2-1 局所化と主開集合

反射性は $1(as-as)=0$、対称性は $u(at-bs)=0$ なら $u(bs-at)=0$ であることから従います。
推移性を示します。$(a,s)\sim(b,t)$、$(b,t)\sim(c,r)$ とし、
$$ u(at-bs)=0,\qquad v(br-ct)=0 $$
とします。すると
$$ uvt(ar-cs)=uvr(at-bs)+uvs(br-ct)=0. $$
$uvt\in S$ なので $(a,s)\sim(c,r)$ です。□

存在するなら
$$ \widetilde\varphi(a/s)=\varphi(a)\varphi(s)^{-1} $$
でなければなりません。この式で写像を定めます。
$a/s=b/t$ なら、ある $u\in S$ に対し $u(at-bs)=0$ です。$B$ へ移すと
$$ \varphi(u)(\varphi(a)\varphi(t)-\varphi(b)\varphi(s))=0. $$
$\varphi(u)$ はunitなので括弧内が0です。さらに $\varphi(s),\varphi(t)$ のinverseを掛ければ二つの分数の像は等しく、well-definedです。加法・乗法を保つことは分数計算から従い、一意性は上の強制された式から従います。□

$(A_f)_g$ では $f,g$ がunitなので $fg$ もunitです。$A_{fg}$ の普遍性から $A_{fg}\to(A_f)_g$ を得ます。
逆に $A_{fg}$ では
$$ f^{-1}=g(fg)^{-1},\qquad g^{-1}=f(fg)^{-1} $$
なので $f,g$ はともにunitです。普遍性を二回適用して逆向きの写像を得ます。二つの合成は $A$ の元と $f^{-1},g^{-1}$ 上で恒等なので全体で恒等です。□

$a/f^n$ が零関数だとします。$D_X(f)$ 上で $a=0$ です。積 $fa$ は、$f=0$ の点でも $f\ne0$ の点でも0なので $X$ 全体で消えます。座標環 $A=k[X]$ はreducedであり、全点で消える元は0なので
$$ fa=0\quad\text{in }A. $$
従って局所化の等号条件から $a/f^n=0$ です。□

分母の指数を増やし、全ての $i$ について
$$ s_i=\frac{a_i}{g_i^m} $$
と同じ $m$ で書きます。pairは有限個なので、compatibilityの等号条件に現れる指数も一つの $e$ で揃えられ、
$$ (g_ig_j)^e(g_j^ma_i-g_i^ma_j)=0 $$
が全ての $i,j$ について成り立ちます。
$n=m+e$、$t_i=g_i^ea_i$ と置くと
$$ g_j^nt_i=g_i^nt_j. $$
$(g_1,\ldots,g_r)$ のradicalが全環なら $(g_1^n,\ldots,g_r^n)$ もproperでないので、ある $c_i\in B$ が
$$ 1=\sum_i c_ig_i^n $$
を満たします。
$$ s=\sum_i c_it_i $$
と置きます。$B_{g_j}$ では
$$ g_j^ns=\sum_i c_ig_j^nt_i =\sum_i c_ig_i^nt_j=t_j. $$
従って $s=t_j/g_j^n=a_j/g_j^m=s_j$ です。
一意性について、$s,s'$ が同じ局所像を持つなら、共通指数 $E$ を選んで全ての $i$ について $g_i^E(s-s')=0$ とできます。$1=\sum_i d_ig_i^E$ と書けば
$$ s-s'=\sum_i d_ig_i^E(s-s')=0. $$
よって $s=s'$ です。□

injectivityは証明済みです。$\phi\in\Gamma(D_X(f),\mathcal O_X)$ を取ります。
各点の局所表示と主開集合基底から、$D_X(f)$ は主開集合 $D_X(g_\lambda)$ で覆われ、その上で $\phi=a_\lambda/b_\lambda$ と書け、$b_\lambda$ はそこで非零です。$D_X(f)$ はNoetherian空間のopen subsetなのでquasi-compactです。従って有限部分被覆
$$ D_X(f)=D_X(g_1)\cup\cdots\cup D_X(g_r) $$
を選べます。
$D_X(g_i)\subseteq D_X(b_i)$ なので $V_X(b_i)\subseteq V_X(g_i)$ です。零点定理から
$$ g_i^{N_i}=b_ic_i $$
となる $N_i\ge1$ と $c_i\in A$ があります。従って $A_{g_i}$ では $b_i^{-1}=c_i/g_i^{N_i}$ で、局所表示は $s_i=a_ic_i/g_i^{N_i}\in A_{g_i}$ です。
重なり $D_X(g_ig_j)$ で二つは同じ関数です。injectivityを $g_ig_j$ に適用すると、$s_i,s_j$ は $A_{g_ig_j}$ で同じ元です。
$B=A_f$ とします。被覆条件から
$$ V_X(g_1,\ldots,g_r)\cap D_X(f)=\varnothing. $$
従って $V_X(g_1,\ldots,g_r)\subseteq V_X(f)$ であり、零点定理からある $M$ について
$$ f^M\in(g_1,\ldots,g_r)\subseteq A. $$
$A_f$ では $f^M$ がunitなので、$g_i$ は $B$ のunit idealを生成します。
さらに各 $D_X(g_i)$ は $D_X(f)$ に含まれるので $V_X(f)\subseteq V_X(g_i)$ です。零点定理からある $L_i$ について
$$ g_i^{L_i}=f d_i $$
となります。従って $A_{g_i}$ では $f$ がunitです。局所化の普遍性と反復公式から
$$ B_{g_i}=(A_f)_{g_i}\cong A_{fg_i}\cong A_{g_i}. $$
よって先ほどの $s_i\in A_{g_i}$ を $s_i\in B_{g_i}$ と見なせます。
localization patching lemmaを $B=A_f$ に適用すると、各 $s_i$ を貼り合わせる一意な $s\in A_f$ が存在します。$\rho_f(s)$ と $\phi$ は各 $D_X(g_i)$ 上で一致するので全体で一致します。従って $\rho_f$ はsurjectiveです。□

$A=k[X]$ とします。まず
$$ B=A[t]/(tf-1) $$
と置きます。商では $t$ が $f$ のinverseです。普遍性から
$$ A_f\longrightarrow A[t]/(tf-1),\qquad a/f^n\longmapsto at^n $$
が定まります。逆向きには $t\mapsto1/f$ と送ります。二つの写像は $A,t$ および $A,1/f$ 上で互いに逆なので同型です。
$A$ はreducedであり、その局所化 $A_f$ もreducedです。実際 $(a/f^n)^N=0$ なら、ある $m$ について $f^ma^N=0$、従って $(f^ma)^N=0$ です。$A$ のreduced性から $f^ma=0$ となり $a/f^n=0$ です。従って $B\cong A_f$ はreducedで、$(I(X),tf-1)$ はradical idealです。Hilbert零点定理からこれは $Y$ の消滅idealそのものなので
$$ k[Y]=B\cong A_f. $$
射影 $\pi:Y\to D_X(f)$ は正則かつbijectiveで、逆写像は
$$ p\longmapsto(p,1/f(p)) $$
です。最後の成分は主開集合の関数環定理により正則なので、両者は正則同型です。□