2-0 章の見取り図

$$\newcommand{A}[0]{\mathbb{A}} \newcommand{AA}[0]{\mathscr{A}} \newcommand{abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{Arg}[0]{\operatorname{Arg}} \newcommand{BB}[0]{\mathscr{B}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{CC}[0]{\mathscr{C}} \newcommand{F}[0]{\mathbb{F}} \newcommand{floor}[1]{\left\lfloor#1\right\rfloor} \newcommand{ind}[0]{\operatorname{ind}} \newcommand{K}[0]{\mathbb{K}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}} \newcommand{L}[0]{\mathbb{L}} \newcommand{mmod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{Mod}[1]{\ \left(\mathrm{mod}\ #1\right)} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{ord}[0]{\operatorname{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rank}[0]{\mathrm{rank}} \newcommand{SS}[0]{\mathscr{S}} \newcommand{TT}[0]{\mathscr{T}} \newcommand{UU}[0]{\mathscr{U}} \newcommand{wenvert}[1]{\left\lvert\left\lvert#1\right\rvert\right\rvert} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

この章の問い

一点の近くの情報だけで、図形の滑らかさや次元を測れるか。

道筋

  • 局所化と主開集合/局所環とgerm:分母を許して開集合を見る。一点の近くに残る関数。
  • 接空間とJacobian/正則点と特異点:方程式を一次まで読む。接空間が膨らむ点を見つける。
  • 整拡大と有限射/Noether正規化:有限個の点を束ねる写像、曲がった図形を平面へ有限に投影する。
  • Krull次元と超越次数:独立に動ける座標の数を次元とする。

読み方

局所化の頁は以後ずっと使うので丁寧に読む。Noether正規化とKrull次元は互いに補う関係にある。

章末で言えること

簡約な既約アフィン多様体の次元は、座標環の超越次数、Krull次元、接空間の次元(正則点で)として一致する。

前の章から持ち込むもの

座標環、Zariski位相、零点定理。

参考文献

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