三角関数形のCevaの定理

Cevaの定理（高校数学） の最初の例と同じく、$A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(0,6)$ と、三角形の内部の点 $P(2,3)$ をとる。$\angle A=90^\circ$、$\angle B=\angle C=45^\circ$ である。
(1) 頂点 $A$。$\overrightarrow{AP}=(2,3)$ で $AP=\sqrt{13}$ である。$AB$ は $x$ 軸の正の向きなので、$\angle BAP$ は $\overrightarrow{AP}$ が $x$ 軸となす角であり、$\sin\angle BAP=\dfrac{3}{\sqrt{13}}$、$\cos\angle BAP=\dfrac{2}{\sqrt{13}}$ である。$\angle PAC=90^\circ-\angle BAP$ なので $\sin\angle PAC=\cos\angle BAP=\dfrac2{\sqrt{13}}$ である。よって
$$ \frac{\sin\angle BAP}{\sin\angle PAC}=\frac{3/\sqrt{13}}{2/\sqrt{13}}=\frac32 $$
である。
(2) 頂点 $B$。$\overrightarrow{BP}=(-4,3)$ で $BP=5$ である。$\overrightarrow{BA}$ は $x$ 軸の負の向きなので、$\sin\angle PBA=\dfrac35$、$\cos\angle PBA=\dfrac45$ である。$\angle CBP=45^\circ-\angle PBA$ なので、加法定理 により
$$ \sin\angle CBP=\sin45^\circ\cos\angle PBA-\cos45^\circ\sin\angle PBA=\frac{\sqrt2}2\left(\frac45-\frac35\right)=\frac{\sqrt2}{10} $$
である。よって $\dfrac{\sin\angle CBP}{\sin\angle PBA}=\dfrac{\sqrt2/10}{3/5}=\dfrac{\sqrt2}{6}=\dfrac1{3\sqrt2}$ である。
(3) 頂点 $C$。$\overrightarrow{CP}=(2,-3)$ で $CP=\sqrt{13}$ である。$\overrightarrow{CA}$ は $y$ 軸の負の向きなので、$\sin\angle ACP=\dfrac2{\sqrt{13}}$、$\cos\angle ACP=\dfrac3{\sqrt{13}}$ である。$\angle PCB=45^\circ-\angle ACP$ なので
$$ \sin\angle PCB=\frac{\sqrt2}2\left(\frac3{\sqrt{13}}-\frac2{\sqrt{13}}\right)=\frac{\sqrt2}{2\sqrt{13}}=\frac1{\sqrt{26}} $$
である。よって $\dfrac{\sin\angle ACP}{\sin\angle PCB}=\dfrac{2/\sqrt{13}}{1/\sqrt{26}}=2\sqrt2$ である。
3 つを掛けると
$$ \frac{\sin\angle BAP}{\sin\angle PAC}\cdot\frac{\sin\angle CBP}{\sin\angle PBA}\cdot\frac{\sin\angle ACP}{\sin\angle PCB}=\frac32\cdot\frac1{3\sqrt2}\cdot2\sqrt2=1 $$
になる。

3 本の角の二等分線は、どれも頂点の角をちょうど半分に分ける。たとえば $\angle BAD=\angle DAC=\dfrac A2$ なので $\dfrac{\sin\angle BAD}{\sin\angle DAC}=1$ である。3 つの比はどれも $1$ で、積は $1\cdot1\cdot1=1$ である。3 本の角の二等分線は内心で交わる（三角形の内心と傍心）。辺の比で同じことを確かめるには、角の二等分線の定理 で $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$ などを求める必要があったが、角の比ならすぐに分かる。

ex-tceva-start の三角形では $AB=AC=6$、$BC=6\sqrt2$ である。
(1) 頂点 $A$：$\dfrac{AB}{AC}\cdot\dfrac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}=1\cdot\dfrac32=\dfrac32$ で、$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac32$ と一致する。
(2) 頂点 $B$：補題を頂点 $B$ に使うと $\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{BC\cdot\sin\angle CBE}{BA\cdot\sin\angle EBA}$ である。$\dfrac{6\sqrt2}{6}\cdot\dfrac1{3\sqrt2}=\dfrac13$ で、$\dfrac{CE}{EA}=\dfrac13$ と一致する。
(3) 頂点 $C$：$\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{CA\cdot\sin\angle ACF}{CB\cdot\sin\angle FCB}=\dfrac{6}{6\sqrt2}\cdot2\sqrt2=2$ で、$\dfrac{AF}{FB}=2$ と一致する。

1. $C=90^\circ$、$k=\dfrac32$ のとき、$\tan\theta=\dfrac{\frac32\cdot1}{1+0}=\dfrac32$ である。ex-tceva-start (1) の $\angle BAP$ は $\tan\angle BAP=\dfrac32$ を満たしていたので、$\dfrac{\sin\theta}{\sin(90^\circ-\theta)}=\dfrac32$ となる角はこの $\angle BAP$ だけである。
2. $C=120^\circ$、$k=2$ のとき、$1+2\cos120^\circ=1-1=0$ なので $\theta=90^\circ$ である。実際 $\dfrac{\sin90^\circ}{\sin30^\circ}=\dfrac1{1/2}=2$ である。
3. $C=90^\circ$、$k=1$ のとき $\tan\theta=1$ で $\theta=45^\circ$ である。比が $1$ になるのは角の二等分線のときだけである。

鋭角三角形 $ABC$ で、$A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とする。$D$ は辺 $BC$ の内部にあり（Cevaの定理（高校数学） の系の証明の段 3）、直角三角形 $ABD$ の内角の和から $\angle BAD=90^\circ-B$、直角三角形 $ADC$ から $\angle DAC=90^\circ-C$ である。よって
$$ \frac{\sin\angle BAD}{\sin\angle DAC}=\frac{\sin(90^\circ-B)}{\sin(90^\circ-C)}=\frac{\cos B}{\cos C} $$
である。頂点の名前を回すと、残りの 2 つの比は $\dfrac{\cos C}{\cos A}$、$\dfrac{\cos A}{\cos B}$ で、積は
$$ \frac{\cos B}{\cos C}\cdot\frac{\cos C}{\cos A}\cdot\frac{\cos A}{\cos B}=1 $$
である。thm-tceva-main により、3 本の垂線は 1 点（垂心）で交わる。辺の比を使うと $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{c\cos B}{b\cos C}$ のように辺の長さが入るが、角の比では辺の長さが最初から現れない。
数値では、$A(1,4)$、$B(0,0)$、$C(5,0)$ の三角形で $\cos A=\dfrac3{\sqrt{34}}$、$\cos B=\dfrac1{\sqrt{17}}$、$\cos C=\dfrac1{\sqrt2}$ なので、3 つの比は $\dfrac{\sqrt{34}}{17}$、$\dfrac{\sqrt{17}}3$、$\dfrac{3\sqrt2}2$ で、積は $\dfrac{\sqrt{34}\cdot\sqrt{17}\cdot3\sqrt2}{17\cdot3\cdot2}=\dfrac{3\cdot34}{102}=1$ である。垂心は $H(1,1)$ である（三角形の垂心）。

1. 角の二等分線の等角な直線は、それ自身である（$\theta=\dfrac A2$ なら $A-\theta=\dfrac A2$）。
2. ex-tceva-start の頂点 $A$（$\angle A=90^\circ$）で、直線 $AP$ は $AB$ と $\angle BAP$（$\tan\angle BAP=\dfrac32$）をなす。等角な直線は $AB$ と $90^\circ-\angle BAP$ をなすので、その傾きは $\tan(90^\circ-\angle BAP)=\dfrac23$ で、方向ベクトルは $(3,2)$ である。$(2,3)$ の成分を入れかえた $(3,2)$ は、直線 $y=x$（$\angle A$ の二等分線）に関して $(2,3)$ を折り返したものである。

ex-tceva-start の $A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(0,6)$、$P(2,3)$ では $a^2=72$、$b^2=c^2=36$ である。
(1) 足の比。$P$ の Ceva 線の足の比は $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac32$、$\dfrac{CE}{EA}=\dfrac13$、$\dfrac{AF}{FB}=2$ だった。prop-tceva-foot-product と、その頂点の名前を回したもの $\dfrac{CE}{EA}\cdot\dfrac{CE'}{E'A}=\dfrac{a^2}{c^2}$、$\dfrac{AF}{FB}\cdot\dfrac{AF'}{F'B}=\dfrac{b^2}{a^2}$ から
$$ \frac{BD'}{D'C}=\frac{36}{36}\cdot\frac23=\frac23,\qquad \frac{CE'}{E'A}=\frac{72}{36}\cdot3=6,\qquad \frac{AF'}{F'B}=\frac{36}{72}\cdot\frac12=\frac14 $$
である。積は $\dfrac23\cdot6\cdot\dfrac14=1$ で、Cevaの定理（高校数学） の条件を満たしている。
(2) 点を求める。$D'$ は $BC$ を $2:3$ に分ける点で $D'=\dfrac{3B+2C}5=\left(\dfrac{18}5,\dfrac{12}5\right)$、$E'$ は $CA$ を $6:1$ に分ける点で $E'=\dfrac{C+6A}7=\left(0,\dfrac67\right)$ である。直線 $AD'$ は $y=\dfrac23x$、直線 $BE'$ は $y=\dfrac67-\dfrac17x$ である。連立すると $\dfrac23x+\dfrac17x=\dfrac67$、$\dfrac{17}{21}x=\dfrac67$ より $x=\dfrac{18}{17}$、$y=\dfrac{12}{17}$ で、$Q\left(\dfrac{18}{17},\dfrac{12}{17}\right)$ である。
(3) 3 本目。$F'$ は $AB$ を $1:4$ に分ける点で $F'\left(\dfrac65,0\right)$ である。直線 $CF'$ は $y=6-5x$ で、$x=\dfrac{18}{17}$ のとき $y=6-\dfrac{90}{17}=\dfrac{12}{17}$ なので、$Q$ を通る。直線 $AQ$ の方向 $(18,12)=6(3,2)$ は、ex-tceva-isogonal-lines (2) の等角な直線の方向と一致する。

$A(1,4)$、$B(0,0)$、$C(5,0)$ では、垂心は $H(1,1)$、外心は $O\left(\dfrac52,\dfrac32\right)$（$OA=OB=OC=\dfrac{\sqrt{34}}2$）である。$\overrightarrow{AB}=(-1,-4)$、$\overrightarrow{AH}=(0,-3)$ なので
$$ \cos\angle BAH=\frac{(-1)\cdot0+(-4)(-3)}{\sqrt{17}\cdot3}=\frac4{\sqrt{17}} $$
である。$\overrightarrow{AO}=\left(\dfrac32,-\dfrac52\right)$、$\overrightarrow{AC}=(4,-4)$ なので
$$ \cos\angle OAC=\frac{\frac32\cdot4+\left(-\frac52\right)(-4)}{\frac{\sqrt{34}}2\cdot4\sqrt2}=\frac{16}{4\sqrt{17}}=\frac4{\sqrt{17}} $$
で、2 つの角は等しい。$\cos B=\dfrac1{\sqrt{17}}$ なので $\sin B=\dfrac4{\sqrt{17}}$ で、$\cos(90^\circ-B)=\sin B=\dfrac4{\sqrt{17}}$ とも一致する。

中線 $AM$（$M$ は辺 $BC$ の中点）では $\dfrac{BM}{MC}=1$ なので、prop-tceva-foot-product により、類似中線 $AK_a$ の足 $K_a$ は
$$ \frac{BK_a}{K_aC}=\frac{c^2}{b^2} $$
を満たす。つまり類似中線は、向かいの辺を、隣り合う 2 辺の長さの 2 乗の比に分ける。
$a=5$、$b=6$、$c=4$ の三角形では、3 本の類似中線の足の比は $\dfrac{c^2}{b^2}=\dfrac{16}{36}=\dfrac49$、$\dfrac{a^2}{c^2}=\dfrac{25}{16}$、$\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{36}{25}$ で、積は $\dfrac49\cdot\dfrac{25}{16}\cdot\dfrac{36}{25}=\dfrac{4\cdot36}{9\cdot16}=1$ である。$B(0,0)$、$C(5,0)$ とすると $BK_a=5\cdot\dfrac{4}{13}=\dfrac{20}{13}$ である。

$A(0,0)$、$B(3,0)$、$C(0,3)$ とし、辺を $1:2$ に分ける点 $D(2,1)$、$E(0,2)$、$F(1,0)$ をとる（三角形の重心（高校数学） の反例と同じ）。3 本の Ceva 線は 1 点で交わらない。
(1) 頂点 $A$：$\overrightarrow{AD}=(2,1)$ なので $\sin\angle BAD=\dfrac1{\sqrt5}$、$\sin\angle DAC=\cos\angle BAD=\dfrac2{\sqrt5}$ で、比は $\dfrac12$ である。
(2) 頂点 $B$：$\overrightarrow{BE}=(-3,2)$ なので $\sin\angle EBA=\dfrac2{\sqrt{13}}$、$\cos\angle EBA=\dfrac3{\sqrt{13}}$ である。$\angle CBE=45^\circ-\angle EBA$ なので $\sin\angle CBE=\dfrac{\sqrt2}2\cdot\dfrac{3-2}{\sqrt{13}}=\dfrac1{\sqrt{26}}$ で、比は $\dfrac{1/\sqrt{26}}{2/\sqrt{13}}=\dfrac1{2\sqrt2}$ である。
(3) 頂点 $C$：$\overrightarrow{CF}=(1,-3)$ なので $\sin\angle ACF=\dfrac1{\sqrt{10}}$、$\cos\angle ACF=\dfrac3{\sqrt{10}}$ である。$\angle FCB=45^\circ-\angle ACF$ なので $\sin\angle FCB=\dfrac{\sqrt2}2\cdot\dfrac{3-1}{\sqrt{10}}=\dfrac1{\sqrt5}$ で、比は $\dfrac{1/\sqrt{10}}{1/\sqrt5}=\dfrac1{\sqrt2}$ である。
積は $\dfrac12\cdot\dfrac1{2\sqrt2}\cdot\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac18\ne1$ である。これは辺の比の積 $\dfrac12\cdot\dfrac12\cdot\dfrac12=\dfrac18$ に等しく、prf-tceva-main の段 2 のとおり、1 点で交わらなくても 2 つの積は等しい。3 本が囲む三角形の面積は Routhの定理 で求まる。

ex-tceva-start の 1 点で交わる 3 本で、頂点 $B$ と $C$ の比だけ分子と分母を入れかえて $\dfrac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}\cdot\dfrac{\sin\beta_2}{\sin\beta_1}\cdot\dfrac{\sin\gamma_2}{\sin\gamma_1}$ を計算すると
$$ \frac32\cdot3\sqrt2\cdot\frac1{2\sqrt2}=\frac94\ne1 $$
になる。定理の式は、どの頂点でも「$A\to B\to C\to A$ の順でその頂点の次に来る頂点の側の角」を分子に置いたときにだけ成り立つ。辺の比 $\dfrac{BD}{DC}$、$\dfrac{CE}{EA}$、$\dfrac{AF}{FB}$ を一周する順に並べるのと同じ注意である。

ex-tceva-start の $D$、$E$ はそのままにして、$F$ の代わりに辺 $AB$ の延長の上の点 $F'(12,0)$ をとる。$\overrightarrow{CF'}=(12,-6)$、$CF'=6\sqrt5$ なので $\sin\angle ACF'=\dfrac{12}{6\sqrt5}=\dfrac2{\sqrt5}$、$\cos\angle ACF'=\dfrac1{\sqrt5}$ である。半直線 $CF'$ は角 $\angle ACB$ の外にあり、$\angle ACF'=\angle ACB+\angle BCF'$、つまり $\angle F'CB=\angle ACF'-45^\circ$ である。よって
$$ \sin\angle F'CB=\frac{2}{\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt2}2-\frac1{\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt2}2=\frac1{\sqrt{10}},\qquad \frac{\sin\angle ACF'}{\sin\angle F'CB}=\frac{2/\sqrt5}{1/\sqrt{10}}=2\sqrt2 $$
で、$F$ のときと同じ値である。したがって $\dfrac32\cdot\dfrac1{3\sqrt2}\cdot2\sqrt2=1$ となるが、直線 $CF'$ は $y=6-\dfrac12x$ で、$x=2$ のとき $y=5\ne3$ なので、$AD$ と $BE$ の交点 $P(2,3)$ を通らない。
lem-tceva-monotone は $\angle ACF$ と $\angle FCB$ の和が $\angle ACB$ になることを使っていた。$F'$ ではこの和の関係が崩れ、正弦の比が同じでも角が同じとは限らない。

折り返しの代わりに、3 本の角の二等分線を、それぞれの頂点のまわりに同じ向きに同じ角 $\delta$ だけ回す（$0^\circ<\delta<\dfrac12\min(A,B,C)$）。$\delta$ が各頂点の角の半分より小さいので、回した直線も角の内部を通り、向かいの辺と頂点以外の点で交わる。
どの角が増えるかを確かめる。三角形 $ABC$ の頂点が反時計回りに並ぶとする（ex-tceva-start の $A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(0,6)$ がそうである）。このとき頂点 $A$ の角は辺 $AB$ から辺 $AC$ へ、頂点 $B$ の角は辺 $BC$ から辺 $BA$ へ、頂点 $C$ の角は辺 $CA$ から辺 $CB$ へ、どれも反時計回りに開いている（ex-tceva-start では、$A$ で向き $0^\circ$ から $90^\circ$ へ、$B$ で $135^\circ$ から $180^\circ$ へ、$C$ で $270^\circ$ から $315^\circ$ へ）。そこで 3 本とも反時計回りに $\delta$ 回すと、どの頂点でも def-tceva-angles の添字 $1$ の角（$A$ では $AB$ の側、$B$ では $BC$ の側、$C$ では $CA$ の側）が $\delta$ 増え、添字 $2$ の角が $\delta$ 減る。つまり
$$ \alpha_1=\frac A2+\delta,\quad \alpha_2=\frac A2-\delta,\qquad \beta_1=\frac B2+\delta,\quad \beta_2=\frac B2-\delta,\qquad \gamma_1=\frac C2+\delta,\quad \gamma_2=\frac C2-\delta $$
である（時計回りに回すと、添字 $1$ と $2$ の役割が入れかわり、どの比も $1$ より小さくなる。以下と同じ議論で積は $1$ より小さい）。
頂点 $A$ では、加法定理から積和・和積・合成・正接の公式を導く の和積の公式により
$$ \sin\left(\frac A2+\delta\right)-\sin\left(\frac A2-\delta\right)=2\cos\frac A2\sin\delta>0 $$
なので（$0^\circ<\dfrac A2<90^\circ$、$0^\circ<\delta<90^\circ$）、比 $\dfrac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}=\dfrac{\sin(A/2+\delta)}{\sin(A/2-\delta)}$ は $1$ より大きい。頂点 $B$、$C$ でも同じ計算で $\dfrac{\sin\beta_1}{\sin\beta_2}>1$、$\dfrac{\sin\gamma_1}{\sin\gamma_2}>1$ である。1 より大きい正の数を 3 つ掛けるので、積は $1$ より大きく、thm-tceva-main により 3 本は 1 点で交わらない。たとえば正三角形で $\delta=10^\circ$ なら、比はどれも $\dfrac{\sin40^\circ}{\sin20^\circ}=2\cos20^\circ\approx1.879$ で、積は約 $6.64$ である。二等分線で折り返す操作だけが、比を逆数にして積 $1$ を保つ。