吸収元

定義

マグマ$\langle M, \cdot \rangle$の元$0_L$が性質

$ \forall a \in M, 0_L \cdot a = 0_L $

を満たすとき、$e_L$を$M$の左吸収元もしくは左零元と呼ぶ。

マグマ$\langle M, \cdot \rangle$の元$0_R$が性質

$ \forall a \in M, a \cdot 0_R = 0_R $

を満たすとき、$e_R$を$M$の右吸収元もしくは右零元と呼ぶ。

マグマ$\langle M, \cdot \rangle$の元$0$が左吸収元かつ右吸収元であるとき、$e$は$M$の吸収元もしくは零元であるという。

重要な定理

定理1

マグマ$\langle M, \cdot \rangle$が左吸収元$0_L$と右吸収元$0_R$を持つとき、$0_L=0_R$

証明

$0_L$の左吸収元としての性質から

$0_L \cdot 0_R = 0_L$

$e_R$の右吸収元としての性質から

$0_L \cdot 0_R = 0_R$

したがって、

$0_L = 0_R$

定理2(唯一性)

マグマ$\langle M, \cdot \rangle$は高々1個の吸収元しか持たない。

証明

$0_1,0_2$を$M$の吸収元とする。定理1より、$0_1=0_2$

定理3

1. マグマ$\langle M, \cdot \rangle$の元$0$が左吸収元かつ左単位元ならば、$M=\{0\}$
2. マグマ$\langle M, \cdot \rangle$の元$0$が右吸収元かつ右単位元ならば、$M=\{0\}$

証明

1. $a \in M$を任意にとる。$0$の左吸収元としての性質から

$0 \cdot a = 0$

< $0$の左単位元としての性質から

$0 \cdot a = a$

< したがって$M$の任意の元は$0$と等しいので、$M=\{0\}$

1. 同様

参考文献

ｘｘｘ

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