環論の基礎3：素イデアル・極大イデアル
この章では極大イデアル・素イデアルやその周辺用語の定義について述べる。
定義 3. (素イデアル)
$R$を可換環、$\mathfrak{p}\neq R$をイデアルとする。
任意の$a,b\in R$に対して、$a,b\not\in\mathfrak{p}$ならば$ab\not\in\mathfrak{p}$が成り立つとき、$\mathfrak{p}$を素イデアルという。
命題 3. ($\mathfrak{p}$が素イデアル$\Leftrightarrow$$R/\mathfrak{p}$が整域)
$R$を環、$\mathfrak{p}\neq R$をイデアルとする。
$\mathfrak{p}$が素イデアル$\Leftrightarrow$$R/\mathfrak{p}$が整域。
Proof.
$(\Rightarrow)$
$a,b\in R$に対して、$(a+\mathfrak{p})(b+\mathfrak{p})=\mathfrak{p}$が成り立つとする。
このとき、$ab\in\mathfrak{p}$であり$\mathfrak{p}$が素イデアルなので$a\in\mathfrak{p}$または$b\in \mathfrak{p}$である。
よって、$R/\mathfrak{p}$において積が零元になるときにはどちらかの元が零元となるので、$R/\mathfrak{p}$は整域。
$(\Leftarrow)$
$a,b\not\in\mathfrak{p}$を任意に取る。
$(a+\mathfrak{p})(b+\mathfrak{p})=ab+\mathfrak{p}$であるが、$R/\mathfrak{p}$は整域なので$ab+\mathfrak{p}\neq\mathfrak{p}$が成り立つ。
よって、$ab\not\in\mathfrak{p}$より$\mathfrak{p}$は素イデアル。
□命題 3. ($(0)$が素イデアル$\Leftrightarrow$$R$は整域)
$R$を可換環とする。
零イデアル$(0)$が素イデアル$\Leftrightarrow$$R$は整域である。
Proof.
$(\Rightarrow)$
対偶を示す。
$a\neq0$を零因子とすると、$ab=0$となるような$b\neq0$が存在する。
よって、$a,b\not\in(0)$だが$ab\in(0)$を満たすような$a,b$が存在するので$(0)$は素イデアルではない。
$(\Leftarrow)$
対偶を示す。
$(0)$が素イデアルではないので、ある$a,b\in R$が存在して$a,b\not\in (0)$だが$ab\in (0)$が成り立つ。
よって、$a,b$は0ではない零因子なので$R$は整域ではない。
□命題 3. (共通部分が素イデアルに含まれる$\Rightarrow$素イデアルに含まれるイデアルが存在する)
$R$を可換環、$\mathfrak{p}$を素イデアル、$I_1,\cdots,I_n$をイデアルとする。
$I_1\cap\cdots\cap I_n$$\Rightarrow$$I_m\subset\mathfrak{p}$を満たす$1\leq m\leq n$が存在する。
Proof.
背理法で示す。
$I_m\subset\mathfrak{p}$を満たす$1\leq m\leq n$が存在しないと仮定する。
$k=1,\cdots,n$に対して、$x_k\in I_k\backslash\mathfrak{p}$が取れる。
このとき、$x_1\cdots x_n\in I_1\cap\cdots\cap I_n$であるが、$x_1\cdots x_n\not\in\mathfrak{p}$なのでこれは矛盾。
□命題 3. (素イデアル$\Leftrightarrow$イデアルで割った環で素イデアル)
$R$を可換環、$I\subset\mathfrak{p}$をイデアルとする。
$\mathfrak{p}$が$R$の素イデアル$\Leftrightarrow$$\mathfrak{p}/I$が$R/I$の素イデアル
Proof.
\[ (R/I)/(\mathfrak{p}/I)\cong R/\mathfrak{p} \]
なので、左辺が整域であることと右辺が整域であることは同値であることから従う。
□定義 3. (極大イデアル)
$R$を可換環、$\mathfrak{m}\neq R$をイデアルとする。
$I\neq R$がイデアルで$\mathfrak{m}\subset I$ならば$\mathfrak{m}=I$が成り立つとき、$\mathfrak{m}$を極大イデアルという。
命題 3. ($\mathfrak{m}$が極大イデアル$\Leftrightarrow$$R/\mathfrak{p}$が体)
$R$を環、$\mathfrak{m}\neq R$をイデアルとする。
$\mathfrak{m}$が極大イデアル$\Leftrightarrow$$R/\mathfrak{p}$が体。
Proof.
命題 3. ($(0)$が極大イデアル$\Leftrightarrow$$R$は体)
$R$を可換環とする。
零イデアル$(0)$が極大イデアル$\Leftrightarrow$$R$は体である。
Proof.
命題 3. (極大イデアル$\Rightarrow$素イデアル)
極大イデアルは素イデアルである。
Proof.
$R$を環、$\mathfrak{m}$を極大イデアルとする。
このとき、$R/\mathfrak{m}$は体であり、体は整域なので$R/\mathfrak{m}$は整域である。
よって$\mathfrak{m}$は素イデアルである。
□例 3. ($p\mathbb{Z}$は極大イデアル)
$p$を素数とする。
$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$は体なので、$p\mathbb{Z}$は極大イデアルである。
従って、素イデアルでもある。
例 3. (2変数多項式環において$(x)$は素イデアルだが極大イデアルではない)
2変数多項式環$\mathbb{R}[x,y]$においてイデアル$(x)$を考える。
準同型定理より
\[ \mathbb{R}[x,y]/(x)\cong\mathbb{R}[x] \]
が成り立ち、$\mathbb{R}[x]$は整域だが体ではないので、$(x)$は素イデアルだが極大イデアルではない。
定理 3. (ある可逆元を含む極大イデアルが存在する)
$R$を可換環とする。
$a\in R$が可逆元ではないとすると、$a$を含む極大イデアルが存在する。
定義 3. (根基)
$R$を可換環、$I$をイデアルとする。
\[ \sqrt{I}=\{r\in R| ^\exists n>0, r^n\in I\} \]
と定義し、これを$I$の根基という。
特に、$I=(0)$ならば$\sqrt{(0)}$を$R$の根基という。
$r\in\sqrt{(0)}$ならば$r$はべき零であるという。
定義 3. (被約)
$R$を可換環、$I$をイデアルとする。
$\sqrt{(0)}=(0)$が成り立つならば、$R$は被約であるという。
$\sqrt{I}=I$が成り立つならば、$I$は被約であるという。
命題 3. (根基はイデアル)
イデアルの根基はイデアルである。
Proof.
$R$を可換環、$I$をイデアルとする。
$0\in\sqrt{I}$は明らか。
$a,b\in\sqrt{I}$とする。
このときある$m,n$が存在して$a^m,b^n\in I$である。
$(-a+b)^{m+n}$の各項は$a^m$または$b^n$で割り切れるので$-a+b\in\sqrt{I}$。
また、任意の$r\in R$に対して、$(ra)^n\in I$なので$ra\in\sqrt{I}$。
以上より、$\sqrt{I}$は$R$のイデアルである。
□命題 3. (根基の性質)
$R$を可換環、$I,J$をイデアルとする。以下が成り立つ。
(1)$\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$
(2)$\sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$
Proof.
(1)$\sqrt{\sqrt{I}}\supset\sqrt{I}$は明らか。
$\sqrt{\sqrt{I}}\subset\sqrt{I}$を示す。
$r\in\sqrt{\sqrt{I}}$を任意に取る。
ある$n>0$が存在して$r^n\in\sqrt{I}$なので、ある$m>0$が存在して$(r^n)^m\in I$。
つまり、ある$mn>0$が存在して$r^{mn}\in I$なので、$r\in\sqrt{I}$。
以上より、$\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$。
(2)$\sqrt{I+J}\subset\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$を示す。
$r\in\sqrt{I+J}$を任意に取る。
ある$n>0$と$a\in I,b\in J$が存在して$r^n=a+b$と書ける。
$a^1=a,b^1=b$なので$a\in\sqrt{I},b\in\sqrt{J}$で$a+b\in\sqrt{I}+\sqrt{J}$である。
つまり$r^n\in\sqrt{I}+\sqrt{J}$なので$r\in\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$より$\sqrt{I+J}\subset\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$が成り立つ。
$\sqrt{I+J}\supset\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$を示す。
$r\in\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$を任意に取る。
ある$n>0$と$a\in\sqrt{I},b\in\sqrt{J}$が存在して$r^n=a+b$と書ける。
$a\in\sqrt{I},b\in\sqrt{J}$よりある$i,j>0$が存在して$a^i\in I,b^j\in J$が成り立つ。
$(r^n)^{i+j}=(a+b)^{i+j}\in I+J$なので、$r\in\sqrt{I+J}$。
以上より、$\sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$。
□命題 3. ($\sqrt{I}+\sqrt{J}=R\Leftrightarrow I+J=R$)
$R$を可換環、$I,J$をイデアルとする。
$\sqrt{I}+\sqrt{J}=R\Leftrightarrow I+J=R$
Proof.
命題 3. ($\mathfrak{p}$が素イデアル$\Rightarrow$$\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}$)
$R$を可換環、$\mathfrak{p}$を素イデアルとする。
$\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}$である。
Proof.
$\sqrt{\mathfrak{p}}\supset\mathfrak{p}$は明らか。
$\sqrt{\mathfrak{p}}\subset\mathfrak{p}$を示す。
$p\in\sqrt{\mathfrak{p}}$を任意に取る。
ある$n>0$が存在して$p^n\in\mathfrak{p}$が存在する。
$p^n=p\cdot p^{n-1}$であり、$\mathfrak{p}$は素イデアルなので$p\in\mathfrak{p}$または$p^{n-1}\in\mathfrak{p}$が成り立つ。
これを繰り返すことで$p\in\mathfrak{p}$となるので$\sqrt{\mathfrak{p}}\subset\mathfrak{p}$である。
つまり、$\mathfrak{p}$が素イデアルならば$\sqrt{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}$が成り立つ。
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