アーベル圏

$\newcommand{\yotei}{\text{<編集中>}}$

$\newcommand{\relmiddle}[1]{ \mathrel{}\middle#1\mathrel{} }$ $\newcommand{\set}[2]{ \left\{#1\relmiddle|#2\mbox{}\right\} }$ $\newcommand{\map}[3]{ {#1}\colon{#2}\rightarrow{#3} }$ $\newcommand{\ordpair}[1]{ \left\langle #1 \right\rangle }$ $\newcommand{\inv}[1]{ {#1}^{-1} }$ $\newcommand{\pow}[2]{ {#1}^{#2} }$ $\newcommand{\abs}[1]{ \left| #1 \right| }$ $\newcommand{\Homset}[2]{ \mathsf{Hom}(#1,#2) }$

$\newcommand{\cgrp}{ A }$

$\newcommand{\Hom}[3]{ \mathop{\mathsf{Hom}}\nolimits_{#1}(#2,#3) }$ $\newcommand{\End}[2]{ \mathop{\mathsf{End}}\nolimits_{#1}(#2) }$ $\newcommand{\Setcat}{\mathsf{Set}}$ $\newcommand{\Topcat}{\mathsf{Top}}$ $\newcommand{\Catcat}{\mathsf{Cat}}$ $\newcommand{\Ringcat}{\mathsf{Ring}}$ $\newcommand{\Grpcat}{\mathsf{Grp}}$ $\newcommand{\Abelcat}{\mathsf{Abel}}$ $\newcommand{\Schcat}{\mathsf{Sch}}$ $\newcommand{\Modcat}[1]{\mathsf{Mod}(#1)}$ $\newcommand{\modcat}[1]{\mathsf{mod}(#1)}$ $\newcommand{\Projcat}[1]{\mathsf{Proj}(#1)}$ $\newcommand{\projcat}[1]{\mathsf{proj}(#1)}$ $\newcommand{\Injcat}[1]{\mathsf{Inj}(#1)}$ $\newcommand{\injcat}[1]{\mathsf{inj}(#1)}$ $\newcommand{\pCWcat}{\mathsf{CW}^{*}}$

$\newcommand{\cat}{\mathcal{C}}$ $\newcommand{\func}[3]{ {#1}\colon{#2}\rightarrow{#3} }$ $\newcommand{\pbfunc}[1]{ {#1}^* }$ $\newcommand{\Subobjcls}[2]{\mathop{\mathsf{Sub}}\nolimits_{#1}({#2})}$ $\newcommand{\Subobj}[2]{\mathop{\mathsf{Sub}}\nolimits_{#1}({#2})}$ $\newcommand{\over}[1]{_{/#1}}$ $\newcommand{\under}[1]{_{#1/}}$

$\newcommand{\abcat}{\mathcal{A}}$

本記事においてはアーベル圏の概念について、その定義を幾つかの方法で述べ、そしてそれらの同値性について確かめる。

アーベル圏の定義

圏 $\abcat$ がアーベル圏であるとは、次の条件を満たすことをいう。

• $\abcat$ は有限完備かつ有限余完備である。
• $\abcat$ は零対象をもつ。
• $\abcat$ は一意的な正則エピ-正則モノ分解ができる。