $$
である。辺 $CA$、$AB$ で折り返した点 $H_b$、$H_c$ も、同じように計算すると $O$ からの距離の 2 乗が $\dfrac{4225}{64}$ になる。

ex-isog-start の $P(2,3)$、$Q\left(\dfrac{18}{17},\dfrac{12}{17}\right)$ で、垂線の足は次のとおりである。

• $P$ から：$BC$ へ $D_1\left(\dfrac52,\dfrac72\right)$、$CA$ へ $E_1(0,3)$、$AB$ へ $F_1(2,0)$
• $Q$ から：$BC$ へ $D_2\left(\dfrac{54}{17},\dfrac{48}{17}\right)$、$CA$ へ $E_2\left(0,\dfrac{12}{17}\right)$、$AB$ へ $F_2\left(\dfrac{18}{17},0\right)$
  中点は $M\left(\dfrac{26}{17},\dfrac{63}{34}\right)$ である。たとえば
  $$ MF_1^2=\left(2-\frac{26}{17}\right)^2+\left(\frac{63}{34}\right)^2=\frac{16^2+63^2}{34^2}=\frac{4225}{1156},\qquad ME_1^2=\left(\frac{26}{17}\right)^2+\left(3-\frac{63}{34}\right)^2=\frac{52^2+39^2}{34^2}=\frac{4225}{1156} $$
  で、残りの 4 点でも同じ値になる。半径は $\dfrac{65}{34}$ である。prf-isog-pedal の要点の式でも、$AM^2=\dfrac{6673}{1156}$、$\vec u\cdot\vec p=2$、$\vec u\cdot\vec q=\dfrac{18}{17}$ から $\dfrac{6673}{1156}-\dfrac{36}{17}=\dfrac{6673-2448}{1156}=\dfrac{4225}{1156}$ となる。
  半径 $\dfrac{65}{34}$ は、図 2 の円の半径 $\dfrac{65}{17}$ のちょうど半分である。$P$ から辺に下ろした垂線の足は、$P$ とその辺で折り返した点を結ぶ線分の中点なので、$P$ を中心に $\dfrac12$ 倍に縮めると $P_a,P_b,P_c$ が $D_1,E_1,F_1$ に移り、中心 $Q$ は $PQ$ の中点 $M$ に移る。

1. ex-isog-start の $P(2,3)$ は、$(2,3)=\dfrac13(6,0)+\dfrac12(0,6)$ より $P=\dfrac16A+\dfrac13B+\dfrac12C$ で、重心座標は $(1:2:3)$ である。$a^2=72$、$b^2=c^2=36$ なので
   $$ Q=\left(\frac{72}1:\frac{36}2:\frac{36}3\right)=(72:18:12)=(12:3:2),\qquad Q=\frac{12A+3B+2C}{17}=\left(\frac{18}{17},\frac{12}{17}\right) $$
   で、ex-isog-start の結果と一致する。距離は $x_P=\dfrac{\lvert2+3-6\rvert}{\sqrt2}=\dfrac1{\sqrt2}$、$y_P=2$、$z_P=3$、$x_Q=\dfrac{\lvert\frac{18}{17}+\frac{12}{17}-6\rvert}{\sqrt2}=\dfrac{72}{17\sqrt2}$、$y_Q=\dfrac{18}{17}$、$z_Q=\dfrac{12}{17}$ で、積は
   $$ x_Px_Q=\frac1{\sqrt2}\cdot\frac{72}{17\sqrt2}=\frac{36}{17},\qquad y_Py_Q=2\cdot\frac{18}{17}=\frac{36}{17},\qquad z_Pz_Q=3\cdot\frac{12}{17}=\frac{36}{17} $$
   とそろう（lem-isog-dist）。
2. ex-isog-oh の 13, 14, 15 の三角形では、垂心 $H=(70:99:55)$ に式を当てはめると $(154:125:169)$ になり、これは外心 $O\left(7,\dfrac{33}8\right)$ の重心座標である。
   (2) 垂心の重心座標から外心を求める計算を開く

   (2) ex-isog-oh の 13, 14, 15 の三角形（$a=14$、$b=15$、$c=13$）で、垂心の重心座標は $(\tan A:\tan B:\tan C)$ である（三角形の五心）。$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{33}{65}$、$\cos B=\dfrac5{13}$、$\cos C=\dfrac35$ から $\tan A=\dfrac{56}{33}$、$\tan B=\dfrac{12}5$、$\tan C=\dfrac43$ で、$165$ 倍すると $H=(280:396:220)=(70:99:55)$ である。thm-isog-bary により

   $$Q=\left(\frac{196}{70}:\frac{225}{99}:\frac{169}{55}\right)=\left(\frac{14}5:\frac{25}{11}:\frac{169}{55}\right)=(154:125:169)$$

   で、$Q=\dfrac{154A+125B+169C}{448}=\left(\dfrac{770+2366}{448},\dfrac{1848}{448}\right)=\left(7,\dfrac{33}8\right)$ は外心 $O$ である。

   一般の鋭角三角形でも同じである。垂心の重心座標は $(\tan A:\tan B:\tan C)$、外心の重心座標は $(\sin2A:\sin2B:\sin2C)$ である（三角形の五心）。正弦定理 $a=2R\sin A$ を使うと $\dfrac{a^2}{\tan A}=\dfrac{4R^2\sin^2A\cos A}{\sin A}=2R^2\sin2A$ なので、$\left(\dfrac{a^2}{\tan A}:\dfrac{b^2}{\tan B}:\dfrac{c^2}{\tan C}\right)=(\sin2A:\sin2B:\sin2C)$ となり、垂心の等角共役点は外心である。
3. 内心 $I=(a:b:c)$ の等角共役点は $\left(\dfrac{a^2}a:\dfrac{b^2}b:\dfrac{c^2}c\right)=(a:b:c)$ で、$I$ 自身である。
4. 重心 $G=(1:1:1)$ の等角共役点は $(a^2:b^2:c^2)$ である。13, 14, 15 の三角形では $(196:225:169)$ で、点は $\left(\dfrac{1673}{295},\dfrac{1176}{295}\right)$ である。この点が 類似重心 である。

ex-isog-start の三角形の外接円は、中心 $(3,3)$、半径 $3\sqrt2$ の円である。点 $P(6,6)$ は $(6-3)^2+(6-3)^2=18$ なのでこの円の上にある。
頂点 $A$、$B$、$C$ で直線 $AP$、$BP$、$CP$ を角の二等分線を含む直線に関して折り返すと、それぞれ直線 $y=x$、$y=x-6$、$y=x+6$ になる。

ex-isog-start の三角形で、辺 $BC$ の中点 $P(3,3)$ をとる。直線 $BP$ は直線 $BC$ そのもので、角 $B$ の二等分線で折り返すと直線 $BA$ になる。同じく直線 $CP$ は直線 $CB$ で、折り返すと直線 $CA$ になる。直線 $AP$ は $y=x$ で、折り返しても $y=x$ である。3 本はどれも頂点 $A$ を通る。
辺 $BC$ の上のどの点 $P$（頂点以外）でも、$B$ と $C$ で折り返した直線は $BA$ と $CA$ なので、3 本の交点はいつも $A$ である。辺 $BC$ の上の無数の点がすべて同じ点 $A$ に移るので、thm-isog-main (3) のように「もとにもどす」ことはできない。重心座標で見ると、$P=(0:\beta:\gamma)$ の像は $(a^2\beta\gamma:0:0)=(1:0:0)$、つまり $A$ である（rem-isog-cremona の式）。

ex-isog-start の三角形で、$P(2,3)$ と重心 $G(2,2)$ をとる。$G$ は $P$ の等角共役点ではない（$P$ の等角共役点は $Q\left(\dfrac{18}{17},\dfrac{12}{17}\right)$）。$P$ の垂線の足 $\left(\dfrac52,\dfrac72\right)$、$(0,3)$、$(2,0)$ を通る円は
$$ x^2+y^2-\frac{52}{17}x-\frac{63}{17}y+\frac{36}{17}=0 $$
である（3 点を代入して係数を決めた）。$G$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足 $(3,3)$ を左辺に代入すると
$$ 9+9-\frac{156}{17}-\frac{189}{17}+\frac{36}{17}=\frac{306-156-189+36}{17}=-\frac3{17}\ne0 $$
なので、$(3,3)$ はこの円の上にない。6 つの足は同じ円の上にない。