l'Hôpitalの定理（高校数学）

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{\sin x}}{x-\sin x}$ を求める。分母・分子とも $0$ に近づく。
段 1（分母は $0$ でない）。$x\ne0$ のとき $\sin x\ne x$ である。実際、$0< x<\frac\pi2$ では $\sin x< x$ であり（高校で $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$ を示すときに、扇形と三角形の面積の比較で使う不等式）、$x\ge\frac\pi2$ では $\sin x\le1<\frac\pi2\le x$ である。$x<0$ のときは、$\sin(-x)=-\sin x$ なので $x>0$ の場合に帰着する。
段 2（平均値の定理）。$e^t$ に、$\sin x$ と $x$ を両端とする区間で平均値の定理を使うと、$(e^t)'=e^t$ なので
$$ e^x-e^{\sin x}=e^c\,(x-\sin x) $$
となる $c$ が $\sin x$ と $x$ の間にある。
段 3（極限）。分母で割って $\frac{e^x-e^{\sin x}}{x-\sin x}=e^c$ である。$x\to0$ のとき $\sin x\to0$ なので、間にある $c$ も $0$ に近づき、$e^c\to e^0=1$ である。よって極限は $1$ である。数値では $x=0.01$ で $1.01005\ldots$ である。

$f(x)=x^3$、$g(x)=x^2$、$[a,b]=[0,1]$ とする。$\frac{f(1)-f(0)}{g(1)-g(0)}=\frac{1-0}{1-0}=1$ である。$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{3c^2}{2c}=\frac32c$ なので、これが $1$ に等しくなるのは $c=\frac23$ のときで、確かに $0<\frac23<1$ である。
$f$ と $g$ に別々に平均値の定理を使うと、$f(1)-f(0)=3c_1^2$ から $c_1=\frac1{\sqrt3}=0.577\ldots$、$g(1)-g(0)=2c_2$ から $c_2=\frac12$ で、$c_1\ne c_2$ である。別々に使うと点がずれるので、比 $\frac{f'(c_1)}{g'(c_2)}$ は「1 つの点での導関数の比」にならない。

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$ を求める。$f(x)=e^x-1-x$、$g(x)=x^2$ は $f(0)=g(0)=0$ を満たし、$x\ne0$ で $g'(x)=2x\ne0$ である。導関数の比は $\frac{e^x-1}{2x}$ であり、$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x=1$（$e^x$ の $0$ での微分係数）から $\frac12$ に近づく。thm-lhr-lhopital により
$$ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac12 $$
である。数値では $x=0.1$ で $0.5170\ldots$、$x=0.01$ で $0.5016\ldots$ である。

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}$ を求める。
段 1（1 回目）。$f(x)=x-\sin x$、$g(x)=x^3$ は $f(0)=g(0)=0$、$x\ne0$ で $g'(x)=3x^2\ne0$ を満たす。導関数の比は $\frac{1-\cos x}{3x^2}$ である。
段 2（2 回目）。$F(x)=1-\cos x$、$G(x)=3x^2$ も $F(0)=G(0)=0$、$x\ne0$ で $G'(x)=6x\ne0$ を満たす。導関数の比は $\frac{\sin x}{6x}$ であり、$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$ から $\frac16$ に近づく。
段 3（内側から戻る）。段 2 の極限が存在するので、thm-lhr-lhopital により $\lim\frac{1-\cos x}{3x^2}=\frac16$ である。この極限が存在するので、もう一度 thm-lhr-lhopital を使って $\lim\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac16$ である。
まとめて書くと
$$ \lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{6x}=\frac16 $$
であるが、等号は右から順に正当化される（右端の極限が存在するから、その 1 つ左の極限も存在する）ことに注意する。数値では $x=0.1$ で $0.16658\ldots$ である。

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\log\Bigl(1+\frac1x\Bigr)=\lim_{x\to\infty}\frac{\log(1+\frac1x)}{\frac1x}$ を求める。$f(x)=\log\bigl(1+\frac1x\bigr)$、$g(x)=\frac1x$ はどちらも $0$ に近づく。$x>0$ なら $1+\frac1x>0$ なので $f,g$ は $x>0$ で微分可能であり、次のとおり $g'(x)=-\frac1{x^2}\ne0$ である。したがって cor-lhr-infinity の仮定を $A=1$（どの $A>0$ でもよい）で満たす。
$$ f'(x)=\frac{1}{1+\frac1x}\cdot\Bigl(-\frac1{x^2}\Bigr),\qquad g'(x)=-\frac1{x^2} $$
なので $\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac1{1+\frac1x}\to1$ である。cor-lhr-infinity により、極限は $1$ である。数値では $x=10$ で $0.9531\ldots$、$x=100$ で $0.9950\ldots$ である。この極限は $\bigl(1+\frac1x\bigr)^x\to e$ と同じ内容である（1の∞乗型の極限）。

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x+1}{x+2}=\frac12$ である（そのまま代入できる）。ところが分母・分子を微分すると $\frac11=1$ になり、答えが違う。$f(0)=1\ne0$ で、thm-lhr-lhopital の仮定 1 を満たさないからである。証明の段 2 で $f(x)=f(x)-f(a)$ と書いた所が成り立たない。

$f(x)=x^2\sin\frac1x$（$x\ne0$）、$f(0)=0$、$g(x)=x$ とする。
段 1（比は $0$ に近づく）。$x\ne0$ で $\frac{f(x)}{g(x)}=x\sin\frac1x$ であり、$\bigl|\sin\frac1x\bigr|\le1$ から $\bigl|x\sin\frac1x\bigr|\le|x|$ なので、はさみうちで $\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ である。
段 2（導関数の比は振動する）。$x\ne0$ で、積と合成関数の微分法から $f'(x)=2x\sin\frac1x+x^2\cos\frac1x\cdot\bigl(-\frac1{x^2}\bigr)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x$ であり、$g'(x)=1$ である。$m$ を正の整数として、$x=\frac1{2m\pi}$ では $\sin\frac1x=0$、$\cos\frac1x=1$ なので $\frac{f'}{g'}=-1$、$x=\frac1{(2m+1)\pi}$ では $\cos\frac1x=-1$ なので $\frac{f'}{g'}=1$ である。$m\to\infty$ でどちらの $x$ も $0$ に近づくので、$\frac{f'}{g'}$ は $x\to0$ で極限をもたない。
仮定 3 が満たされないとき、thm-lhr-lhopital は $\frac fg$ の極限について何も言わない。「$\frac{f'}{g'}$ の極限がないから $\frac fg$ の極限もない」と逆向きに使うのは誤りである。

$x\to\infty$ で
$$ f(x)=x+\sin x\cos x,\qquad g(x)=e^{\sin x}\bigl(x+\sin x\cos x\bigr) $$
を考える。$\sin x\cos x\ge-\frac12$ から $f(x)\ge x-\frac12$、$e^{\sin x}\ge e^{-1}$ から $g(x)\ge\frac{f(x)}e$ なので、どちらも $\infty$ に発散する（$\frac\infty\infty$ の形）。
計算すると $f'(x)=2\cos^2x$、$g'(x)=e^{\sin x}\cos x\,\bigl(x+\sin x\cos x+2\cos x\bigr)$ であり、$\cos x\ne0$ となる $x$ では
$$ \frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{2\cos x\,e^{-\sin x}}{x+\sin x\cos x+2\cos x} $$
である。分子の絶対値は $2e$ 以下である（$|\cos x|\le1$、$e^{-\sin x}\le e$）。分母は $\sin x\cos x\ge-\frac12$、$2\cos x\ge-2$ から $x-\frac52$ 以上であり、$x>3$ なら $x-3$ より大きく正である。よって $x>3$ で比の絶対値は $\frac{2e}{x-3}$ 以下であり、$0$ に近づく。
ところが $\frac{f(x)}{g(x)}=e^{-\sin x}$ は $e^{-1}$ と $e$ の間を振動し続け、極限をもたない。$g'$ は $x=\frac\pi2+m\pi$ で $0$ になり、「$g'(x)\ne0$」という仮定を満たさないため、Cauchy の平均値の定理で比を書き換える議論が使えない。この種の反例は Stolz（1879）に遡る（Sto79）。
この例は $\frac\infty\infty$ の形だが、本記事で証明した $\frac00$ の形の反例にも直せる。$x>3$ では $f(x)\ge x-\frac12>0$、$g(x)\ge\frac{f(x)}e>0$ なので、$F:=\frac1f$、$G:=\frac1g$ とおける。$x\to\infty$ で $F,G\to0$ であり、$\frac FG=\frac gf=e^{\sin x}$ は振動し続ける。一方、$F'=-\frac{f'}{f^2}$、$G'=-\frac{g'}{g^2}$ から $\frac{F'}{G'}=\frac{f'}{g'}\cdot\Bigl(\frac gf\Bigr)^2=\frac{f'}{g'}\,e^{2\sin x}$ であり、$e^{2\sin x}\le e^2$ なので、$\cos x\ne0$ となる $x>3$ でその絶対値は $\frac{2e}{x-3}\cdot e^2=\frac{2e^3}{x-3}$ 以下であり、$0$ に近づく。$G'=-\frac{g'}{g^2}$ は $g'$ と同じ点 $x=\frac\pi2+m\pi$ で $0$ になるので、cor-lhr-infinity の仮定のうち外れているのは「$g'\ne0$」に当たる条件だけである。さらに $t=\frac1x$ とおけば、$t\to+0$ での $\frac00$ の形で、thm-lhr-lhopital の仮定 2 だけが外れた反例になる。