箱積
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箱積
箱積とは、位相空間の族についての、積のような構成のひとつであるが、通常の積位相よりも強い箱位相と呼ばれる位相が入っており、圏論的な積としての振る舞いは持たない。しかしながら、箱位相は位相空間論において重要な対象のひとつである。
定義
位相空間の族 $\{X_i|i\in \Lambda\}$ について、$\Box_{i\in \Lambda} X_i$ とは、直積集合 $\prod_{i\in \Lambda}X_i$ に、次のように位相を入れたものである。
- 開集合 $U_i\subset X_i$ によって $\prod_{i\in \Lambda} U_i\subset \prod_{i\in \Lambda} X_i$ と表すことができる集合全体の族を開基とする。
性質
- 有限個の位相空間の箱積は積と一致する。
- 有限位相空間でない完全正則空間の無限族 $\{X_i|i\in \Lambda\}$ について、$\Box_{i\in \Lambda} X_i$ は連結でない。
