$$\newcommand{A}[0]{\mathbb{A}}
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\newcommand{mmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)}
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\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
この章の問い
一点の近くの情報だけで、図形の滑らかさや次元を測れるか。
道筋
- 局所化と主開集合/局所環とgerm:分母を許して開集合を見る。一点の近くに残る関数。
- 接空間とJacobian/正則点と特異点:方程式を一次まで読む。接空間が膨らむ点を見つける。
- 整拡大と有限射/Noether正規化:有限個の点を束ねる写像、曲がった図形を平面へ有限に投影する。
- Krull次元と超越次数:独立に動ける座標の数を次元とする。
読み方
局所化の頁は以後ずっと使うので丁寧に読む。Noether正規化とKrull次元は互いに補う関係にある。
章末で言えること
簡約な既約アフィン多様体の次元は、座標環の超越次数、Krull次元、接空間の次元(正則点で)として一致する。
前の章から持ち込むもの
座標環、Zariski位相、零点定理。