有限体の定義と基本的な構造について

有限体の基礎

有限個の要素からなる体を **有限体** (*Finite field*) という。

たとえば、$\F_p=\Z/p\Z$ とおくと、[テキスト「初等整数論」合同式:定理1.7](/textbooks/gDWQ3LLZ9Owb8113FxQU/3Fo0eQu4KdhVYlddhXc5#thm7)より $\F_p$ は $p$ 個の要素からなる有限体であることがわかる。
一方、$n$ が合成数のとき $\Z/n\Z$ は体ではない。実際、$n=md, 1<m, d<n$ と分解すると、$md\equiv 0\Mod{n}$ であるから、$m\Mod{n}, d\Mod{n}$ は $\Z/n\Z$ における[零因子](/textbooks/RmQEPqVMmwqKs57yZfjs/V0VCMxLixEmwMtL37cq5#零因子)となり、$\Z/n\Z$ は[整域](/textbooks/RmQEPqVMmwqKs57yZfjs/V0VCMxLixEmwMtL37cq5#整域)でもないことがわかる。


# 有限体の算術

有限体は環であるから、自然に $\Z$-加群となる。つまり $F$ が有限体のとき、$a\in F$ と、$k\in\Z$ に対して
$$0a=0, 1a=a, (k+1)a=ka+a, (-k)a=-(ka)$$
つまり
$$ka=\overbrace{a+a+\cdots +a}^{k}$$
により、$F$ は $\Z$-加群となる。すなわち、つぎのような事実が成り立つ。

&&&prop [prop01]
$a\in F$ および $k, \ell\in\Z$ に対して
$$(k+\ell) a=ka+\ell a$$
が成り立つ。
&&&

&&&prf
$\ell=0$ のとき、$(k+0)a=ka=ka+0a$ より明らか。
$\ell=1$ のときも、$(k+1)a=ka+a=ka+1a$ より明らか。
$\ell\geq 1$ で $(k+\ell) a=ka+\ell a$ が成り立つとき
$$(k+\ell +1)a=(ka+\ell)a+a=ka+\ell a+a=ka+(\ell+1)a$$
なので、$(k+\ell+1) a=ka+(\ell +1)a$ も成り立つ。

よって、任意の自然数 $\ell$ について $(k+\ell)a=ka+\ell a$ は成り立つ。

最後に $\ell$ が負の整数のとき、
$$(k+\ell)a-\ell a=(k+\ell a)+(-(\ell a))=(k+\ell a)+((-\ell) a)=ka$$
より $ka+\ell a=(k+\ell) a$ が成り立つ。
&&&

&&&thm [prop02]
$F$ の乗法単位元を $1_F$ とおくと、$k\in\Z$ に対して
$$(k\times 1_F) a=ka$$
が成り立つ。
&&&

&&&prf
$F$ の零元（加法単位元）を、$\Z$ の零元と区別する必要のある場合には、$0_F$ とおく。$(0\times 1_F) a=0_F=0\times a$ は明らか、また $(k\times 1_F) a=ka$ ならば
$$((k+1) 1_F) a=(k\times 1_F) a+1_F a=ka+a=(k+1)a$$
であるから、数学的帰納法より、$k\in\N$ について $(k\times 1_F)a=ka$ が成り立つ。
$k$ が負の整数のとき、$k=-\ell$ とおくと、
$$(k\times 1_F) a=(-\ell\times 1_F) a=-(\ell\times 1_F) a=-\ell a=ka$$
となる。
&&&

&&&thm [prop03]
$a\in F$ および $k, m\in\Z$ に対して
$$k(ma)=(km)a$$
が成り立つ。
&&&

&&&prf
$k=0$ のとき、$0(ma)=0_F=0a=(0\times m)a$ は明らか、また $k(ma)=(km)a$ ならば
$$(k+1)(ma)=k(ma)+ma=(km)a+ma=((k+1)m)a$$
であるから、数学的帰納法より、$k\in\N$ について $k(ma)=(km)a$ が成り立つ。
$k$ が負の整数のとき、$k=-\ell$ とおくと、
$$k(ma)=-\ell(ma)=-(\ell(ma))=-(\ell m)a=(-\ell m)a=(km)a$$
となる。
&&&

&&&thm [prop04]
$a, b\in F$ および $k\in\Z$ に対して
$$k(a+b)=ka+kb$$
が成り立つ。
&&&

&&&prf
$k=0$ のとき、$0(a+b)=0_F=0_F+0_F=0a+0b$ は明らか、また $k(a+b)=ka+kb$ ならば
$$(k+1)(a+b)=k(a+b)+a+b=ka+kb+a+b=(k+1)a+(k+1)b$$
であるから、数学的帰納法より、$k\in\N$ について $k(a+b)=ka+kb$ が成り立つ。
$k$ が負の整数のとき、$k=-\ell$ とおくと、
$$k(a+b)=-(\ell(a+b))=-(\ell a+\ell b)=-\ell a+(-\ell b)=(-\ell)a+(-\ell) b$$
となる。
&&&

# 有限体の標数

有限体に対する、基本的な事実として、つぎのような素数が一意的に定まる。

&&&thm
$F$ を有限体とすると、$0$ 以外の $F$ の要素 $a$ について、$pa=0$ となる素数 $p$ が、$F$ によってのみ一意的に定まる。
さらに、任意の $a\neq 0$ について
$$ka=0\Longleftrightarrow p\mid k$$
となる。
&&&
このような素数を $F$ の**標数** (*characteristic*) という。たとえば $\F_p$ の標数は $p$ に一致する。

$a$ が $F$ の要素であるとき、$ka=0$ となる $0$ でない整数 $k$ が必ず存在する。

さらに、$a\neq 0$ ならば、そのような $k$ の中で最小の正のものは、$a$ によらずに一意に定まる素数となる。
そのような素数を $p$ とおくと、任意の $a\neq 0$ について
$$ka=0\Longleftrightarrow p\mid k$$
となる。

それで、このような素数 $p$ は $F$ の標数となる。つまり、有限体の標数 $p$ は素数である。

一般に、環 $R$ の乗法単位元 $1$ について、$n\times 1=0$ となる最小の正の整数 $n$ が存在するとき、$n$ を $R$ の標数といい、そのような正の整数 $n$ が存在しないとき、$R$ の標数を $0$ と定める。$R$ が整域ならば、$R$ の標数は $0$ かまたは素数である。

&&&prf
$F$ は有限体だから、$\{ma: m\in\Z\}$ は有限集合である。よって $a\in F$ について $ma=na$ となる $2$ つの整数 $m\neq n$ がとれる。
したがって、$k=m-n$ とおくと、$k\neq 0$ かつ $ka=0$ となる。よって、$ka=0$ となる $0$ でない整数 $k$ が必ず存在することがわかる。

$F$ の乗法単位元を $1_F$ とし、$k\times 1_F=0$ となる、最小の正の整数 $k$ を $k_1$ とおく。
$k_1=1$ のとき、$1_F=0$ となって矛盾する。
$k_1$ が合成数のとき、$k_1=md, 1<d, m<k_1$ と分解すると、[命題2](#prop02)および[命題3](#prop03)より
$$(m\times 1_F)(d\times 1_F)=m(d\times 1_F)=(md) 1_F=0$$となり、$R$ が整域であることに反する。よって $k_1$ は素数でなければならない。

ここから、$p=k_1$ ととれることを示す。
一般に、$ka=0$ となる最小の正の整数を $k_a$ とおく。
$ka=0$ かつ $m=kd$ ならば、$ma=kda=d(ka)=0$ となる。
また、$ka=\ell a=0$ ならば $(k+\ell)a=ka+\ell a=0$ であるから[テキスト「初等整数論」倍数と約数の定理3](../gDWQ3LLZ9Owb8113FxQU/zyPRWeGEIldOketulmv2#th3)あるいは[環論の基礎：UFD・PIDの定理](../RmQEPqVMmwqKs57yZfjs/7jc9dbXAFfuqmwKny1wg)より、$\{k\in\Z: ka=0\}$ は $k_a$ の倍数全体と一致する。
$$k_1 a=(k_1\times 1_F)a=0_F\times a=0$$となるから、任意の $a\in F$ について、$k_1 a=0$ が成り立つ。
よって $k_a$ は $k_1$ の約数であるが、$k_1$ は素数だから、$k_a=1$ または $k_1$ でなければならない。
$k_a=1$ ならば、$a=k_a a=0$ となる。つまり、$a\neq 0$ ならば $k_a$ は $k_1$ に一致する。さらに、先に述べたことから、
$$ka=0\Longleftrightarrow k_1\mid k$$
となる。よって $p=k_1$ ととれる。
&&&

有限体の定義と算術

$F$ が標数 $p$ の有限体とする。$k\equiv \ell\Mod{p}$ ならば、$ka=\ell a$ であるから、$\bar k=k\Mod{p}\in \F_p$ について、$(\bar k)a=ka$ と定めることで、$F$ は $\F_p$ 上のベクトル空間となる。$F$ は有限体であるから、$\F_p$ 上のベクトル空間としての生成元 $a_1, a_2, \ldots, a_m$ がとれる。このとき、$F$ のすべての要素は
$$k_1 a_1+k_2 a_2+\cdots +k_m a_m, k_1, k_2, \ldots, k_m\in\F_p$$
と一意に表すことができる。よって、$F$ は $p^m$ 個の要素からなる。このことから、標数 $p$ の有限体の要素の個数は $p$ の冪であることがわかる。

逆に、任意の正の整数 $e\geq 1$ について、$p^e$ 個の要素からなる有限体が存在する。これはつぎのように構成される。

$\Phi_d(X)$ を $1$ の $d$ 乗根に関する円分多項式とする。素数 $p$ と、正の整数 $e\geq 1$ をとる。$\Phi_{p^e-1}(T)$ の $\F_p[T]$ における既約因子をひとつとり、それを $f(T)$ とおく。[多項式の除法の原理](/glossaries/XdtFqe3Kh3rAYfLlJaIY#th2) にあるように、$\F_p[T]$ はユークリッド整域だから[「環論の基礎4：UFD・PID」の命題7](../RmQEPqVMmwqKs57yZfjs/7jc9dbXAFfuqmwKny1wg)よりPIDなので、[同・命題5](../RmQEPqVMmwqKs57yZfjs/7jc9dbXAFfuqmwKny1wg)より$(f)$ は素イデアルである。[同・命題6](../RmQEPqVMmwqKs57yZfjs/7jc9dbXAFfuqmwKny1wg)よりPIDにおいて素イデアルは極大イデアルとなるから$(f)$ は極大イデアルである。よって $\F_p[T]/(f)$ は体となる。

$f(T)$ の次数を $d$ とすると、$\F_p[T]/(f)$ の要素は
$$a_{d-1} T^{d-1}+\cdots+a_1 T+a_0$$
の形の代表元をもつから、$\F_p[T]/(f)$ は $p^d$ 個の要素からなる有限体となる。

重要なことは、この体が $p^e$ 個の要素からなる体となることである。

&&&thm [th1]
$\F_p[T]/(f)$ は $p^e$ 個の要素からなる体である。実際、
$$X^{p^e}-X=X(X-1)(X-T)\cdots (X-T^{p^e-2})$$
と分解され、$\F_p[T]/(f)$ 上の方程式
$$X^{p^e}-X=0\label{eq1}\tag{1}$$
は重解をもたず、
$$\F_p[T]/(f)=\{0, 1, T, \ldots, T^{p^e-2}\}$$
は、その解の集合となる。
&&&

このことから、$\F_p[T]/(f)$ は $p^e$ 個の要素からなる有限体であることがわかる。これにより、
任意の素数 $p$ と、正の整数 $e\geq 1$ について、$p^e$ 個の要素からなる有限体が存在することがわかる。

&&&prf
$0, 1, T, \ldots, T^{p^e-2}$ は $\F_p[T]/(f)$ に含まれることは明らかである。

つぎに、$X^{p^e}-X=0$ の解は、$0, 1, T, \ldots, T^{p^e-2}$ ですべて与えられることを示す。

そこで、先に $0, 1, T, \ldots, T^{p^e-2}$ は相異なることを示す。$0$ は $1, T, \ldots, T^{p^e-2}$ のいずれとも相異なることは明らかである。
$T^i=T^j, 0\leq i, j\leq p^e-2$ かつ $i\neq j$ であるとすると、$d=\abs{i-j}$ とおくと、$T^d=1$ かつ $1\leq d\leq p^e-2$ となる。
$T^g=1$ となる最小の正の整数を $g$ とおくと、$p^e-1$ は $g$ で割り切れ、かつ $g<p^e-1$ となる。[テキスト「初等整数論」円分多項式の命題1 (iii)](/textbooks/gDWQ3LLZ9Owb8113FxQU/SO4uiQ9JkXji8OwDjsj1#prop1)より、$\Z[T]$ において
$$\frac{T^{p^e-1}-1}{T^g-1}\equiv \frac{p^e-1}{g}\Mod{T^g-1}$$
となる。つまり、
$$\frac{T^{p^e-1}-1}{T^g-1}-g(T)(T^g-1)=\frac{p^e-1}{g}\label{eq2}\tag{2}$$
となる $g(T)\in\Z[T]$ がとれる。よって、$\F_p[T]$ においても、この等式が成り立つ。しかし、$F_p[T]$ において、
$$f(T)\mid \Phi_{p^e-1}(T)\mid \frac{T^{p^e-1}-1}{T^g-1}$$
かつ
$$f(T)\mid (T^g-1)$$
であるから、$\F_p[T]$ において、\eqref{eq2}の左辺は $f(T)$ で割り切れなければならない。つまり $\F_p[T]$ において、$(p^e-1)/g$ が $f(T)$ で割り切れることになって矛盾する。
よって、$0, 1, T, \ldots, T^{p^e-2}$ は $\F_p[T]/(f)$ の相異なる $p^e$ 個の要素である。

さて、$X$ を未知数とする方程式\eqref{eq1}は $\F_p[T]/(f)$ において、$0, 1, T, \ldots, T^{p^e-2}$ を解にもつ。
実際、\eqref{eq1}の左辺は $X$ で割り切れるから、$0$ は\eqref{eq1}の解で、また$T^{p^e-1}=1$ だから、$T^{k(p^e-1)}=1$ も成り立つので、$T^k$ の形の要素は\eqref{eq1}の解である。
一方、$\F_p[T]/(f)$ は体だから、この方程式は高々 $p^e$ 個の解しかもたない。よって
\eqref{eq1}の解は $0, 1, T, \ldots, T^{p^e-2}$ で与えられる。

つぎに、$\F_p[T]/(f)$ の要素はすべて\eqref{eq1}の解であることを示す。
$1$ は明らかに\eqref{eq1}の解である。また、$f$ のとり方から、$T$ も\eqref{eq1}の解である。
$a, b$ が\eqref{eq1}の解ならば、
$$(ab)^{p^e}=a^{p^e} b^{p^e}=ab$$
より $ab$ は\eqref{eq1}の解である。

また、
$$(a+b)^{p^e}=\sum_{k=0}^{p^e} \binom{p^e}{k} a^{p^e-k} b^k$$
となるが、[二項係数の素因数分解](textbooks/gDWQ3LLZ9Owb8113FxQU/8BGVqifISis9Wtf1USnj#th8)からわかるように、$0<k<p^e$ のとき、素数 $p$ が $\binom{p^e}{k}$ を割り切る指数は
$$\sum_{j=1}^{\infty} \left(\floor{\frac{p^e}{p^j}}-\floor{\frac{k}{p^j}}-\floor{\frac{n-k}{p^j}}\right)
\geq \floor{\frac{p^e}{p^e}}-\floor{\frac{k}{p^e}}-\floor{\frac{p^e-k}{p^e}}=1$$
となる。つまり、$0<k<p^e$ のとき $p$ は $\binom{p^e}{k}$ を割り切る。よって $\F_p[T]/(f)$ において
$$(a+b)^{p^e}=a^{p^e}+b^{p^e}$$
となる。

よって、$a, b$ が\eqref{eq1}の解ならば、$ab, a+b$ も\eqref{eq1}の解である。
$\F_p[T]/(f)$ の要素は
$$a_{d-1} T^{d-1}+\cdots+a_0$$
の形の代表元をもつから、積と和を有限回繰り返すことで、
$\F_p[T]/(f)$ の要素はすべて\eqref{eq1}の解であることがわかる。
&&&

さらに、$p^e$ 個の要素からなる体は、同型を除いて一意的に定まる。まず、Fermatの小定理の一般化を示す。

&&&thm Fermatの小定理の一般化 [th2]
$F$ が $p^e$ 個の要素からなる体のとき、$0$ 以外の $F$ の要素 $a$ に対し、つねに
$$a^{p^e-1}=1$$
が成り立つ。言い換えると、$a\in F$ に対し、つねに
$$a^{p^e}=a$$
が成り立つ。
&&&

&&&prf
$F$ を $p^e$ 個の要素からなる体とする。$F\setminus \{0\}$ は $p^e-1$ 個の要素からなる乗法群となるので、[「群論の基礎3：正規部分群」の命題 3.6](/textbooks/I5gUEHRPRPhHJPiRhq3e/4as89p05KHPFulET7pW5)より、$0$ 以外の $F$ の要素 $a$ の位数は $p^e-1$ の約数である。よって
$$a^{p^e-1}=1$$
が成り立つ。よって、 $a\in F$ が $0$ でも、$0$ でなくても
$$a^{p^e}=a$$
が成り立つ。
&&&

&&&thm [th3]
$\Phi_{p^e-1}(X)$ の $\F_p[X]$ における既約因子 $f(X)$ をひとつとると、
$p^e$ 個の要素からなる体は、$\F_p[T]/(f)$ に同型である。
&&&

&&&prf
$\F$ を $p^e$ 個の要素からなる体とする。[先の定理](#th2)より、$0$ 以外の $\F$ の要素 $a$ に対し、つねに
$$a^{p^e-1}=1$$
が成り立つ。よって $\F$ 上の方程式
$$X^{p^e-1}-1=0$$
は $\F$ において、$p^e-1$ 個の解をもつから、$X^{p^e-1}-1\in \F[X]$ は
$$X^{p^e-1}-1=\prod_{a\in \F, a\neq 0}(X-a)$$
と因数分解される。とくに $f(X)$ は $X^{p^e-1}-1$ の因数でもあるから、 $f(X)$ も $\F[X]$ において$1$次式の積に因数分解されるので、
$f(X)=0$ は $\F$ において解 $X=t$ を少なくとも$1$つもつ。したがって、$\F_p(t)\subset \F$ となるが、
$\F_p(t)$ は $\F_p[T]/(f)$ に同型であり、[定理1](#th1)より、$\F_p(t)$ は $p^e$ 個の要素からなる体である。
よって、$\F=\F_p(t)$ は $\F_p[T]/(f)$ に同型である。
&&&

$p^e$ 個の要素からなる有限体につき、[定理1](#th1)により存在が、[定理3](#th3)により一意性が保証される。それで、この有限体を $\F_{p^e}$ であらわす。

&&&ex [ex4]
$4$ 個の要素からなる有限体は
$$\F_4=\F_2[T]/(T^2+T+1)=\{0, 1, T, T^2\}=\{0, 1, T, T+1\}$$
により与えられる。実際、この体における演算は
$$T^2=T+1, T(T+1)=(T+1)T=1, (T+1)^2=T$$
により定まる（$\Z/4\Z$ や $(\Z/2\Z)\oplus(\Z/2\Z)$ は $4$ 個の要素からなる環ではあるが体ではない。$\F_4$ の演算は、これらの環の演算とは異なることに注意）。
&&&

[定理1](#th1)より、$\F_{p^e}$ は $\F_p$ の単拡大である。逆に、[定理3](#th3)より、$\F_p$ の単拡大は $\F_{p^e}$ の形のものに同型であることがわかる。
それで、$\F_p$ の代数閉包は
$$\overline{\F_p}=\bigcup_{e\geq 1}\F_{p^e}$$
で与えられる。とくに、$\F_p$ の代数閉包は無限個の要素からなる体となる。
