アフィン代数的集合の一般的な性質について解説する。

アフィン代数的集合

本章では、代数幾何学の基本的な定理を証明するために必要な可換環の理論について解説する。

可換環の理論

本章では、アフィン平面上の代数曲線について解説する。

アフィン平面代数曲線

体 $\K$ 上の$2$変数多項式 $F(x, y)\in\K[x, y]$ について
$$C=\{(x, y)\in \K^2: F(x, y)=0\}$$
で定まるアフィン代数的集合 $C$ を**アフィン平面代数曲線** (***Affine plane algebraic curve***) あるいは単にアフィン平面曲線という。

&&&ex [ex1]
[アフィン代数的集合の定義:例3](wrnCGJLZG7bgsGzE0MjX#ex3)で述べたことから、実数係数の$2$次曲線
$$V: ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$
は平行移動と直交変換により
$$AX^2+BY^2=C, AX^2+BY=C, AX+BY^2=C$$
のいずれかで定まる代数的集合に移る。よって、アフィン平面上の$2$次曲線は二重直線、$2$本の直線の和集合、放物線、円、楕円、双曲線のいずれかにあたる。
&&&

$F(x, y)=\lambda G(x, y)$ となる $\lambda\in \K\setminus\{0\}$ が存在するとき、$F$, $G$ を同値ということにする。$F$, $G$ が同値のとき $F$, $G$ は同じアフィン平面曲線を定める。

$F(x, y)\in \K[x, y]$ が $F=a\prod_i F_i^{e_i}$ と既約多項式 $F_i$ の積に因数分解されるとき、各 $F_i$ を $F$ の**成分** (***component***)、$e_i$ を $F_i$ の**重複度** (***multiplicity***) という。$\K$ が代数閉体ならばHilbertの零点定理より各 $V(F_i)$ は既約である。
[アフィン代数多様体](nqvDWDfEWjqdNzzONDJO#ex32)の節でもみたように、$\K$ が代数閉体でないときは、$F$ が既約多項式でも $V(F)$ が既約とは限らないから、$F$ の各成分が既約な曲線をあたえるとは限らない。

# 定義

体 $\K$ 上有限個の要素で生成される環、すなわち $v_1, v_2, \ldots, v_n$ を用いて
$\K[v_1, v_2, \ldots, v_n]$ とあらわされる環を $\K$ 上**有限生成** (*finitely generated*) な環という。
$R=\K[v_1, v_2, \ldots, v_n]$ が $\K$ 上有限生成であるとき、[[多項式環]] $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ から $R$ への準同型が
$\phi(X_i)=v_i\ (i=1, 2, \ldots, n)$ により自然に定まる。このとき、
$$R=\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]/\Ker\phi$$
とあらわされる。すなわち、体上有限生成環は多項式環の剰余環として得られる。
体上有限生成環の理論はアフィン代数多様体の理論において重要である。

もちろん、上記の事実と逆に、多項式環の剰余環 $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]/I$ は $X_i\Mod{I}$ により生成されるから、
$\K$ 上有限生成環となる。一方、関数体は環としては有限生成でない。

&&&thm [th1]
関数体 $\K(t_1, \ldots, t_n)$ は体としては$\K$ 上有限生成だが、$\K$ 上の環としては有限生成ではない。
&&&

&&&prf
$\K(t_1, \ldots, t_n)$ が $\K$ 上の環として有限生成とすると、
$$\K(t_1, \ldots, t_n)=\K[X_1, X_2, \ldots, X_r]$$
となる $X_1, \ldots, X_r\in\K(t_1, \ldots, t_n)$ が存在する。それで
$$X_i=\frac{f_i(t_1, \ldots, t_n)}{g_i(t_1, \ldots, t_n)}\ (i=1, 2, \ldots, r)$$
となる $f_i, g_i\in \K[t_1, \ldots, t_n]$ が存在する。
$\K$ の[[代数閉包]]（たとえば[入門テキスト「ガロア理論の基礎」体論](textbooks/KeS9MzLh8lzuCrpardOw/r69FraV2VMfHEg5W63Lm)の定義10を参照）を $\overline{\K}$ とすると、どの $i=1, 2, \ldots, r$ についても $g_i(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\neq 0$ となる $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\in\overline{\K}$ が存在する。
実際、たとえば各方程式 $g_i(x, 0, \ldots, 0)=0$ は有限個の解しかもたないが、$\overline{\K}$ は無限個の要素からなる（仮に $\K=\F_p$ が有限体でも、[「有限体入門」有限体の構造](/textbooks/xuhVoKvxpmo3Lp1Hi5NH/5J7x9RRIKELRvH5yVsMs)で記したように、$\overline{\K}=\cup_{e\geq 1}\F_{p^e}$ は無限個の要素からなる）。
このとき
$$\varphi(X_i)=\frac{f_i(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)}{g_i(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)}\ (i=1, 2, \ldots, r)$$
により、$\K[X_1, X_2, \ldots, X_r]$ から $\overline{\K}$ への環準同型が定まる。
しかし$\K[X_1, X_2, \ldots, X_r]=\K(t_1, \ldots, t_n)$ は体だから、[「環論の基礎2：イデアルと剰余環」の命題4 (体から環への準同型は単射)](/textbooks/RmQEPqVMmwqKs57yZfjs/jQa7OU1HJ6MRiOJYo8hC#体から環への準同型は単射)より $\varphi$ は単射である。すると $\K(t_1, \ldots, t_n)$ は $\K$ 上代数的であることになってしまい、矛盾する。
&&&


体上有限生成環

**前提知識**: [[体]], [[多項式環]], [[イデアル]]
# 定義
$k$ を体、$n$ を正の整数とし、$k$ 上の $n$ 次元[[アフィン空間]]を集合として
$$
\mathbb{A}^n(k):=k^n
$$
と書く。多項式環 $k[x_1,\ldots,x_n]$ の元は、各点 $a=(a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb{A}^n(k)$ で値 $f(a)$ を持つ。
&&&def 零点集合 [def-affine-algebraic-set-zero-locus]
多項式の集合 $S\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ に対し、その**零点集合**を
$$
V_k(S):=\{a\in k^n\mid f(a)=0\text{ がすべての }f\in S\text{ に対して成り立つ}\}
$$
と定める。体が明らかなときは $V(S)$ と略記する。一つの多項式 $f$ に対する $V(f):=V(\{f\})$ を**アフィン超曲面**という。
&&&
&&&def アフィン代数的集合 [def-affine-algebraic-set-main]
$\mathbb{A}^n(k)$ の部分集合 $X$ が**アフィン代数的集合**（affine algebraic set）であるとは、ある集合 $S\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ により
$$
X=V_k(S)
$$
と書けることをいう。
&&&
有限個の多項式を同時に零とする条件だけで定義しても同じ概念になる。実際、$S$ が生成するイデアルを $(S)$ とすると $V(S)=V((S))$ であり、Hilbertの基底定理により $k[x_1,\ldots,x_n]$ の各イデアルは有限生成である。ただし、この有限生成性の部分はHilbertの基底定理に依存する。
&&&def 消滅イデアル [def-affine-algebraic-set-vanishing-ideal]
部分集合 $Y\subseteq\mathbb{A}^n(k)$ に対し、$Y$ 上で恒等的に消える多項式全体
$$
I(Y):=\{f\in k[x_1,\ldots,x_n]\mid f(a)=0\text{ がすべての }a\in Y\text{ に対して成り立つ}\}
$$
を $Y$ の**消滅イデアル**という。アフィン代数的集合 $X$ の**座標環**を
$$
k[X]:=k[x_1,\ldots,x_n]/I(X)
$$
と定める。
&&&
$I(Y)$ は実際にイデアルである。二つの多項式が $Y$ 上で消えればその和も消え、$f$ が $Y$ 上で消えれば任意の多項式 $h$ に対して $hf$ も $Y$ 上で消えるからである。
# 零点集合とイデアルの対応
$V$ は多項式の条件を点の集合へ移し、$I$ は点の集合をその上で消えるすべての方程式へ移す。どちらも包含関係の向きを逆にする。
&&&prop 零点集合の基本公式 [prop-affine-algebraic-set-zero-locus-identities]
$R:=k[x_1,\ldots,x_n]$ とし、$I,J$ を $R$ のイデアル、$(I_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ をイデアルの族とする。このとき次が成り立つ。
1. $I\subseteq J$ ならば $V(J)\subseteq V(I)$。
2. $V(0)=\mathbb{A}^n(k)$、$V(R)=\emptyset$。
3. $V\left(\sum_{\lambda\in\Lambda}I_\lambda\right)=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}V(I_\lambda)$。
4. $V(IJ)=V(I\cap J)=V(I)\cup V(J)$。
5. $V(I)=V(\sqrt I)$。
&&&
&&&prf 証明 [prf-affine-algebraic-set-zero-locus-identities]
包含 $I\subseteq J$ のもとで $a\in V(J)$ なら、特に $I$ の全要素が $a$ で消えるので $a\in V(I)$ である。零多項式は全点で消え、$1$ はどの点でも消えないため、2も従う。
点 $a$ が $V(\sum_\lambda I_\lambda)$ に属することは、すべての $I_\lambda$ の全要素が $a$ で消えることと同値なので、3が成り立つ。
$IJ\subseteq I\cap J$ より $V(I\cap J)\subseteq V(IJ)$ である。一方、$a\in V(IJ)$ とする。$a\notin V(I)$ ならば $f(a)\ne0$ となる $f\in I$ が存在する。任意の $g\in J$ に対し $fg\in IJ$ だから $f(a)g(a)=0$ であり、$f(a)\ne0$ より $g(a)=0$ を得る。従って $a\in V(J)$ である。よって $V(IJ)\subseteq V(I)\cup V(J)$ である。逆包含は、$a\in V(I)$ または $a\in V(J)$ ならば $IJ$ の各積が $a$ で消えることから従う。また $I\cap J\subseteq I,J$ より $V(I)\cup V(J)\subseteq V(I\cap J)$ なので、4を得る。
$I\subseteq\sqrt I$ より $V(\sqrt I)\subseteq V(I)$ である。逆に $a\in V(I)$、$f\in\sqrt I$ とする。ある正の整数 $m$ について $f^m\in I$ なので $f(a)^m=0$、従って体 $k$ では $f(a)=0$ である。よって $a\in V(\sqrt I)$ となり、5を得る。
&&&
&&&prop 零点と方程式のGalois対応 [prop-affine-algebraic-set-galois-connection]
$S\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$、$Y\subseteq\mathbb{A}^n(k)$ とする。このとき
$$
S\subseteq I(Y)\quad\Longleftrightarrow\quad Y\subseteq V(S)
$$
が成り立つ。その結果、
$$
V(I(V(S)))=V(S),\qquad I(V(I(Y)))=I(Y)
$$
が成り立つ。
&&&
&&&prf 証明 [prf-affine-algebraic-set-galois-connection]
$S\subseteq I(Y)$ であることは、各 $f\in S$ がすべての $a\in Y$ で消えること、すなわち各 $a\in Y$ が $V(S)$ に属することと同値である。これが最初の同値である。
$S\subseteq I(V(S))$ なので、零点集合の包含反転性から
$$
V(I(V(S)))\subseteq V(S)
$$
を得る。反対に、消滅イデアルの定義から $V(S)$ の各点では $I(V(S))$ の全要素が消えるので $V(S)\subseteq V(I(V(S)))$ である。従って最初の等式が成り立つ。
$Y\subseteq V(I(Y))$ なので、消滅イデアルの包含反転性から
$$
I(V(I(Y)))\subseteq I(Y)
$$
を得る。逆包含 $I(Y)\subseteq I(V(I(Y)))$ は、最初の同値に $S=I(Y)$ を適用すれば従う。従って二つ目の等式も成り立つ。
&&&
特に、アフィン代数的集合 $X$ は $I(X)$ から完全に復元できる。すなわち $X=V(I(X))$ である。従って二つのアフィン代数的集合 $X,Y\subseteq\mathbb{A}^n(k)$ について
$$
X=Y\quad\Longleftrightarrow\quad I(X)=I(Y)
$$
が成り立つ。ただし、任意のイデアル $I$ が $I(V(I))$ と等しいとは限らない。
# Zariski位相
&&&def Zariski位相 [def-affine-algebraic-set-zariski-topology]
$\mathbb{A}^n(k)$ のアフィン代数的集合を閉集合とする位相を**Zariski位相**という。
&&&
この定義が位相を与えることは、上の基本公式から分かる。空集合と全空間は代数的集合であり、代数的集合の任意交叉と有限和は再び代数的集合である。Euclid位相とは違って、Zariski位相は方程式で閉じる操作に合わせて設計されている。
&&&prop Zariski閉包 [prop-affine-algebraic-set-zariski-closure]
部分集合 $Y\subseteq\mathbb{A}^n(k)$ のZariski閉包は
$$
\overline{Y}^{\mathrm{Zar}}=V(I(Y))
$$
である。
&&&
&&&prf 証明 [prf-affine-algebraic-set-zariski-closure]
$Y\subseteq V(I(Y))$ であり、右辺はアフィン代数的集合だから、$V(I(Y))$ は $Y$ を含むZariski閉集合である。
$X$ を $Y$ を含む任意のZariski閉集合とする。ある $S\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ により $X=V(S)$ と書ける。$Y\subseteq V(S)$ なので、Galois対応から $S\subseteq I(Y)$ である。包含反転性により
$$
V(I(Y))\subseteq V(S)=X
$$
となる。従って $V(I(Y))$ は $Y$ を含むすべてのZariski閉集合に含まれ、まさに $Y$ の閉包である。
&&&
# 例
&&&ex アフィン空間・空集合・一点 [ex-affine-algebraic-set-basic]
基本的な例は
$$
\mathbb{A}^n(k)=V(0),\qquad \emptyset=V(1)
$$
である。また $a=(a_1,\ldots,a_n)\in k^n$ に対して
$$
\{a\}=V(x_1-a_1,\ldots,x_n-a_n)
$$
である。従って有限個の点の集合もアフィン代数的集合である。
&&&
&&&ex 座標軸の和 [ex-affine-algebraic-set-coordinate-axes]
$\mathbb{A}^2(k)$ で
$$
V(xy)=V(x)\cup V(y)
$$
である。右辺は $y$ 軸と $x$ 軸の和である。イデアル $(xy)$ は根基的で、消滅イデアルは
$$
I(V(xy))=(xy)
$$
となる。ただし最後の等式は、例えば $k$ が無限体である場合には直接確認でき、代数閉体の場合にはHilbertの零点定理からも従う。
&&&
&&&ex 放物線 [ex-affine-algebraic-set-parabola]
$X=V(y-x^2)\subseteq\mathbb{A}^2(k)$ は放物線である。写像
$$
k\to X,\qquad t\mapsto(t,t^2)
$$
は点集合として全単射であり、座標環は
$$
k[X]=k[x,y]/(y-x^2)\cong k[x]
$$
である。この同型は $y$ の類を $x^2$ へ送ることによって得られる。
&&&
# 反例と注意
&&&ex 同じ零点集合を持つ異なるイデアル [ex-affine-algebraic-set-ideals]
$k[x]$ の異なるイデアル $(x)$ と $(x^2)$ は
$$
V(x)=V(x^2)=\{0\}
$$
を満たす。従って「$V(I)=V(J)$ ならば $I=J$」という含意は成り立たない。零点集合は冪零的な重複度を忘れ、常に $V(I)=V(\sqrt I)$ となる。
&&&
&&&ex 代数閉性を外した零点定理の失敗 [ex-affine-algebraic-set-nonalgebraically-closed]
$\mathbb{R}[x]$ の真のイデアル $I=(x^2+1)$ を考える。実数解がないので
$$
V_{\mathbb{R}}(I)=\emptyset,
\qquad
I(V_{\mathbb{R}}(I))=I(\emptyset)=\mathbb{R}[x]
$$
であり、$I(V(I))\ne\sqrt I=I$ である。これは「任意の真のイデアルが零点を持つ」という主張が代数閉でない体では偽であり、強い形のHilbertの零点定理 $I(V(I))=\sqrt I$ に代数閉性が必要であることを示す。
&&&
代数閉体 $k$ 上では、Hilbertの零点定理によりすべてのイデアル $I\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ に対して
$$
I(V(I))=\sqrt I
$$
が成り立つ。この定理の証明は本記事の基礎境界の外に置く。従って代数閉体上では、アフィン代数的集合と根基イデアルが包含を逆にして一対一に対応する。
「アフィン代数多様体」という語には流儀の差がある。古典的には既約なアフィン代数的集合だけを多様体と呼ぶことがある一方、既約性を課さず有限型の被約アフィンスキームを指すこともある。単に「多様体」と書かず、採用する規約を明示する必要がある。
# 関連項目
- 前提: [[体]], [[多項式環]], [[イデアル]]
- 基本構成: [[アフィン空間]], [[Zariski位相]], [[座標環]]
- 中心定理: [[Hilbertの基底定理]], [[Hilbertの零点定理]]
- 発展: [[アフィン代数多様体]], [[アフィンスキーム]], [[代数幾何学]]


アフィン代数的集合の定義

$T$ を体 $\K$ 上の不定元とするとき、$\K$ 係数の $T$ の有理式の全体
$$\K(T)=\left\{ \dfrac{f(T)}{g(T)}~\middle|~f(T), g(T) \in\K[T],~g(T) \neq 0 \right\}$$
は体をなす。この体を $\K$ 上の**有理関数体** (*The field of rational functions*) と呼ぶ。

一般に、$n$ 変数の有理関数体を次のように定める。体 $\K$ 上の代数独立な要素 $T_1, \ldots, T_n$ について、
$$\K(T_1, \ldots, T_n)=\left\{ \dfrac{f(T_1, \ldots, T_n)}{g(T_1, \ldots, T_n)}~\middle|~f, g\in\K[T_1, \ldots, T_n],~g(T_1, \ldots, T_n) \neq 0 \right\}$$
は体をなす。この体を $\K$ 上の$n$変数有理関数体と呼ぶ。

それで、$\K(T_1, \ldots, T_n)$ は、多項式環 $\K[T_1, \ldots, T_n]$ の局所化として実現される。

[前節の定理](./jPgEPA3EBdIDio0e18nJ)より、有理関数体は、環としては有限生成でない。

有理関数体に関して、次の2つの事実が成り立つ。とくに後者の事実はHilbertの零点定理の証明に用いられる（[[Ful]]の1.9節および1.10節を参照）。

&&&lem Fulton [[Ful]], 1.49a [lem1]
$\K$ が体で、$\L=\K(X)$ が $\K$ 上の有理関数体とする。
$z\in \L$ が $\K[X]$ 上整ならば、$z\in \K[X]$ である。
&&&

&&&prf
$z$ は $\K[X]$ 上整なので、
$$z^d+a_1 z^{d-1}+\cdots a_d=0$$
となる $a_1, \ldots, a_d\in \K[X]$ がとれる。
$z=F/G, F, G\in \K[X], \gcd(F, G)=1$ とあらわされるから、
$$F^d+a_1 F^{d-1} G+\cdots +a_d G^d=0$$
とある。よって、
$$F^d=-G(a_1 F^{d-1}+\cdots +a_d G^{d-1})$$
より、$\K[X]$ において $G$ は $F^d$ を割り切る。
しかし $\gcd(F, G)=1$ だから、$\gcd(F^n, G)=1$ となる。よって $G$ は定数でなければならず、$z=F/G\in \K[X]$ となる。
&&&

&&&lem Fulton [[Ful]], 1.49b [lem2]
「任意の $z\in \K(X)$ について、$F^n z$ が $\K[X]$ 上整となる自然数 $n>0$ が存在する」ような多項式 $F\in \K[X]$ は $F=0$ しか存在しない。
&&&

&&&
$0$ でない多項式 $F\in \K[X]$ をとり、任意の $z\in \K(X)$ について、$F^n z$ が $\K[X]$ 上整となる自然数 $n>0$ が存在すると仮定する。
$F$ が定数多項式でないとき、$G=F+1$ とし、$F$ が $0$ でない定数多項式のとき $G=F+X$ とおくと、
$G$ は定数ではない多項式で、かつ $\gcd(F, G)=1$ となる。ここで $z=1/G$ とおく。
ある自然数 $n>0$ をとれば、$F^n/G$ が $\K[X]$ 上整となるから、
$$(F^n/G)^d+a_1 (F^n/G)^{d-1}+\cdots a_d=0$$
となる $a_1, \ldots, a_d\in \K[X]$ がとれる。よって
$$F^{nd}+a_1 F^{n(d-1)} G+\cdots +a_d G^d=0$$
となるので、$G$ は $F^{nd}$ を割り切る。$\gcd(F, G)=1$ だから、$\gcd(F^{nd}, G)=1$ なので、$G$ は定数でなければならないが、これは$G$ のとり方に反する。
&&&

有理関数体

つぎの定理は、代数的集合とイデアルの基本的な関係を与える。

&&&thm [th1]
$\K$ を体とし、$L$ を $\K$ の部分集合、$S$ を $\K$ 上の多項式からなる集合とする。
(1) $S\subset T\subset \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ ならば $V(T/L)\subset V(S/L)$ となる。
(2) $I$ を $S$ により生成される $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ 上のイデアルとすると、$V(S/L)=V(I/L)$ となる。
(3) $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ のイデアル $I, J$ について $V((I+J)/L)=V(I/L)\cap V(J/L)$ となる。

また、$F, G\in \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ のとき、
(4) $V(FG/L)=V(F/L)\cup V(G/L)$,
(5) $V(\{FG: F\in S, G\in T\}/L)=V(S/L)\cup V(T/L)$
が成り立つ。とくに
(6) $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ のイデアル $I, J$ について $V(IJ/L)=V(I/L)\cup V(J/L)$ となる。

また、特殊な場合として、以下のことがいえる。
(7) $V(0/L)=L^n$.
(8) $c$ が $0$ でない定数のとき $V(c/L)=\emptyset$.
(9) $a_1, a_2, \ldots, a_n\in L$ のとき $V((X_1-a_1, X_2-a_2, \ldots, X_n-a_n)/L)=\{(a_1, a_2, \ldots, a_n)\}$ となる。一方 $a_i\not\in L$ となる $a_i$ が存在するとき $V((X_1-a_1, X_2-a_2, \ldots, X_n-a_n)/L)=\emptyset$ となる。 とくに$1$点だけからなる集合 $\{(a_1, a_2, \ldots, a_n)\}$ は代数的集合となる。
&&&

それで、(5) から、代数的集合の和集合も代数的集合であり、(9) とあわせて、有限個の点からなる集合は代数的集合であることがわかる。

&&&prf
(1) $S\subset T\subset \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ で $P\in V(T/L)$ ならば $P\in V(S/L)$ となることは明らか。
実際 $F\in S$ のとき $F\in T$ となるから $F(P)=0$ となる。$P\in L^n$ なので $P\in V(S/L)$ となる。
よって $V(T/L)\subset V(S/L)$ である。

(2) $I$ が $S$ により生成されるイデアルならば、$S\subset I$ であるから、
$V(I/L)\subset V(S/L)$ となる。$F\in I$ のとき、
$$F=G_1 H_1+G_2 H_2+\cdots +G_r H_r$$
となる、$G_1, G_2, \ldots, G_r\in \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ および $H_1, H_2, \ldots, H_r\in I$
がとれるので、$P\in V(S/L)$ ならば
$$F(P)=G_1 H_1(P)+G_2 H_2(P)+\cdots +G_r H_r(P)=0$$
となるから、$P\in V(I/L)$ となる。つまり、$V(S/L)\subset V(I/L)$ となる。

(3) $I, J\subset I+J$ だから
$V((I+J)/L)\subset V(I/L)\cap V(J/L)$ は明らかである。逆に $P\in V(I/L)\cap V(J/L)$ とする。
$F\in I+J$ ならば、
$$F=G_1 H_1+G_2 H_2$$
となる $H_1\in I$, $H_2\in J$, および $G_1, G_2\in \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$
がとれるが、$H_1(P)=H_2(P)=0$ となるから $F(P)=0$ となる。
よって $V(I/L)\cap V(J/L)\subset V((I+J)/L)$ となる。

(4) $\K$ は体なので、
$$FG(P)=0\Longleftrightarrow F(P)=0\lor G(P)=0$$
となるから、
$V(FG/L)=V(F/L)\cup V(G/L)$,
は明らかに成り立つ。

(5) $F\in S$ のとき、$F(P)=0$ となるならば、$FG(P)=0$ となるから、
$$V(S/L)\subset V(\{FG: F\in S, G\in T\}/L)$$
は明らかに成り立つ。同様に
$$V(T/L)\subset V(\{FG: F\in S, G\in T\}/L)$$
も明らかに成り立つ。したがって
$$V(S/L)\cup V(T/L)\subset V(\{FG: F\in S, G\in T\}/L)$$
となる。また、
任意の $F\in S, G\in T$ に対して $FG(P)=0$ が成り立つ点 $P\in L^n$ をとる。
$P\not\in V(T/L)$ とすると、ある $G_0\in T$ について $G_0(P)\neq 0$ となる。
よって任意の $F\in S$ に対して $FG_0(P)=0$ より $F(P)=0$ となるから、$P\in V(F/L)$ となる。
つまり $P\in V(S/L)$ となる。

(6) (5) において $S=I$, $T=J$ とおくと、左辺の集合は $IJ$ に一致するから、$V(IJ/L)=V(I/L)\cup V(J/L)$ となる。
&&&

$\A^n(\K)$ の部分集合 $V$ について、$I(V)$ を、$V$ 上で値が $0$ となる $\K$ 上の多項式全体とする。つまり、$V\subset \A^n(\K)$ について
$$I(V)=\{f\in \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]: \forall (P\in V)[f(P)=0]\}$$
とすると、$I(V)$ は $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ のイデアルとなる。

&&&ex [ex1]
$\A^2(\C)$ の部分集合 $V=\{(\sqrt{2}, \sqrt{2})\}$ について、
$I(V)=(X-\sqrt{2}, Y-\sqrt{2})\subset \C[X, Y]$ は $\C[X, Y]$ のイデアルとなる。

I(V) を $\K$ の部分集合 $L$ 上に係数をもつ多項式に制限したものを
$$I(V/L)=\{f\in L[X_1, X_2, \ldots, X_n]: \forall (P\in V)[f(P)=0]\}$$
とかくことにすると、
$$I(V/L)=I(V)\cap L[X_1, X_2, \ldots, X_n]$$
となる。$R$ が $\K$ の部分環ならば、$I(V/R)$ は $R[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ のイデアルとなる。

$I(V/\R)$ は $\R[X, Y]$ 上のイデアルとして、$I(V/\R)=(X-\sqrt{2}, Y-\sqrt{2})$ となる。
また、
$I(V/\Z)$ も $\Z[X, Y]$ のイデアルだが、
$$I(V/\Z)=(X^2-2, X-Y)\subset \Z[X, Y]$$
とあらわされる。実際、
$P(X, Y)\in I(V/\Z)$ に対して、
$$P(X, Y)=F_0(X, Y)(X^2-2)+G_1(Y)X+G_0(Y), G_0(Y), G_1(Y)\in\Z[Y], F_0(X, Y)\in\Z[X, Y]$$
とおくと、
$$P(X, Y)=F_0(X, Y)(X^2-2)+F_1(X, Y)(X-Y)+G_1(X)X+G_0(X), F_1(X, Y)\in\Z[X, Y]$$
とあらわされる。ここで
$$G_1(X)X+G_0(X)=H(X)(X^2-2)+aX+b, H(X), aX+b\in \Z[X]$$
とおくと 
$$P(X, Y)=F_0(X, Y)(X^2-2)+F_1(X, Y)(X-Y)+H(X)(X^2-2)+aX+b$$
となるが、
$$P(\sqrt{2}, \sqrt{2})=a\sqrt{2}+b=0$$
より $a=b=0$ つまり
$$P(X, Y)=(F_0(X, Y)+H(X))(X^2-2)+F_1(X, Y)(X-Y)\in (X^2-2, X-Y)$$
となる。
&&&

$S\subset \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$, $F\in S$ ならば、$V(S)$ の任意の点 $P$ において $F(P)=0$ となるから、$F\in I(V(S))$ となる。
また、$U\subset \A^n(\K)$, $P\in U$ ならば、$I(U)$ の任意の多項式 $F$ について、$F(P)=0$ となるから、$U\subset V(I(U))$ となる。

よって、任意の $S\subset \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$, $U\subset \A^n(\K)$ について $S\subset I(V(S))$, $U\subset V(I(U))$ がそれぞれ成り立つ。

逆の包含関係は一般には成り立たない。仮に $S\subset \K[X_1, \ldots, X_n]$ 自身がイデアルとしても、$S=I(V(S))$ となるとは限らない。
たとえば、$I=((X-Y)^2)$ とおくと、$V(I)=\{(x, x): x\in\K\}$ となるから、$I(V(I))=(X-Y)\neq I$ となる。

また、$V(I(U))=U$ も一般には成り立たない。$\K=\R$ または $\C$ で、$U=\{(x, 0): 0\leq x\leq 1\}$ とすると、$[0, 1]$ でつねに $0$ をとる $1$ 変数多項式は、零多項式しか存在しないから、$I(U)=(Y)$, $V(I(U))=\{(x, 0): x\in\R\}$ となり、$U$ とは一致しない。

しかし、$S$ 自身が $I(U)$ の形のイデアルならば、逆の包含関係が成り立つし、$U$ 自身が代数的集合ならば、やはり逆の包含関係が成り立つ。つまり、つぎの定理が成り立つ。

&&&thm [th2]
任意の $U\subset \A^n(\K)$ について $I(U)=I(V(I(U)))$ が成り立つ。
また、任意の $S\subset \K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ について $V(S)=V(I(V(S)))$ が成り立つ。
&&&

&&&prf
$V_0=V(I(U))$ とおくと、$U\subset V(I(U))=V_0$ であるから、$I(V(I(U)))=I(V_0)\subset I(U)$ となる。
また $I_0=I(V(S))$ とおくと、$S\subset I(V(S))=I_0$ であるから、$V(I(V(S)))=V(I_0)\subset V(S)$ となる。
&&&

後半より、$U$ が代数的集合ならば $V=V(I(U))$ となることがわかる。

&&&thm [th3]
$V, W$ が $\A^n(\K)$ 上の代数的集合であるとき、
$$V=W \Longleftrightarrow I(V)=I(W).$$
&&&

&&&
$V=W$ ならば $I(V)=I(W)$ であることは明らか。
$I(V)=I(W)$ とすると、$V, W$ はともに代数的集合だから、[定理2](#th2)より $V(I(V))=V$, $V(I(W))=W$ がそれぞれ成り立つので、
$$V=V(I(V))=V(I(W))=W.$$
&&&

一方、逆に、$V(I)=V(J)$ のとき、$I=J$ となることは一般にはいえない。たとえば $I=(X-Y), J=I^2=((X-Y)^2)$ とおくと、$I\neq J$ であるが、$V(I)=V(J)=\{(x, x): x\in\K\}$ となる。
また、$I$, $J$ が素イデアルの場合に限っても、$\K=\F_2$, $I=(X)$, $J=(X-Y-Y^2)$ とおくと、$V(I)=V(J)=\{(0, 0), (0, 1)\}$ となる。しかし、$\K$ が代数閉体ならば、ある種の逆が成り立つことが、[Hilbertの零点定理](qE6cLuio9eTln98PLHcj)からわかる。

さて、点はつぎのように極大イデアルに対応することがわかる。

&&&thm [th4]
$(X_1-a_1, X_2-a_2, \ldots, X_n-a_n)$ は $\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ の極大イデアルである。
&&&

&&&prf
[多項式環:定理3](/glossaries/XdtFqe3Kh3rAYfLlJaIY#th3)より
$$F(X_1, X_2, \ldots, X_n)\equiv F(X_1, X_2, \ldots, X_{n-1}, a_n)\Mod{X_n-a_n}$$
となるから、帰納的に
$$F(X_1, X_2, \ldots, X_n)\equiv F(a_1, a_2, \ldots, a_n)\Mod{(X_1-a_1, X_2-a_2, \ldots, X_n-a_n)}$$
が成り立つ。よって、$F\not\in (X_1-a_1, X_2-a_2, \ldots, X_n-a_n)$ ならば $F(a_1, a_2, \ldots, a_n)\neq 0$ となる。
$\K$ は体だから
$$(X_1-a_1, X_2-a_2, \ldots, X_n-a_n, F)=(F(a_1, a_2, \ldots, a_n))=(1)=\K$$
が成り立つ。
&&&

代数的集合については、つぎのような形で分離可能性が成り立つ。

&&&thm [th5]
$\K$ を体、$V$ を $\A^n(\K)$ の代数的集合とし、$P\in \A^n(\K)$ が $V$ 上の点ではないとすると、
$F(P)=1$ となる多項式 $F\in I(V)$ がとれる。
より一般に、$P_1, \ldots, P_r\in \A^n(\K)$ が、互いに相異なり、かついずれも $V$ 上にはない点とすると、
$i=1, \ldots, r$ について $F_i(P_i)=1$ だが、$1\leq i, j\leq r$ かつ $i\neq j$ のとき $F_i(P_j)=0$ となる
$F_1, F_2, \ldots, F_r\in I(V)$ がとれる。
&&&

&&&prf
各 $P_i$ は $V$ 上の点ではないので、
[定理1](#th1)より、$V_0=V\cup \{P_j:j=1, \ldots, r\}$ は、$V_i=V\cup \{P_j:j\neq i\}$ とは異なる代数的集合となる。
[定理3](#th3)より、$I(V_0)\subsetneq I(V_i)$ となるから、
$I(V_i)$ に含まれるが $I(V_0)$ に含まれない多項式 $G_i$ がとれる。
$G_i\in I(V_i)$ だから $G_i\in I(V)$ かつ $j\neq i$ のとき $G_i(P_j)=0$ となる。
しかし $G_i(P_i)=0$ とすると、$G_i$ は $I(V_0)$ に含まれてしまうから、$G_i(P_i)=c_i\neq 0$ となる。
$F_i=G_i/c_i$ とおくと、$F_i(P_i)=1$ だが、$1\leq i, j\leq r$ かつ $i\neq j$ のとき $F_i(P_j)=0$ となる。
&&&

&&&thm [th6]
任意の代数的集合は有限個の超曲面の共通部分としてあらわされる。
&&&

&&&prf
$V=V(S)$ を集合 $S\in \K[X_1, \ldots, X_n]$ によって定まる代数的集合とする。
$S$ によって生成されるイデアルを $I$ とおくと $V=V(I)$ となる。
$\K$ は体なので[[Noether環]]である。[Hilbertの基底定理](/glossaries/Y2lGbw2yvmzPR2jjHZd0#th2)より、$\K[X_1, \ldots, X_n]$ もNoether環となるから、
$$I=(F_1, \ldots, F_r)=(F_1)+(F_2)+\cdots +(F_r)$$ は有限生成である。よって
$$V=V((F_1)+(F_2)+\cdots +(F_r))=\bigcap_{i=1}^r V(F_i)$$
となる。
&&&

&&&ex [ex1]
$\A^3$ 上の曲線
$$C: X=1+6t^3, Y=1-6t^3, Z=-6t^2$$
は
$$C=V(\{X^3+Y^3+Z^3-2, X+Y=2\})=V(X^3+Y^3+Z^3-2)\cap V(X+Y=2)$$
とアフィン代数曲面の共通部分としてあらわされる。実際、$Y=2-X$ のとき
$$Z^3=2-(X^3+Y^3)=2-X^3-(2-X)^3=-6(X-1)^2$$
より
$Z=-6u^2$ とおくと、$X=1+6u^3, Y=2-X=1-6u^3$ あるいは $X=1-6u^3, Y=1+6u^3$ となるので
$t$ を$\pm u$ から、うまく選ぶと 
$$X=1+6t^3, Y=1-6t^3, Z=-6t^2$$
となる。
&&&


代数的集合とイデアル

$F\in \K[X, Y]$ を $n$ 次多項式とし、曲線 $C=V(F)$ 上の点 $P=(a, b)\in C$ をとる。このとき、正の整数 $m\geq 1$ が存在し、$i=m, \ldots ,n$ に対して、$i$ 次の$2$変数斉次多項式 $F_i (X, Y)$ をうまくとれば
$$F(X+a, Y+b)=F_m(X, Y)+\cdots +F_n(X, Y)$$
となる。実際、左辺は $(X, Y)=(0, 0)$ のとき $F(a, b)=0$ となるから、左辺は定数項が $0$ の $n$ 次多項式となる。
このような $m$ で最大のものをとると $F_m(X, Y)\neq 0$ となる。このとき $m$ を $C$ の点 $P$ における**重複度** (***multiplicity***) といい、
$m_P(F)$ であらわす。また点$P$ の重複度が $m$ のとき、この点を $m$ 重点という。
$1$ 重点、つまり $m_P(F)=1$ となる点 $P$ を**非特異点** (***nonsingular point***) あるいは**単純点** (***simple point***) という。$m_P(F)>1$ となる点 $P$ を**特異点** (***singular point***) という。特異点をもたない曲線を**非特異曲線** (***nonsingular curve***) あるいは**滑らかな曲線** (***smooth curve***) という。
&&&ex [ex1]
$$Y^2=X^3+X^2$$
で定義される曲線、つまり
$$V(Y^2-X^3-X^2)$$
は原点を特異点にもち、原点は $2$ 重点となる。
&&&
$n$ 次の$2$変数斉次多項式の偏導関数は $n-1$ 次の$2$変数斉次多項式となることから、次のことがすぐにわかる。
&&&thm [thm1]
点 $P(a, b)$ が曲線 $C=V(F)$ の特異点 $\Longleftrightarrow$ $F(a, b)=F_X(a, b)=F_Y(a,b)=0$.
&&&

重複度と特異点

体上有限生成環についてとくに重要な事実として、次のように、環として有限生成な体の拡大は代数拡大しかないことがわかる。この事実はHilbertの零点定理の証明にも用いられる（Fulton [[Ful]], 1.7節から1.10節を参照）。

&&&thm [th1]
体 $\L$ が体 $\K$ の拡大体、かつ $\K$ 上環として有限生成であるとき、
$\L$ は $\K$ の有限次拡大体である。すなわち $\L$ は $\K$ 上加群として有限生成である。

とくに、$\K$ が代数閉体ならば、$\L=\K$ となるから、$\K$ 上環として有限生成である体は $\K$ 自身しかない。
&&&

&&&prf
$\L=\K[v_1, v_2, \ldots, v_n]$ とおく。$n$ に関する帰納法で証明する。

$1.$ まず、$n=1$ のとき、$\varphi(X)=v_1$ となる準同型 $\varphi\colon \K[X] \to \L$ をとる。[多項式環:既約多項式](/glossary_drafts/HpcceyF9p5RdZuK9lTum#既約多項式)あるいは[入門テキスト「環論の基礎」多項式環の命題10](/textbooks/RmQEPqVMmwqKs57yZfjs/NrfMQIQq7e3wqVfSskl2)より $\K[X]$ はPIDだから、$\Ker\ \varphi=(f)$ となる $f\in \K[X]$ が存在する。
$f=0$ のとき、$\K[v_1]$ は $\K[X]$ と同型なので、$\L=\K(v_1)$ は $\K(X)$ と同型であるが、これは[体上有限生成環](jPgEPA3EBdIDio0e18nJ#th1)より環として有限生成でないので仮定に反する。
よって、$f\neq 0$ となる。$\K[X]/(f)$ は $\L=\K[v_1]$ と同型だが、これは整域なので、$(f)$ は素イデアルとなる。よって $f$ は既約であるが、$\K[X]$ はPIDなので、[「環論の基礎4：UFD・PID」の命題4.6](/textbooks/RmQEPqVMmwqKs57yZfjs/7jc9dbXAFfuqmwKny1wg)より、$(f)$ は極大イデアルとなる。
よって、$\K[v_1]$ は体だから、$\L=\K(v_1)=\K[v_1]$ は $\K[X]/(f)$ と同型である。これは、$\L=\K(v_1)$ が $\K$ の有限次拡大体であること、つまり$\K$ 上加群として有限生成であることを示している。

$2.$ $n\leq m-1$ について正しいとし、$n=m$ のとき証明する。
$\K_1=\K(v_m)$ とおく。数学的帰納法から、$\L=\K_1[v_1, \ldots, v_{m-1}]$ は $\K_1$ の有限次拡大体である。$v_m$ が $\K$ 上代数的ならば、$\K_1$ は $\K$ の有限次拡大体だから、拡大次数の連鎖律（たとえば[入門テキスト「ガロア理論の基礎」体論の命題5](/textbooks/KeS9MzLh8lzuCrpardOw/r69FraV2VMfHEg5W63Lm#拡大次数の連鎖律)）より $\L$ も $\K$ の有限次拡大体である。

そこで、$v_m$ が $\K$ 上代数的ではないとする。数学的帰納法から、$\L=\K_1[v_1, \ldots, v_{m-1}]$ は $\K_1$ の有限次拡大体であり、$v_m\in \K_1$ だから、各 $v_i$ は $\K_1$ 上代数的である。
$$g_i(X)=X^{d_i}+a_{i, 1}X^{d_i-1}+\cdots +a_{i, d_i}$$
を $v_i$ の $\K_1$ 上の最小多項式とする。すべての係数 $a_{i, j}\ (1\leq i\leq m, 0\leq j\leq d_i-1)$ の分母の最小公倍数を $A$ とおくと、
$$(Av_i)^{d_i}+Aa_{i, 1}(Av_i)^{d_i-1}+\cdots +A^{d_i} a_{i, d_i}=A^{d_i}g_i(v_i)=0$$
となるが、$A$ のとり方から、$a_{i, j}\in \K[v_m]$ となるから、各 $Av_i$ は $\K[v_m]$ 上整である。
よって、任意の $z\in \K[v_1, \ldots, v_m]$ について、$A^N z$ が $\K[v_m]$ 上整となる自然数 $N$ がとれる。とくに、
$$\K(v_m)\subset \K(v_1, \ldots, v_m)=\K[v_1, \ldots, v_m]$$
だから、任意の $z\in \K(v_m)$ について、$A^N z$ が $\K[v_m]$ 上整となる自然数 $N$ がとれる。
$v_m$ は $\K$ 上代数的ではないので、$\K[v_m]$ は多項式環 $\K[X]$ と同型、$\K(v_m)$ は有理関数体 $\K(X)$ と同型であるから、任意の $z\in \K(X)$ について、$A^N z$ が $\K[X]$ 上整となる自然数 $N$ がとれることになるが、これは[前節の補題2](PcY8Nr5tzo0FovfmF2ZC#lem2)に矛盾する。

これらのことから、数学的帰納法により、定理が $\K$ の任意の有限生成環について証明できる。
&&&


環として有限生成な体の拡大は代数拡大

$$\sqrt{I}=\{x: \exists(n\in \N_{>0})[x^n\in I]\}$$を $I$ の根基 (radical) とする（[「環論の基礎」素イデアル・極大イデアルの定義3](/textbooks/RmQEPqVMmwqKs57yZfjs/kxRMms5uTPwR5SG8mYvf#根基)以下を参照）と、$V(I)$ は $V(\sqrt{I})$ に一致することがわかる。

&&&thm [th1]
$V(I)=V(\sqrt{I})$.
&&&

&&&prf
$I\subset\sqrt{I}$ だから、$V(\sqrt{I})\subset V(I)$ は明らか。

$P\in V(I)$ かつ $F\in\sqrt{I}$ とすると、$F^n\in I$ となる整数 $n>0$ が存在するので、$F^n(P)=0$ より、$F(P)=0$ となって、結局、$P\in V(\sqrt{I})$ となる。つまり、$V(I)\subset V(\sqrt{I})$ も成り立つ。
&&&

&&&thm [th2]
$\sqrt{I}\subset I(V(I))$.
&&&

&&&prf
先述のように、$F\in\sqrt{I}$ とすると、$V(I))$ 上の点 $P$ について、つねに $F(P)=0$ となるから、$F\in I(V(I))$ となる。よって $\sqrt{I}\subset I(V(I))$ となる。
&&&

$\K$ が代数閉体ならば、この逆の包含関係が成り立つ、つまり $I(V(I))=\sqrt{I}$ となるというのが、Hilbertの零点定理である。

代数的集合とイデアルの根基

代数的集合 $V$ が $V$ とは異なる $2$ つの代数的集合 $W_1, W_2$ によって $V=W_1\cup W_2$ とあらわされないとき、
$V$ を**既約** (*irreducible*) という。既約なアフィン代数的集合を**アフィン代数多様体** (*affine algebraic variety*) という。


&&&thm [th1]
代数的集合 $V$ が既約 $\Longleftrightarrow$ $I(V)$ が素イデアル。
&&&

&&&prf
代数的集合 $V$ が既約でないとし、$V$ とは異なる $2$ つの代数的集合 $W_1, W_2$ によって $V=W_1\cup W_2$ とあらわされるとすると、$I(W_1), I(W_2)$ は $I(V)$ より真に大きいイデアルとなる。$F_1\in I(W_1), F_2\in I(W_2)$ がともに $I(V)$ に含まれないとする。
$P\in V$ に対して、$P\in W_i$ となる $i$ をとると、$F_i(P)=0$ だから、必ず $F_1 F_2(P)=0$ となる。よって、$F_1 F_2\in I(V)$ となるが、$F_1, F_2$ はともに $I(V)$ には含まれないから、$I(V)$ は素イデアルではない。

逆に、$I(V)$ が素イデアルでないとすると、$F_1 F_2\in I(V)$ となるが、いずれも $I(V)$ に属さない多項式 $F_1, F_2$ がとれる。
$V\cap V(F_1)$, $V\cap V(F_2)$ も代数的集合で、$F_1, F_2$ は $I(V)$ に属さないから、$F_1(P)\neq 0, F_2(Q)\neq 0$ となる $P, Q\in V$ がとれる。よって $V\cap V(F_1)$, $V\cap V(F_2)$ はともに $V$ より真に小さい代数的集合で
$$V=(V\cap V(F_1))\cup (V\cap V(F_2))$$
となるから、$V$ は既約ではない。
&&&

さらに、任意の代数的集合が、有限個の既約代数的集合の和集合に、本質的には一意的に分解される。正確にいうと、次の定理が成り立つ。

&&&thm [th2]
任意の代数的集合 $V$ は有限個の既約代数的集合の和集合
$$V=V_1\cup V_2\cup \cdots \cup V_r$$
としてあらわされ、かつ、どの $2$つの $V_i, V_j$ も互いに包含関係にないという条件の下では、順序を除いて一意的にあらわされる。
&&&

このような $V_i$ を $V$ の**既約成分** (*irreducible component*) といい、上記のようにあらわすことを、$V$ の既約成分への**分解** (*decomposition*) という。

&&&prf
まず、任意の代数的集合 $V$ は有限個の既約代数的集合の和集合としてあらわされることを示す。

$\A^n(\K)$ の代数的集合で、有限個の既約代数的集合の和集合としてあらわされないものが存在すると仮定し、それら全体の集合を $\SS$ とおく。また、$\SS$ に対応するイデアルの集合を $\TT=\{I(V), V\in\SS\}$ とおく。
[Hilbertの基底定理](/glossaries/Y2lGbw2yvmzPR2jjHZd0#th2)より、$\K[X_1, X_2, \ldots, X_n]$ はNoether環なので、[Noether環の性質](/glossaries/Y2lGbw2yvmzPR2jjHZd0#th1)から、$\TT$ は極大元 $I_0$ をもつ。$I_0=I(V_0)$ となる $V_0$ をとると、$V_0$ は $\SS$ の極小元となる。
$\SS$ に属する代数的集合は、当然それ自体既約ではありえないので、$V_0=W_1\cup W_2$ となる、$W_1, W_2\subsetneq V_0$ がとれる。
$V_0$ は $\SS$ の極小元だから、$W_1, W_2$ は有限個の既約代数的集合の和集合としてあらわされるので、$V_0=W_1\cup W_2$ も有限個の既約代数的集合の和集合としてあらわされる。これは矛盾である。

よって、任意の代数的集合 $V$ は
$$V=V_1\cup V_2\cup \cdots \cup V_r$$
と有限個の既約代数的集合の和集合としてあらわされるので、そのようなあらわし方が（定理に記した条件のもとで）一意的であることを示す。
$V_i\subset V_j$ となるときに $V_i$ をすべて取り除いても、和集合に変化はないので、$V$ は、どの $2$つの $V_i, V_j$ も互いに包含関係にないようにあらわすことができる。そこで
$$V=W_1\cup W_2\cup \cdots \cup W_s$$
なおかつ、どの $2$つの $W_i, W_j$ も互いに包含関係にないように有限個の既約代数的集合の和集合としてあらわされたとする。
各 $i=1, \ldots, r$ について
$$V_i=\bigcup_{j=1}^s (V_i\cap W_j)$$
となるが、$V_i$ は既約だから $V_i\cap W_{j(i)}=V_i$ つまり $V_i\subset W_{j(i)}$ となる $j(i)$ が存在する。同様にして、$W_{j(i)}\subset V_{k(i)}$ となる $k(i)$ が存在するが、$V_i\subset V_{k(i)}$ となるので、仮定より $i=k(i)$ でなければならず、 $V_i=W_{j(i)}$ となる。このことから $s\geq r$ となる。
同様にして、各 $j=1, \ldots, s$ について $W_j=V_{i(j)}$ となる $i(j)$ が存在するから、$r\geq s$ となるので、結局 $s=r$ で、$W_j$ は $V_i$ の順序を並び替えたものとなる。
&&&

&&&ex [ex31]
$$XY^2=0\Longleftrightarrow X=0\lor Y=0$$
だが、$(X), (Y)$ は素イデアルなので、$V(X), V(Y)$ はともに既約な代数的集合となる。よって
$$V(XY^2)=V(X)\cup V(Y)$$
と既約成分に分解される。
&&&

&&&ex [ex32]
$F(X, Y)=X^2+(Y^2-1)^2$ は $\R$ 上既約だが、$\R^2$ において $V(F/\R)=\{(0, \pm 1)\}$ は既約ではない（$F$ は $\C$ 上では既約ではなく、$V(F/\C)$ も既約ではないことに注意）。
&&&
このように、一般には既約多項式であっても、既約な代数的集合を定めるとは限らないが、次節でみるように、$\K$ が代数閉体ならば、$F\in \K[X_1, \ldots, X_n]$ が既約多項式のとき $V(F/\K)$ は既約となる。

アフィン代数多様体

[代数的集合とイデアルの根基](z3V80mN5uIx1ixrRb5zE)の節で述べたように、$\K$ が代数閉体のときには[同節の定理2](z3V80mN5uIx1ixrRb5zE#th2)の逆の包含関係が成り立ち、$I(V(I))=\sqrt{I}$ となるというのが、**Hilbertの零点定理** (*Hilbert's Nullstellensatz*) である。
この節では、Hilbertの零点定理を証明する。この節での証明はFulton, 1.7節から1.10節を参考としている。証明の本質的部分は[体上有限生成環](jPgEPA3EBdIDio0e18nJ)の理論によるので、詳しくは可換環の理論の章を参照されたい。

まず、特殊な場合に相当する、次の定理を示す。

&&&thm 弱い零点定理 [th1]
$\K$ が代数閉体とする。このとき $\K[X_1, \ldots, X_n]$ 上のイデアル $I$ について
$$V(I)=\emptyset \Longleftrightarrow I=\K[X_1, \ldots, X_n].$$
&&&

$I(V(I))=\K[X_1, \ldots, X_n]$ ならば、$1\in I(V(I))$ より、$V(I)=\emptyset$ となるので、
$I=\K[X_1, \ldots, X_n]$ となる。つまり、この定理はHilbertの零点定理の特殊な場合を与える。

&&&prf
$I=\K[X_1, \ldots, X_n]$ のとき、$1\in I$ より、$V(I)=\emptyset$ となる。

そこで、$I\neq \K[X_1, \ldots, X_n]$ と仮定する。
[Hilbertの基底定理](/glossaries/Y2lGbw2yvmzPR2jjHZd0)より $\K[X_1, \ldots, X_n]$ はNoether環だから、[[Noether環]]の性質より $I$ を含む $\K[X_1, \ldots, X_n]$ の極大イデアル $J$ が存在する。
$\L=\K[X_1, \ldots, X_n]/J$ は $\K$ の拡大体に同型であるが、$\K$ 上環として有限生成で、一方 $\K$ は代数閉体だから[環として有限生成な体の拡大は代数拡大](lNePjHahjdItO3WxeRFX#th1)であることから $\L=\K$ となる。よって、各 $i=1, \ldots, n$ について
$$X_i\equiv a_i\Mod J$$
となる $a_i\in\K$ が存在する。このとき $X_i-a_i\in J$ となるから、
$$(X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)\subset J$$
となる。しかし、[代数的集合とイデアル:定理4](U3j7Znb28V98TK3gBQMY#th4)より $(X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$ は極大イデアルであるから、
$J=(X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$ でなければならない。
よって、$(a_1, \ldots, a_n)\in V(J)\subset V(I)$ となって、
$V(I)\neq\emptyset$ となることがわかる。
&&&

これを利用して、一般的な零点定理を示す。

&&&thm Hilbertの零点定理 (Hilbert's Nullstellensatz) [th2]
$\K$ が代数閉体ならば、$\K[X_1, \ldots, X_n]$ 上のイデアル $I$ について、$I(V(I))=\sqrt{I}.$
&&&

&&&prf
$\sqrt{I}\subset I(V(I))$ は[代数的集合とイデアルの根基](z3V80mN5uIx1ixrRb5zE#th2)で既に示しているので、$I(V(I))\subset\sqrt{I}$ を示す。

$I=(F_1, \ldots, F_r), F_i\in\K[X_1, \ldots, X_n]$ とおき、多項式 $G\in \K[X_1, \ldots, X_n]$ が $I(V(F_1, \ldots, F_r))$ に属するとする。
$$J=(F_1, \ldots, F_r, X_{n+1}G-1)$$
とおくと、これは $\K[X_1, \ldots, X_{n+1}]$ のイデアルである。
どの $i$ についても $F_i(a_1, \ldots, a_n)=0$ となるとき、$X_{n+1}G-1=-1\neq 0$ となる。よって、$V(J)=\emptyset$ となるから、[定理1](#th1)より $1\in J$ となる。
$$1=\sum_{i=1}^r A_i(X_1, \ldots, X_{n+1}) F_i+B(X_1, \ldots, X_{n+1})(X_{n+1}G-1)$$
となる $A_1, \ldots, A_r, B\in\K[X_1, \ldots, X_{n+1}]$ がとれる。
$Y=1/X_{n+1}$ とおくと、
$$1=Y^{-N}\sum_{i=1}^r C_i(X_1, \ldots, Y) F_i+D(X_1, \ldots, Y)(G-Y)$$
つまり
$$Y^N=\sum_{i=1}^r C_i(X_1, \ldots, Y) F_i+D(X_1, \ldots, Y)(G-Y)$$
となる整数 $N\geq 0$ と、$C_1, \ldots, C_r, D\in\K[X_1, \ldots, X_n, Y]$ がとれる。たとえば
$$B(X_1, \ldots, X_{n+1})=\sum_{i=0}^d H_i(X_1, \ldots, X_n)X_{n+1}^i$$
に対して、
$$D(X_1, \ldots, X_n, Y)=\sum_{i=0}^d H_i(X_1, \ldots, X_n)Y_{n+1}^{d-i}$$
とおくとよい。とくに$Y=G(X_1, \ldots, X_n)$ とおくと
$$G^N=\sum_{i=1}^r C_i(X_1, \ldots, X_n, G(X_1, \ldots, X_n)) F_i$$
となるので、$G^N\in (F_1, \ldots, F_r)=I$ となる。これは $G$ が $\sqrt{I}$ に属することを示している。
&&&

このことから、$\K$ が代数閉体の場合、$\K[X_1, \ldots, X_n]$ 上のイデアル $I, J$ について $V(I)=V(J)$ ならば、（$I=J$ とは限らないが）$\sqrt{I}=\sqrt{J}$ となることがわかる。

また、多項式 $F$ が $F=a \prod_{i=1}^k P_i^{e_i} ~ (a\in \K)$ と既約多項式 $P_1, \ldots, P_k$ の積に因数分解されるとき、
$$\sqrt{(F)}=(P_1 \cdots P_k)$$ となるから、
$$I(V(F))=(P_1 \cdots P_k)$$ となる。とくに $V(F)$ が既約であるための必要十分条件は $k=1$、つまり $F=aP^e$ となる既約多項式 $P$ がとれることである（$\K$ は代数閉体だから、実際には $a=1$ ととれる）。


Hilbertの零点定理

$V\in \A_{\K}^n$ を $\K$ 上の $n$ 次元アフィン空間における代数多様体とする。
このとき[アフィン代数多様体:定理1](nqvDWDfEWjqdNzzONDJO#thm1) より $I(V)\subset \K[X_1, \ldots, X_n]$ は素イデアルである。
$$\Gamma(V)=\K[X_1, \ldots, X_n]/I(V)$$
を $V$ の**座標環** (***coordinate ring***) という。
$V$ 上の点 $(a_1, \ldots, a_n)$ から $\K$ への写像 $f$ 全体の集合を $\mathscr{F}(V, \K)$ であらわす。
$f, g\in \mathscr{F}(V, \K)$ について、$f+g$, $fg$ をそれぞれ
$$(f+g)(a_1, \ldots, a_n)=f(a_1, \ldots, a_n)+g(a_1, \ldots, a_n),$$
$$(fg)(a_1, \ldots, a_n)=f(a_1, \ldots, a_n)g(a_1, \ldots, a_n)$$
により定めると、これらの演算により $\mathscr{F}(V, \K)$ は環をなす。
&&&thm [thm1]
$$\mathscr{P}(V, \K)\simeq \Gamma(V),$$
すなわち、$V$ の座標環は $V$ 上の多項式関数のなす環と同型である。
&&&
&&&prf
$V$ 上の点 $(a_1, \ldots, a_n)$ から $\K$ への写像のうち、その値が多項式 $P(X_1, \ldots, X_n)\in \K[X_1, \ldots, X_n]$ によって
$$f(a_1, \ldots, a_n)=P(a_1, \ldots, a_n)$$
と定まるものを考える。このような写像を $f_P$ とおいて、$f_P$ の形の写像全体を $\mathscr{P}(V, \K)$ とおくと $\mathscr{P}(V, \K)$ は $\mathscr{F}(V, \K)$ の部分環となる。
\begin{equation*}\begin{split}
f_P=f_Q ~ & \Longleftrightarrow \forall[(a_1, \ldots, a_n)\in V] f_P(a_1, \ldots, a_n)-f_Q(a_1, \ldots, a_n)=0 \\
& \Longleftrightarrow \forall[(a_1, \ldots, a_n)\in V] P(a_1, \ldots, a_n)-Q(a_1, \ldots, a_n)=0 \\
& \Longleftrightarrow P-Q\in I(V) \\
\end{split}\end{equation*}
より、
$$\mathscr{P}(V, \K)\simeq \K[X_1, \ldots, X_n]/I(V)=\Gamma(V)$$
となる。
&&&

&&&ex [ex1]
$$V=\{(x, y): X^2+Y^2=1\}$$
とすると、$I(V)=(X^2+Y^2-1)$ より
$$\Gamma(V)=\K[X, Y]/(X^2+Y^2-1)=\{(F(X)+G(X)Y)\Mod{X^2+Y^2-1}: F(X), G(X)\in \K[X]\}$$
となるが、$Y^2\equiv 1-X^2\Mod{X^2+Y^2-1}$ より
$$\Gamma(V)\simeq \{F(X)+G(X)\sqrt{1-X^2}: F(X), G(X)\in \K[X]\}=\K[X, \sqrt{1-X^2}]$$
となる。
&&&

座標環

$\Gamma(V)$ の商体
$$k(V)=\left\{\frac{\tilde F(X_1, \ldots, X_n)}{\tilde G(X_1, \ldots, X_n)}: \tilde F(X_1, \ldots, X_n), \tilde G(X_1, \ldots, X_n)\in \Gamma(V), G(X_1, \ldots, X_n)\not\in I(V)\right\}$$
を $V$ の**有理関数体** (***field of rational functions***) という。ただし、$F(X_1, \ldots, X_n)\Mod{I(V)}$ を $\tilde F(X_1, \ldots, X_n)$ と記している。

$P(a_1, \ldots, a_n)\in V$ と $f\in k(V)$ について
$$f(X_1, \ldots, X_n)=\frac{\tilde F_0(X_1, \ldots, X_n)}{\tilde G_0(X_1, \ldots, X_n)}$$ となる多項式 $F_0(X_1, \ldots, X_n)\in \K[X_1, \ldots, X_n]$ および $G_0(X_1, \ldots, X_n)\in \K[X_1, \ldots, X_n]\setminus (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$ がとれるとき（$P\in V$ のとき $I(V)\subset (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$ となることに注意）、
$$f(a_1, \ldots, a_n)=\frac{F_0(a_1, \ldots, a_n)}{G_0(a_1, \ldots, a_n)}$$
が $F_0, G_0$ のとり方によらずに定まる。実際
$$f(X_1, \ldots, X_n)=\frac{\tilde F_0(X_1, \ldots, X_n)}{\tilde G_0(X_1, \ldots, X_n)}=\frac{\tilde F_1(X_1, \ldots, X_n)}{\tilde G_1(X_1, \ldots, X_n)}$$
かつ $F_0, G_0, F_1, G_1\in \K[X_1, \ldots, X_n], G_0, G_1\not\in (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$
となるとき、
$$\tilde F_0 \tilde G_1=\tilde F_1 \tilde G_0$$
だが、$(a_1, \ldots, a_n)\in V$ より
$$F_0(a_1, \ldots, a_n) G_1(a_1, \ldots, a_n)=F_1(a_1, \ldots, a_n) G_0(a_1, \ldots, a_n)$$
となるが、 $G_0(a_1, \ldots, a_n)\neq 0$ かつ $G_1(a_1, \ldots, a_n)\neq 0$ となるから
$$\frac{F_0(a_1, \ldots, a_n)}{G_0(a_1, \ldots, a_n)}=\frac{F_1(a_1, \ldots, a_n)}{G_1(a_1, \ldots, a_n)}$$
となる。それで、このとき $f\in k(V)$ は点 $P=(a_1, \ldots, a_n)\in I$ 上で定義されているという。

$f\in k(V)$ が点 $P=(a_1, \ldots, a_n)$ 上で定義されないとき、$P$ を $f$ の **極** (***pole***) という。

&&&thm [thm1]
$$f(X_1, \ldots, X_n)=\frac{\tilde F_1(X_1, \ldots, X_n)}{\tilde G_1(X_1, \ldots, X_n)}$$
となる多項式
$$F_1(X_1, \ldots, X_n)\in \K[X_1, \ldots, X_n]\setminus (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$$ および $$G_1(X_1, \ldots, X_n)\in (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$$
がとれるとき、$(a_1, \ldots, a_n)$ は $f$ の極となる。
&&&
&&&prf
$$f(X_1, \ldots, X_n)=\frac{\tilde F_0(X_1, \ldots, X_n)}{\tilde G_0(X_1, \ldots, X_n)}=\frac{\tilde F_1(X_1, \ldots, X_n)}{\tilde G_1(X_1, \ldots, X_n)}$$
となる
$$F_0(X_1, \ldots, X_n)\in \K[X_1, \ldots, X_n], G_0(X_1, \ldots, X_n)\in \K[X_1, \ldots, X_n]\setminus (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n),$$
$$F_1(X_1, \ldots, X_n)\in \K[X_1, \ldots, X_n]\setminus (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n), G_1(X_1, \ldots, X_n)\in (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$$
があるとすると、$\tilde F_0 \tilde G_1=\tilde F_1 \tilde G_0$ より
$$F_0 G_1-F_1 G_0\in (X_1-a_1, \ldots, X_n-a_n)$$
となるので
$$0=F_0(a_1, \ldots, a_n)G_1(a_1, \ldots, a_n)=F_1(a_1, \ldots, a_n)G_0(a_1, \ldots, a_n)\neq 0$$
となって矛盾する。
&&&

&&&ex [ex1]
$I=(X^2+Y^2-1)$, $V=V(I)$ とおく。
$$f(X, Y)=\frac{X-1}{Y}\in k(V)$$ とおくと、$Y\in (X+1, Y)$, $X-1\not\in (X+1, Y)$ より $f$ は $(-1, 0)$ を極にもつ。
なお $Y\in (X-1, Y)$ となるが、
$$f(X, Y)=\frac{X^2-1}{Y(X+1)}=\frac{-Y^2}{Y(X+1)}=-\frac{Y}{X+1}$$
とあらわせるので、$(1, 0)$ は $f$ の極ではない。つまり、$f$ は $(-1, 0)$ のみを極にもつ。
&&&

$\K$ 上の $n$ 変数有理関数
$$\frac{F(X_1, \ldots, X_n)}{G(X_1, \ldots, X_N)}\in \K(X_1, \ldots, X_n) ~ (F, G\in \K[X_1, \ldots, X_n], \gcd(F, G)=1)$$
について
$$J_{F/G}=\left\{H\in \K[X_1, \ldots, X_n]: \frac{\tilde{F}}{\tilde{G}}\tilde{H} \in \Gamma(V)\right\}$$
は $\K[X_1, \ldots, X_n]$ のイデアルで、$I+(G)$ を含む。$F/G$ の極全体の集合は $V$ の代数的部分集合で、$V(J_{F/G})$ に一致する。

&&&ex [ex2]
$I=(X^2+Y^2-1)$, $V=V(I)$ とおく。$f(X, Y)=(X-1)/Y\in k(V)$ とおくと、$f(X, Y)=-Y/(X+1)$ となるので、$(X+1, Y)\subset J_f$ となる。
$(X+1, Y)$ は $\K[X, Y]$ の極大イデアルだが、$1\not\in J_f$ だから、$J_f=(X+1, Y)$ となる。$J_f$ は $(Y)+I$ とは一般的には一致しない。

一方、$i\in \K$ の場合、
$$\frac{1}{2}(X+1-Yi)(X+1+Yi)=\frac{(X+1)^2+Y^2}{2}=\frac{X^2+Y^2+2X+1}{2}\equiv X+1\Mod{X^2+Y^2-1}$$
より $J_f=(X+1-Yi)+I$ となる。また、
$$Y=\frac{(X+Yi)-(X-Yi)}{2}=\frac{(X-Yi)((X+Yi)^2-1)}{2}=\frac{(X-Yi)(X+1+Yi)(X-1+Yi)}{2}$$
および
$$X-1=\frac{(X+Yi)-2+(X-Yi)}{2}=\frac{(X-Yi)(X+Yi)^2-2(X+Yi)+1)}{2}=\frac{(X-Yi)(X-1+Yi)^2}{2}$$
より
$$f(X, Y)=\frac{X-1+Yi}{X+1+Yi}$$
となる。

一般的に、$i\in \K$ の場合、$\Gamma(V)$ において $$(X-a, Y-b)=(X+Yi-(a+bi))$$ となる。実際、
$$\frac{1}{2}(X-a+(Y-b)i)(X-a+(Y+b)i)=\frac{(X-a+Yi)^2+b^2}{2}=\frac{X^2-Y^2-2a(X+Yi)+2XYi+1}{2}\equiv (X-a)(X+Yi)\Mod{X^2+Y^2-1}$$
となる。これは $\Gamma(V)$ が PID であることを意味している。
&&&

Algebraic Curves, An Introduction to Algebraic Geometry (Online version)

代数幾何学において、もっとも基本的な対象は、多変数多項式の零点、あるいは複数の多変数多項式の共通の零点全体の集合としてあらわされるアフィン代数的集合である。その中でも、アフィン平面上の代数曲線がもっとも基本的な対象となる。
そこで本テキストではアフィン代数的集合の一般論の基礎と、アフィン平面上の代数曲線の概念について解説し、ついで平面上の代数曲線を射影平面上で考察することで、より見通しのよい理論が得られることを解説する。

アフィン平面代数曲線

参考文献