アーベル圏2：核・余核と複体
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定義 2. (核・余核)
$\cC$を加法圏とする。
以下で定義される$\Ker(f)\in\cC$と$\ker(f)\in\cC(\Ker(f),X)$の対$(\Ker(f),\ker(f))$を$f$の核と呼ぶ。
(1)$f\circ\ker(f)=0$
(2)$f\circ k=0$を満たす任意の$K\in\cC$と$k\in\cC(K,X)$の対$(K,k)$に対して、$\underline{k}\in\cC(K,\Ker(f))$が一意に存在し、$\ker(f)\circ\underline{k}=k$を満たす
\begin{xy} \xymatrix { K\ar[rd]_-{k}\ar[rrd]^-{0}\ar[dd]_-{\underline{k}}&&\\ &X\ar[r]^-{f}&Y\\ \Ker(f)\ar[ru]^-{\ker(f)}\ar[rru]_-{0}&& } \end{xy}
双対圏$\cC^{op}$において対$(\Cok(f),\cok(f))$が$f$の核となるとき、これを$f$の余核という。
命題 2. (核射は単射)
$\cC$を加法圏、$f:X\ra Y$を$\cC$の射とする。
$f$の核が存在するならば、$\ker f$は単射
双対的に、余核射は全射である。
命題 2. (核と差核の関係)
$\cC$を加法圏、$f_1,f_2:X\ra Y$を$\cC$の射とする。以下は同値。
(1)$f_1,f_2$の差核が存在
(2)差$f_1-f_2\in\cC(X,Y)$の核が存在
また、これは存在するならば一致する。
命題 2. ()
$\cC$を加法圏、$A\xr{f}B\xr{g}C$を$\cC$における射の列とする。
$(A,f)$は$g$の核 $\LR$ 任意の$X\in\cC$に対して、$Ab$の射の列$\cC(X,A)\xr{\Hom(X,f)}\cC(X,B)\xr{\Hom(X,g)}\cC(X,C)$において$(\cC(X,A),\Hom(X,f))$は$\Hom(X,g)$の核
命題 2. ()
$\cC$を加法圏とする。可換図式 \[\xymatrix{ X_1\ar[d]_-{x}\ar[r]^-{f_1}&Y_1\ar[d]^-{y}\\ X_2\ar[r]_-{f_2}&Y_2 }\] において$f_1,f_2$の核が存在するとする。
このとき、以下の図式が可換になる射$\underline{x}:\Ker(f_1)\ra\Ker(f_2)$が一意に存在する。
\[\xymatrix{ \Ker(f_1)\ar[r]^-{\ker(f_1)}\ar[d]_-{\underline{x}}&X_1\ar[d]_-{x}\ar[r]^-{f_1}&Y_1\ar[d]^-{y}\\ \Ker(f_2)\ar[r]_-{\ker(f_2)}&X_2\ar[r]_-{f_2}&Y_2 }\]
命題 2. ()
$\cC$を加法圏とする。可換図式 \[\xymatrix{ X_1\ar[d]_-{g_1}\ar[r]^-{f_1}&X_2\ar[d]^-{g_2}\\ Y_1\ar[r]_-{f_2}&Y_2 }\] に対して、 $f_1,f_2,g_1,g_2$の核が存在すると仮定する。
このとき、上記命題から得られる$\Ker(\underline{f_1})$と$\Ker(\underline{g_1})$は同型。
定義 2. (短完全列)
$\cC$を加法圏とする。射の列
\[ 0\ra X\xr{f}Y\xr{g}Z\ra0 \]
が$\Ker(g)=(X,f)$かつ$\Cok f=(Z,g)$を満たすとき、これを短完全列と呼ぶ。
定義 2. (短完全列の射)
$\cC$を加法圏とする。
$0\ra X\xr{f}Y\xr{g}Z\ra0$. $0\ra X^\p\xr{f^\p}Y^\p\xr{g^\p}Z^\p\ra0$をそれぞれ短完全列とするとき、射の組$(a,b,c)$で以下が可換になるものを短完全列の射と呼ぶ。
\[\xymatrix{ 0\ar[r]&X\ar[r]^-{f}\ar[d]_-{a}&Y\ar[r]^-{g}\ar[d]_-{b}&Z\ar[r]\ar[d]^-{c}&0\\ 0\ar[r]&X^\p\ar[r]_-{f^\p}&Y^\p\ar[r]_-{g^\p}&Z^\p\ar[r]&0\\ }\]
短完全列の全体を対象として合成を短完全列の射をそれぞれ合成したものとして定義すると短完全列の全体は圏になる。
命題 2. (五項補題)
$\cC$を加法圏とする。
\[\xymatrix{ V\ar[r]\ar[d]^-{a}&W\ar[r]\ar[d]^-{b}&X\ar[r]\ar[d]^-{c}&Y\ar[r]\ar[d]^-{d}&Z\ar[d]^-{e}\\ V^\p\ar[r]&W^\p\ar[r]&X^\p\ar[r]&Y^\p\ar[r]&Z^\p\\ }\]
2つの行が完全な可換図式に対して、$b,d$が同型射かつ$a$がエピ射、$e$がモノ射ならば$c$は同型射。
命題 2. ()
Proof.
Proof.
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Proof.
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Proof.
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