多項式の共通零点集合をアフィン代数的集合として定義し、方程式から図形、図形から関数環へと向きを逆にした対応を作る章である。零点集合の演算、イデアルと座標環、Zariski位相、既約集合と既約成分、正則写像と座標環の準同型を導入する。さらにHilbertの基底定理、Zariskiの補題と弱零点定理、Hilbertの零点定理を示し、零点集合から根基イデアルが復元できることを確かめる。最後に消去とGröbner基底への入口を扱う。

第1章 アフィン零点集合と座標環

点の近くだけに注目して関数を調べる章である。局所化と主開集合、局所環とgerm、接空間とJacobian、正則点と特異点、整拡大と有限射、Noether正規化、Krull次元と超越次数を順に扱う。「接空間が膨らむ場所が特異点」という幾何的な言い方を、局所環の言葉で言い換える。

第2章 局所環と接空間

局所的に定義された関数を大域的に貼り合わせるという考えを、前層と層で定式化する章である。stalk（一点の近くの情報）と層化、環付き空間と局所環付き空間を導入し、空間とその上の関数環をひとつの対象として扱う。次章でSpecに構造層を載せるための準備になる。

第3章 層と局所環付き空間

環の素イデアル全体にZariski位相を入れた空間 Spec と、各点の局所化を貼り合わせた構造層を導入し、アフィンスキームを定義する章である。環準同型と空間の射が反変に対応し、アフィンスキームの射と環準同型が同じ情報であることを示す。

第4章 Specとアフィンスキーム

アフィンスキームを開部分スキームとして貼り合わせて大域的な図形（スキーム）を作る方法と、スキームの射を局所表示で記述する方法を扱う章である。貼り合わせ条件を満たす座標変換の族からスキームが一意に決まることを示す。

第5章 スキームの貼り合わせと射

同じ底の上のスキームを組み合わせるファイバー積と base change、スキームの点とその剰余体、パラメータが動くときの図形の変化（fiberと特殊化）を扱う章である。「一点の中に残る数体」を剰余体で読み、一般ファイバーと特殊ファイバーを比較する。

第6章 ファイバー積と特殊化

スキームの部分集合にスキーム構造を載せる閉埋入・開埋入・局所閉埋入と、射の「大きさ」を測る有限型・有限射・支配射を扱う章である。

第7章 埋入・有限型・有限射

射影空間と斉次座標を導入し、アフィン空間に無限遠の点を加えて図形を閉じる見方を学ぶ章である。標準アフィン図と貼り合わせ、斉次方程式だけが点上で意味を持つこと、射影変換と有限体上の点数を扱う。補論として、斉次イデアルと射影零点集合、射影閉包と飽和、射影射とSegre・Veronese写像を扱う。

第8章 射影幾何への橋

第1〜8章の概念（方程式・環・局所化・層・射）を往復する総合問題を扱う章である。可約図形の成分と接空間、穴のある平面の大域関数、放物線の射影閉包、基底変換、二重原点と分離性、特異ファイバー、尖点の正規化、射影直線上の因子、楕円曲線の有限群、平方写像の有限性と分岐など10題を、解答とともに収録する。

第9章 総合問題と翻訳

## この章の問い
方向を「点」とみなしてアフィン空間を閉じるとき、方程式と図形の対応はどう変わるか。
## 道筋
- **射影空間と斉次座標**：方向を点にする、標準アフィン図、射影変換、有限体上の点数。
- **斉次イデアルと射影零点集合**：斉次イデアルと射影代数的集合の対応。
- **射影閉包と飽和**：斉次化と飽和で正しいイデアルを回収する。
- **射影射とSegre・Veronese写像**：射影空間への写像と埋め込み。
## 読み方
最初の頁で射影直線・射影平面を押さえ、補論は必要に応じて参照する。
## 章末で言えること
射影空間は標準アフィン図の貼り合わせであり、斉次イデアルが射影代数的集合を決める。
## 前の章から持ち込むもの
スキームの貼り合わせ、Specと斉次座標の類似。


8-0 章の見取り図

## この章の問い
部分図形とは何か。射が有限である、有限型であるとはどういう性質か。
## 道筋
- **閉埋入・開埋入・局所閉埋入**：部分集合にscheme構造を載せる。
- **有限型・有限射・支配射**：写像の大きさを測る。
## 読み方
閉埋入と有限射は、アフィンの場合の環の言葉（全射、有限生成加群）で書き直しながら読む。
## 章末で言えること
アフィンスキームの射が閉埋入であることは環準同型が全射であることと同値である。
## 前の章から持ち込むもの
スキームの射、ファイバー積、有限射（第2章）。


7-0 章の見取り図

## この章の問い
学んだ概念を、環の言葉と幾何の言葉の両方で言い換えられるか。
## 道筋
- **総合問題と翻訳**：10題を、環の言葉と幾何の言葉の両方で解く。
## 読み方
各問題を、まず自分で環の言葉と幾何の言葉の両方で書いてから解答を読む。
## 章末で言えること
環の計算と幾何の言い換えが一対一に対応することを、具体例で確かめられる。
## 前の章から持ち込むもの
第1〜8章の全体。


9-0 章の見取り図

## この章の問い
アフィン図を貼り合わせて、アフィンでないスキームを作るにはどうするか。
## 道筋
- **schemeの貼り合わせ**：affine chartsから大域的な図形を作る。
- **schemeの射と局所表示**：大域切断とaffine chartsから写像を読む。
## 読み方
射影直線を二枚の $\mathbb A^1$ の貼り合わせとして作る例を自分で書き下す。
## 章末で言えること
スキームの射は、アフィン開被覆への制限が環準同型の族として与えられ、貼り合わせ条件を満たすことと同値である。
## 前の章から持ち込むもの
アフィンスキームの反変同値、構造層。


5-0 章の見取り図

## この章の問い
局所的に定義した関数を一つへ貼り合わせるとは、数学的に何を要求することか。
## 道筋
- **前層と層**：貼り合わせ条件と一意性。
- **stalkと層化**：一点の近くの情報から層を作る。
- **環付き空間と局所環付き空間**：空間と関数を一つの対象にする。
## 読み方
例（連続関数の層、正則関数の層）で貼り合わせ条件を確認しながら進む。
## 章末で言えること
層は貼り合わせ条件を満たす前層で、stalkと層化により局所情報から層を構成できる。
## 前の章から持ち込むもの
局所環、局所化、germ。


3-0 章の見取り図

## この章の問い
座標環の点（極大イデアル）だけでなく、すべての素イデアルを点とみなすと何が得られるか。
## 道筋
- **SpecとZariski位相**：素イデアルの空間。
- **Specの構造層**：局所化を貼って環の層を作る。
- **アフィンスキームの反変同値**：図形の射と環準同型は同じ情報。
## 読み方
$\mathrm{Spec}\,\mathbb Z$ と $\mathrm{Spec}\,k[x]$ の点を全部書き出す練習をしてから構造層へ進む。
## 章末で言えること
可換環の圏とアフィンスキームの圏は（反変に）同値である。
## 前の章から持ち込むもの
層、局所環付き空間、素イデアルの局所化。


4-0 章の見取り図

## この章の問い
一点の近くの情報だけで、図形の滑らかさや次元を測れるか。
## 道筋
- **局所化と主開集合／局所環とgerm**：分母を許して開集合を見る。一点の近くに残る関数。
- **接空間とJacobian／正則点と特異点**：方程式を一次まで読む。接空間が膨らむ点を見つける。
- **整拡大と有限射／Noether正規化**：有限個の点を束ねる写像、曲がった図形を平面へ有限に投影する。
- **Krull次元と超越次数**：独立に動ける座標の数を次元とする。
## 読み方
局所化の頁は以後ずっと使うので丁寧に読む。Noether正規化とKrull次元は互いに補う関係にある。
## 章末で言えること
簡約な既約アフィン多様体の次元は、座標環の超越次数、Krull次元、接空間の次元（正則点で）として一致する。
## 前の章から持ち込むもの
座標環、Zariski位相、零点定理。


2-0 章の見取り図

## この章の問い
パラメータをもつ図形の族を、一点ごとのファイバーと、全体として同時に扱うにはどうするか。
## 道筋
- **fiber積とbase change**：同じbase上の図形を組み合わせる。
- **schemeの点とresidue field**：一点の中に残る体を読む。
- **fiberと特殊化**：パラメータが動くと図形はどう変わるか。
## 読み方
ファイバー積はテンソル積で書けることを、affineの場合に確認してから一般論に進む。
## 章末で言えること
アフィンスキームのファイバー積はテンソル積に対応し、ファイバーは base change で記述できる。
## 前の章から持ち込むもの
スキームの射、アフィンスキームの反変同値、テンソル積。


6-0 章の見取り図

## この章の問い
方程式の解の集まりは、方程式のどの情報を覚えていて、どの情報を忘れるか。図形から方程式を取り戻せるのはいつか。
## 道筋
- **アフィン零点集合と座標環**：アフィン空間、共通零点集合の演算、根基と点集合が忘れる情報。
- **アフィン代数的集合／イデアルと座標環／Zariski位相**：図形と環の対応と、方程式で閉じる位相。
- **既約集合と既約成分／正則写像と座標環**：図形が一つの塊であること、図形の写像と環準同型。
- **Hilbert基底定理／Zariski補題と弱零点定理／Hilbert零点定理**：無限個の方程式の有限化、極大イデアルと点の対応、根基の復元。
- **消去とGröbner基底への入口**：イデアルを実際に計算する。
## 読み方
最初の頁と零点定理の3頁が柱で、先に零点定理の主張を読み、それが基底定理とZariski補題から出ることを確認するとよい。
## 章末で言えること
代数閉体上では、アフィン代数的集合と根基イデアルが逆向きに対応する（零点定理）。
## 前の章から持ち込むもの
多項式環とイデアル、体の拡大、素イデアルと極大イデアル（環論）。


1-0 章の見取り図

## 1　方向を点にする
体 $k$ と $n\ge1$ を固定する。$k^{n+1}\setminus\{0\}$ の元 $x,y$ について、$y=\lambda x$ となる $\lambda\in k^\times$ が存在するとき $x\sim y$ とする。$1$、逆元、積を使えば反射律・対称律・推移律が従う。商集合
$$\mathbf P_k^n=(k^{n+1}\setminus\{0\})/\sim$$
を射影空間と呼び、点を $[x_0:\cdots:x_n]$ と書く。零ベクトルは射影点を表さない。$[x]$ に一次元部分空間 $kx$ を対応させる写像は一対一である。代表 $x$ を $\lambda x$ に替えても $kx$ は同じで、逆に一次元部分空間の任意の非零元は同じ射影点を与える。
## 2　標準アフィン図と貼り合わせ
$U_i=\{[x]\in\mathbf P_k^n:x_i\ne0\}$ と置く。$[x]$ の第 $i$ 成分を1へ正規化すれば、残りの $n$ 成分が $\mathbf A_k^n$ の座標になる。逆写像は第 $i$ 成分に1を挿入する写像なので $U_i\cong\mathbf A_k^n$。どの射影点も非零成分を持つため $\mathbf P_k^n=\bigcup_{i=0}^nU_i$。
$U_i$ の座標を $u_l=x_l/x_i$ とすると、$U_i\cap U_j$ は $u_j\ne0$ の部分である。$U_j$ の座標は
$$\frac{x_l}{x_j}=\frac{u_l}{u_j}.\tag{1}$$
分母は重なりで非零だから、これはそこで正則な座標変換である。逆向きも同じ割り算で、合成は恒等写像になる。例えば $\mathbf P^2$ で $U_0$ の $[1:u:v]$ を $U_1$ に移すと、$u\ne0$ で $[1/u:1:v/u]$ となる。
$\mathbf A_k^n\to\mathbf P_k^n$、$(a_1,\ldots,a_n)\mapsto[1:a_1:\cdots:a_n]$ は $U_0$ への同型で、補集合 $H_\infty=\{x_0=0\}$ は $[0:x_1:\cdots:x_n]\leftrightarrow[x_1:\cdots:x_n]$ により $\mathbf P_k^{n-1}$ と同一視できる。特に $\mathbf P^1$ は一つのアフィン図と無限遠点一つからなる。二つの図の重なりで座標は $s=t^{-1}$ となる。
## 3　斉次方程式だけが点上で意味を持つ
全ての単項式の総次数が $d$ の多項式 $F\in k[X_0,\ldots,X_n]$ を次数 $d$ の斉次多項式という。各単項式をスカラー倍した座標に代入すると
$$F(\lambda x_0,\ldots,\lambda x_n)=\lambda^dF(x_0,\ldots,x_n).\tag{2}$$
従って $F(x)=0$ の真偽は射影点 $[x]$ の代表によらない。非斉次多項式では一般に失敗する。例えば標数2でない体で $F(X,Z)=X+Z^2$ は $(-1,1)$ で0だが、同じ射影点の代表 $(-2,2)$ では2となる。
$k^{n+1}$ の $r+1$ 次元線形部分空間 $W$ に対する $\mathbf P(W)$ は $\mathbf P^n$ の $r$ 次元射影部分空間である。特に非零一次形式 $L=a_0X_0+\cdots+a_nX_n$ の零点は超平面となり、全ての射影超平面はこの形を取る。係数を非零スカラー倍しても超平面は変わらない。
平面で $y=mx+b$ を斉次化すると $Y=mX+bZ$。$Z=0$ では $[1:m:0]$ を通るので、傾きが同じアフィン直線は同じ無限遠点を持つ。アフィン円 $x^2+y^2=1$ は $X^2+Y^2=Z^2$ となり、無限遠点の有無は係数体によって異なる。斉次イデアルと一般の射影零点集合は補論へ進む。閉包での飽和は続く補論で扱う。
## 4　射影変換と有限体の点数
$A\in\operatorname{GL}_{n+1}(k)$ は $[x]\mapsto[Ax]$ を定める。これは代表によらず、逆写像は $A^{-1}$ が与える。$A,B$ が同じ射影変換を与えるなら $C=A^{-1}B$ は全ての一次元部分空間を保つ。標準基底 $e_i$ について $Ce_i=\lambda_i e_i$、さらに $e_i+e_j$ も固有ベクトルだから $\lambda_i=\lambda_j$。よって $B=\lambda A$ で、射影線形群は
$$\operatorname{PGL}_{n+1}(k)=\operatorname{GL}_{n+1}(k)/(k^\times I).$$
$k=\mathbf F_q$ なら非零ベクトルは $q^{n+1}-1$ 個で、各射影点を表すベクトルは $q-1$ 個。従って
$$\#\mathbf P^n(\mathbf F_q)=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}=1+q+\cdots+q^n.\tag{3}$$
## 5　演習と解答
**演習1。** $[1:2:3]$ と $[2:4:6]$ は同じ点か。また $[1:2:4]$ はどうか。ただし $\operatorname{char}k\ne2,3$ とする。
**解答。** 前二者は2倍なので同じ点。後者が $[1:2:3]$ と同じなら第一成分から倍率1だが第三成分が違うので別の点。
**演習2。** $\mathbf P^2$ の $U_1$ で $[u:1:v]$ と書いた点を $U_2$ の座標へ移せ。
**解答。** $v\ne0$ で $[u:1:v]=[u/v:1/v:1]$。逆変換も第二の非零座標で割る。
**演習3。** $y=mx+b$ の無限遠点を求めよ。
**解答。** $Y=mX+bZ$、$Z=0$ から $[1:m:0]$。$b$ に依存しない。
**演習4。** $X^2+YZ+Z^3$ が斉次でない理由を述べよ。
**解答。** $X^2,YZ$ は次数2、$Z^3$ は次数3で、全ての単項式の次数が揃わない。
**演習5。** $\mathbf P^2(\mathbf F_2)$ の点数と代表を求めよ。
**解答。** 式 (3) から7点。$\mathbf F_2^\times=\{1\}$ なので代表は非零ベクトル7個そのものである：$[1:0:0]$、$[1:0:1]$、$[1:1:0]$、$[1:1:1]$、$[0:1:0]$、$[0:1:1]$、$[0:0:1]$。

8-1 射影空間と斉次座標

> **前提知識**：イデアルと座標環、Zariski位相、Hilbert零点定理
> 
## 開集合では消えない関数を割ってよい
affine代数的集合 $X$ と $f\in k[X]$ に対し
$$
D_X(f)=\{p\in X\mid f(p)\ne0\}
$$
でした。この集合では $1/f$ は全点で定義できるため、
$$
\frac{a}{f^n}\qquad(a\in k[X],\ n\ge0)
$$
を関数として許すのが自然です。
代数側で「$f$ を可逆にする」操作がlocalizationです。本章では環論03の局所化を使用形まで再構成し、
$$
\Gamma(D_X(f),\mathcal O_X)\cong k[X]_f
$$
を証明します。局所化の一般論、加群の局所化、完全性、flat性は03「環と加群」を証明正本とし、本章は主開集合、正則関数、affine実現、貼り合わせを担当します。
## multiplicative subsetと分数
&&&def multiplicative subset [11-def-multiplicative-subset]
可換環 $A$ の部分集合 $S$ が
$$
1\in S,\qquad s,t\in S\Longrightarrow st\in S
$$
を満たすとき、$S$ を[[multiplicative subset|multiplicative subset]]という。通常は $0\notin S$ とする。
&&&
$A\times S$ の元 $(a,s)$ を形式的な分数 $a/s$ と考えます。零因子がある環では、後から分母にする元を掛ければ等しくなることまで許す必要があります。
&&&def localization equivalence relation [11-def-localization-equivalence]
$(a,s),(b,t)\in A\times S$ に対し、ある $u\in S$ が存在して
$$
u(at-bs)=0
$$
となるとき $(a,s)\sim(b,t)$ と定める。これを[[localization equivalence relation|局所化の分数同値]]という。
&&&
&&&prop localization relation is an equivalence relation [11-prop-localization-equivalence]
関係 $\sim$ は同値関係である。
&&&
&&&prf [11-prf-localization-equivalence]
反射性は $1(as-as)=0$、対称性は $u(at-bs)=0$ なら $u(bs-at)=0$ であることから従います。
推移性を示します。$(a,s)\sim(b,t)$、$(b,t)\sim(c,r)$ とし、
$$
u(at-bs)=0,\qquad v(br-ct)=0
$$
とします。すると
$$
uvt(ar-cs)=uvr(at-bs)+uvs(br-ct)=0.
$$
$uvt\in S$ なので $(a,s)\sim(c,r)$ です。□
&&&
&&&def localization [11-def-localization]
$A\times S$ を上の同値関係で割った集合に
$$
\frac{a}{s}+\frac{b}{t}=\frac{at+bs}{st},
\qquad
\frac{a}{s}\frac{b}{t}=\frac{ab}{st}
$$
で演算を定めた環を、$A$ の $S$ による[[localization|局所化]]といい $S^{-1}A$ と書く。
&&&
演算がrepresentativeによらないことを確認します。$a/s=a'/s'$、$b/t=b'/t'$ とし、
$$
u(as'-a's)=0,\qquad v(bt'-b't)=0
$$
とします。積について
$$
uv(ab\,s't'-a'b'\,st)
=uv\{bt'(as'-a's)+a's(bt'-b't)\}=0.
$$
和についても展開すると
$$
uv\{tt'(as'-a's)+ss'(bt'-b't)\}=0
$$
です。従って加法・乗法はwell-definedで、環公理は共通分母へ直して $A$ の環公理に帰着します。
標準写像
$$
\iota:A\longrightarrow S^{-1}A,\qquad a\longmapsto a/1
$$
は一般にはinjectiveではありません。定義から
$$
\frac{a}{1}=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
sa=0\text{ for some }s\in S.
$$
局所化は、分母候補で消される元を0にします。
この同値条件を[[kernel of the localization map|局所化標準写像のkernel判定]]と呼びます。
## 局所化の普遍性
&&&thm universal property of localization [11-thm-localization-universal-property]
環準同型 $\varphi:A\to B$ が全ての $s\in S$ を $B$ のunitへ送るとする。このとき一意な環準同型
$$
\widetilde\varphi:S^{-1}A\longrightarrow B
$$
が存在して $\widetilde\varphi(a/1)=\varphi(a)$ を満たす。
&&&
&&&prf [11-prf-localization-universal-property]
存在するなら
$$
\widetilde\varphi(a/s)=\varphi(a)\varphi(s)^{-1}
$$
でなければなりません。この式で写像を定めます。
$a/s=b/t$ なら、ある $u\in S$ に対し $u(at-bs)=0$ です。$B$ へ移すと
$$
\varphi(u)(\varphi(a)\varphi(t)-\varphi(b)\varphi(s))=0.
$$
$\varphi(u)$ はunitなので括弧内が0です。さらに $\varphi(s),\varphi(t)$ のinverseを掛ければ二つの分数の像は等しく、well-definedです。加法・乗法を保つことは分数計算から従い、一意性は上の強制された式から従います。□
&&&
これを[[universal property of localization|局所化の普遍性]]と呼びます。局所化は「$S$ の元を全て可逆にする最小の環」です。
## 一つの元だけを可逆にする
&&&def principal localization [11-def-principal-localization]
$f\in A$ に対し
$$
S_f=\{1,f,f^2,\ldots\}
$$
で局所化した環を[[principal localization|principal localization]]といい $A_f=S_f^{-1}A$ と書く。
&&&
$A_f$ の元は $a/f^n$ の形です。等号
$$
\frac{a}{f^m}=\frac{b}{f^n}
$$
は、ある $N\ge0$ に対し
$$
f^N(f^na-f^mb)=0
$$
となることと同値です。一般の座標環は零因子を持ち得るため、$f^N$ をcancelしてはいけません。
&&&prop iterated principal localization [11-prop-iterated-localization]
$f,g\in A$ に対し自然な同型
$$
(A_f)_g\cong A_{fg}
$$
がある。
&&&
&&&prf [11-prf-iterated-localization]
$(A_f)_g$ では $f,g$ がunitなので $fg$ もunitです。$A_{fg}$ の普遍性から $A_{fg}\to(A_f)_g$ を得ます。
逆に $A_{fg}$ では
$$
f^{-1}=g(fg)^{-1},\qquad g^{-1}=f(fg)^{-1}
$$
なので $f,g$ はともにunitです。普遍性を二回適用して逆向きの写像を得ます。二つの合成は $A$ の元と $f^{-1},g^{-1}$ 上で恒等なので全体で恒等です。□
&&&
これは[[iterated principal localization|principal localizationの反復公式]]です。幾何側の
$$
D_X(f)\cap D_X(g)=D_X(fg)
$$
に対応します。
## 開集合上の正則関数
&&&def regular function on an open subset [11-def-regular-function-open]
$X$ をaffine代数的集合、$U\subseteq X$ をZariski open subsetとする。関数 $\phi:U\to k$ が各点 $p\in U$ のあるopen neighborhood $W\subseteq U$ 上で
$$
\phi(q)=\frac{a(q)}{b(q)}\qquad(q\in W)
$$
と書け、$a,b\in k[X]$ かつ $b$ が $W$ の全点で非零であるとき、$\phi$ を $U$ 上の[[regular function on an open subset|正則関数]]という。その全体を $\Gamma(U,\mathcal O_X)$ と書く。
&&&
表示 $a/b$ は点ごと、近傍ごとに変わってよいことが重要です。主開集合では全ての局所表示を一つの $f$ の冪を分母に持つ分数へまとめられます。
自然な写像
$$
\rho_f:A_f\longrightarrow\Gamma(D_X(f),\mathcal O_X),
\qquad
\frac{a}{f^n}\longmapsto\left(p\mapsto\frac{a(p)}{f(p)^n}\right)
$$
が定まります。
&&&prop injectivity of the principal-open function map [11-prop-principal-open-injectivity]
$A=k[X]$ とする。写像 $\rho_f$ はinjectiveである。
&&&
&&&prf [11-prf-principal-open-injectivity]
$a/f^n$ が零関数だとします。$D_X(f)$ 上で $a=0$ です。積 $fa$ は、$f=0$ の点でも $f\ne0$ の点でも0なので $X$ 全体で消えます。座標環 $A=k[X]$ はreducedであり、全点で消える元は0なので
$$
fa=0\quad\text{in }A.
$$
従って局所化の等号条件から $a/f^n=0$ です。□
&&&
これは[[injectivity of functions on a principal open set|主開集合上の分数表示のinjectivity]]です。
## 有限個の局所分数を貼り合わせる
&&&thm localization patching lemma [11-thm-localization-patching]
環 $B$ と $g_1,\ldots,g_r\in B$ が
$$
\sqrt{(g_1,\ldots,g_r)}=B
$$
を満たすとする。各 $i$ に $s_i\in B_{g_i}$ が与えられ、全ての $i,j$ について $s_i,s_j$ の像が $B_{g_ig_j}$ で一致するなら、一意な $s\in B$ が存在して、その像は各 $B_{g_i}$ で $s_i$ に一致する。
&&&
&&&prf [11-prf-localization-patching]
分母の指数を増やし、全ての $i$ について
$$
s_i=\frac{a_i}{g_i^m}
$$
と同じ $m$ で書きます。pairは有限個なので、compatibilityの等号条件に現れる指数も一つの $e$ で揃えられ、
$$
(g_ig_j)^e(g_j^ma_i-g_i^ma_j)=0
$$
が全ての $i,j$ について成り立ちます。
$n=m+e$、$t_i=g_i^ea_i$ と置くと
$$
g_j^nt_i=g_i^nt_j.
$$
$(g_1,\ldots,g_r)$ のradicalが全環なら $(g_1^n,\ldots,g_r^n)$ もproperでないので、ある $c_i\in B$ が
$$
1=\sum_i c_ig_i^n
$$
を満たします。
$$
s=\sum_i c_it_i
$$
と置きます。$B_{g_j}$ では
$$
g_j^ns=\sum_i c_ig_j^nt_i
=\sum_i c_ig_i^nt_j=t_j.
$$
従って $s=t_j/g_j^n=a_j/g_j^m=s_j$ です。
一意性について、$s,s'$ が同じ局所像を持つなら、共通指数 $E$ を選んで全ての $i$ について $g_i^E(s-s')=0$ とできます。$1=\sum_i d_ig_i^E$ と書けば
$$
s-s'=\sum_i d_ig_i^E(s-s')=0.
$$
よって $s=s'$ です。□
&&&
これを[[localization patching lemma|局所化の貼り合わせ補題]]と呼びます。後のsheaf axiomのaffine版を、分数計算だけで先取りしています。
## 主開集合の関数環
&&&thm coordinate ring of a principal open set [11-thm-principal-open-coordinate-ring]
$k$ をalgebraically closed field、$X$ をaffine代数的集合、$A=k[X]$、$f\in A$ とする。自然な写像
$$
\rho_f:A_f\longrightarrow\Gamma(D_X(f),\mathcal O_X)
$$
は環同型である。
&&&
&&&prf [11-prf-principal-open-coordinate-ring]
injectivityは証明済みです。$\phi\in\Gamma(D_X(f),\mathcal O_X)$ を取ります。
各点の局所表示と主開集合基底から、$D_X(f)$ は主開集合 $D_X(g_\lambda)$ で覆われ、その上で $\phi=a_\lambda/b_\lambda$ と書け、$b_\lambda$ はそこで非零です。$D_X(f)$ はNoetherian空間のopen subsetなのでquasi-compactです。従って有限部分被覆
$$
D_X(f)=D_X(g_1)\cup\cdots\cup D_X(g_r)
$$
を選べます。
$D_X(g_i)\subseteq D_X(b_i)$ なので $V_X(b_i)\subseteq V_X(g_i)$ です。零点定理から
$$
g_i^{N_i}=b_ic_i
$$
となる $N_i\ge1$ と $c_i\in A$ があります。従って $A_{g_i}$ では $b_i^{-1}=c_i/g_i^{N_i}$ で、局所表示は $s_i=a_ic_i/g_i^{N_i}\in A_{g_i}$ です。
重なり $D_X(g_ig_j)$ で二つは同じ関数です。injectivityを $g_ig_j$ に適用すると、$s_i,s_j$ は $A_{g_ig_j}$ で同じ元です。
$B=A_f$ とします。被覆条件から
$$
V_X(g_1,\ldots,g_r)\cap D_X(f)=\varnothing.
$$
従って $V_X(g_1,\ldots,g_r)\subseteq V_X(f)$ であり、零点定理からある $M$ について
$$
f^M\in(g_1,\ldots,g_r)\subseteq A.
$$
$A_f$ では $f^M$ がunitなので、$g_i$ は $B$ のunit idealを生成します。
さらに各 $D_X(g_i)$ は $D_X(f)$ に含まれるので $V_X(f)\subseteq V_X(g_i)$ です。零点定理からある $L_i$ について
$$
g_i^{L_i}=f d_i
$$
となります。従って $A_{g_i}$ では $f$ がunitです。局所化の普遍性と反復公式から
$$
B_{g_i}=(A_f)_{g_i}\cong A_{fg_i}\cong A_{g_i}.
$$
よって先ほどの $s_i\in A_{g_i}$ を $s_i\in B_{g_i}$ と見なせます。
localization patching lemmaを $B=A_f$ に適用すると、各 $s_i$ を貼り合わせる一意な $s\in A_f$ が存在します。$\rho_f(s)$ と $\phi$ は各 $D_X(g_i)$ 上で一致するので全体で一致します。従って $\rho_f$ はsurjectiveです。□
&&&
これが[[coordinate ring of a principal open set|主開集合の正則関数環定理]]です。局所的に異なる分母を用いても、主開集合全体では $f$ の一つの冪を共通分母にできます。
## 主開集合はaffineである
$X\subseteq\mathbb A_k^n$、$f\in k[X]$ とし、
$$
Y=\{(p,t)\in X\times\mathbb A_k^1\mid tf(p)=1\}
$$
と置きます。
&&&thm affine realization of a principal open set [11-thm-principal-open-affine-realization]
$D_X(f)$ はaffine代数的集合
$$
Y=V(I(X),tf-1)\subseteq\mathbb A_k^{n+1}
$$
と正則同型であり、
$$
k[Y]\cong k[X]_f
$$
である。
&&&
&&&prf [11-prf-principal-open-affine-realization]
$A=k[X]$ とします。まず
$$
B=A[t]/(tf-1)
$$
と置きます。商では $t$ が $f$ のinverseです。普遍性から
$$
A_f\longrightarrow A[t]/(tf-1),\qquad a/f^n\longmapsto at^n
$$
が定まります。逆向きには $t\mapsto1/f$ と送ります。二つの写像は $A,t$ および $A,1/f$ 上で互いに逆なので同型です。
$A$ はreducedであり、その局所化 $A_f$ もreducedです。実際 $(a/f^n)^N=0$ なら、ある $m$ について $f^ma^N=0$、従って $(f^ma)^N=0$ です。$A$ のreduced性から $f^ma=0$ となり $a/f^n=0$ です。従って $B\cong A_f$ はreducedで、$(I(X),tf-1)$ はradical idealです。Hilbert零点定理からこれは $Y$ の消滅idealそのものなので
$$
k[Y]=B\cong A_f.
$$
射影 $\pi:Y\to D_X(f)$ は正則かつbijectiveで、逆写像は
$$
p\longmapsto(p,1/f(p))
$$
です。最後の成分は主開集合の関数環定理により正則なので、両者は正則同型です。□
&&&
これは[[affine realization of a principal open set|主開集合のaffine実現]]です。例えば
$$
D_{\mathbb A^1}(x)=\mathbb A^1\setminus\{0\}
$$
は双曲線 $V(tx-1)\subseteq\mathbb A^2$ と同型で、関数環は $k[x,x^{-1}]$ です。
## restriction mapと反変性
$D_X(fg)\subseteq D_X(f)$ に対するrestrictionは、代数側では
$$
A_f\longrightarrow A_{fg},\qquad
\frac{a}{f^n}\longmapsto\frac{ag^n}{(fg)^n}
$$
です。これは[[restriction map on principal opens|主開集合間のrestriction map]]であり、包含と逆向きに関数環の写像を与えます。この反変性が「前層と層」のstructure sheafになります。
## 局所化は見えない成分を消す
&&&example localization removes a component [11-example-localization-removes-component]
$$
X=V(xy)\subseteq\mathbb A_k^2,\qquad
A=k[x,y]/(xy)
$$
とします。$A_x$ では $x$ がunitなので $xy=0$ から $y=0$ です。従って
$$
A_x\cong k[x,x^{-1},y]/(y)\cong k[x,x^{-1}].
$$
幾何的には $D_X(x)$ は $y$-axis全体と原点を消し、$x$-axisから原点を除いた部分だけを残します。これは[[localization removes components|局所化による成分の除去]]の最小例です。
&&&
## 演習
&&&exercise [11-exercise-1]
$A=k[x,y]/(xy)$ とする。$A_y$ を計算し、$D_X(y)$ の幾何的な形を説明せよ。
&&&
&&&solution [11-solution-1]
$A_y$ では $y$ がunitなので $xy=0$ から $x=0$ です。従って
$$
A_y\cong k[x,y,y^{-1}]/(x)\cong k[y,y^{-1}].
$$
$D_X(y)$ は $y$-axisから原点を除いた部分です。□
&&&
&&&exercise [11-exercise-2]
$A=k[x]$ とし、$A_x$ と $k[x,t]/(tx-1)$ の同型を具体的に書き、互いに逆であることを生成元上で確かめよ。
&&&
&&&solution [11-solution-2]
$$
\Phi:A_x\to k[x,t]/(tx-1),\qquad \Phi(a/x^n)=at^n
$$
と
$$
\Psi:k[x,t]/(tx-1)\to A_x,\qquad \Psi(x)=x,\quad\Psi(t)=1/x
$$
を取ります。$\Psi(tx-1)=0$ なのでwell-definedです。$A_x$ は $x,x^{-1}$ で、商環は $x,t$ で生成され、両合成はそれぞれの生成元を固定します。従って互いに逆です。□
&&&
&&&exercise [11-exercise-3]
$A=k[x]$ において $D(x)$ と $D(1-x)$ が $\mathbb A_k^1$ を覆うことを示せ。$D(x)$ 上の $x^2/x$ と $D(1-x)$ 上の $x(1-x)/(1-x)$ を貼り合わせ、大域関数を求めよ。
&&&
&&&solution [11-solution-3]
$x$ と $1-x$ が同時に0になる点はなく、$1=x+(1-x)$ なので二つの主開集合は全体を覆います。各局所関数はそれぞれの開集合で $x$ に等しいため、重なりでも一致します。貼り合わせで得る大域関数は $x$ です。□
&&&
&&&exercise [11-exercise-4]
$f\in A$ と $m\ge1$ に対し $D_X(f)=D_X(f^m)$ を示し、自然な同型 $A_f\cong A_{f^m}$ を普遍性から構成せよ。
&&&
&&&solution [11-solution-4]
体の中で $f(p)\ne0$ と $f(p)^m\ne0$ は同値なので主開集合は等しいです。$A_f$ では $f^m$ がunitなので $A_{f^m}\to A_f$ を得ます。逆に $A_{f^m}$ では
$$
f^{-1}=f^{m-1}(f^m)^{-1}
$$
なので $f$ がunitであり $A_f\to A_{f^m}$ を得ます。両写像は $A$ と指定されたinverseを固定するので互いに逆です。□
&&&
&&&exercise [11-exercise-5]
$X=\mathbb A_k^2$、$f=x$ とする。$y/x^2$ を $D_X(x)$ 上の正則関数として記述し、$D_X(xy)$ へ制限したときの $A_{xy}$ における表示を書け。
&&&
&&&solution [11-solution-5]
$A=k[x,y]$ なので $y/x^2\in A_x$ が正則関数を表します。$A_x\to A_{xy}$ による像は、共通分母 $(xy)^2$ を用いれば
$$
\frac{y}{x^2}=\frac{y^3}{x^2y^2}=\frac{y^3}{(xy)^2}
$$
です。$A_{xy}$ では $x,y$ がともにunitなので $yx^{-2}$ という表示も有効です。□
&&&
## この章で得た橋
局所化は指定した元を可逆にする普遍的な環です。幾何側では $f$ が消えない主開集合 $D_X(f)$ に対応し、その正則関数環は $k[X]_f$ になります。有限個の局所分数を貼り合わせる補題により、点ごとのquotient表示が一つの局所化元へまとまることも証明しました。
次の頁では一点 $p$ の全ての開近傍を同時に見るため、$p$ で消えない全関数を分母にしたlocal ring $\mathcal O_{X,p}$ を構成します。そこでfunction germ、maximal ideal、residue field、接空間への入口が得られます。


2-1 局所化と主開集合

## 1　アフィン空間と多項式の評価
$k$ 上のアフィン $n$ 空間を集合 $\mathbf A_k^n=k^n$ と定義する。ここで距離や角度は仮定しない。$a=(a_1,\ldots,a_n)$ に多項式 $f\in k[x_1,\ldots,x_n]$ を代入した値を $f(a)$ と書く。評価写像 $\operatorname{ev}_a:f\mapsto f(a)$ は $1$ と和・積を保つ環準同型である。
多項式と多項式関数は区別する。有限体 $\mathbf F_q$ では $x^q-x$ は零多項式ではないが、全点で0を与える。一方、$k$ が無限体なら、全ての $a\in k^n$ で消える多項式は0である。$n=1$ では零でない次数 $d$ の多項式の根は高々 $d$ 個。$n$ 変数の場合、$f=\sum_jc_j(x_1,\ldots,x_{n-1})x_n^j$ と書く。最初の $n-1$ 座標を任意に固定すると一変数多項式が全 $k$ 上で消えるから全係数 $c_j$ はその点で0。帰納法により全 $c_j=0$ となる。$n=0$ では多項式は定数なので同じ結論である。
## 2　共通零点集合の演算
多項式集合 $S\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ に対し
$$V_k(S)=\{a\in\mathbf A_k^n:f(a)=0\ (\forall f\in S)\}$$
を共通零点集合という。$V(x^2+y^2-1)$ は実数上では円、$V(xy-1)$ は双曲線、$V(x,y)$ は原点である。$V(xy)=V(x)\cup V(y)$ は二本の座標軸となる。係数体を替えると同じ式でも解集合が変わる。
$V(0)=\mathbf A^n$、$V(1)=\varnothing$ であり、$S\subseteq T$ なら $V(T)\subseteq V(S)$。族 $S_\lambda$ について
$$V\!\left(\bigcup_\lambda S_\lambda\right)=\bigcap_\lambda V(S_\lambda),\qquad V(ST)=V(S)\cup V(T).\tag{1}$$
前者は全方程式を同時に満たす条件である。後者の逆包含を示すには、$a\in V(ST)$ で $a\notin V(S)$ とし、$f_0\in S$ で $f_0(a)\ne0$ を選ぶ。任意の $g\in T$ について $f_0(a)g(a)=0$ なので、体の整域性から $g(a)=0$。従って $a\in V(T)$。他方の包含は、どちらかの全方程式が0なら全ての積が0となることから従う。
$S$ が生成するイデアルを $(S)$ と書くと $V(S)=V((S))$ である。$a\in V(S)$ なら $(S)$ の任意の元 $\sum_jh_jf_j$ の値は $\sum_jh_j(a)f_j(a)=0$。逆包含は $S\subseteq(S)$ から従う。例えば $V(x,y)=V(x,y,x^2+xy+y^5)$ で、追加した方程式は幾何的な制約を増やさない。式 (1) により零点集合は任意の交わりと有限個の合併に閉じる。これをZariski位相の閉集合とする。
## 3　根基と点集合が忘れる情報
可換環 $R$ のイデアル $I$ の根基を $\sqrt I=\{f:f^m\in I\text{ for some }m\ge1\}$ と定める。これはイデアルである。$f^m,g^n\in I$ なら $(f+g)^{m+n}$ の各項で $f$ の指数が少なくとも $m$ か、$g$ の指数が少なくとも $n$ である。従って和が根基に入り、任意の $r\in R$ に対して $(rf)^m=r^mf^m\in I$ だから積にも閉じる。$I\subseteq\sqrt I$ は明らかである。
$$V(I)=V(\sqrt I).\tag{2}$$
包含の一方向は $I\subseteq\sqrt I$。逆に $a\in V(I)$、$f^m\in I$ なら $f(a)^m=0$。体に非零の冪零元はないので $f(a)=0$ となる。例えば $V(x)=V(x^2)$ は同じ直線だが、$k[x,y]/(x^2)$ には平方が0の非零元 $x$ が残る。点集合はこの厚みを記録しない。後のスキームでは商環も保持する。
座標環は $X=V(I)$ に対し $k[X]=k[x_1,\ldots,x_n]/I(X)$ とする。$I(X)$ は $X$ 上で消える**全て**の多項式のイデアルである。代数閉体上ではHilbert零点定理が $I(V(I))=\sqrt I$ を与えるが、一般の体ではこの等式を無条件には使わない。無限体上の放物線 $X=V(y-x^2)$ では $k[X]\cong k[x]$ で、$y$ を $x^2$ に置き換える計算がこの同型を与える。有限体では点集合の消滅イデアルに $x^q-x$ も入るので、同じ等式を使わない。
## 4　係数体と曲線の具体例
実数上の円 $x^2+y^2=1$ で $x=a$ を固定すると、$|a|<1$ では $y$ が二値、$|a|=1$ では一値、$|a|>1$ では実点がない。双曲線 $xy=1$ は $x\ne0$ で $y=x^{-1}$ が一意に決まり、集合として $k^\times$ と対応する。節点曲線 $y^2=x^2(x+1)$ の原点での最低次部分は $y^2-x^2=(y-x)(y+x)$ で、標数2以外では二つの接方向を示す。標数2では二方向が重なるため同じ節点判定は使えない。
$x^2+1=0$ は $\mathbf R$ 上で零点を持たず、$\mathbf C$ 上で $\{i,-i\}$、$\mathbf F_2$ 上で $\{1\}$ を与える。従って「真のイデアルなら零点がある」は任意の体上で正しくない。この不足を代数閉体上で埋めるのがHilbert零点定理である。
## 5　演習と解答
**演習1。** $V(x(y-1))=V(x)\cup V(y-1)$ と $V(x,y)\cap V(x-1,y)=\varnothing$ を示せ。  
**解答。** 前者は式 (1)。後者の共通点には $x=0$ と $x=1$ が同時に必要で、体では不可能である。
**演習2。** $V(x-y,x^2-y^2,y^3-x^3)=V(x-y)$ を示せ。  
**解答。** $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$、$y^3-x^3=-(x-y)(x^2+xy+y^2)$。三式の生成イデアルは $(x-y)$ に等しい。
**演習3。** $\mathbf F_p$ 上で $x^p-x$ は零でない多項式だが零関数であることを示せ。  
**解答。** 最高次係数1で次数 $p$ だから零多項式ではない。Fermatの小定理により全ての $a\in\mathbf F_p$ で $a^p=a$ なので、零点集合は $\mathbf A^1_{\mathbf F_p}$ 全体である。
**演習4。** $\sqrt{(x^2,y^3)}=(x,y)$ と零点集合を求めよ。  
**解答。** $x,y$ はそれぞれ冪を取ると元のイデアルに入る。逆に $f^m\in(x^2,y^3)$ なら原点評価で $f(0,0)^m=0$、よって $f\in(x,y)$。両イデアルの零点は原点のみ。
**演習5。** $t\mapsto(t^2,t^3)$ は任意の体 $k$ 上で $V(y^2-x^3)$ への全単射であることを示せ。  
**解答。** 代入で $t^6-t^6=0$。逆に $(a,b)$ が曲線上で $a=0$ なら $b=0$ で $t=0$。$a\ne0$ なら $t=b/a$ とすると $t^2=b^2/a^2=a$、$t^3=b$。この式は $t$ の一意性も示す。

1-1 アフィン空間と多項式の零点集合

5-1 schemeの貼り合わせ

6-1 fiber積とbase change

7-1 閉埋入・開埋入・局所閉埋入

> **前提知識**：Zariski位相、局所化と主開集合、局所環とgerm
> 
## なぜ開集合ごとの環が必要か
affine algebraic set $X$ の全体上のregular functionsはcoordinate ring $k[X]$ でした。しかしopen subset $U\subseteq X$ ではdenominatorが $U$ 上で消えないfractionsもregularになります。さらに、異なるopen subsetsで書いたfractionsがoverlapで一致すれば、一つのfunctionとして貼り合わせたいはずです。
必要なのは単一の環ではなく、全てのopen set $U$ に環 $\mathcal F(U)$ を割り当て、包含 $V\subseteq U$ にrestriction map
$$
\mathcal F(U)\longrightarrow\mathcal F(V)
$$
を割り当てる仕組みです。presheafはrestrictionの整合性を、sheafは「局所一致なら大域的に一意に貼れる」ことを公理化します。
一般の圏に値を持つpresheaf・sheafとfunctorial formalismは、圏論とホモロジー代数で扱います。本章はringsとmodulesを中心に、algebraic geometryで直ちに使う形を自足的に構成します。
## open setsの反変な仕組み
&&&def presheaf of rings [25-def-presheaf]
topological space $X$ 上の[[presheaf|環の前層]] $\mathcal F$ とは、次のdataである。
1. 各open set $U\subseteq X$ に対するring $\mathcal F(U)$。
2. 各inclusion $V\subseteq U$ に対するring homomorphism
   $$
   \rho^U_V:\mathcal F(U)\to\mathcal F(V),
   $$
   called the restriction map。
3. $\rho^U_U=\operatorname{id}_{\mathcal F(U)}$。
4. $W\subseteq V\subseteq U$ なら
   $$
   \rho^V_W\circ\rho^U_V=\rho^U_W.
   $$
&&&
大きいopen setから小さいopen setへarrowが向くので、assignmentはinclusionsに対してcontravariantです。restrictionを
$$
s|_V:=\rho^U_V(s)
$$
とも書きます。
&&&def section and global section [25-def-section]
$s\in\mathcal F(U)$ を $U$ 上の[[section of a presheaf|section]]という。特に $\mathcal F(X)$ の元を[[global section|global section]]といい、
$$
\Gamma(X,\mathcal F):=\mathcal F(X)
$$
とも書く。
&&&
sectionは必ずしもordinary functionとは限りません。vector bundleのsection、differential form、solutions of a differential equationなども同じrestriction formalismを持ちます。
## 最初の例：全functions
各open $U$ に全てのfunctions $U\to k$ のring
$$
\operatorname{Map}(U,k)
$$
を割り当て、restrictionをdomain restrictionとします。identityとcompositionはfunctionsのrestrictionから直ちに従うのでpresheafです。
より一般にcontinuous functions、smooth functions、holomorphic functionsも、対応するspaces上で同じpresheafを作ります。局所的に同じclassのfunctionであることが確認できれば貼り合わせ後も同じclassになるため、これらは後でsheavesになります。
## localityとgluing
&&&def sheaf of rings [25-def-sheaf]
presheaf $\mathcal F$ が、任意のopen cover
$$
U=\bigcup_{i\in I}U_i
$$
について次の二条件を満たすとき、$\mathcal F$ を[[sheaf|環の層]]という。
1. locality：$s,t\in\mathcal F(U)$ が全$i$で
   $$
   s|_{U_i}=t|_{U_i}
   $$
   を満たせば $s=t$。
2. gluing：sections $s_i\in\mathcal F(U_i)$ が全$i,j$で
   $$
   s_i|_{U_i\cap U_j}=s_j|_{U_i\cap U_j}
   $$
   を満たせば、ある $s\in\mathcal F(U)$ が存在して
   $$
   s|_{U_i}=s_i
   $$
   となる。
&&&
localityは「局所的に同じなら同じ」、gluingは「overlapでcompatibleなら貼れる」です。
&&&prop uniqueness of a glued section [25-prop-gluing-uniqueness]
sheaf axiomで得られるglued sectionはuniqueである。
&&&
&&&prf [25-prf-gluing-uniqueness]
$s,t\in\mathcal F(U)$ がともに $s_i$ をglueするとします。全$i$で
$$
s|_{U_i}=s_i=t|_{U_i}.
$$
locality axiomをcover $\{U_i\}$ に適用すれば $s=t$ です。□
&&&
従ってsheaf axiomは「compatible local sectionsがunique global sectionへ貼れる」と一文で言い換えられます。これを[[unique gluing of sheaf sections|sectionの一意貼り合わせ]]と呼びます。
## equalizerとしてのsheaf axiom
cover $U=\bigcup_iU_i$ に対しmaps
$$
\mathcal F(U)\longrightarrow\prod_i\mathcal F(U_i),
$$
$$
\prod_i\mathcal F(U_i)
\rightrightarrows
\prod_{i,j}\mathcal F(U_i\cap U_j)
$$
を考えます。後二mapsは $(s_i)$ をそれぞれ
$$
(s_i|_{U_i\cap U_j})_{i,j},
\qquad
(s_j|_{U_i\cap U_j})_{i,j}
$$
へ送ります。
&&&prop equalizer form of the sheaf axiom [25-prop-sheaf-equalizer]
$\mathcal F$ がcover $\{U_i\}$ についてsheaf axiomsを満たすことと、sequence
$$
\mathcal F(U)\longrightarrow
\prod_i\mathcal F(U_i)
\rightrightarrows
\prod_{i,j}\mathcal F(U_i\cap U_j)
$$
で最初のmapが後二mapsのequalizerになることは同値である。
&&&
&&&prf [25-prf-sheaf-equalizer]
最初のmapがinjectiveであることは、二global sectionsの全restrictionsが等しければ元も等しいというlocalityそのものです。
family $(s_i)$ が後二mapsで同じimageを持つことは、全overlapsで
$$
s_i|_{U_i\cap U_j}=s_j|_{U_i\cap U_j}
$$
となるcompatibilityそのものです。そのfamilyが最初のmapのimageに入ることは、あるglobal $s$ が全 $s_i$ をrestrictionsとして持つこと、すなわちgluingです。injectivityによりその $s$ はuniqueです。□
&&&
これは[[equalizer condition for a sheaf|sheaf axiomのequalizer表示]]です。後のČech complexは、この二本のoverlap mapsの差をさらにtriple overlapsへ延長します。
## 全functionsはsheafになる
&&&prop all functions form a sheaf [25-prop-functions-sheaf]
$$
U\longmapsto\operatorname{Map}(U,k)
$$
はsheaf of ringsである。
&&&
&&&prf [25-prf-functions-sheaf]
functions $s,t:U\to k$ がcoverの各 $U_i$ 上で等しければ、任意の $x\in U$ はある $U_i$ に入るので $s(x)=t(x)$。従ってlocalityです。
compatible functions $s_i:U_i\to k$ に対し、$x\in U$ を含む $U_i$ を選び
$$
s(x):=s_i(x)
$$
と定めます。別の $U_j$ も $x$ を含めば $x\in U_i\cap U_j$ であり、compatibilityから $s_i(x)=s_j(x)$。従ってwell-definedです。pointwise operationsから $s$ はsectionで、各restrictionは $s_i$ です。□
&&&
## constant presheafは一般にsheafでない
固定ring $A$ に対して、nonempty open sets全てへ $A$ を割り当て、nonempty opensの間のrestriction mapsをidentityにするpresheafを考えます。empty setにはone-element ring $0$ を割り当て、empty setへのrestrictionはunique mapとします。ここではzero ringもringに含めます。
&&&def constant presheaf [25-def-constant-presheaf]
上のpresheafを $A$ に値を持つ[[constant presheaf]]という。
&&&
$U=U_1\sqcup U_2$ が二つのnonempty disjoint open setsへ分かれるとします。$a\ne b$ in $A$ を選び、$U_1$ 上で $a$、$U_2$ 上で $b$ というlocal sectionsを取ります。overlapはemptyなのでcompatibility conditionは自動的です。しかしconstant presheafのglobal sectionは一つのelement of $A$ であり、二つの異なるvaluesへrestrictできません。従ってgluingに失敗します。
正しいconstant sheafは各 $U$ にlocally constant functions $U\to A$ を割り当てます。
&&&prop locally constant functions form a sheaf [25-prop-locally-constant-sheaf]
locally constant functionsのpresheafはsheafである。
&&&
&&&prf [25-prf-locally-constant-sheaf]
localityとfunctionとしてのgluingは全functionsの場合と同じです。compatible locally constant functions $s_i$ をglueした $s$ を取ります。任意の $x\in U$ に対し $x\in U_i$ を選ぶと、$s_i$ は $x$ のneighborhood $V\subseteq U_i$ 上constantです。$s|_V=s_i|_V$ なので $s$ も $x$ の近くでconstantです。従って $s$ はlocally constantです。□
&&&
これは[[locally constant sheaf]]です。constant presheafをsheafへ直す操作は次の頁のsheafificationの基本例になります。
## regular functionsのpresheaf
$X\subseteq\mathbb A^n$ をaffine algebraic setとします。open $U\subseteq X$ 上のfunction $s:U\to k$ がregularであるとは、各 $p\in U$ に対しneighborhood $V\subseteq U$ と $a,b\in k[X]$ with $b|_V\ne0$ があり
$$
s|_V=\frac{a}{b}
$$
と書けることでした。
&&&def regular-function presheaf [25-def-regular-function-presheaf]
$$
\mathcal O_X(U)
:=\{s:U\to k\mid s\text{ is regular}\}
$$
と置き、restrictionをfunction restrictionとする。このpresheafを $X$ の[[regular-function presheaf|正則関数前層]]という。
&&&
&&&prop regular functions form a presheaf of rings [25-prop-regular-presheaf]
$U\mapsto\mathcal O_X(U)$ はpresheaf of ringsである。
&&&
&&&prf [25-prf-regular-presheaf]
二regular functions $s,t$ とpoint $p$ に対し、共通のsmall neighborhoodで
$$
s=\frac{a}{b},
\qquad t=\frac{c}{d}
$$
と書けます。denominators $b,d$ はそこでnonzeroなので
$$
s+t=\frac{ad+bc}{bd},
\qquad st=\frac{ac}{bd}
$$
もregularです。constant functions、additive inverseもregularなので $\mathcal O_X(U)$ はringです。
$V\subseteq U$ へfunctionをrestrictしても、各pointの周りのfraction representationはそのまま使えるのでregularです。function restrictionsはidentityとcomposition lawsを満たすためpresheafです。□
&&&
## regular functionsはsheafを成す
&&&thm regular functions form a sheaf [25-thm-structure-sheaf]
$\mathcal O_X$ はsheaf of ringsである。
&&&
&&&prf [25-prf-structure-sheaf]
localityはfunctionsとしてのlocalityから従います。
open cover $U=\bigcup_iU_i$ とcompatible regular functions
$$
s_i\in\mathcal O_X(U_i)
$$
を取ります。全functions sheafのgluingにより、unique function $s:U\to k$ with $s|_{U_i}=s_i$ が得られます。この $s$ がregularであることを示します。
任意の $p\in U$ に対し $p\in U_i$ を選びます。$s_i$ はregularなので、あるneighborhood $V\subseteq U_i$ of $p$ で
$$
s_i|_V=\frac{a}{b},
\qquad b|_V\ne0
$$
と書けます。$s|_V=s_i|_V$ なので $s$ も $p$ の近くで同じfraction表示を持ちます。全pointsで成立するため $s$ はregularです。従ってgluing axiomも満たします。□
&&&
&&&def structure sheaf of an affine algebraic set [25-def-structure-sheaf]
regular functionsのsheaf $\mathcal O_X$ を $X$ の[[structure sheaf|構造層]]という。pair
$$
(X,\mathcal O_X)
$$
はtopological spaceだけでなく各open set上のfunctionsを保持する。
&&&
「局所化と主開集合」の結果からprincipal open $D_X(f)$ では
$$
\Gamma(D_X(f),\mathcal O_X)
\cong k[X]_f.
$$
従ってstructure sheafはcoordinate ringのlocalizationsをopen setsに沿って貼り合わせたものです。
## basis上でsheaf axiomを確認する
Zariski topologyではprincipal opensがbasisをなします。全open coversについて毎回sheaf axiomを証明する代わりに、basis coversだけを検査できます。
&&&thm basis criterion for a sheaf [25-thm-basis-criterion]
$\mathcal B$ をtopology of $X$ のbasisとする。presheaf $\mathcal F$ が、任意のopen set $U$ と、basis elementsからなる任意のcover
$$
U=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_\lambda,
\qquad B_\lambda\in\mathcal B
$$
についてlocalityとgluingを満たすなら、$\mathcal F$ はsheafである。
&&&
&&&prf [25-prf-basis-criterion]
任意のopen cover $U=\bigcup_iU_i$ を取り、まずlocalityを示します。$s,t\in\mathcal F(U)$ が全 $U_i$ 上で一致するとします。各point $x\in U$ に対し、ある $i(x)$ とbasis element $B_x$ を
$$
x\in B_x\subseteq U_{i(x)}
$$
となるように選べます。$\{B_x\}_{x\in U}$ は $U$ のbasis coverであり、各 $B_x$ 上で $s$ と $t$ は一致します。仮定したbasis-cover localityから $s=t$ です。
次にcompatible sections $s_i\in\mathcal F(U_i)$ を取ります。上と同じbasis refinementを選び、$B_x$ 上に
$$
t_x:=s_{i(x)}|_{B_x}
$$
を置きます。$B_x\cap B_y$ 上では、元のcompatibility
$$
s_{i(x)}|_{U_{i(x)}\cap U_{i(y)}}
=s_{i(y)}|_{U_{i(x)}\cap U_{i(y)}}
$$
をさらにrestrictすることにより $t_x=t_y$ です。従って仮定したbasis-cover gluingから、ある $s\in\mathcal F(U)$ が存在して全 $x$ で $s|_{B_x}=t_x$ となります。
固定した $i$ に対し、$U_i$ を $B_x\subseteq U_i$ となる全basis elementsでcoverします。その各要素上で $s$ と $s_i$ は一致します。仮定したbasis-cover localityをopen set $U_i$ に適用すると
$$
s|_{U_i}=s_i.
$$
従って任意のopen coverについてgluingが成立し、$\mathcal F$ はsheafです。□
&&&
これは[[basis criterion for sheaves|sheafのbasis判定]]です。「Specの構造層」ではprincipal opens $D(f)$ 上のlocalizations $A_f$ からSpecのstructure sheafを作る際に使います。
## morphism of presheaves and sheaves
&&&def morphism of presheaves [25-def-presheaf-morphism]
presheaves $\mathcal F,\mathcal G$ の[[morphism of presheaves|morphism]] $\varphi:\mathcal F\to\mathcal G$ とは、各open $U$ にhomomorphism
$$
\varphi_U:\mathcal F(U)\to\mathcal G(U)
$$
を与え、全inclusions $V\subseteq U$ について
$$
\varphi_V(s|_V)=\varphi_U(s)|_V
$$
を満たすものである。両者がsheavesなら[[morphism of sheaves|sheaf morphism]]という。
&&&
つまりdiagram
$$
\begin{array}{ccc}
\mathcal F(U)&\xrightarrow{\varphi_U}&\mathcal G(U)\\
\downarrow&&\downarrow\\
\mathcal F(V)&\xrightarrow{\varphi_V}&\mathcal G(V)
\end{array}
$$
がcommuteします。
&&&prop isomorphism of sheaves is checked openwise [25-prop-sheaf-isomorphism-openwise]
sheaf morphism $\varphi:\mathcal F\to\mathcal G$ がisomorphismであることと、全open $U$ で $\varphi_U$ がisomorphismであることは同値である。
&&&
&&&prf [25-prf-sheaf-isomorphism-openwise]
sheaf isomorphismなら各componentはinverse morphismのcomponentをinverseに持ちます。逆に各 $\varphi_U$ がisomorphismなら $\psi_U=\varphi_U^{-1}$ と置きます。restriction compatibility
$$
\rho^U_V\varphi_U=\varphi_V\rho^U_V
$$
の両側へinversesを合成すれば
$$
\rho^U_V\psi_U=\psi_V\rho^U_V
$$
を得るので、$\psi$ はpresheaf morphismです。componentwiseにidentityとなるため $\psi$ はinverse sheaf morphismです。□
&&&
## sheaf of modules
&&&def sheaf of modules over a sheaf of rings [25-def-module-sheaf]
$\mathcal O$ をsheaf of ringsとする。各open $U$ に $\mathcal O(U)$-module $\mathcal M(U)$ を割り当て、restrictionsがscalar restrictionsとcompatibleで、$\mathcal M$ 自身がabelian groupsのsheafとなるとき、$\mathcal M$ を[[sheaf of modules|$\mathcal O$-module sheaf]]という。
&&&
structure sheaf $\mathcal O_X$ 自身は $\mathcal O_X$-module sheafです。ideals of regular functions、differential forms、line bundlesのsectionsもmodule sheavesになります。具体的構成は第39・42章へ送ります。
## sheaf axiomがないと何を失うか
presheafはrestrictionを管理しますが、local dataからglobal dataをrecoverできるとは限りません。sheaf axiomは次の二つのfailureを禁止します。
- locality failure：異なるglobal sectionsが全small opensで同じに見える。
- gluing failure：compatible local sectionsがglobal sectionにならない。
constant presheafのdisconnected open setはgluing failureの基本例です。一方、後のcohomologyで現れる「局所sectionsはあるがglobalに貼れない」という現象は、sheaf axiomのfailureではありません。そこではlocal sectionsがpairwise compatibleでないことをhigher overlap dataが測ります。この区別が重要です。
## 演習
&&&exercise [25-exercise-1]
sheaf $\mathcal F$ とopen cover $U=U_1\cup U_2$ に対し、compatible pair $(s_1,s_2)$ のgluingがuniqueであることをsheaf axiomsから示せ。
&&&
&&&solution [25-solution-1]
gluing axiomにより少なくとも一つ $s\in\mathcal F(U)$ with $s|_{U_i}=s_i$ が存在します。二つ $s,t$ が存在すれば両restrictionsは各 $U_i$ で $s_i$ に等しいので、locality axiomから $s=t$ です。□
&&&
&&&exercise [25-exercise-2]
discrete two-point space $X=\{p,q\}$ 上のconstant presheaf with value $A$ が、$A$ がone-element ringでない限りsheafでないことを示せ。
&&&
&&&solution [25-solution-2]
$X=\{p\}\sqcup\{q\}$ はdisjoint open coverです。異なる $a,b\in A$ を選び、$\{p\}$ 上で $a$、$\{q\}$ 上で $b$ を取ります。overlapはemptyなのでcompatibleです。しかし $X$ 上のsectionは一つの $c\in A$ で、identity restrictionsにより両opensへ同じ $c$ を送ります。$a\ne b$ を同時に実現できずgluingが失敗します。□
&&&
&&&exercise [25-exercise-3]
continuous real-valued functions $U\mapsto C^0(U,\mathbb R)$ がsheafを成すことを証明せよ。
&&&
&&&solution [25-solution-3]
localityとfunction gluingは全functionsの場合と同じです。compatible continuous $f_i:U_i\to\mathbb R$ をpointwiseにglueして $f:U\to\mathbb R$ を得ます。任意のopen $O\subseteq\mathbb R$ に対し
$$
f^{-1}(O)\cap U_i=f_i^{-1}(O)
$$
は $U_i$ でopen、従って $U$ でopenです。これらのunionが $f^{-1}(O)$ なので $f$ はcontinuousです。□
&&&
&&&exercise [25-exercise-4]
$X=\mathbb A^1$、$U=D(x)$ とする。$1/x$ が $\mathcal O_X(U)$ のsectionだが $\mathcal O_X(X)=k[x]$ のsectionではないことを説明せよ。
&&&
&&&solution [25-solution-4]
$U$ 上ではdenominator $x$ がnowhere zeroなので $1/x$ はregularです。従って
$$
1/x\in\Gamma(D(x),\mathcal O_X)\cong k[x]_x.
$$
もしglobal regularなら $1/x$ はpolynomial $p(x)$ と等しく、$xp(x)=1$ in $k[x]$ となります。しかし $x$ はunitでないので不可能です。従ってglobal sectionではありません。□
&&&
&&&exercise [25-exercise-5]
sheaf morphisms $\varphi:\mathcal F\to\mathcal G$、$\psi:\mathcal G\to\mathcal H$ のcomponentwise compositionがsheaf morphismになることを示せ。
&&&
&&&solution [25-solution-5]
各open $U$ で $(\psi\circ\varphi)_U=\psi_U\circ\varphi_U$ と置きます。$V\subseteq U$ と $s\in\mathcal F(U)$ に対し
$$
(\psi\circ\varphi)_U(s)|_V
=\psi_U(\varphi_U(s))|_V
=\psi_V(\varphi_U(s)|_V)
=\psi_V(\varphi_V(s|_V))
=(\psi\circ\varphi)_V(s|_V).
$$
従ってrestriction compatibilityを満たします。□
&&&
## この章で得た橋
presheafは全open sets上のsectionsとrestrictionsを反変に組織し、sheafはlocalityとunique gluingを課します。全functions、locally constant functions、regular functionsはsheavesですが、naive constant presheafはdisconnected opensでgluingに失敗します。affine algebraic setのstructure sheafはprincipal opens上でcoordinate-ring localizationsを回収し、spaceとfunctionsを一体として保持します。
次の頁ではsectionsの一点近傍での情報をstalkとして取り出し、任意のpresheafを同じstalksを持つsheafへ直すsheafificationを構成します。


3-1 前層と層

4-1 SpecとZariski位相

## 1　可約図形の成分・座標環・接空間
**問題。** $X=V(xy,xz)\subseteq\mathbf A_k^3$ の既約成分、座標環の被約性、特異点を求めよ。
**解答。** 多項式環で $(xy,xz)=(x)\cap(y,z)$。右辺に属する多項式は $x$ で割れ、その商も $(y,z)$ に入るからである。従って $X$ は平面 $x=0$ と $x$ 軸の和集合で、二つの素イデアルは互いに包含されず、成分次元は2と1。素イデアルの交わりは根基的なので $k[X]$ は被約である。Jacobi行列は
$$J=\begin{pmatrix}y&x&0\\z&0&x\end{pmatrix}.$$
平面成分の原点以外では階数1で接空間次元2、直線成分の原点以外では階数2で接空間次元1。原点では階数0で接空間次元3だが局所次元は2なので、特異点は原点だけである。成分次元が揃うことは代数的集合の定義には含まれない。
## 2　穴のある平面の大域関数
**問題。** $U=\mathbf A_k^2\setminus\{(0,0)\}$ がアフィンスキームでないことを、大域関数環から示せ。
**解答。** $U=D(x)\cup D(y)$。二図の関数が重なりで一致する条件は、分数体内の交わり $k[x,y]_x\cap k[x,y]_y$ に等しい。$a/x^m=b/y^n$ なら $y^na=x^mb$。UFD性と $x,y$ の互いに素性から $x^m\mid a$ で、共通の関数は $k[x,y]$ に入る。ゆえに $\Gamma(U,\mathcal O_U)=k[x,y]$。もし $U$ がアフィンなら標準写像 $U\to\operatorname{Spec}\Gamma(U,\mathcal O_U)=\mathbf A^2$ は同型になる。この写像は座標 $x,y$ の引き戻しから元の開埋入そのものだが、原点を欠くので全射でない。矛盾する。余次元2の穴は大域正則関数だけでは検出できない。
## 3　放物線の射影閉包
**問題。** $C=V(y-x^2)$ の射影閉包と無限遠点を求め、$\mathbf P^1$ との同型を構成せよ。$\operatorname{char}k\ne2$ とする。
**解答。** 斉次化は $F=YZ-X^2$。無限遠直線 $Z=0$ では $X=0$ なので点は $[0:1:0]$ だけ。勾配 $(-2X,Z,Y)$ は射影点で同時に0にならず、閉包は滑らかである。写像
$$[s:t]\longmapsto[st:s^2:t^2]$$
は $YZ=X^2$ を満たし、$t\ne0$ では $u=s/t$ により $[u:u^2:1]$ となる。逆写像は $Z\ne0$ で $[X:Y:Z]\mapsto[X:Z]$、$Y\ne0$ で $[X:Y:Z]\mapsto[Y:X]$。重なりでは $YZ=X^2$ により一致し、二図で閉包を覆う。$[1:0]$ は無限遠点へ移る。第8章の閉包補論の具体例である。
## 4　複素点の実数上での基底変換
**問題。** $\operatorname{Spec}\mathbf C\times_{\operatorname{Spec}\mathbf R}\operatorname{Spec}\mathbf C$ を計算せよ。
**解答。** 環は $\mathbf C\otimes_{\mathbf R}\mathbf C\cong\mathbf C[T]/(T^2+1)$。$T^2+1=(T-i)(T+i)$ の二因子は互いに素なので中国剰余定理から $\mathbf C\times\mathbf C$ となる。具体的な環同型は
$$a\otimes b\longmapsto(ab,a\overline b).$$
従ってファイバー積は二つの $\operatorname{Spec}\mathbf C$ の非交和である。第二因子の二つの $\mathbf R$ 埋め込み、恒等と複素共役が二点に対応する。
## 5　二重原点と分離性
**問題。** 二つの $\mathbf A^1$ を $D(t)$ 上で同一視し、原点 $0_1,0_2$ を別々に残したスキーム $X$ が分離的でないことを、対角と付値環の両方で示せ。
**解答。** $U_1\times U_2\cong\mathbf A^2$ の座標を $(s,t)$ とすると、対角はこの図で $s=t\ne0$ に当たる。その閉包には $(0,0)$、すなわち $(0_1,0_2)$ が入るが、二つの原点は異なるから対角上にはない。従って対角は閉でない。また $K=k((t))$ の点 $t\in D(t)(K)$ は $R=k\llbracket t\rrbracket$ からそれぞれの図へ延長でき、閉点の像は $0_1$ と $0_2$ で異なる。同じ一般点写像の延長が一意でなく、分離性の付値判定にも反する。
## 6　滑らかな全空間と特異ファイバー
**問題。** $X=\operatorname{Spec}k[t,x,y]/(xy-t)\to\mathbf A_k^1$ のファイバー、全空間、滑らかさ、平坦性を調べよ。
**解答。** $t=a$ のファイバーは $\operatorname{Spec}k[x,y]/(xy-a)$。$a\ne0$ では滑らかな双曲線、$a=0$ では二座標軸の交わりで原点が特異。$t=xy$ を消去すると全空間は $\mathbf A_k^2$ で、$k$ 上滑らかである。相対微分の関係式は $y\,dx+x\,dy=0$。$(x,y)\ne(0,0)$ では係数の一方が局所単元なので相対次元1の滑らかな射、原点では接空間次元が2となり滑らかでない。$k[t]$ 加群としての $k[x,y]$ は $t\mapsto xy$ により捩れを持たない。PID上の捩れのない加群は平坦なので、射は全体で平坦である。
## 7　尖点の正規化と付値
**問題。** $A=k[x,y]/(y^2-x^3)=k[t^2,t^3]$、$\operatorname{char}k\ne2,3$ の正規化を求め、尖点上の位数を計算せよ。
**解答。** $t$ は $T^2-t^2=0$ を満たして $A$ 上整で、$k[t]=A+At$ は有限。共通分数体は $t=t^3/t^2$ により $k(t)$、$k[t]$ はPIDで整閉だから正規化である。正規化の $t=0$ では離散付値により $\operatorname{ord}_0(x)=2$、$\operatorname{ord}_0(y)=3$、$\operatorname{ord}_0(y/x)=1$。代数閉体上で点への写像 $t\mapsto(t^2,t^3)$ は全単射だが、$t$ は尖点の局所環に属さない。実際その局所環の非零元の $t$ 位数は0または2以上で、位数1にはなれない。よって同型ではない。
## 8　射影直線上の因子と切断
**問題。** $k$ を代数閉体、$D=d[\infty]$ として $H^0(\mathbf P^1,\mathcal O(D))$ を全整数 $d$ について求め、$\mathcal O([a])\cong\mathcal O([\infty])$ を示せ。
**解答。** 有限点に極を持たない $k(t)$ の元は多項式であり、次数 $e$ の多項式の無限遠での位数は $-e$。従って $d\ge0$ なら切断は次数 $\le d$ の多項式全体で、基底 $1,t,\ldots,t^d$、次元 $d+1$。$d<0$ なら非零切断はない。また $\operatorname{div}(t-a)=[a]-[\infty]$ なので二因子は線形同値で、対応する因子層は同型。
## 9　楕円曲線から有限群へ
**問題。** $E:y^2=x^3-x$ の有理2捩れ点、$(0,0)+(1,0)$、$p>3$ での滑らかな還元、$\#E(\mathbf F_5)$ を求めよ。
**解答。** 判別式は $-16(4(-1)^3)=64\ne0$ で、射影閉包は無限遠点 $O$ を持つ滑らかな三次曲線。$y=0$ の解は $x=0,1,-1$ なので $E(\mathbf Q)[2]=\{O,(0,0),(1,0),(-1,0)\}$。二点を結ぶ直線 $y=0$ の第三交点は $(-1,0)$ で、自身が反転で固定されるから和も $(-1,0)$。$p>3$ では $p\nmid64$ なので判別式は法 $p$ でも非零で、還元は滑らかである。法5で $x=0,1,2,3,4$ に対する $x^3-x$ は $0,0,1,4,0$、各 $y$ の個数は $1,1,2,2,1$。$O$ を加えて8点である。
## 10　平方写像の有限性・ファイバー・分岐
**問題。** $\operatorname{char}k\ne2$ で、座標環の写像 $k[s]\to k[t]$、$s\mapsto t^2$ に対応する $f:\mathbf A^1_t\to\mathbf A^1_s$ を調べよ。
**解答。** 環写像 $k[s]\to k[t]$、$s\mapsto t^2$ に対し、任意の $p(t)$ は一意に $a(t^2)+t b(t^2)$ と書ける。従って $k[t]$ は基底 $1,t$ の自由 $k[s]$ 加群で、射は次数2の有限平坦射。$a\in k$ 上のファイバーは $\operatorname{Spec}k[t]/(t^2-a)$。代数閉体上で $a\ne0$ なら二つの被約点、$a=0$ なら二重点である。相対微分は
$$\Omega_{k[t]/k[s]}\cong k[t]dt/(2t\,dt).$$
$t\ne0$ で微分は0、有限平坦かつこの範囲で非分岐だからエタール。$t=0$ は非被約ファイバーを持つ分岐点である。ゆえにエタール部分は $D(t)$、分岐部分は $V(t)$。

9-1 総合問題と翻訳

## 1　次数分解と斉次イデアル
体 $k$ 上の $S=k[X_0,\ldots,X_n]$ で、次数 $d$ の斉次多項式全体を $S_d$ とする。単項式を総次数ごとに集めると、各 $F\in S$ は一意に $F=\sum_{d\ge0}F_d$、$F_d\in S_d$ と書ける。異なる次数の単項式は $k$ 上一次独立であり、$S_dS_e\subseteq S_{d+e}$ である。これが $S=\bigoplus_{d\ge0}S_d$ という次数付けである。
イデアル $I\subseteq S$ を**斉次**と呼ぶのは、斉次多項式で生成されるときである。次の三条件は同値になる。
1. $I$ は斉次である。
2. $F\in I$ なら各斉次成分 $F_d$ も $I$ に入る。
3. $I=\bigoplus_{d\ge0}(I\cap S_d)$。
実際、斉次生成元 $G_\alpha$ による $F=\sum H_\alpha G_\alpha$ で $H_\alpha$ を次数分解し、同じ次数の積を集めれば1から2が従う。2から3は一意な次数分解、3から1は $I\cap S_d$ の全元を生成元に取ればよい。例えば $(X_0X_2-X_1^2,X_1X_3-X_2^2)$ は斉次だが、$(X_0+X_1^2)$ は斉次でない。後者が斉次なら $X_0$ もこの主イデアルに入る。しかし $X_0=-X_1^2$ とする商写像 $S\to k[X_1]$ で $X_0$ の像は $-X_1^2\ne0$ だから矛盾する。
## 2　射影零点集合と円錐
斉次イデアル $I$ の**射影零点集合**を
$$V_+(I)=\{[x]\in\mathbf P_k^n: F(x)=0\text{ for every homogeneous }F\in I\}$$
と定め、この形の集合を射影代数的集合と呼ぶ。斉次式の零点条件は代表元のスカラー倍に依存しない。生成元だけで判定しても同じである。斉次イデアルの族について
$$V_+\!\left(\sum_\alpha I_\alpha\right)=\bigcap_\alpha V_+(I_\alpha),\qquad
V_+(IJ)=V_+(I\cap J)=V_+(I)\cup V_+(J).\tag{4}$$
第一式は全方程式を同時に満たす条件である。第二式で $p\notin V_+(I)$ なら $F\in I$ の斉次元で $F(p)\ne0$ を選べる。$p\in V_+(IJ)$ のとき任意の斉次 $G\in J$ について $F(p)G(p)=0$ なので $G(p)=0$。逆包含は積が消えることから従い、$IJ\subseteq I\cap J\subseteq I,J$ により交わりの式も従う。$V_+(0)=\mathbf P^n$、$V_+(S)=\varnothing$ であり、これらは射影Zariski位相の閉集合をなす。
射影集合 $X$ の**アフィン円錐**は $C(X)=\{0\}\cup\{x\ne0:[x]\in X\}$ である。$I\subsetneq S$ が斉次なら
$$C(V_+(I))=V_{\mathbf A^{n+1}}(I).\tag{5}$$
非零点では両方の条件が同じである。原点では、真の斉次イデアルは非零定数を含まず、正次数の斉次式はすべて消える。この「真」の仮定を落とすと $I=S$ で右辺が空になり式は崩れる。
## 3　無関係イデアルと空性
$S_+=(X_0,\ldots,X_n)$ を無関係イデアルという。アフィン零点は原点だけだが、$V_+(S_+)=\varnothing$ である。ここから先、零点定理を使う箇所では $k$ を代数閉体とする。真の斉次イデアル $I$ について次が同値である。
$$V_+(I)=\varnothing\quad\Longleftrightarrow\quad\sqrt I=S_+
\quad\Longleftrightarrow\quad S_+^N\subseteq I\text{ for some }N\ge1.\tag{6}$$
左から中央へは式 (5) でアフィン零点が原点だけとなり、アフィンHilbert零点定理を適用する。中央から右へは各 $X_i^{N_i}\in I$ を選び、$N=1+\sum_i(N_i-1)$ と置く。次数 $N$ の単項式には指数 $N_i$ 以上の変数が一つはあるから、$S_+^N$ の全生成単項式が $I$ に入る。右から左へは、射影点の非零座標 $x_i$ に対して $X_i^N(x)=0$ が成り立ちえない。
## 4　消滅イデアルと射影零点定理
$X\subseteq\mathbf P_k^n$ に対し、各次数で $X$ 上消える斉次式を集めて
$$I_+(X)=\bigoplus_{d\ge0}\{F\in S_d:F(p)=0\text{ for all }p\in X\}$$
と置く。各次数で和に閉じ、任意の多項式の各斉次成分を掛けても消えるので斉次イデアルとなる。$X=\varnothing$ なら $I_+(X)=S$ である。
斉次イデアル $I$ の根基 $\sqrt I$ も斉次である。$F\in\sqrt I$ の最低次数の非零成分を $F_d$ とすると、$F^r\in I$ の最低次数成分は $F_d^r$ だから $F_d\in\sqrt I$。$F-F_d$ に同じ議論を有限回適用すれば全成分が根基に入る。
$k$ が代数閉体で、$I\subsetneq S$ が斉次、かつ $V_+(I)\ne\varnothing$ なら
$$I_+(V_+(I))=\sqrt I.\tag{7}$$
証明する。式 (5) の円錐を $Y$ とすると、アフィン零点定理は $I_{\mathbf A^{n+1}}(Y)=\sqrt I$ を与える。射影零点上で消える斉次式は非零円錐上でも消え、正次数なら原点でも消える。零次数の場合も $V_+(I)\ne\varnothing$ だから消える定数は0だけである。よって左辺は $\sqrt I$ に含まれる。逆に $F\in\sqrt I$ が斉次なら $F^r\in I$ となる $r$ があり、各射影零点で $F^r=0$、したがって $F=0$。根基の斉次性から式 (7) が従う。空集合では左辺が $S$ となるため、この仮定は必要である。
射影集合 $X$ の**斉次座標環**は $S(X)=S/I_+(X)$ と定める。商にも次数付けが残る。次数 $d$ の元は代表元を $\lambda$ 倍すると値が $\lambda^d$ 倍されるため、一般に $X$ 上の通常のスカラー値関数ではない。
## 5　アフィン図での方程式
$U_i=\{X_i\ne0\}$ では代表元を $X_i=1$ に正規化できる。斉次式 $F$ の $X_i=1$ への代入を $F^{(i)}$ と書くと、$X=V_+(F_\alpha)$ の図 $U_i$ 内の部分はアフィン方程式 $F_\alpha^{(i)}=0$ で定まる。これは正規化した代表元へ代入した零点条件そのもので、両方向に成り立つ。
例えば $C=V_+(XZ-Y^2)\subseteq\mathbf P^2$ は $U_Z$ で $x-y^2=0$、$U_X$ で $z-y^2=0$ になる。$Z=0$ では唯一の点 $[1:0:0]$ を持ち、これは $U_X$ では $(y,z)=(0,0)$ である。代数閉体上では $(XZ-Y^2)$ は素イデアルだから、式 (7) により $S(C)=k[X,Y,Z]/(XZ-Y^2)$ である。
## 6　演習と解答
**演習1。** $I=(X^2,XY,Y^2)\subseteq k[X,Y,Z]$ の射影零点を求めよ。  
**解答。** 生成元が斉次なので $I$ は斉次。$X^2=Y^2=0$ から $X=Y=0$。従って $V_+(I)=\{[0:0:1]\}$。
**演習2。** $F=X^2Y+YZ^2$ を三つの標準図で非斉次化せよ。  
**解答。** $F^{(X)}=Y(1+Z^2)$、$F^{(Y)}=X^2+Z^2$、$F^{(Z)}=Y(X^2+1)$。各式の変数は固定した座標以外である。
**演習3。** $I,J$ が斉次なら $I+J,IJ,I\cap J$ も斉次であることを示せ。  
**解答。** 前二者は斉次生成元の和・積で生成される。$F\in I\cap J$ の各斉次成分は両イデアルに入り、成分判定から交わりも斉次である。
**演習4。** $r<n$ のとき $V_+(X_0,\ldots,X_r)\subseteq\mathbf P^n$ を同定せよ。  
**解答。** 残りの $n-r$ 座標は同時に0でないので、射影空間 $\mathbf P^{n-r-1}$ と同一視できる。
**演習5。** $I=(X^2,Y^3)\subseteq k[X,Y]$ で式 (6) の $N$ を一つ求めよ。  
**解答。** $N=1+(2-1)+(3-1)=4$ とできる。次数4の単項式はいずれも $X^2$ または $Y^3$ で割り切れ、$(X,Y)^4\subseteq I$。従って $V_+(I)=\varnothing$。

8-2 斉次イデアルと射影零点集合

4-2 Specの構造層

5-2 schemeの射と局所表示

7-2 有限型・有限射・支配射

6-2 schemeの点とresidue field

> **前提知識**：正則写像と座標環、局所化と主開集合
> 
## 一点の近くで同じなら同じ関数とみなす
大域的に異なる二つの関数でも、一点 $p$ の十分小さい近傍では一致することがあります。局所幾何で知りたいのは関数が空間全体でどう振る舞うかではなく、$p$ の近くで何をしているかです。
例えば交差する二直線
$$
X=V(xy)\subseteq\mathbb A_k^2
$$
を考えます。点 $p=(1,0)$ の近くでは $x$ は0になりません。関係 $xy=0$ を $x$ で割れるので、$p$ の近くでは $y=0$ です。しかし $y$ は $y$-axis上では零関数ではありません。局所化は、$p$ から見えない成分を消します。
この「十分小さい近傍で一致する」という情報をgermとして定式化し、その環が一点のmaximal idealでの局所化と一致することを証明します。
## function germ
&&&def function germ [12-def-function-germ]
$X$ をaffine代数的集合、$p\in X$ とする。$p$ を含むopen neighborhood $U$ と正則関数 $s\in\Gamma(U,\mathcal O_X)$ のpair $(U,s)$ を考える。二つのpair $(U,s),(V,t)$ が、あるopen neighborhood
$$
p\in W\subseteq U\cap V
$$
上で $s|_W=t|_W$ を満たすとき同値とする。この同値類を $p$ における[[function germ|function germ]]といい $[U,s]_p$ と書く。
&&&
&&&prop germ relation is an equivalence relation [12-prop-germ-equivalence]
上の関係は同値関係である。
&&&
&&&prf [12-prf-germ-equivalence]
$(U,s)$ は $U$ 上で自分自身と一致するので反射的です。$s=t$ なら $t=s$ なので対称的です。
$(U,s)$ と $(V,t)$ が $W_1$ 上で一致し、$(V,t)$ と $(Z,u)$ が $W_2$ 上で一致するとします。$W_1\cap W_2$ は $p$ を含むopen neighborhoodであり、その上で
$$
s=t=u.
$$
従って $(U,s)$ と $(Z,u)$ も同値で、推移的です。□
&&&
## stalkの環構造
&&&def stalk of regular functions [12-def-regular-function-stalk]
$p$ におけるfunction germ全体を
$$
\mathcal O_{X,p}
$$
と書き、[[stalk of regular functions|正則関数のstalk]]という。
&&&
二つのgerm $\alpha=[U,s]_p$、$\beta=[V,t]_p$ に対し、共通近傍 $U\cap V$ 上で
$$
\alpha+\beta=[U\cap V,s+t]_p,
\qquad
\alpha\beta=[U\cap V,st]_p
$$
と定めます。
&&&prop stalk ring structure [12-prop-stalk-ring-structure]
上の加法と乗法はrepresentativeによらず、$\mathcal O_{X,p}$ を可換環にする。
&&&
&&&prf [12-prf-stalk-ring-structure]
$(U,s)\sim(U',s')$、$(V,t)\sim(V',t')$ とします。ある $p$ の近傍 $W_s\subseteq U\cap U'$ 上で $s=s'$、ある近傍 $W_t\subseteq V\cap V'$ 上で $t=t'$ です。$W_s\cap W_t$ 上で
$$
s+t=s'+t',\qquad st=s't'.
$$
従って和と積はrepresentativeによらずwell-definedです。
結合則・交換則・分配則は、有限個のgermのrepresentativeを全ての定義域の共通部分へ制限し、その上の関数環の環公理を適用すれば従います。零元は零関数のgerm、単位元は定数関数1のgermです。□
&&&
この構成は一般のsheafにも使えますが、「stalkと層化」までは正則関数に限定します。ここではgermを具体的な分数として計算できることが重要です。
## 点に対応するmaximal ideal
$A=k[X]$ とし、点 $p\in X$ における評価写像
$$
\operatorname{ev}_p:A\longrightarrow k,\qquad f\longmapsto f(p)
$$
を考えます。そのkernelを
$$
\mathfrak m_p=\{f\in A\mid f(p)=0\}
$$
と置きます。
&&&prop point maximal ideal [12-prop-point-maximal-ideal]
$\mathfrak m_p$ はmaximal idealであり、
$$
A/\mathfrak m_p\cong k.
$$
&&&
&&&prf [12-prf-point-maximal-ideal]
評価写像は定数関数を全ての $c\in k$ へ送るのでsurjectiveです。第一同型定理から
$$
A/\ker(\operatorname{ev}_p)\cong k.
$$
右辺は体なのでkernel $\mathfrak m_p$ はmaximal idealです。□
&&&
これは[[point maximal ideal|点に対応するmaximal ideal]]です。代数閉体上では弱零点定理により、$A$ の全てのmaximal idealが一意な点からこの形で得られます。
## 点で消えない関数を全て分母にする
$$
S_p=A\setminus\mathfrak m_p
=\{f\in A\mid f(p)\ne0\}
$$
はmultiplicative subsetです。積 $fg$ が $p$ で非零であることは、$f(p),g(p)$ がともに非零であることと同値だからです。
&&&def localization at a point [12-def-localization-at-point]
$$
A_{\mathfrak m_p}=S_p^{-1}A
$$
を $p$ における[[localization at a point|座標環の局所化]]という。その元は
$$
\frac{a}{b}\qquad(b(p)\ne0)
$$
の形である。
&&&
分母 $b$ は $p$ の近くで非零です。実際 $D_X(b)$ は $p$ を含むopen neighborhoodなので、$a/b$ はそこで正則関数を定めます。従って
$$
\Theta_p:A_{\mathfrak m_p}\longrightarrow\mathcal O_{X,p},
\qquad
\frac{a}{b}\longmapsto[D_X(b),a/b]_p
$$
という写像が得られます。
## stalkと局所化の一致
&&&thm stalk localization theorem [12-thm-stalk-localization]
自然な写像
$$
\Theta_p:A_{\mathfrak m_p}\longrightarrow\mathcal O_{X,p}
$$
は環同型である。
&&&
&&&prf [12-prf-stalk-localization]
まずwell-defined性を示します。$a/b=a'/b'$ in $A_{\mathfrak m_p}$ なら、ある $u\notin\mathfrak m_p$ に対し
$$
u(ab'-a'b)=0.
$$
$u(p),b(p),b'(p)$ は全て非零です。従って
$$
D_X(ubb')
$$
は $p$ を含むopen neighborhoodです。この上で $u,b,b'$ を点ごとに割ることができ、上の等式から $a/b=a'/b'$ です。従って二つの分数は同じgermを与えます。環準同型であることも共通分母の計算から従います。
surjectivityを示します。germ $\alpha=[U,s]_p$ を取ります。主開集合基底から、ある $g\in A$ が
$$
p\in D_X(g)\subseteq U
$$
を満たします。「局所化と主開集合」の主開集合の関数環定理により
$$
s|_{D_X(g)}=\frac{a}{g^n}
$$
となる $a\in A$、$n\ge0$ があります。$g(p)\ne0$ なので $g^n\notin\mathfrak m_p$ であり、$a/g^n\in A_{\mathfrak m_p}$ です。その像は $\alpha$ です。
injectivityを示します。$\Theta_p(a/b)=0$ とします。零germであるため、あるopen neighborhood $W$ of $p$ 上で $a/b=0$ です。主開集合基底を使い
$$
p\in D_X(h)\subseteq W\cap D_X(b)
$$
となる $h\in A$ を取れます。$D_X(h)$ 上で $a=0$ です。従って積 $ha$ は、$D_X(h)$ 上では $a=0$ により、その補集合では $h=0$ により、$X$ 全体で0になります。$A=k[X]$ はreducedなので
$$
ha=0\quad\text{in }A.
$$
$h(p)\ne0$ なので $h\notin\mathfrak m_p$ です。局所化の零判定から $a/b=0$ in $A_{\mathfrak m_p}$ です。従って $\Theta_p$ はinjectiveです。□
&&&
これは[[stalk localization theorem|stalkと一点局所化の同型]]です。以後
$$
\mathcal O_{X,p}\cong A_{\mathfrak m_p}
$$
を同一視します。
## local ring
&&&def local ring [12-def-local-ring]
唯一のmaximal idealを持つ可換環を[[local ring|local ring]]という。
&&&
&&&prop unit criterion for a local ring [12-prop-local-ring-unit-criterion]
可換環 $(R,\mathfrak m)$ がlocal ringであるとき、$R$ のnonunit全体は $\mathfrak m$ に等しい。逆にnonunit全体がidealをなすなら、$R$ はlocal ringで、そのidealが唯一のmaximal idealである。
&&&
&&&prf [12-prf-local-ring-unit-criterion]
unitはproper idealに入らないので $\mathfrak m$ の元は全てnonunitです。逆に $a\notin\mathfrak m$ とします。ideal $(\mathfrak m,a)$ は $\mathfrak m$ を真に含むので、maximal性から全環です。従って
$$
1=m+ra\qquad(m\in\mathfrak m,\ r\in R).
$$
もし $1-m$ がnonunitなら、あるmaximal ideal $\mathfrak n$ に含まれます。localityから $\mathfrak n=\mathfrak m$ なので、$m$ と $1-m$ の和1が $\mathfrak m$ に入り矛盾します。従って $1-m=ra$ はunitであり、積 $ra$ がunitなら $a$ もunitです。
逆にnonunit全体 $N$ がidealなら $N$ はproperです。$a\notin N$ はunitなので、$N$ を真に含むproper idealは存在しません。従って $N$ はmaximalです。任意のmaximal idealはunitを含めないので $N$ に含まれ、maximal性から $N$ に等しいです。□
&&&
この特徴づけを[[unit criterion for a local ring|local ringのunit判定]]と呼びます。
## 一点のstalkはlocal ringである
&&&thm local ring at a point [12-thm-local-ring-at-point]
$$
\mathcal O_{X,p}\cong A_{\mathfrak m_p}
$$
はlocal ringであり、その唯一のmaximal idealは
$$
\mathfrak m_{X,p}
=\left\{\frac{a}{b}\in A_{\mathfrak m_p}\ \middle|\ a(p)=0,\ b(p)\ne0\right\}
=\mathfrak m_pA_{\mathfrak m_p}
$$
である。
&&&
&&&prf [12-prf-local-ring-at-point]
$a/b\in A_{\mathfrak m_p}$ を取ります。$a(p)\ne0$ なら $a\notin\mathfrak m_p$ なので $a$ も分母にでき、
$$
\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}=\frac{b}{a}.
$$
従ってunitです。
$a(p)=0$ とし、$a/b$ がunitだと仮定します。ある $c/d$ がinverseなら
$$
\frac{ac}{bd}=1.
$$
局所化の等号条件から、ある $u\notin\mathfrak m_p$ に対し
$$
u(ac-bd)=0.
$$
$p$ で評価すると左側の括弧は
$$
a(p)c(p)-b(p)d(p)=-b(p)d(p)\ne0
$$
ですが $u(p)\ne0$ なので積は非零となり矛盾です。従って $a(p)=0$ の元はnonunitです。
以上からnonunit全体が $\mathfrak m_{X,p}$ です。これは分数の和と積についてidealであり、local ringのunit判定から唯一のmaximal idealです。また分子が $\mathfrak m_p$ に入る分数全体なので $\mathfrak m_pA_{\mathfrak m_p}$ に等しいです。□
&&&
これは[[maximal ideal of the local ring at a point|一点のlocal ringのmaximal ideal]]です。germがunitであることは、その値が $p$ で非零であることと同値です。
環そのものとmaximal idealの同定を合わせた結果を[[local ring of an affine variety at a point|affine代数的集合の一点におけるlocal ring]]と呼びます。
## evaluationとresidue field
&&&def residue field [12-def-residue-field]
local ring $(R,\mathfrak m)$ の商体
$$
\kappa=R/\mathfrak m
$$
を[[residue field|residue field]]という。
&&&
一点での評価をgermへ延長します。
$$
\operatorname{ev}_p:\mathcal O_{X,p}\longrightarrow k,
\qquad
\frac{a}{b}\longmapsto\frac{a(p)}{b(p)}.
$$
&&&thm residue field at a rational point [12-thm-residue-field-rational-point]
$k$ をalgebraically closed field、$p\in X(k)$ とする。評価写像はsurjectiveで、
$$
\ker(\operatorname{ev}_p)=\mathfrak m_{X,p}.
$$
従って
$$
\kappa(p)
=\mathcal O_{X,p}/\mathfrak m_{X,p}
\cong k.
$$
&&&
&&&prf [12-prf-residue-field-rational-point]
分母は $p$ で非零なので評価は定義でき、分数の等号を評価すればwell-definedです。定数germを含むのでsurjectiveです。
$a/b$ の値が0であることは $a(p)=0$ と同値であり、これは $a/b\in\mathfrak m_{X,p}$ と同値です。従ってkernelが示され、第一同型定理から商は $k$ と同型です。□
&&&
これは[[residue field at a rational point|有理点のresidue field]]です。後にschemeの非閉点を扱うとresidue fieldは $k$ より大きくなることがありますが、古典的な代数閉体上の点では常に $k$ です。
写像 $\operatorname{ev}_p$ は[[evaluation homomorphism on a local ring|local ring上の評価準同型]]です。
## 具体例：affine直線
$X=\mathbb A_k^1$、$p=a\in k$ とします。$A=k[x]$、
$$
\mathfrak m_a=(x-a)
$$
なので
$$
\mathcal O_{\mathbb A^1,a}
\cong k[x]_{(x-a)}
=\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\ \middle|\ g(a)\ne0\right\}.
$$
そのunitは $f(a)\ne0$ である分数、唯一のmaximal idealは $f(a)=0$ である分数です。一変数のfactor theoremから $f(a)=0$ なら $f=(x-a)h$ なので
$$
\mathfrak m_{\mathbb A^1,a}
=(x-a)\mathcal O_{\mathbb A^1,a}.
$$
従って一点の近くで消える関数は、局所環内では全て $x-a$ の倍数です。
## 具体例：交差二直線の滑らかな点と交点
$$
X=V(xy),\qquad A=k[x,y]/(xy)
$$
を考えます。
$p=(1,0)$ では $x(p)=1$ なので $x$ は $\mathcal O_{X,p}$ のunitです。関係 $xy=0$ から $y=0$ となり、
$$
\mathcal O_{X,p}
\cong k[x]_{(x-1)}.
$$
この点の近くには $x$-axisだけが見えます。
一方、原点 $o=(0,0)$ では $x,y$ はともにmaximal idealに入り、どちらもunitではありません。
$$
\mathcal O_{X,o}
\cong\bigl(k[x,y]/(xy)\bigr)_{(x,y)}.
$$
ここでは $x\ne0$、$y\ne0$ ですが $xy=0$ であり、二本のbranchの交差が零因子として残ります。これは[[local ring detects branches|local ringによるbranch交差の検出]]です。
## 正則写像はlocal ringを逆向きに写す
正則写像 $\varphi:X\to Y$ と $p\in X$、$q=\varphi(p)$ を考えます。$q$ の近くの正則関数 $s$ は、$\varphi$ と合成して $p$ の近くの正則関数 $s\circ\varphi$ になります。
&&&def local homomorphism [12-def-local-homomorphism]
local ring $(R,\mathfrak m)$、$(S,\mathfrak n)$ の環準同型 $\psi:R\to S$ が
$$
\psi^{-1}(\mathfrak n)=\mathfrak m
$$
を満たすとき、$\psi$ を[[local homomorphism|local homomorphism]]という。これは $\psi(\mathfrak m)\subseteq\mathfrak n$ と同値である。
&&&
実際、逆像の等号なら包含は直ちに従います。逆に $\psi(\mathfrak m)\subseteq\mathfrak n$ とし、$a\notin\mathfrak m$ なら $a$ はunitです。その像 $\psi(a)$ もunitなので $\mathfrak n$ に入らず、$\psi^{-1}(\mathfrak n)\subseteq\mathfrak m$ です。反対の包含と合わせて等号です。
&&&thm pullback on local rings [12-thm-pullback-local-rings]
正則写像 $\varphi:X\to Y$ は環準同型
$$
\varphi_p^\#:\mathcal O_{Y,q}\longrightarrow\mathcal O_{X,p},
\qquad
[U,s]_q\longmapsto[\varphi^{-1}(U),s\circ\varphi]_p
$$
を誘導する。さらに
$$
(\varphi_p^\#)^{-1}(\mathfrak m_{X,p})=\mathfrak m_{Y,q},
$$
従ってこれはlocal homomorphismである。
&&&
&&&prf [12-prf-pullback-local-rings]
$(U,s)$ と $(V,t)$ が $q$ の近傍 $W$ 上で一致すれば、$\varphi^{-1}(W)$ は $p$ の近傍であり、その上で $s\circ\varphi=t\circ\varphi$ です。従ってgermの像はrepresentativeによらずwell-definedです。和と積を保つことは関数の合成から従います。
germ $[U,s]_q$ の像が $\mathfrak m_{X,p}$ に入ることは
$$
(s\circ\varphi)(p)=0
$$
と同値です。$\varphi(p)=q$ なので、これは $s(q)=0$、すなわち元のgermが $\mathfrak m_{Y,q}$ に入ることと同値です。従ってmaximal idealの逆像は $\mathfrak m_{Y,q}$ です。□
&&&
この写像を[[pullback on local rings|正則写像によるlocal ringのpullback]]と呼びます。写像の向きが
$$
X\longrightarrow Y
$$
なら関数とlocal ringの向きは
$$
\mathcal O_{Y,q}\longrightarrow\mathcal O_{X,p}
$$
と逆になります。
## 演習
&&&exercise [12-exercise-1]
$X=\mathbb A_k^1$、$p=0$ とする。germ
$$
\frac{1+x}{1-x}
$$
が $\mathcal O_{X,0}$ のunitであることを示し、そのinverseを書け。
&&&
&&&solution [12-solution-1]
分子と分母はともに0で値1を持つので、どちらも $(x)$ に入らず局所環でunitです。従ってgerm自身もunitで、inverseは
$$
\frac{1-x}{1+x}.
$$
実際積は1であり、$1+x$ も0の近くで分母にできます。□
&&&
&&&exercise [12-exercise-2]
$\mathcal O_{\mathbb A^1,0}$ において $x/(1+x)$ がmaximal idealを生成するか判定せよ。
&&&
&&&solution [12-solution-2]
$1+x$ は0で非零なのでunitです。従って
$$
\left(\frac{x}{1+x}\right)=(x)
$$
as ideals in $\mathcal O_{\mathbb A^1,0}$ です。maximal idealは $(x)$ なので $x/(1+x)$ もそれを生成します。□
&&&
&&&exercise [12-exercise-3]
$X=V(xy)$ と $p=(1,0)$ に対し、$y$ のgermが0であることを、germの定義と局所化の双方から示せ。
&&&
&&&solution [12-solution-3]
germの定義では、$D_X(x)$ は $p$ を含むopen neighborhoodです。この上では $x$ が非零で、関係 $xy=0$ から点ごとに $y=0$ です。従って $y$ のgermは零germです。
局所化では $x\notin\mathfrak m_p$ なので $x$ はunitです。$xy=0$ に $x^{-1}$ を掛けて $y=0$ in $A_{\mathfrak m_p}$ を得ます。二つの説明はstalk-localization theoremで一致します。□
&&&
&&&exercise [12-exercise-4]
$X=\mathbb A_k^2$、$p=(a,b)$ とする。$\mathfrak m_{X,p}$ が $x-a,y-b$ で生成されることを示せ。
&&&
&&&solution [12-solution-4]
大域座標環では点のmaximal idealが
$$
\mathfrak m_p=(x-a,y-b)
$$
です。一点のlocal ringのmaximal idealはそのextension
$$
\mathfrak m_{X,p}=\mathfrak m_pA_{\mathfrak m_p}
$$
なので $x-a,y-b$ のgermで生成されます。具体的にも、$f(a,b)=0$ なら多項式の差分表示
$$
f(x,y)-f(a,b)
=(x-a)g(x,y)+(y-b)h(x,y)
$$
が成り立ち、$f$ のgermは二生成元の組合せです。□
&&&
&&&exercise [12-exercise-5]
正則写像
$$
\varphi:\mathbb A_k^1\to\mathbb A_k^2,\qquad t\mapsto(t,t^2)
$$
と点 $0\mapsto(0,0)$ を考える。誘導写像
$$
\varphi_0^\#:\mathcal O_{\mathbb A^2,(0,0)}\to\mathcal O_{\mathbb A^1,0}
$$
により $x,y$ のgermがどこへ送られるか求め、maximal idealがmaximal idealへ入ることを確かめよ。
&&&
&&&solution [12-solution-5]
pullbackは座標関数を写像へ代入するので
$$
x\longmapsto t,\qquad y\longmapsto t^2.
$$
$\mathcal O_{\mathbb A^2,(0,0)}$ のmaximal idealは $(x,y)$、$\mathcal O_{\mathbb A^1,0}$ のmaximal idealは $(t)$ です。像idealは
$$
(t,t^2)=(t)
$$
でありmaximal idealに入ります。さらに定数項が非零のgermは代入後も定数項が非零なのでunitへ送られます。従って写像はlocalです。□
&&&
## この章で得た橋
function germは一点の十分小さい近傍での振る舞いだけを保持します。そのstalkは座標環を点のmaximal idealで局所化した環に一致し、唯一のmaximal idealは点で消えるgerm、residue fieldは点での値の体です。正則写像はlocal ringの準同型を逆向きに誘導します。
次の頁ではmaximal idealの一次部分
$$
\mathfrak m_{X,p}/\mathfrak m_{X,p}^2
$$
を調べます。そのdualが接空間となり、方程式の一次近似がJacobian matrixとして現れます。


2-2 局所環とgerm

3-2 stalkと層化

## 点集合から方程式を逆算する
「アフィン空間と多項式の零点集合」では多項式の集合 $S$ から共通零点集合 $V(S)$ を作りました。今度は逆向きに、点集合 $X\subseteq\mathbb A_k^n$ が与えられたとき、$X$ 上で消える全ての多項式を集めます。
$$
\text{方程式 }S
\xrightarrow{\quad V\quad}
\text{点集合}
\xrightarrow{\quad I\quad}
\text{方程式 }I(V(S)).
$$
二つの操作は完全な逆写像ではありません。冗長な方程式や冪は点集合から見えず、係数体によっては方程式が実点を一つも持たないこともあるからです。本章では、どこまでが任意の体で成り立ち、どこから代数閉性が必要になるかを切り分けます。
## affine algebraic set
以下
$$
R=k[x_1,\ldots,x_n]
$$
と置きます。
&&&def affine algebraic set [07-def-affine-algebraic-set]
ある部分集合 $S\subseteq R$ によって
$$
X=V(S)
$$
と表される部分集合 $X\subseteq\mathbb A_k^n$ を[[affine algebraic set|affine代数的集合]]という。
&&&
「アフィン空間と多項式の零点集合」で $V(S)=V((S))$ を示したので、$S$ は最初からイデアルとしてよいです。さらにHilbert基底定理を「Hilbert基底定理」で証明すれば、$R$ の全イデアルは有限生成なので、全てのaffine代数的集合が有限個の方程式で定義できると分かります。現段階では有限性を先取りせず、任意の多項式族を許します。
&&&example lines and finite unions [07-exa-affine-algebraic-sets]
$\mathbb A_k^2$ で
$$
V(y-x^2)
$$
は放物線、$V(x)$ は $y$-axis、$V(xy)=V(x)\cup V(y)$ は二本の座標軸の和集合である。また一点 $a=(a_1,\ldots,a_n)$ は
$$
\{a\}=V(x_1-a_1,\ldots,x_n-a_n)
$$
なので代数的集合である。
&&&
## 消滅イデアル
&&&def vanishing ideal [07-def-vanishing-ideal]
部分集合 $X\subseteq\mathbb A_k^n$ に対し
$$
I(X)=\{f\in R\mid f(a)=0\ \text{for every }a\in X\}
$$
を $X$ の[[vanishing ideal|消滅イデアル]]という。
&&&
空集合では「全ての点で0」という条件に検査対象がないので、全多項式が条件を満たします。従って
$$
I(\varnothing)=R.
$$
&&&prop vanishing ideal is radical [07-prop-vanishing-ideal-radical]
任意の $X\subseteq\mathbb A_k^n$ に対し、$I(X)$ はradical idealである。
&&&
&&&prf [07-prf-vanishing-ideal-radical]
$f,g\in I(X)$、$h\in R$ とします。任意の $a\in X$ について
$$
(f+g)(a)=f(a)+g(a)=0,
\qquad
(hf)(a)=h(a)f(a)=0
$$
なので $f+g,hf\in I(X)$ です。また零多項式は $X$ 上で消え、$-f$ も消えるため $I(X)$ はイデアルです。
$f^m\in I(X)$ とします。任意の $a\in X$ で
$$
f(a)^m=f^m(a)=0.
$$
$k$ は体なのでnilpotent元を持たず、$f(a)=0$ です。従って $f\in I(X)$ であり、$I(X)$ はradicalです。□
&&&
これは[[radical vanishing ideal|消滅イデアルの根基性]]です。点集合から方程式を回収すると冪の厚みが失われることを表します。
## 一点の消滅イデアル
点 $a=(a_1,\ldots,a_n)$ に対し
$$
\mathfrak m_a=(x_1-a_1,\ldots,x_n-a_n)
$$
と置きます。次の[[pointwise polynomial remainder|一点での多変数剰余公式]]が、このイデアルに全ての消滅式が入ることを示します。
&&&lemma multivariable remainder at a point [07-lem-point-remainder]
任意の $f\in k[x_1,\ldots,x_n]$ に対し、ある $g_1,\ldots,g_n\in R$ が存在して
$$
f(x_1,\ldots,x_n)-f(a_1,\ldots,a_n)
=\sum_{i=1}^n(x_i-a_i)g_i
$$
と書ける。
&&&
&&&prf [07-prf-point-remainder]
中間点を一変数ずつ置き換えてtelescopingします。
$$
\begin{aligned}
f(x_1,\ldots,x_n)-f(a_1,\ldots,a_n)
=\sum_{i=1}^n &\bigl(
f(a_1,\ldots,a_{i-1},x_i,x_{i+1},\ldots,x_n)\\
&-f(a_1,\ldots,a_i,x_{i+1},\ldots,x_n)
\bigr).
\end{aligned}
$$
第 $i$ 項は、他の変数を固定した一変数多項式 $F_i(x_i)$ に対する
$$
F_i(x_i)-F_i(a_i)
$$
です。一変数の因数定理からこれは $x_i-a_i$ で割り切れます。その商を $g_i$ とすれば主張の表示を得ます。□
&&&
&&&prop point ideals [07-prop-point-ideal]
任意の $a\in\mathbb A_k^n$ に対し
$$
I(\{a\})=\mathfrak m_a
=(x_1-a_1,\ldots,x_n-a_n).
$$
さらに評価準同型は同型
$$
R/\mathfrak m_a\cong k
$$
を誘導するので、$\mathfrak m_a$ はmaximal idealである。
&&&
&&&prf [07-prf-point-ideal]
各生成元 $x_i-a_i$ は $a$ で0なので $\mathfrak m_a\subseteq I(\{a\})$ です。
逆に $f\in I(\{a\})$ なら $f(a)=0$ です。前補題から
$$
f=f-f(a)=\sum_i(x_i-a_i)g_i\in\mathfrak m_a.
$$
従って両イデアルは等しいです。
評価準同型 $\operatorname{ev}_a:R\to k$ は定数多項式を通して全射で、そのkernelは $I(\{a\})=\mathfrak m_a$ です。第一同型定理から $R/\mathfrak m_a\cong k$。商が体なので $\mathfrak m_a$ はmaximalです。□
&&&
これは[[closed point maximal ideal|点に対応するmaximal ideal]]です。古典的な点をmaximal idealとして読む最初の例であり、代数閉体上では弱零点定理により、逆に全てのmaximal idealがこの形になります。
## 反変Galois対応
$V$ は方程式を増やすと点を減らし、$I$ は点を増やすと方程式を減らします。
&&&thm ideal set Galois connection [07-thm-ideal-set-galois-connection]
$S\subseteq R$、$X\subseteq\mathbb A_k^n$ に対し
$$
S\subseteq I(X)
\quad\Longleftrightarrow\quad
X\subseteq V(S).
$$
従って
$$
S\subseteq T\Longrightarrow V(T)\subseteq V(S),
$$
$$
X\subseteq Y\Longrightarrow I(Y)\subseteq I(X).
$$
この関係を[[ideal variety Galois connection|イデアルと点集合の反変Galois対応]]という。
&&&
&&&prf [07-prf-ideal-set-galois-connection]
$S\subseteq I(X)$ とは、全ての $f\in S$ が全ての $a\in X$ で0になることです。これは各 $a\in X$ が $S$ の全多項式の共通零点であること、すなわち $X\subseteq V(S)$ と同値です。
$S\subseteq T$ のとき $T$ の全式を0にする点は特に $S$ の全式を0にするので、第一の反変性が従います。$X\subseteq Y$ のとき $Y$ 全体で消える多項式は $X$ 上でも消えるので、第二の反変性が従います。□
&&&
&&&cor closure inequalities [07-cor-closure-inequalities]
任意の $S\subseteq R$ と $X\subseteq\mathbb A_k^n$ に対し
$$
S\subseteq I(V(S)),
\qquad
X\subseteq V(I(X)).
$$
&&&
&&&prf [07-prf-closure-inequalities]
Galois対応で $X=V(S)$ と置けば、恒等包含 $V(S)\subseteq V(S)$ は $S\subseteq I(V(S))$ と同値です。同様に $S=I(X)$ と置けば $I(X)\subseteq I(X)$ から $X\subseteq V(I(X))$ が従います。□
&&&
## 代数的閉包
&&&def algebraic closure of a point set [07-def-algebraic-closure-point-set]
$X\subseteq\mathbb A_k^n$ に対し
$$
\overline X^{\mathrm{alg}}=V(I(X))
$$
を $X$ の[[algebraic closure of a point set|代数的閉包]]という。
&&&
ここでいう代数的閉包は体のalgebraic closureではなく、点集合を含む最小の代数的集合です。
&&&prop smallest algebraic superset [07-prop-smallest-algebraic-superset]
$V(I(X))$ は $X$ を含む最小のaffine代数的集合である。すなわち、代数的集合 $Y$ が $X\subseteq Y$ を満たせば
$$
V(I(X))\subseteq Y
$$
である。
&&&
&&&prf [07-prf-smallest-algebraic-superset]
前系から $X\subseteq V(I(X))$ です。$Y$ を $X$ を含む代数的集合とし、$Y=V(J)$ と書きます。$X\subseteq Y=V(J)$ なのでGalois対応から $J\subseteq I(X)$ です。$V$ の反変性により
$$
V(I(X))\subseteq V(J)=Y.
$$
従って最小性が示されました。□
&&&
&&&cor closure operator laws [07-cor-algebraic-closure-laws]
作用素 $X\mapsto\overline X^{\mathrm{alg}}$ は次を満たす。
1. $X\subseteq\overline X^{\mathrm{alg}}$。
2. $X\subseteq Y$ なら $\overline X^{\mathrm{alg}}\subseteq\overline Y^{\mathrm{alg}}$。
3. $\overline{\overline X^{\mathrm{alg}}}^{\mathrm{alg}}=\overline X^{\mathrm{alg}}$。
&&&
&&&prf [07-prf-algebraic-closure-laws]
1は既に示しました。2では $X\subseteq Y$ から $I(Y)\subseteq I(X)$、さらに反変性から $V(I(X))\subseteq V(I(Y))$ です。3では $V(I(X))$ 自身が代数的集合なので、それを含む最小の代数的集合は自分自身です。□
&&&
三法則を満たすこの作用素を[[algebraic closure operator|代数的closure operator]]と呼びます。「Zariski位相」ではこれを位相的closure operatorとして読み、代数的集合を閉集合とするZariski topologyを導入します。
## 代数的集合の演算
&&&prop algebraic sets form closed-set system [07-prop-algebraic-closed-set-system]
affine代数的集合は、空集合と全空間を含み、任意交叉と有限和に閉じる。より具体的に、イデアル族 $(I_\lambda)$ とイデアル $I,J$ に対し
$$
\bigcap_{\lambda}V(I_\lambda)
=V\!\left(\sum_\lambda I_\lambda\right),
$$
$$
V(I)\cup V(J)=V(IJ)=V(I\cap J).
$$
&&&
この性質を[[affine algebraic closed set system|affine代数的閉集合系]]と呼びます。
&&&prf [07-prf-algebraic-closed-set-system]
$V(0)=\mathbb A_k^n$、$V(R)=V(1)=\varnothing$ です。
点 $a$ が左の交叉に属することは、全ての $\lambda$ と全ての $f\in I_\lambda$ について $f(a)=0$ であることです。これは全ての有限和
$$
f_1+\cdots+f_r,
\qquad f_i\in I_{\lambda_i}
$$
が $a$ で0になること、すなわち $a\in V(\sum_\lambda I_\lambda)$ と同値です。
有限和について $V(IJ)=V(I)\cup V(J)$ は「アフィン空間と多項式の零点集合」で証明しました。$IJ\subseteq I\cap J$ なので
$$
V(I\cap J)\subseteq V(IJ).
$$
また $I\cap J\subseteq I,J$ なので
$$
V(I)\cup V(J)\subseteq V(I\cap J).
$$
$V(IJ)=V(I)\cup V(J)$ と合わせると三集合は等しいです。□
&&&
&&&example equations with branches [07-exa-equations-with-branches]
$\mathbb A_k^3$ で
$$
X=V(xy,x(z-1))
$$
を考える。$x=0$ なら二式は自動的に0になる。$x\ne0$ なら $y=0,z=1$ が必要である。従って
$$
X=V(x)\cup V(y,z-1).
$$
右辺はplane一枚とline一本の和集合である。実際、イデアル積を使えば
$$
V(x)\cup V(y,z-1)
=V\bigl((x)(y,z-1)\bigr)
=V(xy,x(z-1)).
$$
&&&
## 無限和は閉じない
&&&prop algebraic subsets of affine line [07-prop-algebraic-subsets-affine-line]
$k$ を無限体とする。$\mathbb A_k^1$ のaffine代数的集合は、有限集合または全空間だけである。
&&&
&&&prf [07-prf-algebraic-subsets-affine-line]
$X=V(S)$ とします。$S$ の全要素が零多項式なら $X=k$ です。そうでなければ零でない $f\in S$ を一つ取れます。このとき
$$
X=V(S)\subseteq V(f).
$$
一変数の零でない多項式の根は次数以下の有限個しかないので、$X$ も有限です。
逆に有限集合 $\{a_1,\ldots,a_r\}$ は
$$
V\!\left(\prod_{i=1}^r(x-a_i)\right)
$$
です。空集合は $V(1)$、全空間は $V(0)$ なので全ての場合が実現します。□
&&&
これは[[affine line algebraic subsets|affine直線の代数的部分集合の分類]]です。従って $k=\mathbb R$ なら、整数全体 $\mathbb Z\subset\mathbb A_{\mathbb R}^1$ は無限ですが全空間ではないので代数的集合ではありません。一点ずつは代数的でも、その無限和は代数的とは限りません。
## 二重操作が完全な逆にならない例
常に
$$
\sqrt I\subseteq I(V(I))
$$
です。実際 $f\in\sqrt I$ なら $f^m\in I$ であり、$I$ の零点上で $f(a)^m=0$、従って $f(a)=0$ です。
しかし等号は任意の体では成立しません。
&&&example real failure of Nullstellensatz [07-exa-real-nullstellensatz-failure]
$R=\mathbb R[x]$、$I=(x^2+1)$ とする。$V_{\mathbb R}(I)=\varnothing$ なので
$$
I(V_{\mathbb R}(I))=I(\varnothing)=R.
$$
一方 $x^2+1$ は既約なので $(x^2+1)$ はprime ideal、特にradical idealであり
$$
\sqrt I=I\ne R.
$$
従って $I(V(I))=\sqrt I$ は実数体上では失敗する。
&&&
これを[[real Nullstellensatz failure|実数体上の零点定理の失敗]]という。
代数閉体上で
$$
I(V(I))=\sqrt I
$$
を保証するのが[[Hilbert Nullstellensatz|Hilbertの零点定理]]です。第8--9章でZariski補題から証明します。
## 演習
&&&exercise point ideal direct [07-ex-02-point-ideal]
$a=(2,-1)\in\mathbb A_{\mathbb R}^2$ とする。多項式
$$
f=x^2y+3x-y-7
$$
について $f-f(a)$ を $(x-2)g+(y+1)h$ の形に具体的に書け。また $f\in I(\{a\})$ か判定せよ。
&&&
&&&exercise finite set ideal line [07-ex-02-finite-line]
相異なる $a_1,\ldots,a_r\in k$ に対し
$$
I(\{a_1,\ldots,a_r\})
=\left(\prod_{i=1}^r(x-a_i)\right)
\subseteq k[x]
$$
を証明せよ。
&&&
&&&exercise dense rationals algebraically [07-ex-02-rational-closure]
$\mathbb Q\subseteq\mathbb A_{\mathbb R}^1$ の代数的閉包 $V(I(\mathbb Q))$ を求めよ。
&&&
&&&exercise union and ideals [07-ex-02-union]
任意の部分集合 $X,Y\subseteq\mathbb A_k^n$ に対し
$$
I(X\cup Y)=I(X)\cap I(Y)
$$
を証明せよ。また $I(X\cap Y)$ と $I(X)+I(Y)$ の間に常に成り立つ包含を求め、等号が失敗する例を挙げよ。
&&&
&&&exercise field dependence closure [07-ex-02-field-closure]
$I=(x^2+1)\subseteq k[x]$ について、$k=\mathbb R$ と $k=\mathbb C$ で $V_k(I)$ および $I(V_k(I))$ をそれぞれ求めよ。
&&&
## 完全解答
&&&solution point ideal direct・解答 [07-sol-02-point-ideal]
まず
$$
f(2,-1)=2^2(-1)+3\cdot2-(-1)-7=-4+6+1-7=-4.
$$
一変数ずつ差を取ると
$$
\begin{aligned}
f(x,y)-f(2,-1)
&=\bigl(f(x,y)-f(2,y)\bigr)
+\bigl(f(2,y)-f(2,-1)\bigr)\\
&=(x^2y-4y)+3(x-2)+(4y+6-y-7+4)\\
&=(x-2)\bigl((x+2)y+3\bigr)+(y+1)3.
\end{aligned}
$$
従って $g=(x+2)y+3$、$h=3$ と取れます。ただし $f(a)=-4\ne0$ なので $f\notin I(\{a\})$ です。表示されているのは $f-f(a)=f+4$ がpoint idealへ入ることです。□
&&&
&&&solution finite set ideal line・解答 [07-sol-02-finite-line]
$p(x)=\prod_i(x-a_i)$ とします。$p$ は全ての $a_i$ で0なので $(p)\subseteq I(\{a_1,\ldots,a_r\})$ です。
逆に $f$ が全ての $a_i$ で0なら、因数定理から $x-a_1$ が $f$ を割ります。$f=(x-a_1)f_1$ と書きます。$i>1$ では
$$
0=f(a_i)=(a_i-a_1)f_1(a_i).
$$
$a_i-a_1\ne0$ なので $f_1(a_i)=0$ です。同じ議論を繰り返すと、相異なる一次因子全ての積 $p$ が $f$ を割ります。従って $f\in(p)$ であり、逆包含も示されました。□
&&&
&&&solution dense rationals algebraically・解答 [07-sol-02-rational-closure]
$f\in I(\mathbb Q)$ なら実係数一変数多項式 $f$ は無限個の有理数を根に持ちます。零でない多項式の根は有限個なので $f=0$ です。従って
$$
I(\mathbb Q)=(0),
$$
$$
V(I(\mathbb Q))=V(0)=\mathbb A_{\mathbb R}^1.
$$
つまり $\mathbb Q$ はEuclidean topologyだけでなく、より粗いZariski topologyでもdenseです。□
&&&
&&&solution union and ideals・解答 [07-sol-02-union]
$f\in I(X\cup Y)$ であることは、$f$ が $X$ 上でも $Y$ 上でも消えることと同値です。従って
$$
I(X\cup Y)=I(X)\cap I(Y).
$$
$f\in I(X)$、$g\in I(Y)$ なら、$X\cap Y$ 上では両方とも0です。従って $f+g$ も0であり
$$
I(X)+I(Y)\subseteq I(X\cap Y).
$$
等号は代数的集合に限っても失敗します。$k$ を無限体とし、$\mathbb A_k^2$ で
$$
X=V(y),
\qquad
Y=V(y-x^2)
$$
と置きます。多項式を $y$ について割れば $I(X)=(y)$ です。また $Y$ 上で消える $f$ を、$y$ に関するmonic多項式 $y-x^2$ で割って
$$
f=q(y-x^2)+r(x)
$$
と書きます。$f(t,t^2)=0$ が全ての $t\in k$ で成り立つため $r(t)=0$ です。無限体上の多項式恒等原理から $r=0$、従って $I(Y)=(y-x^2)$ です。よって
$$
I(X)+I(Y)=(y,x^2).
$$
一方 $X\cap Y=\{(0,0)\}$ だから
$$
I(X\cap Y)=(x,y).
$$
$x\notin(y,x^2)$ なので包含は真です。左辺が接触の重複度を残し、右辺が点集合だけを見て根基を取る違いが現れています。□
&&&
&&&solution field dependence closure・解答 [07-sol-02-field-closure]
$k=\mathbb R$ では $x^2+1$ は実根を持たないので
$$
V_{\mathbb R}(I)=\varnothing,
\qquad
I(V_{\mathbb R}(I))=\mathbb R[x].
$$
$k=\mathbb C$ では
$$
V_{\mathbb C}(I)=\{i,-i\}.
$$
有限集合の消滅イデアルの計算から
$$
I(V_{\mathbb C}(I))=((x-i)(x+i))=(x^2+1)=I.
$$
複素数上では $I$ が既にradicalなので、これは零点定理の等式 $I(V(I))=\sqrt I$ と一致します。□
&&&

1-2 アフィン代数的集合

6-3 fiberと特殊化

## 1　多項式とイデアルの斉次化
アフィン埋入 $j:\mathbf A_k^n\to\mathbf P_k^n$ を $a\mapsto[1:a_1:\cdots:a_n]$ とする。射影座標を $[Z:X_1:\cdots:X_n]$ と書く。$f\in k[x_1,\ldots,x_n]$ の全次数が $d$ のとき
$$f^h(Z,X)=Z^df(X_1/Z,\ldots,X_n/Z)\tag{1}$$
を斉次化と呼ぶ。展開後は次数 $d$ の斉次多項式で、$f^h(1,x)=f(x)$。例えば $x^2+y+1$ は $X^2+YZ+Z^2$ となる。非零 $f,g$ では次数の加法性から $(fg)^h=f^hg^h$。$e\ge\deg f$ なら $Z^ef(X/Z)=Z^{e-\deg f}f^h$ である。一方、和は次数を $Z$ の冪で揃えてから取らなければならない。
アフィンイデアル $I$ の斉次化は
$$I^h=(f^h:f\in I)\subseteq k[Z,X_1,\ldots,X_n]$$
と定める。選んだ生成元だけではなく**全ての $f\in I$** を使う。$I^h$ は斉次イデアルであり、$Z=1$ としたイデアルは元の $I$ に戻る。実際、各 $f^h$ は $f$ に戻り、$I^h$ の有限和 $\sum A_jf_j^h$ を $Z=1$ にすれば $\sum A_j(1,x)f_j\in I$ となる。
## 2　射影閉包の方程式
$X\subseteq\mathbf A_k^n$ の射影閉包 $\overline X^{\mathrm{proj}}$ は、$j(X)$ の射影Zariski位相での閉包と定義する。$I(X)$ を $X$ 上で消える全アフィン多項式のイデアルとすると
$$\overline X^{\mathrm{proj}}=V_+(I(X)^h),\qquad V_+(I(X)^h)\cap U_Z=j(X).\tag{2}$$
ここでは $X$ がアフィン代数的集合であるとする。証明する。$f\in I(X)$ なら $f^h(1,a)=0$ が $a\in X$ で成り立つので、$j(X)\subseteq V_+(I(X)^h)$。逆に、$j(X)$ 上で消える次数 $d$ の斉次式 $F$ を $f(x)=F(1,x)$ と非斉次化すると $f\in I(X)$。$e=\deg f\le d$ なら $F=Z^{d-e}f^h\in I(X)^h$。したがって $j(X)$ の斉次消滅イデアルが正確に $I(X)^h$ である。斉次式で定義される最小の閉集合はその零点集合だから式 (2) の第一式を得る。第二式は $Z=1$ でイデアルが $I(X)$ に戻ることから従う。$X=\varnothing$ の場合も $I(X)=(1)$ とすれば両式が成り立つ。
**無限遠部分**は $X_\infty=\overline X^{\mathrm{proj}}\cap V_+(Z)$ である。集合としては式 (2) に $Z=0$ を加えて求める。閉包のスキーム的な無限遠部分を記録する斉次イデアルは $(I(X)^h+(Z))/(Z)$ となる。
## 3　超曲面と最高次項
$f=f_0+\cdots+f_d$ を次数別に分け、$f_d\ne0$ とする。$f$ が平方因子を持たず、$k$ が代数閉体なら $I(V(f))=(f)$。積の斉次化公式から $(f)^h=(f^h)$ なので
$$\overline{V(f)}^{\mathrm{proj}}=V_+(f^h),\qquad V(f)_\infty=V_+(Z,f_d)\cong V_+(f_d)\subseteq\mathbf P^{n-1}.\tag{3}$$
ここで $f^h=Z^df_0+Z^{d-1}f_1+\cdots+f_d$ だから、$Z=0$ では最高次項だけが残る。放物線 $y=x^2$ は $YZ=X^2$ となり $[0:0:1]$ の一点、双曲線 $xy=1$ は $XY=Z^2$ となり $[0:1:0]$ と $[0:0:1]$ の二点を加える。尖点曲線 $y^2=x^3$ は $Y^2Z=X^3$ で、無限遠点 $[0:0:1]$ は $\partial(Y^2Z-X^3)/\partial Z=Y^2=1$ により任意の標数で滑らかである。アフィン原点の特異性とは別である。
## 4　生成元だけの斉次化が失敗する例
$I=(x,xy-1)=k[x,y]$ では $1=yx-(xy-1)\in I$ だから $V(I)=\varnothing$。しかし二つの生成元だけを斉次化すると
$$J=(X,XY-Z^2)=(X,Z^2)$$
となり、$[0:0:1]$ が余分な無限遠点として残る。$I$ 全体を斉次化すると $1^h=1$ が入るため $I^h=(1)$ である。この例は、生成元の斉次化とイデアルの斉次化を区別する理由を示す。
## 5　飽和で正しいイデアルを回収する
斉次イデアル $J$ に対し $J:Z^\infty=\{F:Z^mF\in J\text{ for some }m\ge0\}$ と置く。$Z^aF,Z^bG\in J$ なら $Z^{\max(a,b)}(F+G)\in J$ であり、任意の多項式を掛けても条件が保たれるのでイデアルである。$J$ が斉次なら $Z^mF\in J$ の次数成分を取ることで $J:Z^\infty$ も斉次である。
$I=(f_1,\ldots,f_r)$、$J=(f_1^h,\ldots,f_r^h)$ とすると
$$I^h=J:Z^\infty.\tag{4}$$
証明する。$f=\sum_i a_if_i\in I$ に対し、$D\ge\deg f$ かつ $D\ge\deg a_i+\deg f_i$ を選ぶ。次数 $D$ に揃えれば
$$Z^{D-\deg f}f^h=\sum_i Z^{D-\deg a_i-\deg f_i}a_i^hf_i^h\in J,$$
よって $I^h\subseteq J:Z^\infty$。逆に $F$ が斉次で $Z^mF\in J$ なら $F(1,x)\in I$。$d=\deg F$、$e=\deg F(1,x)\le d$ とすれば $F=Z^{d-e}(F(1,x))^h\in I^h$。$F(1,x)=0$ の場合は斉次性から $F=0$ で、同じ結論である。飽和イデアルは斉次だから一般の元も次数成分ごとに扱える。
注意として、$V_+(J)$ と $V_+(J:Z^\infty)$ は全体では一致しない。$J=(Z)$ なら前者は無限遠超平面、後者は空集合である。一方 $U_Z$ では $Z$ が可逆なので、両者の零点集合は一致する。式 (4) はアフィン図上の情報を保ち、そこから独立した無限遠成分を取り除く。
閉包の**既約性**も確認する。既約部分集合 $Y$ の閉包を閉集合 $A\cup B$ と書くと $Y=(Y\cap A)\cup(Y\cap B)$。既約性から $Y\subseteq A$ または $Y\subseteq B$、従って閉包全体がその一方に含まれる。よって既約アフィン代数的集合の射影閉包も既約である。
## 6　演習と解答
**演習1。** $f=x^3+x^2y+y+2$ を斉次化せよ。  
**解答。** $f^h=X^3+X^2Y+YZ^2+2Z^3$。$Z=1$ で元へ戻る。
**演習2。** $x^2+y^2=1$ の無限遠部分を求めよ。ただし $\operatorname{char}k\ne2$ とする。  
**解答。** 方程式は $X^2+Y^2=Z^2$。$Z=0$ では $X^2+Y^2=0$。代数閉体上で $i^2=-1$ を選ぶと $[0:1:i]$、$[0:1:-i]$ の二点であり、実数体上では実点を持たない。
**演習3。** $I=(x,y^2-1)$ の閉包と無限遠部分を求めよ。  
**解答。** $J=(X,Y^2-Z^2)$ である。$k[Y,Z]/(Y^2-Z^2)$ は $k[Z]$ 加群として基底 $1,Y$ を持つので、$Z$ 倍は単射で $J$ は既に飽和している。閉包は $[1:0:1]$ と $[1:0:-1]$ からなる。ただし標数2では両表示は同じ一点である。$Z=0$ では $X=Y=0$ となるため無限遠点はない。
**演習4。** アフィン曲線 $(t,t^2,t^3)$ を定める $I=(y-x^2,z-x^3)$ で、二生成元だけの斉次化が無限遠に余分な直線を作ることを示せ。  
**解答。** 射影座標 $[Z:X:Y:W]$ では $J=(YZ-X^2,WZ^2-X^3)$。$Z=0$ で $X=0$ となるだけなので $[0:0:Y:W]$ の直線全体が残る。しかし $y^2-xz\in I$ を斉次化した $Y^2-XW$ を加えると $Y=0$ となり、真の無限遠部分は $[0:0:0:1]$ だけである。パラメータ $[s:t]\mapsto[s^3:s^2t:st^2:t^3]$ もこの一点を与える。
**演習5。** $V_+(J)=V_+(J:Z^\infty)$ が一般に誤りである例と、一致する範囲を述べよ。  
**解答。** $J=(Z)\subseteq k[Z,X]$ なら $V_+(J)=\{[0:1]\}$ だが $J:Z^\infty=S$ で零点は空。$U_Z$ 内では $Z$ が可逆だから両零点集合は一致する。

8-3 射影閉包と飽和

4-3 affine schemeの反変同値

2-3 接空間とJacobian

3-3 環付き空間と局所環付き空間

## 点の一覧ではなく、測れる関数を持つ
放物線
$$
P=V(y-x^2)\subseteq\mathbb A_k^2
$$
上では、二つの多項式 $y$ と $x^2$ は全ての点で同じ値を取ります。したがって、放物線上の関数としては区別すべきではありません。
多項式 $f,g$ が $X$ 上で同じ関数を定める条件は
$$
f(a)=g(a)\quad\text{for every }a\in X,
$$
すなわち
$$
f-g\in I(X)
$$
です。よって商環 $k[x_1,\ldots,x_n]/I(X)$ が、$X$ 上で観測できる多項式関数を重複なく記録します。
## coordinate ring
&&&def affine coordinate ring [07-def-affine-coordinate-ring]
部分集合 $X\subseteq\mathbb A_k^n$ に対し
$$
k[X]=k[x_1,\ldots,x_n]/I(X)
$$
を $X$ の[[affine coordinate ring|affine座標環]]という。多項式 $f$ のclassを $\overline f$ と書く。
&&&
$X$ が代数的集合でなくても定義できますが、以後は主にaffine代数的集合へ適用します。
&&&def polynomial function on a subset [07-def-polynomial-function-on-subset]
写像 $\varphi:X\to k$ が、ある $f\in k[x_1,\ldots,x_n]$ によって
$$
\varphi(a)=f(a)\qquad(a\in X)
$$
と表されるとき、$\varphi$ を $X$ 上の[[polynomial function on an affine set|多項式関数]]という。全多項式関数の環を $\mathcal P(X)$ と書く。
&&&
&&&thm coordinate ring represents polynomial functions [07-thm-coordinate-ring-polynomial-functions]
制限準同型
$$
\rho_X:k[x_1,\ldots,x_n]\to\operatorname{Map}(X,k),
\qquad
f\mapsto(a\mapsto f(a))
$$
のkernelは $I(X)$、imageは $\mathcal P(X)$ である。従って自然な $k$-algebra同型
$$
k[X]\xrightarrow{\cong}\mathcal P(X)
$$
が存在する。
&&&
&&&prf [07-prf-coordinate-ring-polynomial-functions]
$\rho_X$ は点ごとの加法・乗法により $k$-algebra準同型です。そのimageは定義から多項式で表される関数全体 $\mathcal P(X)$ です。
$f\in\ker\rho_X$ であることは、関数 $\rho_X(f)$ が零関数であること、すなわち全ての $a\in X$ で $f(a)=0$ となることです。これは $f\in I(X)$ と同値なので
$$
\ker\rho_X=I(X).
$$
環の第一同型定理から
$$
k[x_1,\ldots,x_n]/I(X)
\cong\operatorname{im}\rho_X=\mathcal P(X)
$$
を得ます。□
&&&
これを[[coordinate ring function correspondence|座標環と多項式関数の対応]]と呼びます。商環は形式的な道具ではなく、図形上で実際に測れる関数の環です。
## 座標環はreducedである
&&&prop affine coordinate rings are reduced [07-prop-coordinate-ring-reduced]
任意の $X\subseteq\mathbb A_k^n$ に対し $k[X]$ はreduced ring、すなわち非零nilpotent元を持たない。
&&&
&&&prf [07-prf-coordinate-ring-reduced]
$\overline f\in k[X]$ が $(\overline f)^m=0$ を満たすとします。これは $f^m\in I(X)$ を意味します。「アフィン代数的集合」で $I(X)$ はradical idealと示したので $f\in I(X)$、従って $\overline f=0$ です。□
&&&
これは[[reduced affine coordinate ring|affine座標環のreduced性]]です。点集合から作る座標環はnilpotentな厚みを忘れます。例えば
$$
k[x]/(x)
\quad\text{と}\quad
k[x]/(x^2)
$$
は異なりますが、どちらの古典的零点集合も原点一つです。後者を幾何として保持するにはschemeが必要です。
## 最初の座標環計算
&&&example basic coordinate rings [07-exa-basic-coordinate-rings]
次の同型がある。
$$
k[\mathbb A_k^n]\cong k[x_1,\ldots,x_n]
$$
は $k$ が無限体のとき成立する。また任意の点 $a\in\mathbb A_k^n$ に対し
$$
k[\{a\}]\cong k.
$$
&&&
第一式では無限体上の多項式恒等原理から $I(\mathbb A_k^n)=0$ を使います。有限体では、例えば $x_i^q-x_i$ が全点で消えるためkernelが非零です。第二式は
$$
I(\{a\})=(x_1-a_1,\ldots,x_n-a_n)
$$
と商環の第一同型定理から従います。
### 放物線
&&&prop coordinate ring of a parabola [07-prop-coordinate-ring-parabola]
$P=V(y-x^2)\subseteq\mathbb A_k^2$ とする。$k$ が無限体なら
$$
k[P]\cong k[t].
$$
&&&
&&&prf [07-prf-coordinate-ring-parabola]
準同型
$$
\Phi:k[x,y]\to k[t],
\qquad
x\mapsto t,\qquad y\mapsto t^2
$$
を取ります。任意の $h(t)\in k[t]$ は $h(x)$ の像なので $\Phi$ は全射です。
$y-x^2\in\ker\Phi$ です。逆包含を示すため、$f\in k[x,y]$ を $y$ に関するmonic多項式 $y-x^2$ で割り
$$
f=q(x,y)(y-x^2)+r(x)
$$
と書きます。$f\in\ker\Phi$ なら
$$
0=\Phi(f)=r(t).
$$
従って $r=0$ で、$f\in(y-x^2)$ です。よって $\ker\Phi=(y-x^2)$、第一同型定理から
$$
k[x,y]/(y-x^2)\cong k[t].
$$
また「アフィン代数的集合」の計算から $I(P)=(y-x^2)$ なので、左辺は $k[P]$ です。□
&&&
これを[[parabola coordinate ring|放物線の座標環計算]]と呼びます。放物線の二つの座標 $x,y$ のうち、$y$ は $x^2$ から復元できます。座標環が一変数多項式環になることは、放物線がaffine直線と同じ代数的幾何を持つことを示唆します。
### 双曲線
&&&prop coordinate ring of a hyperbola [07-prop-coordinate-ring-hyperbola]
$k$ を無限体、$H=V(xy-1)\subseteq\mathbb A_k^2$ とする。このとき
$$
k[H]\cong k[t,t^{-1}],
$$
右辺は[[Laurent polynomial ring]]である。
&&&
&&&prf [07-prf-coordinate-ring-hyperbola]
準同型
$$
\Psi:k[x,y]\to k[t,t^{-1}],
\qquad
x\mapsto t,\qquad y\mapsto t^{-1}
$$
は $t,t^{-1}$ をimageに含むので全射です。また $xy-1\in\ker\Psi$ です。
$k[x,y]/(xy-1)$ では $\overline x\,\overline y=1$ なので $\overline y=\overline x^{-1}$ です。従って逆準同型
$$
k[t,t^{-1}]\to k[x,y]/(xy-1),
\qquad
t\mapsto\overline x,\qquad t^{-1}\mapsto\overline y
$$
が定まり、$\Psi$ が誘導する準同型と互いに逆です。よって商環はLaurent多項式環と同型です。
さらに $xy-1$ は $y$ に関する一次式で、上の商が整域なので $(xy-1)$ はprime、特にradicalです。代数閉性を使わず、直接 $I(H)=(xy-1)$ も確認できます。実際 $f$ が $H$ 上で消えるなら $f(t,t^{-1})=0$ が全ての $t\in k^\times$ で成立します。適当な $t^N$ を掛ければ一変数多項式が無限個の点で0になるので零多項式です。従って $f\in\ker\Psi=(xy-1)$ です。□
&&&
&&&example hyperbola over a finite field [07-exa-hyperbola-finite-field]
有限体 $\mathbb F_q$ では $H(\mathbb F_q)$ 上で $x^{q-1}=1$ なので
$$
x^{q-1}-1\in I(H(\mathbb F_q)).
$$
従って点集合座標環は $\mathbb F_q[t,t^{-1}]$ そのものではない。商環 $k[x,y]/(xy-1)$ と $k$-rational point集合の座標環を区別する必要がある。
&&&
これは[[finite-field rational-point coordinate ring|有限体上の有理点座標環]]に固有の追加関係です。「Hilbert零点定理」の零点定理以後は代数閉体を標準仮定とし、radical idealから作る商環と零点集合座標環のずれを解消します。
### 二直線の交わり
$X=V(xy)\subseteq\mathbb A_k^2$ では
$$
k[X]=k[x,y]/I(X).
$$
$k$ が無限体なら $I(X)=(xy)$ です。実際、$f$ を $y$ の多項式として
$$
f=a_0(x)+a_1(x)y+\cdots+a_d(x)y^d
$$
と書きます。$x$-axis上で消えるので $a_0(x)=0$。さらに $y$-axis上で消えるので $f(0,y)=0$、よって各 $i\ge1$ で $a_i(0)=0$、従って $x\mid a_i(x)$ です。ゆえに $xy\mid f$ です。
商環では $\overline x\ne0$、$\overline y\ne0$ ですが
$$
\overline x\,\overline y=0.
$$
したがって[[coordinate-ring zero divisor|座標環のzero divisor]]が、図形が二つのbranchへ分かれることを代数的に記録します。
## polynomial map
&&&def polynomial map of affine algebraic sets [07-def-polynomial-map-affine-sets]
$X\subseteq\mathbb A_k^n$、$Y\subseteq\mathbb A_k^m$ をaffine代数的集合とする。写像 $F:X\to Y$ が、多項式 $f_1,\ldots,f_m\in k[x_1,\ldots,x_n]$ により
$$
F(a)=\bigl(f_1(a),\ldots,f_m(a)\bigr)
$$
と表されるとき、$F$ を[[polynomial map of affine algebraic sets|多項式写像]]という。
&&&
表示する多項式は一意とは限りません。各 $f_i$ を $I(X)$ の元だけ変えても、$X$ 上の値は変わりません。したがって本質的な座標は $\overline f_i\in k[X]$ です。
&&&def pullback on coordinate rings [07-def-coordinate-ring-pullback]
多項式写像 $F:X\to Y$ に対し
$$
F^*:k[Y]\to k[X],
\qquad
\overline g\mapsto\overline{g(f_1,\ldots,f_m)}
$$
を[[pullback on coordinate rings|座標環上のpullback]]という。
&&&
&&&prop pullback is well defined and functorial [07-prop-pullback-well-defined]
$F^*$ は表示によらないwell-definedな $k$-algebra準同型である。多項式写像 $X\xrightarrow{F}Y\xrightarrow{G}Z$ に対し
$$
(G\circ F)^*=F^*\circ G^*,
\qquad
(\operatorname{id}_X)^*=\operatorname{id}_{k[X]}.
$$
&&&
&&&prf [07-prf-pullback-well-defined]
$g-g'\in I(Y)$ とします。$F(a)\in Y$ なので、任意の $a\in X$ で
$$
(g-g')(F(a))=0.
$$
従って $g(f_1,\ldots,f_m)-g'(f_1,\ldots,f_m)\in I(X)$ で、$\overline g$ の代表元によらないことが分かります。
$F$ の座標表示を $f_i$ と $f_i'$ で変えても、各差 $f_i-f_i'\in I(X)$ です。多項式の差
$$
g(f_1,\ldots,f_m)-g(f_1',\ldots,f_m')
$$
は各 $f_i-f_i'$ の多項式係数結合として書けるので $I(X)$ に属します。従って $F$ の表示にもよりません。
代入は和、積、定数を保つので $F^*$ は $k$-algebra準同型です。合成写像への代入は順次代入と同じなので
$$
(G\circ F)^*(\overline h)
=\overline{h(G(F(-)))}
=F^*(G^*(\overline h)).
$$
恒等写像についても各座標を自分自身へ代入するだけなので恒等準同型です。□
&&&
これは[[functorial pullback of polynomial functions|多項式関数の関手的pullback]]です。矢印が逆向きになるのは自然です。$g$ が $Y$ 上の測定なら、$F$ の後で $g$ を測る $g\circ F$ は $X$ 上の測定だからです。
## 写像は座標環準同型から復元できる
&&&thm affine polynomial map coordinate ring correspondence [07-thm-affine-map-ring-correspondence]
affine代数的集合 $X\subseteq\mathbb A_k^n$、$Y\subseteq\mathbb A_k^m$ に対し、対応
$$
F\longmapsto F^*
$$
は全単射
$$
\operatorname{Pol}_k(X,Y)
\xrightarrow{\cong}
\operatorname{Hom}_{k\text{-alg}}(k[Y],k[X])
$$
を与える。ここで $\operatorname{Pol}_k(X,Y)$ は $X$ から $Y$ への多項式写像全体である。ただし右向きの対応は矢印を反転する。
&&&
&&&prf [07-prf-affine-map-ring-correspondence]
まず $k$-algebra準同型
$$
\varphi:k[Y]\to k[X]
$$
から写像を作ります。$Y$ の座標関数のclassを $\overline y_1,\ldots,\overline y_m$ とし、
$$
\varphi(\overline y_i)=\overline f_i
$$
となる代表多項式 $f_i\in k[x_1,\ldots,x_n]$ を選びます。各 $a\in X$ に対し
$$
F_\varphi(a)=(f_1(a),\ldots,f_m(a))
$$
と置きます。
これが $Y$ に入ることを示します。$g\in I(Y)$ なら $\overline g=0$ in $k[Y]$ なので
$$
0=\varphi(\overline g)
=\overline{g(f_1,\ldots,f_m)}
$$
in $k[X]$ です。従って全ての $a\in X$ で
$$
g(F_\varphi(a))=0.
$$
全ての $g\in I(Y)$ について成立し、$Y=V(I(Y))$ は代数的集合なので $F_\varphi(a)\in Y$ です。
代表 $f_i$ を変えてもclassが同じなら $X$ 上の値は同じなので、$F_\varphi$ は選択によらず定まります。構成から $(F_\varphi)^*(\overline y_i)=\varphi(\overline y_i)$ です。座標classは $k[Y]$ を $k$-algebraとして生成するので $(F_\varphi)^*=\varphi$ です。
逆に $F$ から $F^*$ を作り、上の方法で写像を戻すと、各座標関数のpullbackが $F$ の各座標なので元の $F$ を得ます。従って二構成は互いに逆で、全単射です。□
&&&
これが[[affine polynomial map coordinate ring correspondence|多項式写像と座標環準同型の対応]]であり、[[affine geometry algebra duality|affine幾何と座標環の反変対応]]です。後にaffine schemeでは、点集合座標環に限らず任意の可換環 $A$ を $\operatorname{Spec}A$ へ送り、この対応を真の反同値へ拡張します。
## isomorphismと座標環
&&&cor affine isomorphism criterion [07-cor-affine-isomorphism-criterion]
多項式写像 $F:X\to Y$ が多項式写像の逆を持つことと、
$$
F^*:k[Y]\to k[X]
$$
が $k$-algebra同型であることは同値である。
&&&
&&&prf [07-prf-affine-isomorphism-criterion]
$F$ に多項式逆写像 $G$ があれば、反変関手性から
$$
F^*G^*=(G\circ F)^*=\operatorname{id}_{k[X]},
$$
$$
G^*F^*=(F\circ G)^*=\operatorname{id}_{k[Y]},
$$
なので $F^*$ は同型です。
逆に $F^*$ が同型なら、その逆準同型 $(F^*)^{-1}:k[X]\to k[Y]$ は対応定理により多項式写像 $G:Y\to X$ から来ます。準同型として
$$
(G\circ F)^*=F^*G^*=\operatorname{id},
$$
$$
(F\circ G)^*=G^*F^*=\operatorname{id}.
$$
対応の単射性から $G\circ F=\operatorname{id}_X$、$F\circ G=\operatorname{id}_Y$ です。□
&&&
これを[[affine isomorphism coordinate ring criterion|affine同型の座標環判定]]と呼びます。
&&&def affine algebraic isomorphism [07-def-affine-algebraic-isomorphism]
互いに逆な多項式写像で結ばれるaffine代数的集合を[[affine algebraic isomorphism|affine代数的に同型]]という。
&&&
放物線 $P$ とaffine直線の間では
$$
\mathbb A_k^1\to P,
\qquad
t\mapsto(t,t^2),
$$
$$
P\to\mathbb A_k^1,
\qquad
(x,y)\mapsto x
$$
が互いに逆なので、実際に同型です。
## 全単射でも同型とは限らない
以下この節では $k$ を無限体とします。cusp
$$
C=V(y^2-x^3)
$$
への写像
$$
\nu:\mathbb A_k^1\to C,
\qquad
t\mapsto(t^2,t^3)
$$
は「アフィン空間と多項式の零点集合」で任意の体上の全単射と示しました。しかし逆写像は原点以外で $t=y/x$ と書けても、原点を含む全体で一つの多項式にはなりません。
この写像を[[cusp normalization parametrization|cuspの正規化parameterization]]と呼びます。pullbackは
$$
\nu^*:k[C]\to k[t],
\qquad
\overline x\mapsto t^2,\qquad\overline y\mapsto t^3
$$
で、imageは
$$
k[t^2,t^3]
$$
です。ここに $t$ は入りません。実際 $t^2,t^3$ の多項式の非定数項は全て次数2以上で、次数1の項 $t$ を作れません。従って $\nu^*$ は全射でなく、同型判定から $\nu$ はaffine代数的同型ではありません。
これは[[bijective polynomial map not isomorphism|全単射多項式写像が同型とは限らない現象]]です。点の対応だけでは特異点の局所的な関数環を保存できません。
## 演習
&&&exercise line parabola isomorphism [07-ex-03-parabola]
写像 $F:\mathbb A_k^1\to V(y-x^2)$、$F(t)=(t,t^2)$ のpullbackを計算し、座標環同型であることを直接示せ。
&&&
&&&exercise hyperbola torus [07-ex-03-hyperbola]
$k$ を無限体とする。$H=V(xy-1)$ とmultiplicative group $k^\times$ を同じaffine代数的対象として見るとき、座標環が $k[t,t^{-1}]$ になることを、二つの逆準同型を書いて示せ。
&&&
&&&exercise crossing zero divisors [07-ex-03-crossing]
$k$ を無限体、$X=V(xy)\subseteq\mathbb A_k^2$ とする。$k[X]$ の元 $\overline x,\overline y$ がともに非零だが積が0であることを示せ。また $X$ の二本のaxisへの制限写像
$$
k[X]\to k[x]\times k[y]
$$
のimageを記述せよ。
&&&
&&&exercise cusp bijection [07-ex-03-cusp]
$k$ を無限体とする。$\nu(t)=(t^2,t^3)$ がcusp $C=V(y^2-x^3)$ への全単射であるが、affine代数的同型でないことを座標環から証明せよ。
&&&
&&&exercise recover map from homomorphism [07-ex-03-recover-map]
$X=V(uv-1)\subseteq\mathbb A_k^2$、$Y=\mathbb A_k^2$ とし、$k$-algebra準同型
$$
\varphi:k[Y]=k[x,y]\to k[X],
\qquad
x\mapsto\overline{u+v},\qquad
y\mapsto\overline{u-v}
$$
に対応する多項式写像 $F:X\to Y$ を求めよ。さらに $F(X)$ が満たす方程式を一つ求めよ。ただし $\operatorname{char}k\ne2$ とする。
&&&
## 完全解答
&&&solution line parabola isomorphism・解答 [07-sol-03-parabola]
$k[P]=k[x,y]/(y-x^2)$ と書けば
$$
F^*:k[P]\to k[t],
\qquad
\overline x\mapsto t,\qquad\overline y\mapsto t^2.
$$
逆準同型を
$$
k[t]\to k[P],
\qquad
t\mapsto\overline x
$$
と定めます。合成は $t$ を $t$ へ戻し、$\overline x$ を自分へ戻します。また
$$
\overline y=\overline{x^2}=\overline x^{,2}
$$
なので $\overline y$ も自分へ戻ります。$\overline x,\overline y$ は座標環を生成するため二つの合成は恒等写像です。従って $F^*$ は同型で、$F$ もaffine代数的同型です。□
&&&
&&&solution hyperbola torus・解答 [07-sol-03-hyperbola]
準同型
$$
\alpha:k[x,y]/(xy-1)\to k[t,t^{-1}],
\qquad
\overline x\mapsto t,\qquad\overline y\mapsto t^{-1}
$$
と
$$
\beta:k[t,t^{-1}]\to k[x,y]/(xy-1),
\qquad
t\mapsto\overline x,\qquad t^{-1}\mapsto\overline y
$$
を取ります。$\overline x\,\overline y=1$ なので $\beta$ はwell-definedです。生成元 $t,t^{-1}$ および $\overline x,\overline y$ 上で合成が恒等写像になるため互いに逆です。
$k$ が無限なので $I(H)=(xy-1)$ であり、左辺は点集合座標環 $k[H]$ です。従って $H$ の座標環はLaurent多項式環です。□
&&&
&&&solution crossing zero divisors・解答 [07-sol-03-crossing]
$k$ が無限体なら $k[X]=k[x,y]/(xy)$ です。$x\notin(xy)$、$y\notin(xy)$ なので $\overline x,\overline y$ は非零ですが
$$
\overline x\,\overline y=\overline{xy}=0.
$$
二本のaxisへの制限は
$$
\theta:k[x,y]/(xy)\to k[x]\times k[y],
\qquad
\overline f\mapsto(f(x,0),f(0,y)).
$$
任意の多項式はmodulo $(xy)$ で
$$
c+xA(x)+yB(y)
$$
と一意に書けます。従ってimageは
$$
\{(p(x),q(y))\in k[x]\times k[y]\mid p(0)=q(0)\}
$$
です。交点で二つのbranch上の関数値が一致することが、座標環の接着条件として現れます。□
&&&
&&&solution cusp bijection・解答 [07-sol-03-cusp]
「アフィン空間と多項式の零点集合」の計算により $\nu$ は全単射です。座標環上では
$$
\nu^*:k[x,y]/(y^2-x^3)\to k[t],
\qquad
\overline x\mapsto t^2,\qquad\overline y\mapsto t^3.
$$
imageは $k[t^2,t^3]$ です。この部分環の各元は
$$
c+\sum_{d\ge2}c_dt^d
$$
の形で、次数1の項を持ちません。従って $t$ はimageに入らず、$\nu^*$ は全射ではありません。もし $\nu$ がaffine代数的同型ならpullbackは同型でなければならないので矛盾です。ゆえに全単射ですが同型ではありません。□
&&&
&&&solution recover map from homomorphism・解答 [07-sol-03-recover-map]
座標classのimageを点で評価すれば、対応する写像は
$$
F(u,v)=(u+v,u-v)
$$
です。像の座標を $(x,y)$ と書くと
$$
x+y=2u,
\qquad
x-y=2v.
$$
$uv=1$ なので
$$
(x+y)(x-y)=4uv=4,
$$
従って
$$
x^2-y^2=4
$$
です。$\operatorname{char}k\ne2$ なら逆に $u=(x+y)/2$、$v=(x-y)/2$ と復元できるので、像はこの双曲線全体です。□
&&&

1-3 イデアルと座標環

## 1　同次数の斉次式が定める写像
$X\subseteq\mathbf P_k^n$ を射影代数的集合とする。同じ正次数 $d$ の斉次式 $F_0,\ldots,F_m$ が $X$ 上で同時に0にならないとき
$$\varphi:X\to\mathbf P_k^m,\qquad[x]\mapsto[F_0(x):\cdots:F_m(x)]\tag{1}$$
を射影正則写像と呼ぶ。代表を $x$ から $\lambda x$ に替えると全出力が同じ $\lambda^d$ 倍となり、零ベクトルにはならないので式 (1) は定義できる。標準図 $Y_i\ne0$ 上の目標座標は $F_j/F_i$ で、$F_i\ne0$ の開集合で正則である。次数 $e$ の斉次式 $G_j$ が定める次の写像と合成すると、出力は $G_j(F_0,\ldots,F_m)$ という次数 $de$ の斉次式で、共通零点を持たない。
共通零点集合 $\operatorname{Bs}(F_0,\ldots,F_m)=X\cap V_+(F_0,\ldots,F_m)$ をこの表示の**基点集合**という。そこを除いた開集合では式 (1) が使える。例えば $[X:Y:Z]\dashrightarrow[YZ:ZX:XY]$ は三つの座標点で定義されない。有理写像は稠密開集合上の正則写像として扱い、同じ有理写像の表示には余分な共通因子が付くこともある。
以下で使う**閉埋め込み**は、像が射影閉集合であり、各標準図で正則な逆写像が得られる単射をいう。これはここで必要な座標版の定義で、スキーム論の閉埋入へ後で接続する。
## 2　Segre写像と階数1の行列
$$\sigma:\mathbf P^m\times\mathbf P^n\to\mathbf P^{(m+1)(n+1)-1},
\qquad([x_i],[y_j])\mapsto[z_{ij}],\quad z_{ij}=x_iy_j\tag{2}$$
をSegre写像という。両代表を $\lambda x,\mu y$ に替えると全成分が $\lambda\mu$ 倍となる。両ベクトルに非零成分があるから積にも非零成分がある。従って定義できる。
出力を行列 $Z=(z_{ij})$ と見れば、像の全ての $2\times2$ 小行列式
$$z_{ij}z_{k\ell}-z_{i\ell}z_{kj}\tag{3}$$
は0である。逆に全小行列式が0の非零行列で $z_{i_0j_0}\ne0$ を選び、$x_i=z_{ij_0}$、$y_j=z_{i_0j}/z_{i_0j_0}$ と置く。式 (3) から $z_{ij}=x_iy_j$。よって像は式 (3) の全零点集合で、射影閉である。さらに $z_{i_0j_0}\ne0$ の図では
$$[x_i]=[z_{ij_0}]_i,\qquad[y_j]=[z_{i_0j}]_j$$
と一意に復元できる。アフィン座標は $z_{ij_0}/z_{i_0j_0}$ と $z_{i_0j}/z_{i_0j_0}$ で、図上の正則関数である。ゆえに $\sigma$ は閉埋め込みである。
最小例は $\mathbf P^1\times\mathbf P^1\to\mathbf P^3$、$([s:t],[u:v])\mapsto[su:sv:tu:tv]$。像は $[A:B:C:D]$ に対して $AD-BC=0$ という二次曲面である。一方の射影点を固定して他方を動かすと直線になり、二組の直線族を得る。
## 3　Veronese写像と像の方程式
$d\ge1$ とする。$|\alpha|=d$ を満たす単項式 $X^\alpha$ は $\binom{n+d}{d}$ 個ある。$N=\binom{n+d}{d}-1$ と置き
$$\nu_d:\mathbf P^n\to\mathbf P^N,\qquad[x_0:\cdots:x_n]\mapsto[x^\alpha]_{|\alpha|=d}\tag{4}$$
をVeronese写像という。全成分は同次数で、$x_i\ne0$ なら純単項式 $x_i^d\ne0$。したがって基点を持たない。
$T=k[Z_\alpha:|\alpha|=d]$ から $k[X_0,\ldots,X_n]$ への写像 $\Phi:Z_\alpha\mapsto X^\alpha$ の核 $I_{n,d}$ をVeroneseイデアルという。積が同じ単項式になる $Z_\alpha$ の二項関係を記録する斉次イデアルである。像は $V_+(I_{n,d})$ に等しい。包含の一方向は代入で直ちに従う。逆方向を示すため、$z=[z_\alpha]\in V_+(I_{n,d})$ を取る。各 $\alpha$ に対して
$$Z_\alpha^d-\prod_jZ_{de_j}^{\alpha_j}\in I_{n,d}$$
だから、純単項式座標 $z_{de_i}$ の少なくとも一つは非零である。それを一つ固定し、$x_i=1$、$x_j=z_{(d-1)e_i+e_j}/z_{de_i}$ と置く。さらに
$$Z_\alpha Z_{de_i}^{d-1}-\prod_jZ_{(d-1)e_i+e_j}^{\alpha_j}\in I_{n,d}$$
を $z$ で評価して $z_{de_i}^d$ で割ると $z_\alpha/z_{de_i}=x^\alpha$。従って $z=\nu_d([x])$。この構成は代数閉体を仮定せず、任意の体の有理点についても成り立つ。
同じ式から、$z_{de_i}\ne0$ の図で元の座標 $x_j/x_i=z_{(d-1)e_i+e_j}/z_{de_i}$ が正則に復元できる。よって $\nu_d$ は閉埋め込みである。$\nu_2:\mathbf P^2\to\mathbf P^5$ は $[X:Y:Z]\mapsto[X^2:XY:XZ:Y^2:YZ:Z^2]$ で、その対称行列
$$\begin{pmatrix}X^2&XY&XZ\\XY&Y^2&YZ\\XZ&YZ&Z^2\end{pmatrix}$$
は階数1だから全 $2\times2$ 小行列式が0である。$n=1$ では $[s:t]\mapsto[s^d:s^{d-1}t:\cdots:t^d]$ という有理正規曲線を得る。$d=3$ は前補論の三次曲線の射影閉包である。
次数 $d$ の斉次式 $F=\sum c_\alpha X^\alpha$ はVeronese座標では一次式 $\sum c_\alpha Z_\alpha$ になる。従って $V_+(F)$ はVeronese像と一つの超平面の交わりとして表される。高次方程式を線形化できる代わりに、周囲の次元とVeroneseイデアルの関係式が増える。
## 4　演習と解答
**演習1。** $[X:Y]\mapsto[X^2:XY:Y^2]$ の単射性を図で確かめよ。  
**解答。** $X\ne0$ なら $XY/X^2=Y/X$、$Y\ne0$ なら $XY/Y^2=X/Y$ から元のアフィン座標を復元できる。全成分は2次なので代表によらない。
**演習2。** $[2:3:4:6]\in\mathbf P^3$ のSegre写像による原像を求めよ。ただし標数 $2,3$ を除く。  
**解答。** $2\cdot6-3\cdot4=0$ であり、$([1:2],[2:3])\mapsto[2:3:4:6]$。
**演習3。** $[X^2:XY:XZ]$ の基点集合を求めよ。  
**解答。** 三成分は $X$ を共通因子に持ち、$X\ne0$ なら第一成分が非零。従って基点集合は直線 $V_+(X)$。その補集合では恒等写像と同じである。
**演習4。** 三次有理正規曲線 $[A:B:C:D]=[s^3:s^2t:st^2:t^3]$ について $AC-B^2=AD-BC=BD-C^2=0$ を示せ。  
**解答。** 各式に代入すると順に $s^4t^2-s^4t^2$、$s^3t^3-s^3t^3$、$s^2t^4-s^2t^4$ となる。
**演習5。** 次数 $d$ の超曲面がVeronese像の超平面切断になることを示せ。  
**解答。** $F=\sum c_\alpha X^\alpha$ に対して目標空間で $H=V_+(\sum c_\alpha Z_\alpha)$ と置く。式 (4) に代入すれば $\nu_d(V_+(F))=\nu_d(\mathbf P^n)\cap H$。

8-4 射影射とSegre・Veronese写像

> **前提知識**：局所環とgerm、接空間とJacobian
> 
## 「曲線なのに接平面」が現れる場所
cusp
$$
C=V(y^2-x^3)
$$
の原点ではJacobian rowが0となり、接空間はambient plane全体でした。一方、原点以外では接空間は一次元です。この膨張は、原点で方程式の一次部分が消え、通常の曲線らしい局所構造が壊れていることを示します。
ただし「接空間が大きい」と言うには、比較対象となる図形自身のlocal dimensionが必要です。本章ではlocal dimensionをprime idealのchainで定義し、
$$
\dim_kT_pX=\dim\mathcal O_{X,p}
$$
となる点をregular pointとします。
「Krull次元と超越次数」ではKrull dimension、超越次数、Noether正規化を用いてlocal dimensionの計算法を体系化します。本章のJacobian criterionは、local dimensionを明示した厳密な形で述べます。
## Krull dimensionとlocal dimension
&&&def Krull dimension [14-def-krull-dimension]
可換環 $R$ のprime idealの真のchain
$$
\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak p_1\subsetneq\cdots
\subsetneq\mathfrak p_d
$$
の長さのsupremumを[[Krull dimension|Krull dimension]]といい $\dim R$ と書く。
&&&
chainに現れるidealの個数は $d+1$、包含記号の個数が長さ $d$ です。体はprime ideal $(0)$ しか持たないのでdimension 0です。
&&&def local dimension [14-def-local-dimension]
affine代数的集合 $X$ と点 $p$ に対し
$$
\dim_pX=\dim\mathcal O_{X,p}
$$
を $X$ の $p$ における[[local dimension|local dimension]]という。
&&&
localization $A_{\mathfrak m_p}$ のprime idealは、$A$ のprime idealで $\mathfrak m_p$ に含まれるものと対応します。従って $\dim_pX$ は、$p$ を含むirreducible closed subsetsのchainが何段あるかを測ります。
&&&prop primes under localization [14-prop-primes-localization]
$S\subseteq A$ をmultiplicative subsetとする。$S^{-1}A$ のprime idealと、$S$ と交わらない $A$ のprime idealは
$$
\mathfrak p\longmapsto S^{-1}\mathfrak p,
\qquad
\mathfrak q\longmapsto\{a\in A\mid a/1\in\mathfrak q\}
$$
により包含を保ってbijectionする。
&&&
&&&prf [14-prf-primes-localization]
$\mathfrak p\cap S=\varnothing$ なら $S^{-1}\mathfrak p$ はproperです。$(a/s)(b/t)\in S^{-1}\mathfrak p$ なら、ある $u\in S$ について $uab\in\mathfrak p$ です。$u\notin\mathfrak p$ とprime性から $a\in\mathfrak p$ または $b\in\mathfrak p$、従って一方の分数が $S^{-1}\mathfrak p$ に入ります。
逆にprime ideal $\mathfrak q\subseteq S^{-1}A$ のcontraction $\mathfrak p$ はprimeです。$s\in S$ の像はunitなので $\mathfrak q$ に入らず、$\mathfrak p\cap S=\varnothing$ です。
$a/s\in S^{-1}\mathfrak p$ であることは、ある $u\in S$ に対し $ua\in\mathfrak p$、すなわち $(ua)/1\in\mathfrak q$ であることです。$u/1$ はunitなので $a/1\in\mathfrak q$、従って $a/s\in\mathfrak q$ です。これによりextensionとcontractionが互いに逆と分かります。□
&&&
これは[[prime ideals under localization|局所化におけるprime ideal対応]]です。
## embedding dimension
&&&def embedding dimension [14-def-embedding-dimension]
Noetherian local ring $(R,\mathfrak m,\kappa)$ に対し
$$
\operatorname{edim}R
=\dim_\kappa\mathfrak m/\mathfrak m^2
$$
を[[embedding dimension|embedding dimension]]という。
&&&
Nakayama lemmaにより、これはmaximal idealの最小生成元数に等しいです。本書ではNakayama lemmaとKrull height theoremを「Krull次元と超越次数」で証明し、一般に
$$
\dim R\le\operatorname{edim}R
$$
となることを回収します。本章の定義と判定は、この不等式の証明を前提にしません。
## regular pointとsingular point
&&&def regular and singular points [14-def-regular-singular-point]
点 $p\in X$ が
$$
\dim\mathcal O_{X,p}
=\dim_k\mathfrak m_{X,p}/\mathfrak m_{X,p}^2
$$
を満たすとき $p$ を[[regular point|regular point]]という。満たさないとき[[singular point|singular point]]という。
&&&
右辺は $\dim_kT_pX$ です。従ってregularityは
$$
\dim_pX=\dim_kT_pX
$$
という、図形のlocal dimensionと一次近似のdimensionの一致です。
この条件を満たすlocal ringを[[regular local ring|regular local ring]]と呼びます。
&&&prop regularity is invariant under local isomorphism [14-prop-regularity-local-isomorphism]
local rings $\mathcal O_{X,p}$ と $\mathcal O_{Y,q}$ がlocal ringとして同型なら、$p$ がregularであることと $q$ がregularであることは同値である。
&&&
&&&prf [14-prf-regularity-local-isomorphism]
環同型はprime idealのchainをbijectionさせるのでKrull dimensionを保ちます。local isomorphismは唯一のmaximal idealを対応させ、その平方も対応させるので
$$
\mathfrak m_{X,p}/\mathfrak m_{X,p}^2
\cong
\mathfrak m_{Y,q}/\mathfrak m_{Y,q}^2
$$
です。両辺のdimensionの等式は同時に成立します。□
&&&
したがってregularityはambient spaceへの埋め込みや方程式の選び方ではなく、germだけで決まるintrinsicな性質です。
## local dimensionを含むJacobian criterion
$X=V(I)\subseteq\mathbb A_k^n$、$I=(f_1,\ldots,f_r)$ とします。
&&&thm pointwise Jacobian criterion [14-thm-pointwise-jacobian-criterion]
点 $p\in X$ のlocal dimensionを $d=\dim_pX$ とする。このとき次は同値である。
1. $p$ はregular pointである。
2. $\dim_kT_pX=d$。
3. $\operatorname{rank}J_X(p)=n-d$。
&&&
&&&prf [14-prf-pointwise-jacobian-criterion]
1と2の同値はregular pointの定義と
$$
T_pX=(\mathfrak m/\mathfrak m^2)^\vee
$$
から従います。「接空間とJacobian」のJacobian表示とrank-nullity theoremから
$$
\dim_kT_pX=n-\operatorname{rank}J_X(p).
$$
従って2と3も同値です。□
&&&
これが[[pointwise Jacobian criterion|local dimensionを明示したJacobian criterion]]です。重要なのは、$d$ を根拠なく「方程式数を引いた値」と置かないことです。
## pure local dimensionの場合
&&&def pure local dimension [14-def-pure-local-dimension]
$X$ の全点で $\dim_pX=d$ であるとき、$X$ は[[pure local dimension|pure local dimension $d$]]を持つという。
&&&
&&&cor Jacobian criterion in pure dimension [14-cor-pure-jacobian-criterion]
$X$ がpure local dimension $d$ なら
$$
X_{\mathrm{sing}}
=\{p\in X\mid\operatorname{rank}J_X(p)<n-d\}.
$$
特にsingular locusはZariski closedである。
&&&
&&&prf [14-prf-pure-jacobian-criterion]
pointwise criterionから最初の等式が従います。matrixのrankが $n-d$ 未満であることは、全ての $(n-d)\times(n-d)$ minorが0になることと同値です。各minorは座標の多項式なので、その共通零点集合はclosedです。□
&&&
これは[[Jacobian singular locus by minors|Jacobian minorによるsingular locus]]です。local dimensionが点ごとに変わる場合は、同じ大きさのminorだけで全体を判定してはいけません。
集合 $X_{\mathrm{sing}}$ を[[singular locus|singular locus]]、その補集合をregular locusと呼びます。
## complete intersectionでの使用形
&&&prop complete-intersection Jacobian test [14-prop-complete-intersection-jacobian]
$X\subseteq\mathbb A^n$ が $p$ の近くで $c$ 個の方程式により定義され、$\dim_pX=n-c$ であるとする。このとき $p$ がregularであることと、$c\times n$ Jacobian matrixがrank $c$ を持つことは同値である。
&&&
&&&prf [14-prf-complete-intersection-jacobian]
pointwise criterionへ $d=n-c$ を代入すると、必要なrankは
$$
n-d=n-(n-c)=c.
$$
従って主張が従います。□
&&&
これは[[complete-intersection Jacobian test|complete intersectionのJacobian判定]]です。特にlocal dimension $n-1$ のhypersurface $V(f)$ では、少なくとも一つの偏微分が非零であることがregularityと同値です。
最後の使用形を[[hypersurface Jacobian criterion|hypersurfaceのJacobian criterion]]と呼びます。
## parabola・node・cusp
&&&example parabola is regular [14-example-parabola-regular]
$P=V(y-x^2)$ は $k[x]$ と座標環同型なので、各local ringは $k[x]_{(x-a)}$ と同型です。prime idealsは $(0)\subsetneq(x-a)$ の二段だけなのでlocal dimensionは1です。
Jacobian row $(-2x,1)$ は全点でrank 1です。従って接空間dimensionは $2-1=1$ でlocal dimensionと一致し、全点がregularです。
&&&
&&&example node singularity [14-example-node-singularity]
$N=V(xy)$ の原点local ringではprime ideals
$$
(x)\subsetneq(x,y),\qquad
(y)\subsetneq(x,y)
$$
があります。全てのprime idealは $xy$ を含むため $x$ または $y$ を含みます。$x$ を含むprime idealは $k[y]$ のprime idealへ対応し、$(x,y)$ に含まれるものは $(x)$ と $(x,y)$ だけです。$y$ を含む場合も同様です。従ってこれより長いchainはなくlocal dimensionは1です。
原点のJacobian row $(y,x)$ は0なので接空間dimensionは2です。よって原点はsingularです。原点以外ではrank 1となりregularです。
&&&
&&&example cusp singularity [14-example-cusp-singularity]
$C=V(y^2-x^3)$ とし $\operatorname{char}k\ne2,3$ とします。この既約平面曲線のlocal dimensionが1であることは「Krull次元と超越次数」のdimension theoremで証明します。Jacobian rowは
$$
(-3x^2,2y)
$$
です。両成分が0になる曲線上の点は原点だけです。従って原点の接空間は二次元でsingular、他の点では一次元でregularです。
nodeでは二本のbranchが異なる接方向を持ち、cuspでは一本のbranchが重なった接方向を持ちます。接空間dimensionだけでは両者を区別できず、後続の巻で扱う重複度が必要です。
&&&
## nonradicalな方程式で誤判定しない
&&&example nonradical Jacobian trap [14-example-nonradical-jacobian-trap]
集合
$$
X=V(x^2)\subseteq\mathbb A_k^2
$$
は点集合として $V(x)$、すなわち直線です。$x^2$ だけを微分すると原点でgradientが0となり、誤ってsingularと判定しそうです。
しかしaffine代数的集合の座標idealは
$$
I(X)=\sqrt{(x^2)}=(x).
$$
正しい生成元 $x$ のJacobian rowは $(1,0)$ で全点rank 1、直線はregularです。これは[[nonradical Jacobian trap|非radical方程式によるJacobian誤判定]]です。
&&&
schemeとして $k[x,y]/(x^2)$ を保持する場合はnilpotent方向が実在し、別の意味でnonregularになります。古典的点集合とschemeを混同してはいけません。
## characteristicによる見え方
&&&example inseparable-looking smooth graph [14-example-characteristic-p-graph]
$\operatorname{char}k=p>0$ で
$$
X=V(x-y^p)
$$
を考えます。$y^p$ の偏微分は $py^{p-1}=0$ ですが、$x-y^p$ の$x$偏微分は1です。Jacobian rowは $(1,0)$ で常にrank 1、$X$ はgraphとして $\mathbb A^1$ と同型なのでregularです。
「全ての見慣れた微分が0になる」のではなく、Frobenius方向の微分だけが消えます。これは[[Jacobian criterion in positive characteristic|正標数におけるJacobian判定]]で仮定と全偏微分を正確に扱う必要を示します。
&&&
## singular locusの計算
平面曲線 $X=V(f)$ がpure local dimension 1なら
$$
X_{\mathrm{sing}}
=V\left(f,\frac{\partial f}{\partial x},
\frac{\partial f}{\partial y}\right).
$$
例えば
$$
f=y^2-x^2(x+1)
$$
で $\operatorname{char}k\ne2$ とすると
$$
f_x=-3x^2-2x,\qquad f_y=2y.
$$
$f_y=0$ から $y=0$、さらに $f=0$ から $x^2(x+1)=0$ です。$f_x=0$ も課すと原点だけがsingular候補として残ります。候補を元の三式へ戻して確認することでsingular locusを計算できます。
## 演習
&&&exercise [14-exercise-1]
$X=V(xy)\subseteq\mathbb A^2$ の点 $(a,0)$ with $a\ne0$ がregularであることを、local ringとJacobianの両方から示せ。
&&&
&&&solution [14-solution-1]
local ringでは $x$ がunitなので $xy=0$ から $y=0$ です。従って
$$
\mathcal O_{X,(a,0)}\cong k[x]_{(x-a)}
$$
でlocal dimensionとembedding dimensionはともに1です。
Jacobian rowは $(y,x)$、点では $(0,a)$ でrank 1です。local dimension 1、ambient dimension 2なのでpointwise criterionの必要rank $2-1=1$ と一致します。□
&&&
&&&exercise [14-exercise-2]
$X=V(y^2-x^3-x^2)$ over a field of characteristic not 2についてsingular pointsを求めよ。
&&&
&&&solution [14-solution-2]
$$
f_x=-3x^2-2x=-x(3x+2),\qquad f_y=2y.
$$
singular pointでは $y=0$ です。元の方程式から
$$
x^2(x+1)=0,
$$
従って $x=0$ または $x=-1$ です。$x=-1$ で
$$
f_x=-3+2=-1\ne0
$$
なので除外されます。$x=0$ では両偏微分が0です。従って唯一のsingular pointは $(0,0)$ です。□
&&&
&&&exercise [14-exercise-3]
$X=V(x^2+y^2+z^2)\subseteq\mathbb A_k^3$、$\operatorname{char}k\ne2$ とする。singular locusを求めよ。
&&&
&&&solution [14-solution-3]
Jacobian rowは
$$
(2x,2y,2z).
$$
全成分が0になるのは原点だけで、原点は元の方程式も満たします。従ってhypersurfaceがlocal dimension 2を持つ範囲では
$$
X_{\mathrm{sing}}=\{(0,0,0)\}.
$$
原点以外ではrank 1、接空間dimensionは2です。原点ではrank 0、接空間は $k^3$ 全体です。□
&&&
&&&exercise [14-exercise-4]
$X=V(x-y^p)$ in characteristic $p$ について、写像
$$
\mathbb A^1\to X,\qquad t\mapsto(t^p,t)
$$
が同型であることを示し、全点regularであることを確認せよ。
&&&
&&&solution [14-solution-4]
逆写像は第二射影 $(x,y)\mapsto y$ です。二つの合成は
$$
t\mapsto(t^p,t)\mapsto t
$$
および、$x=y^p$ を使って
$$
(x,y)\mapsto y\mapsto(y^p,y)=(x,y)
$$
となるので正則同型です。$\mathbb A^1$ は各点でlocal dimension・接空間dimensionとも1です。同型不変性から $X$ もregularです。Jacobian row $(1,0)$ からも接空間dimension 1が得られます。□
&&&
&&&exercise [14-exercise-5]
$X=V(xy,xz)\subseteq\mathbb A^3$ の原点におけるJacobian matrixと接空間を求めよ。この例で単一の「全体dimension」をJacobian criterionへ無造作に代入できない理由を説明せよ。
&&&
&&&solution [14-solution-5]
生成元のJacobian matrixは
$$
\begin{pmatrix}
y&x&0\\
z&0&x
\end{pmatrix}.
$$
原点では零matrixなので
$$
T_0X=k^3.
$$
集合は
$$
X=V(x)\cup V(y,z)
$$
で、平面 $V(x)$ と $x$-axis $V(y,z)$ の合併です。異なるdimensionのirreducible componentsが原点で交わるためpure-dimensionalではありません。平面成分のdimension 2と直線成分のdimension 1のどちらを機械的に「$d$」へ入れるかで判定式が変わります。正しい定義はlocal ringのKrull dimensionとembedding dimensionを比較し、minorによる一様な記述にはpure-dimension仮定を置くことです。□
&&&
## この章で得た橋
regularityはlocal ringのKrull dimensionとembedding dimensionの一致であり、ambient embeddingに依存しません。方程式表示があると、接空間dimensionはJacobian rankから計算できます。pure local dimensionやcomplete intersectionという仮定を明示すれば、singular locusはJacobian minorsの共通零点として計算できます。
次の頁ではintegral extensionとfinite morphismへ進みます。「Noether正規化」のNoether normalizationと「Krull次元と超越次数」のdimension theoremにより、本章で入力として明示したlocal dimensionを体系的に計算し、regular local ringの一般的不等式も証明します。


2-4 正則点と特異点

> **前提知識**：アフィン代数的集合
> 
## 距離を使わず、方程式で近さを測る
Euclidean topologyでは円板や小さな区間が基本的な開集合です。しかし一般の体 $k$ には距離がなく、$\mathbb A_k^n$ で「半径」を語れません。代数幾何では、多項式方程式で切り出せる集合を閉集合とします。
この位相は非常に粗く、異なる点を小さな開近傍で分離できないことがあります。その代わり、多項式写像が自動的に連続となり、零点・既約成分・局所化が同じ言葉で結ばれます。
## topologyの復習
&&&def topology by closed sets [07-def-topology-closed-sets]
集合 $X$ の部分集合族 $\mathcal C$ が次を満たすとき、$\mathcal C$ を[[topology by closed sets|閉集合系]]という。
1. $\varnothing,X\in\mathcal C$。
2. $\mathcal C$ の任意個の元の交叉は $\mathcal C$ に属する。
3. $\mathcal C$ の有限個の元の和集合は $\mathcal C$ に属する。
$\mathcal C$ の元を閉集合、その補集合を開集合と呼ぶ。このとき開集合族は通常のtopology公理を満たす。
&&&
&&&prf [07-prf-closed-open-topology-equivalence]
De Morgan則
$$
X\setminus\bigcap_\lambda C_\lambda
=\bigcup_\lambda(X\setminus C_\lambda),
$$
$$
X\setminus(C_1\cup\cdots\cup C_r)
=(X\setminus C_1)\cap\cdots\cap(X\setminus C_r)
$$
により、閉集合の任意交叉と有限和は、開集合の任意和と有限交叉へ移ります。また $\varnothing$ と $X$ は補集合を取り替えます。従って開集合族はtopologyを定めます。逆向きも同じDe Morgan則で従います。□
&&&
## affine spaceのZariski topology
&&&thm affine Zariski topology [07-thm-affine-zariski-topology]
$\mathbb A_k^n$ のaffine代数的集合全体は閉集合系をなし、$\mathbb A_k^n$ 上のtopologyを定める。
&&&
&&&prf [07-prf-affine-zariski-topology]
「アフィン代数的集合」で証明した零点集合の公式を使います。
$$
\mathbb A_k^n=V(0),
\qquad
\varnothing=V(1)
$$
なので全空間と空集合は代数的です。
イデアル族 $(I_\lambda)$ に対し
$$
\bigcap_\lambda V(I_\lambda)
=V\!\left(\sum_\lambda I_\lambda\right)
$$
なので任意交叉に閉じます。二つのイデアル $I,J$ に対し
$$
V(I)\cup V(J)=V(IJ)
$$
なので二集合の和に閉じ、帰納法により有限和に閉じます。従って閉集合公理を満たします。□
&&&
この構成を[[affine Zariski topology construction|affine Zariski位相の構成]]と呼びます。
&&&def Zariski topology on affine space [07-def-zariski-topology-affine]
前定理で得られるtopologyを $\mathbb A_k^n$ の[[Zariski topology|Zariski位相]]という。Zariski位相を備えたaffine spaceを $\mathbb A_k^n$ と同じ記号で表す。
&&&
距離から作った位相ではなくても、閉包・連続性・稠密性・既約性などの位相概念を使えます。
## algebraic set上の相対Zariski topology
&&&def relative Zariski topology [07-def-relative-zariski-topology]
affine代数的集合 $X\subseteq\mathbb A_k^n$ に、$\mathbb A_k^n$ のZariski位相から入るsubspace topologyを入れる。すなわち $X$ の閉集合は
$$
X\cap V(S)
$$
の形の集合である。これを[[relative Zariski topology|相対Zariski位相]]という。
&&&
座標環だけを使う形に書き直せます。$\overline f\in k[X]$ に対し
$$
V_X(\overline f)
=\{a\in X\mid\overline f(a)=0\}
$$
と置き、イデアル $J\subseteq k[X]$ に対し
$$
V_X(J)=\{a\in X\mid h(a)=0\ \text{for every }h\in J\}
$$
とします。
&&&prop intrinsic closed sets on an affine algebraic set [07-prop-intrinsic-closed-sets]
$X$ の相対Zariski閉集合は、ちょうど $V_X(J)$（$J\subseteq k[X]$ はイデアル）の形の集合である。この記述は $X$ のambient affine spaceへの埋め込み表示によらず、座標環だけで定まる。
&&&
&&&prf [07-prf-intrinsic-closed-sets]
商写像を
$$
\pi:k[x_1,\ldots,x_n]\to k[X]
$$
とします。$J\subseteq k[X]$ に対し逆像 $\pi^{-1}(J)$ は $I(X)$ を含むイデアルです。点 $a\in X$ について、$J$ の全元が $a$ で0になることと、$\pi^{-1}(J)$ の全元が $a$ で0になることは同値なので
$$
V_X(J)=X\cap V(\pi^{-1}(J)).
$$
従って $V_X(J)$ は相対閉です。
逆に相対閉集合 $X\cap V(S)$ を取ります。$S$ のclassが $k[X]$ で生成するイデアルを $J=(\pi(S))$ とすれば、点上で消える条件は同じなので
$$
X\cap V(S)=V_X(J).
$$
よって全ての相対閉集合が座標環のイデアルから得られます。□
&&&
これは[[intrinsic Zariski closed set|内在的Zariski閉集合]]の記述です。図形を別のaffine spaceへ同型に埋め込んでも、座標環同型を通して同じtopologyが回収されます。
## principal open set
&&&def principal open set [07-def-principal-open-set]
$f\in k[x_1,\ldots,x_n]$ に対し
$$
D(f)=\mathbb A_k^n\setminus V(f)
=\{a\in\mathbb A_k^n\mid f(a)\ne0\}
$$
を[[principal open set|主開集合]]という。affine代数的集合 $X$ では
$$
D_X(\overline f)=X\setminus V_X(\overline f)
$$
と書く。
&&&
例えば $D(x)\subseteq\mathbb A_k^2$ は $y$-axisを除いた部分です。双曲線 $H=V(xy-1)$ では $x$ はどの点でも0でないので $D_H(\overline x)=H$ です。
&&&prop principal open identities [07-prop-principal-open-identities]
任意の $f,g$ に対し
$$
D(1)=\mathbb A_k^n,
\qquad
D(0)=\varnothing,
$$
$$
D(f)\cap D(g)=D(fg),
\qquad
D(f)=D(f^r)\quad(r\ge1).
$$
&&&
&&&prf [07-prf-principal-open-identities]
$1$ はどの点でも非零、$0$ はどの点でも0なので最初の二式が従います。点 $a$ が $D(f)\cap D(g)$ に入ることは $f(a)\ne0$ かつ $g(a)\ne0$ と同値です。体は整域なので、これは
$$
f(a)g(a)\ne0
$$
と同値、すなわち $a\in D(fg)$ です。また体で $f(a)^r\ne0$ と $f(a)\ne0$ は同値なので最後の式も従います。□
&&&
これらは[[principal open identities|主開集合の基本公式]]です。
&&&thm principal opens form a basis [07-thm-principal-opens-basis]
主開集合全体は $\mathbb A_k^n$ のZariski topologyのbasisをなす。より一般に、$D_X(h)$ 全体はaffine代数的集合 $X$ の相対Zariski topologyのbasisをなす。
&&&
&&&prf [07-prf-principal-opens-basis]
$U\subseteq X$ を開集合とします。補集合はあるイデアル $J\subseteq k[X]$ により
$$
X\setminus U=V_X(J)
$$
と書けます。従って
$$
U=X\setminus V_X(J)
=\{a\in X\mid\text{ある }h\in J\text{ について }h(a)\ne0\}.
$$
右辺は
$$
U=\bigcup_{h\in J}D_X(h)
$$
です。従って任意の開集合は主開集合の和で書けます。
また二つの基底候補の交叉は
$$
D_X(f)\cap D_X(g)=D_X(fg)
$$
と再び主開集合です。さらに $D_X(1)=X$ なので全点を覆います。よってbasisの条件を満たします。□
&&&
これが[[principal open basis|主開集合基底]]です。主開集合上では $f$ が0にならないため、後に $1/f$ を関数として許せます。代数側でこれは座標環のlocalization $k[X]_f$ になります。
## Zariski closure
&&&def Zariski closure [07-def-zariski-closure]
部分集合 $S\subseteq X$ を含む最小のZariski閉集合を $S$ の[[Zariski closure|Zariski閉包]]といい、$\overline S$ と書く。$\overline S=X$ のとき $S$ は[[Zariski dense|Zariski稠密]]であるという。
&&&
&&&thm closure equals zero locus of vanishing ideal [07-thm-closure-vanishing-ideal]
$S\subseteq\mathbb A_k^n$ に対し
$$
\overline S=V(I(S)).
$$
affine代数的集合 $X$ の部分集合 $S\subseteq X$ では
$$
\overline S^{,X}=V_X(I_X(S)),
$$
ここで $I_X(S)=\{h\in k[X]\mid h|_S=0\}$ である。
&&&
&&&prf [07-prf-closure-vanishing-ideal]
「アフィン代数的集合」で $V(I(S))$ が $S$ を含む最小のaffine代数的集合であることを証明しました。Zariski閉集合はaffine代数的集合そのものなので、これはtopological closureの定義と一致します。
$X$ 内でも同じ証明が働きます。$S\subseteq V_X(I_X(S))$ です。$Y=V_X(J)$ が $S$ を含む任意の相対閉集合なら、全ての $h\in J$ は $S$ 上で消えるので $J\subseteq I_X(S)$ です。零点操作の反変性から
$$
V_X(I_X(S))\subseteq V_X(J)=Y.
$$
従って最小です。□
&&&
これは[[Zariski closure vanishing ideal formula|Zariski閉包と消滅イデアルの公式]]です。
&&&cor density criterion [07-cor-zariski-density-criterion]
$S\subseteq X$ がZariski稠密であることと
$$
I_X(S)=0
$$
は同値である。
&&&
&&&prf [07-prf-zariski-density-criterion]
$\overline S=V_X(I_X(S))$ です。$I_X(S)=0$ なら $V_X(0)=X$ なので稠密です。
逆に $\overline S=X$ とします。$h\in I_X(S)$ なら $V_X(h)$ は $S$ を含む閉集合です。閉包の最小性から $X\subseteq V_X(h)$、従って $h$ は $X$ 全体で零関数です。座標環では零関数のclassは0なので $h=0$ です。□
&&&
これは[[Zariski density criterion|Zariski稠密性判定]]です。例えば $\mathbb Q\subseteq\mathbb A_{\mathbb R}^1$ はZariski稠密です。実係数多項式が全ての有理数で0なら、無限個の根を持つので零多項式だからです。
## polynomial mapは連続である
&&&thm polynomial maps are Zariski continuous [07-thm-polynomial-maps-continuous]
affine代数的集合の多項式写像
$$
F:X\to Y
$$
はZariski topologyについて連続である。
&&&
&&&prf [07-prf-polynomial-maps-continuous]
$Y$ の任意の閉集合を $V_Y(J)$ とします。pullback準同型を
$$
F^*:k[Y]\to k[X]
$$
とすると、
$$
\begin{aligned}
F^{-1}(V_Y(J))
&=\{a\in X\mid h(F(a))=0\text{ for every }h\in J\}\\
&=\{a\in X\mid F^*h(a)=0\text{ for every }h\in J\}\\
&=V_X\bigl((F^*(J))\bigr).
\end{aligned}
$$
ここで $(F^*(J))$ は $F^*h$（$h\in J$）が $k[X]$ で生成するイデアルです。最後の集合は $X$ のZariski閉集合なので、全閉集合の逆像が閉じ、$F$ は連続です。□
&&&
これを[[Zariski continuity of polynomial maps|多項式写像のZariski連続性]]と呼びます。同じ事実を主開集合で見ると
$$
F^{-1}(D_Y(h))=D_X(F^*h)
$$
です。関数が非零である領域はpullbackによって非零領域へ戻ります。
## affine直線の位相
&&&prop Zariski topology on the affine line [07-prop-zariski-affine-line]
$k$ を無限体とする。$\mathbb A_k^1$ のZariski閉集合は有限集合と全空間だけである。従って非空開集合は有限集合の補集合である。
&&&
&&&prf [07-prf-zariski-affine-line]
「アフィン代数的集合」で、一変数の零でない多項式の零点が有限であることから代数的集合を分類しました。閉集合が有限集合または全空間なので、その補集合はそれぞれcofinite setまたは空集合です。□
&&&
この位相は[[cofinite Zariski topology on affine line|affine直線のcofinite Zariski位相]]です。
&&&cor affine line is T1 but not Hausdorff [07-cor-affine-line-separation]
$k$ が無限体なら、$\mathbb A_k^1$ のZariski topologyは $T_1$ だがHausdorffではない。
&&&
&&&prf [07-prf-affine-line-separation]
各一点集合 $\{a\}=V(x-a)$ は閉じているので $T_1$ です。
異なる二点が互いに交わらない開近傍 $U,V$ を持つと仮定します。空でないZariski開集合は有限集合の補集合なので、$U$ と $V$ の補集合はいずれも有限です。従って
$$
U\cap V
=k\setminus\bigl((k\setminus U)\cup(k\setminus V)\bigr)
$$
は有限集合の補集合です。$k$ は無限なのでこれは空でなく、$U\cap V=\varnothing$ に反します。従ってHausdorffではありません。□
&&&
これは[[Zariski T1 non-Hausdorff phenomenon|Zariski位相のT1・非Hausdorff現象]]です。Euclidean直観では「異なる点は小さな近傍で分けられる」ことが当然に見えます。Zariski topologyでは、開集合は方程式が消えないという大きな領域なので、互いに強く重なります。
## 有限体では何が起きるか
&&&prop finite-field point Zariski topology is discrete [07-prop-finite-field-zariski-discrete]
$k$ が有限体なら、点集合 $\mathbb A_k^n$ 上でaffine代数的集合を閉集合とするZariski topologyはdiscrete topologyである。
&&&
&&&prf [07-prf-finite-field-zariski-discrete]
$\mathbb A_k^n$ 自身が有限集合です。各一点集合は
$$
\{a\}=V(x_1-a_1,\ldots,x_n-a_n)
$$
なので閉じています。任意の部分集合は有限個の一点集合の和であり、有限和は閉じています。従って全ての部分集合が閉、したがって開でもあり、topologyはdiscreteです。□
&&&
これは[[finite-field point-set Zariski topology|有限体有理点上のdiscrete Zariski位相]]です。schemeの $\operatorname{Spec}k[x_1,\ldots,x_n]$ を使うと、有限体上でもgeneric pointや非閉点が加わり、幾何が点集合だけに潰れません。これは「SpecとZariski位相」で扱います。
## 演習
&&&exercise affine line opens [07-ex-04-affine-line]
$k$ を無限体とする。$D(f)\subseteq\mathbb A_k^1$ を $f$ の根の補集合として具体的に記述し、任意の二つの非空開集合が交わることを証明せよ。
&&&
&&&exercise finite field discrete polynomial [07-ex-04-finite-field]
$k=\mathbb F_q$ とする。任意の点 $a=(a_1,\ldots,a_n)$ について、その点で1、他の全点で0となる多項式を構成せよ。それを使い任意の部分集合が一つの多項式の零点集合として書けることを示せ。
&&&
&&&exercise principal open algebra [07-ex-04-principal-open]
affine代数的集合 $X$ と $f,g\in k[X]$ に対し
$$
D_X(f)\cup D_X(g)=D_X((f,g))
$$
という記法を、右辺を $X\setminus V_X(f,g)$ と解釈して証明せよ。また一般にこの和集合が一つの $D_X(h)$ と書けるとは限らない理由を述べよ。
&&&
&&&exercise parabola map continuity [07-ex-04-parabola-continuity]
$F:\mathbb A_k^1\to V(y-x^2)$、$F(t)=(t,t^2)$ について、閉集合 $V_P(J)$ の逆像をpullback idealで書き、$F$ と逆写像 $(x,y)\mapsto x$ がともに連続であることを示せ。
&&&
&&&exercise dense subset of parabola [07-ex-04-dense-parabola]
$k=\mathbb R$、
$$
S=\{(m,m^2)\mid m\in\mathbb Z\}
\subseteq P=V(y-x^2)
$$
とする。$S$ の $P$ 内でのZariski閉包を求めよ。
&&&
## 完全解答
&&&solution affine line opens・解答 [07-sol-04-affine-line]
$f=0$ なら $D(f)=\varnothing$ です。$f\ne0$ なら根集合
$$
Z(f)=\{a\in k\mid f(a)=0\}
$$
は有限であり
$$
D(f)=k\setminus Z(f)
$$
です。
任意の非空開集合 $U,V$ はそれぞれ有限集合 $A,B$ の補集合として
$$
U=k\setminus A,
\qquad
V=k\setminus B
$$
と書けます。すると
$$
U\cap V=k\setminus(A\cup B).
$$
$A\cup B$ は有限、$k$ は無限なので右辺は空でありません。□
&&&
&&&solution finite field discrete polynomial・解答 [07-sol-04-finite-field]
一点 $a$ の指示関数を
$$
\delta_a(x_1,\ldots,x_n)
=\prod_{i=1}^n\left(1-(x_i-a_i)^{q-1}\right)
$$
と置きます。$x_i=a_i$ なら第 $i$ 因子は1です。$x_i\ne a_i$ ならFermatの小定理により $(x_i-a_i)^{q-1}=1$ なので因子は0です。従って $\delta_a(a)=1$ で、他の点では少なくとも一因子が0となります。
部分集合 $S\subseteq k^n$ に対し
$$
e_S=\sum_{a\in S}\delta_a
$$
と置けば、$e_S$ は $S$ 上で1、外で0です。従って
$$
S=V(1-e_S).
$$
よって任意の部分集合が一つの多項式の零点集合です。□
&&&
&&&solution principal open algebra・解答 [07-sol-04-principal-open]
De Morgan則から
$$
\begin{aligned}
D_X(f)\cup D_X(g)
&=X\setminus\bigl(V_X(f)\cap V_X(g)\bigr)\\
&=X\setminus V_X(f,g).
\end{aligned}
$$
したがって右辺を $D_X((f,g))$ と書けば等式が成立します。
一つの主開集合 $D_X(h)$ と書けるなら
$$
V_X(h)=V_X(f,g)
$$
でなければなりません。これが一般には不可能な例を完全に示します。$k$ を代数閉体、$X=\mathbb A_k^2$、$(f,g)=(x,y)$ とすると
$$
V(x,y)=\{(0,0)\}.
$$
ところが二変数多項式一つの零点集合は一点だけにはなりません。
実際、$0\ne h\in k[x,y]$ を $y$ の多項式
$$
h=a_0(x)+a_1(x)y+\cdots+a_d(x)y^d,
\qquad a_d\ne0
$$
と見ます。$d>0$ なら、$a_d(x)$ が0でない $x=c$ は無限個あります。各そのような $c$ について $h(c,y)$ は正次数の一変数多項式なので、代数閉性により少なくとも一つ根を持ちます。従って $V(h)$ は無限集合です。$d=0$ なら $h=h(x)$ です。$h$ が非定数なら各根 $c$ に対して直線 $\{c\}\times k$ 全体が零点になり、定数なら零点集合は空または全空間です。いずれも一点にはなりません。
従って $D(x)\cup D(y)=\mathbb A_k^2\setminus\{(0,0)\}$ は一つの主開集合ではありません。$D_X((f,g))$ は有限個の主開集合の和を表す記法として区別する必要があります。□
&&&
&&&solution parabola map continuity・解答 [07-sol-04-parabola-continuity]
$P=V(y-x^2)$ とします。$J\subseteq k[P]$ に対し
$$
F^{-1}(V_P(J))=V_{\mathbb A^1}\bigl((F^*J)\bigr),
$$
ここで
$$
F^*:k[P]\to k[t],
\qquad
\overline x\mapsto t,\qquad\overline y\mapsto t^2.
$$
右辺は閉集合なので $F$ は連続です。
逆写像 $G:P\to\mathbb A^1$、$G(x,y)=x$ も多項式写像であり
$$
G^*:k[t]\to k[P],
\qquad t\mapsto\overline x
$$
を誘導します。同じ公式により閉集合の逆像が閉じるので $G$ も連続です。従って放物線とaffine直線はhomeomorphicであるだけでなくaffine代数的に同型です。□
&&&
&&&solution dense subset of parabola・解答 [07-sol-04-dense-parabola]
$k[P]\cong\mathbb R[t]$ を $x\mapsto t$、$y\mapsto t^2$ で同一視します。$h\in k[P]$ が $S$ 上で0なら、対応する一変数多項式 $\widetilde h(t)$ は全ての整数 $m$ で
$$
\widetilde h(m)=h(m,m^2)=0
$$
です。無限個の根を持つため $\widetilde h=0$、従って $h=0$ in $k[P]$ です。よって
$$
I_P(S)=0.
$$
稠密性判定から
$$
\overline S^{,P}=V_P(0)=P.
$$
整数点だけでも、Zariski topologyでは放物線全体に稠密です。□
&&&

1-4 Zariski位相

> **前提知識**：Zariski位相
> 
## 交差する二直線は一つの図形か
$$
X=V(xy)\subseteq\mathbb A_k^2
$$
は連結です。二本の座標軸は原点で交わるため、二つの互いに離れた開集合へ分けられません。しかし代数幾何では
$$
V(xy)=V(x)\cup V(y)
$$
と、二つの真の閉部分集合へ分解できます。
一方、放物線 $V(y-x^2)$ はそのようには分かれません。違いは座標環に現れます。
$$
k[V(xy)]\cong k[x,y]/(xy)
$$
には非零元 $\overline x,\overline y$ があり、その積が0です。放物線の座標環 $k[t]$ は整域です。本章では、この対応を定理として証明します。
## irreducible topological space
&&&def irreducible topological space [07-def-irreducible-topological-space]
位相空間 $X$ が空でなく、閉集合 $A,B\subseteq X$ について
$$
X=A\cup B
$$
なら必ず $X=A$ または $X=B$ となるとき、$X$ を[[irreducible topological space|既約位相空間]]という。既約でない空間をreducibleという。
&&&
空集合を既約から除く規約を採用します。「二つの真の閉集合の和に分解できない」と言い換えても同じです。
&&&thm irreducibility criteria [07-thm-irreducibility-criteria]
空でない位相空間 $X$ について、次は同値である。
1. $X$ は既約である。
2. 任意の二つの非空開集合 $U,V$ は交わる。
3. 任意の非空開集合 $U$ は $X$ で稠密である。
&&&
&&&prf [07-prf-irreducibility-criteria]
$1\Rightarrow2$ を示します。非空開集合 $U,V$ が $U\cap V=\varnothing$ を満たすと仮定します。補集合 $A=X\setminus U$、$B=X\setminus V$ は真の閉集合であり、De Morgan則から
$$
X\setminus(A\cup B)=U\cap V=\varnothing.
$$
従って $X=A\cup B$ となり既約性に反します。
$2\Rightarrow3$ を示します。非空開集合 $U$ が稠密でないとすると、$X\setminus\overline U$ は非空開集合です。これは $U$ と交わらないため2に反します。
$3\Rightarrow1$ を示します。$X=A\cup B$ を閉集合の和とし、$A,B$ がともに真であると仮定します。$U=X\setminus A$、$V=X\setminus B$ はともに非空開集合です。3から $U$ は稠密ですが
$$
U\subseteq B
$$
です。$B$ は閉じているので $\overline U\subseteq B\ne X$ となり、稠密性に反します。従って $A=X$ または $B=X$ です。□
&&&
これを[[irreducibility open-set criterion|既約性の開集合判定]]と呼びます。Zariski topologyでは開集合が大きく重なるため、既約性は自然に現れます。
## irreducible algebraic set
&&&def irreducible affine algebraic set [07-def-irreducible-affine-algebraic-set]
相対Zariski topologyについて既約なaffine代数的集合を[[irreducible affine algebraic set|既約affine代数的集合]]という。古典的な用語では、既約affine代数的集合をaffine varietyと呼ぶ場合がある。
&&&
文献によってvarietyがreduced scheme、integral scheme、あるいは有限型schemeを意味することがあります。本書では曖昧さを避け、「affine代数的集合」「既約affine代数的集合」「affine scheme」を明記します。
## 既約性とzero divisor
&&&thm irreducible iff coordinate ring is a domain [07-thm-irreducible-coordinate-domain]
空でないaffine代数的集合 $X\subseteq\mathbb A_k^n$ について、次は同値である。
1. $X$ は既約である。
2. $I(X)$ はprime idealである。
3. 座標環 $k[X]$ はintegral domainである。
&&&
&&&prf [07-prf-irreducible-coordinate-domain]
$2\Longleftrightarrow3$ は商環のprime ideal判定
$$
R/I(X)\text{ is a domain}
\quad\Longleftrightarrow\quad
I(X)\text{ is prime}
$$
そのものです。従って $1\Longleftrightarrow3$ を示します。
$X$ がreducibleとします。真の相対閉集合 $A,B\subsetneq X$ があり
$$
X=A\cup B
$$
です。$A$ は真なので、$A=V_X(J)$ と書いたとき $X\setminus A$ に点 $a$ を取れます。$a\notin V_X(J)$ だから、ある $f\in J$ が $f(a)\ne0$ を満たします。従って $f$ は $A$ 上で0ですが $X$ 上の零関数ではなく、$0\ne f\in k[X]$ です。同様に、$B$ 上で消える非零元 $g\in k[X]$ を取れます。
任意の $x\in X=A\cup B$ について、$x\in A$ なら $f(x)=0$、$x\in B$ なら $g(x)=0$ です。従って
$$
(fg)(x)=0
$$
が全ての $x\in X$ で成立し、$fg=0$ in $k[X]$ です。非零元の積が0なので座標環は整域ではありません。
逆に $k[X]$ が整域でないとします。非零元 $f,g\in k[X]$ で $fg=0$ となるものを取ります。すると各点 $x\in X$ で
$$
f(x)g(x)=0.
$$
体は整域なので、各 $x$ は $V_X(f)$ または $V_X(g)$ に属します。従って
$$
X=V_X(f)\cup V_X(g).
$$
$f,g$ は座標環で非零、すなわち $X$ 全体では消えないので、$V_X(f),V_X(g)$ はともに真の閉部分集合です。ゆえに $X$ はreducibleです。対偶を取れば同値が従います。□
&&&
これは[[irreducible domain correspondence|既約集合と整域の対応]]です。位相的な「分解できない」と環論的な「zero divisorがない」が一致しました。
## 標準例
&&&example irreducible basic examples [07-exa-irreducible-basic]
$k$ を無限体とする。
1. $\mathbb A_k^n$ は既約である。座標環 $k[x_1,\ldots,x_n]$ が整域だからである。
2. 放物線 $V(y-x^2)$ は既約である。座標環が $k[t]$ と同型だからである。
3. 双曲線 $V(xy-1)$ は既約である。座標環が $k[t,t^{-1}]$ と同型だからである。
4. $V(xy)$ はreducibleである。実際 $V(xy)=V(x)\cup V(y)$ であり、座標環にzero divisor $\overline x\,\overline y=0$ がある。
&&&
これらを[[basic irreducible affine examples|affine既約集合の標準例]]として繰り返し使います。無限体という仮定は、点集合から定義した $k[\mathbb A_k^n]$ を多項式環と同一視するために必要です。有限体 $k$ では点集合 $k^n$ のZariski topologyはdiscreteで、二点以上あればreducibleです。schemeへ移ると $\operatorname{Spec}k[x_1,\ldots,x_n]$ は任意の体上で既約になります。
## 開部分集合は既約性を保つ
&&&prop nonempty open subsets of irreducible spaces [07-prop-open-subset-irreducible]
$X$ を既約空間、$U\subseteq X$ を非空開集合とする。このとき
1. $U$ はsubspace topologyで既約である。
2. $U$ は $X$ で稠密である。
3. $U$ の任意の非空開部分集合も $X$ で稠密である。
&&&
&&&prf [07-prf-open-subset-irreducible]
2は既約性の開集合判定です。
1を示します。$U_1,U_2$ を $U$ の非空開集合とします。ある $X$ の開集合 $V_1,V_2$ により
$$
U_i=U\cap V_i
$$
と書けます。$U_i$ は $X$ の開集合でもあります。$X$ の既約性から $U_1\cap U_2\ne\varnothing$ なので、開集合判定により $U$ は既約です。
3では、$W\subseteq U$ を非空開とすると上の議論から $W$ は $X$ の非空開集合です。再び開集合判定から $W$ は $X$ で稠密です。□
&&&
これは[[irreducible open subset density|既約空間の非空開部分の既約性と稠密性]]です。例えば既約曲線から有限個の点を除いても、残りは既約で元の曲線に稠密です。このため有理関数を「ある非空開集合上で定義された関数」として比較できます。
## 既約成分
&&&def irreducible component [07-def-irreducible-component]
位相空間 $X$ の既約な閉部分集合 $Z\subseteq X$ が、包含関係について極大であるとき、$Z$ を $X$ の[[irreducible component|既約成分]]という。
&&&
「極大」は最大とは違います。複数の既約成分が互いに包含されず並ぶことがあります。
&&&prop components in a finite irreducible decomposition [07-prop-components-finite-decomposition]
$$
X=Z_1\cup\cdots\cup Z_r
$$
を既約閉集合の有限和とし、$i\ne j$ なら $Z_i\not\subseteq Z_j$ とする。このとき $Z_1,\ldots,Z_r$ はちょうど $X$ の既約成分である。
&&&
&&&prf [07-prf-components-finite-decomposition]
まず既約閉集合 $Y\subseteq X$ を取ります。
$$
Y=Y\cap X
=\bigcup_{i=1}^r(Y\cap Z_i)
$$
です。各 $Y\cap Z_i$ は $Y$ の閉集合です。既約性を二集合の場合から帰納的に適用すると、有限個の閉集合の和が $Y$ 全体なら、ある $i$ について
$$
Y=Y\cap Z_i,
$$
すなわち $Y\subseteq Z_i$ です。
$Z_i$ を含む既約閉集合 $Y$ を取れば、上の結論により $Y\subseteq Z_j$ となる $j$ があります。すると
$$
Z_i\subseteq Y\subseteq Z_j.
$$
仮定から $i=j$ なので $Y=Z_i$ です。従って各 $Z_i$ は極大既約閉集合です。
逆に任意の既約成分 $C$ は上の議論である $Z_i$ に含まれます。$C$ の極大性と $Z_i$ の既約性から $C=Z_i$ です。□
&&&
これは[[finite irreducible component criterion|有限既約分解から成分を読む判定]]です。
&&&thm uniqueness of finite irreducible decomposition [07-thm-unique-finite-irreducible-decomposition]
包含で冗長な項を持たない二つの有限既約閉分解
$$
X=Z_1\cup\cdots\cup Z_r
=W_1\cup\cdots\cup W_s
$$
があれば、$r=s$ であり、添字を並べ替えると $Z_i=W_i$ となる。
&&&
&&&prf [07-prf-unique-finite-irreducible-decomposition]
前命題により、$Z_i$ も $W_j$ も全て $X$ の既約成分であり、逆に全既約成分は各一覧に現れます。従って二つの有限集合
$$
\{Z_1,\ldots,Z_r\},
\qquad
\{W_1,\ldots,W_s\}
$$
はともに $X$ の既約成分全体で、集合として等しいです。ゆえに項数が等しく、並べ替えにより対応します。□
&&&
これが[[irreducible decomposition uniqueness|有限既約分解の一意性]]です。存在には「閉集合の真の下降列が無限に続かない」という条件が必要です。
## Noetherian spaceと有限分解
&&&def Noetherian topological space [07-def-noetherian-topological-space]
閉集合の任意の下降列
$$
F_1\supseteq F_2\supseteq F_3\supseteq\cdots
$$
が有限段階で停止する位相空間を[[Noetherian topological space|Noetherian位相空間]]という。
&&&
&&&thm Noetherian spaces have finite irreducible decompositions [07-thm-noetherian-irreducible-decomposition]
Noetherian位相空間の任意の非空閉集合は、有限個の既約閉集合の和に分解する。冗長な成分を除けば、その既約成分表示は一意である。
&&&
&&&prf [07-prf-noetherian-irreducible-decomposition]
有限既約分解を持たない非空閉集合が存在すると仮定します。そのような閉集合から $F_0$ を一つ選びます。$F_0$ は既約ではないので、真の閉部分集合 $F_1,G_1\subsetneq F_0$ により
$$
F_0=F_1\cup G_1
$$
と書けます。もし $F_1,G_1$ がともに有限既約分解を持てば、それらを合わせて $F_0$ も有限既約分解を持つので矛盾です。従って少なくとも一方、名前を $F_1$ として、有限既約分解を持ちません。
同じ操作を繰り返すと、有限既約分解を持たない閉集合の真の下降列
$$
F_0\supsetneq F_1\supsetneq F_2\supsetneq\cdots
$$
を得ます。これはNoetherian性に反します。従って全ての非空閉集合が有限既約分解を持ちます。一意性は前定理から従います。□
&&&
これは[[Noetherian finite irreducible decomposition|Noetherian空間の有限既約分解定理]]です。「Hilbert基底定理」ではHilbert基底定理を証明し、$k[x_1,\ldots,x_n]$ のイデアル昇鎖が停止することを示します。$V$ が包含を逆転するため、そこからaffine代数的集合の閉集合下降列が停止し、全てのaffine代数的集合が有限個の既約成分を持つことを導きます。この段階では、上のtopological theorem自体の証明は完結しています。
## 例：三本の直線
$k$ を無限体とし
$$
X=V(xy(x-y))\subseteq\mathbb A_k^2
$$
とします。積の零点公式から
$$
X=V(x)\cup V(y)\cup V(x-y).
$$
各直線の座標環は $k[t]$ と同型なので既約です。三本の異なる直線は互いを含みません。従って前命題から、この三本が $X$ の既約成分です。
座標環側では
$$
k[X]\cong k[x,y]/(xy(x-y))
$$
にzero divisorがあり、全体はreducibleです。一方、各成分に対応するprime idealは
$$
(x),
\qquad
(y),
\qquad
(x-y).
$$
既約成分は、$I(X)$ を含む[[minimal prime ideal|minimal prime ideals]]として「Hilbert基底定理」以後に再解釈します。
## 空集合と一点
空集合は規約により既約ではありません。その座標環は
$$
k[\varnothing]=k[x_1,\ldots,x_n]/I(\varnothing)=0
$$
であり、零環をintegral domainに含めない規約と一致します。
一点集合は既約です。閉部分集合は空集合と自分自身だけだからです。座標環は体 $k$ で、特に整域です。
## 演習
&&&exercise irreducibility equivalence [07-ex-05-open-criterion]
既約空間 $X$ の有限個の非空開集合 $U_1,\ldots,U_r$ の交叉が非空であることを証明せよ。また無限個の交叉では失敗し得る例を、$\mathbb A_k^1$ のcofinite topologyで示せ。
&&&
&&&exercise axes components [07-ex-05-axes]
$k$ を無限体とし、$X=V(xy)\subseteq\mathbb A_k^2$ の既約成分が $V(x)$ と $V(y)$ であることを、位相的分解と座標環の両方から示せ。
&&&
&&&exercise graph irreducible [07-ex-05-graph]
$k$ を無限体、$f\in k[x]$ とする。graph
$$
\Gamma_f=V(y-f(x))\subseteq\mathbb A_k^2
$$
が既約であり、任意の非空主開集合が $\Gamma_f$ で稠密であることを示せ。
&&&
&&&exercise three lines [07-ex-05-three-lines]
$X=V(xy(x-y))$ の既約成分を求め、どの二成分の交叉も原点であることを確認せよ。$X$ は連結だがreducibleであることも説明せよ。
&&&
&&&exercise finite decomposition uniqueness [07-ex-05-uniqueness]
既約閉集合 $Y$ が有限個の閉集合 $F_1\cup\cdots\cup F_r$ に含まれるなら、ある $i$ について $Y\subseteq F_i$ であることを証明せよ。この補題だけを使って有限既約分解の一意性をもう一度証明せよ。
&&&
## 完全解答
&&&solution irreducibility equivalence・解答 [07-sol-05-open-criterion]
$r=2$ は既約性の開集合判定です。$r-1$ 個まで示したと仮定すると
$$
W=U_1\cap\cdots\cap U_{r-1}
$$
は非空開集合です。従って $W\cap U_r\ne\varnothing$ で、帰納法が閉じます。
無限交叉について、$k$ を無限体とし各 $a\in k$ に対して
$$
U_a=\mathbb A_k^1\setminus\{a\}
$$
と置きます。各 $U_a$ は非空Zariski開集合ですが
$$
\bigcap_{a\in k}U_a=\varnothing.
$$
従って有限交叉性を無限交叉へ強めることはできません。□
&&&
&&&solution axes components・解答 [07-sol-05-axes]
$$
X=V(x)\cup V(y)
$$
であり、各axisは $X$ の真の閉部分集合です。各axisの座標環は
$$
k[x,y]/(x)\cong k[y],
\qquad
k[x,y]/(y)\cong k[x]
$$
で整域なので既約です。二本は互いを含まないため、有限分解の命題から既約成分です。
全体の座標環は $k[x,y]/(xy)$ で、非零class $\overline x,\overline y$ の積が0です。従って整域でなく、対応定理から $X$ はreducibleです。□
&&&
&&&solution graph irreducible・解答 [07-sol-05-graph]
準同型
$$
k[x,y]\to k[t],
\qquad
x\mapsto t,\qquad y\mapsto f(t)
$$
のkernelは $(y-f(x))$ であり、座標環は $k[t]$ と同型です。$k[t]$ は整域なので $\Gamma_f$ は既約です。
非空主開集合 $D_{\Gamma_f}(h)$ は既約空間の非空開集合です。既約性の開集合判定から任意の非空開集合は稠密なので
$$
\overline{D_{\Gamma_f}(h)}=\Gamma_f.
$$
□
&&&
&&&solution three lines・解答 [07-sol-05-three-lines]
積の零点公式から
$$
X=V(x)\cup V(y)\cup V(x-y).
$$
各集合はaffine直線と同型なので既約で、異なる二本の直線は互いを含みません。従って三本が既約成分です。
交叉は
$$
V(x)\cap V(y)=V(x,y)=\{(0,0)\},
$$
$$
V(x)\cap V(x-y)=V(x,y)=\{(0,0)\},
$$
$$
V(y)\cap V(x-y)=V(x,y)=\{(0,0)\}.
$$
各成分は連結で、全成分が共通点を持つので全体も連結です。しかし三つの真の閉集合へ分解するためreducibleです。これは[[connected but reducible algebraic set|連結だが可約な代数的集合]]の具体例です。□
&&&
&&&solution finite decomposition uniqueness・解答 [07-sol-05-uniqueness]
$$
Y\subseteq F_1\cup\cdots\cup F_r
$$
なら
$$
Y=(Y\cap F_1)\cup\cdots\cup(Y\cap F_r).
$$
右辺は $Y$ の閉集合の有限和です。既約性を帰納的に使うと、ある $i$ で $Y=Y\cap F_i$、従って $Y\subseteq F_i$ です。
二つの冗長でない有限既約分解 $X=\bigcup_iZ_i=\bigcup_jW_j$ を取ります。固定した $Z_i$ は $\bigcup_jW_j$ に含まれるので、補題から $Z_i\subseteq W_j$ となる $j$ があります。同様にその $W_j$ はある $Z_\ell$ に含まれます。従って
$$
Z_i\subseteq W_j\subseteq Z_\ell.
$$
冗長性がないので $i=\ell$、全て等号です。よって各 $Z_i$ はある $W_j$ と一致します。逆向きも同様で、二つの成分集合は一致します。□
&&&

1-5 既約集合と既約成分

> **前提知識**：正則写像と座標環、局所化
> 
## monic方程式が幾何を有限にする
写像
$$
\pi:\mathbb A_k^1\to\mathbb A_k^1,\qquad t\mapsto t^2
$$
を考えます。座標環では
$$
k[x]\longrightarrow k[t],\qquad x\longmapsto t^2.
$$
$t$ は
$$
T^2-x=0
$$
というmonic方程式を満たし、
$$
k[t]=k[x]\oplus k[x]t
$$
です。幾何側では一般の $x$ の上に高々二点しかありません。代数側の「有限生成module」が、幾何側の「有限個の点を持つfiber」へ翻訳されます。
整拡大の一般環論は03「環と加群」を正本とします。本章ではfinite morphism、closedness、fiber、cusp normalizationという幾何学的帰結を証明します。
## integral elementとmodule-finite algebra
&&&def integral extension [15-def-integral-extension]
$A\to B$ を環準同型とする。$b\in B$ が
$$
b^n+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_0=0
\qquad(a_i\in A)
$$
というmonic方程式を満たすとき、$b$ は $A$ 上integralであるという。全ての $b\in B$ がintegralであるとき、$B$ は $A$ 上[[integral extension|integral extension]]であるという。
&&&
&&&def module-finite algebra [15-def-module-finite-algebra]
$B$ が有限生成$A$-moduleであるとき、$B$ を[[module-finite algebra|module-finite $A$-algebra]]という。
&&&
&&&prop integral generator gives finite module [15-prop-integral-generator-finite]
$b$ が次数 $n$ のmonic方程式を満たすなら
$$
A[b]=A+Ab+\cdots+Ab^{n-1}.
$$
&&&
&&&prf [15-prf-integral-generator-finite]
monic方程式を
$$
b^n=-a_{n-1}b^{n-1}-\cdots-a_0
$$
と解きます。両辺へ $b$ を繰り返し掛ければ全ての $b^m$ with $m\ge n$ を $1,b,\ldots,b^{n-1}$ の$A$-linear combinationへ下げられます。$A[b]$ の元は $b$ の多項式なので主張が従います。□
&&&
&&&thm finite type integral iff module finite [15-thm-finite-type-integral-module-finite]
$B=A[b_1,\ldots,b_r]$ が有限生成$A$-algebraであるとする。次は同値である。
1. $B$ は $A$ 上integralである。
2. $B$ はmodule-finite $A$-algebraである。
&&&
&&&prf [15-prf-finite-type-integral-module-finite]
1を仮定します。各 $b_i$ が次数 $n_i$ のmonic方程式を満たすとします。冪を順に下げると
$$
b_1^{e_1}\cdots b_r^{e_r}
\qquad(0\le e_i<n_i)
$$
という有限個のmonomialが $B$ を $A$-moduleとして生成します。
2を仮定します。$B$ の$A$-module生成元を $v_1,\ldots,v_m$ とします。任意の $b\in B$ に対し multiplication by $b$ は有限生成module $B$ のendomorphismです。関係
$$
bv_j=\sum_i c_{ij}v_i
$$
を行列 $C=(c_{ij})$ にまとめ、adjugate matrixを掛けると
$$
\det(bI-C)v_j=0
$$
です。$1$ は $v_j$ の組合せなので $\det(bI-C)=0$。これは $b$ のmonic方程式です。従って全ての $b$ はintegralです。□
&&&
これは[[finite type integral algebra criterion|有限型integral algebraのmodule有限性判定]]です。
## finite morphism
&&&def finite morphism of affine algebraic sets [15-def-finite-morphism]
affine代数的集合の正則写像
$$
\varphi:X\to Y
$$
に対し、pullback
$$
\varphi^*:k[Y]\to k[X]
$$
によって $k[X]$ がmodule-finite $k[Y]$-algebraになるとき、$\varphi$ を[[finite morphism of affine algebraic sets|finite morphism]]という。
&&&
finiteという性質は座標の選択に依存しません。affine同型で座標環を取り替えても、module有限性は環同型で保たれるからです。
&&&prop closed immersions are finite [15-prop-closed-immersions-finite]
closed subset $Z\subseteq Y$ の包含 $i:Z\hookrightarrow Y$ はfinite morphismである。
&&&
&&&prf [15-prf-closed-immersions-finite]
座標環写像はsurjection
$$
k[Y]\twoheadrightarrow k[Z]=k[Y]/I_Y(Z).
$$
商環は元 $1$ 一つで $k[Y]$-moduleとして生成されます。従ってmodule-finiteです。□
&&&
これは[[closed immersions are finite|closed immersionの有限性]]です。
&&&prop composition of finite morphisms [15-prop-composition-finite]
finite morphisms $X\xrightarrow{\varphi}Y\xrightarrow{\psi}Z$ の合成はfiniteである。
&&&
&&&prf [15-prf-composition-finite]
$A=k[Z]$、$B=k[Y]$、$C=k[X]$ とします。$B$ は有限生成$A$-module、$C$ は有限生成$B$-moduleです。$B$ の生成元を $b_i$、$C$ の生成元を $c_j$ とすれば、有限個の積 $b_ic_j$ が $C$ を $A$-moduleとして生成します。従って合成に対応する $A\to C$ はmodule-finiteです。□
&&&
これは[[composition of finite morphisms|finite morphismの合成閉性]]です。
## lying-over
finite morphismがclosedであることを示すには、integral extensionでprime idealが上に存在することが必要です。
&&&lem field criterion for integral domains [15-lem-integral-domain-field-criterion]
integral extension of domains $A\subseteq B$ に対し、$A$ がfieldであることと $B$ がfieldであることは同値である。
&&&
&&&prf [15-prf-integral-domain-field-criterion]
$A$ がfieldとします。$0\ne b\in B$ の最小次数のmonic relationを取ると、そのconstant termは非零です。そうでなければdomainで $b$ をcancelして次数を下げられます。従ってrelationを $b$ で割って解けば $b^{-1}\in B$ です。
逆に $B$ がfieldなら、$0\ne a\in A$ に対し $a^{-1}\in B$ は $A$ 上integralです。
$$
(a^{-1})^n+c_{n-1}(a^{-1})^{n-1}+\cdots+c_0=0
$$
へ $a^{n-1}$ を掛けると $a^{-1}$ が $A$ の元の式で書けます。従って $A$ もfieldです。□
&&&
これは[[field criterion for integral domains|integral extensionにおけるfield判定]]です。
&&&thm lying-over theorem [15-thm-lying-over]
$A\subseteq B$ をintegral extensionとする。任意のprime ideal $\mathfrak p\subseteq A$ に対し
$$
\mathfrak q\cap A=\mathfrak p
$$
となるprime ideal $\mathfrak q\subseteq B$ が存在する。
&&&
&&&prf [15-prf-lying-over]
$S=A\setminus\mathfrak p$ で局所化します。$S^{-1}B$ は $A_{\mathfrak p}$ 上integralです。$S^{-1}B$ のmaximal ideal $\mathfrak n$ を一つ取ります。そのcontraction
$$
\mathfrak m=\mathfrak n\cap A_{\mathfrak p}
$$
はmaximalです。
これを確認します。商
$$
A_{\mathfrak p}/\mathfrak m
\subseteq
S^{-1}B/\mathfrak n
$$
はdomainsのintegral extensionで、右辺はfieldです。直前の補題から左辺もfieldなので $\mathfrak m$ はmaximalです。$A_{\mathfrak p}$ は唯一のmaximal ideal $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ を持つため
$$
\mathfrak m=\mathfrak pA_{\mathfrak p}.
$$
$B\to S^{-1}B$ による $\mathfrak n$ のcontractionを $\mathfrak q$ とします。localizationのprime対応から $\mathfrak q$ はprimeで、その $A$ へのcontractionは $\mathfrak p$ です。□
&&&
これは[[lying-over theorem|lying-over theorem]]です。integral mapではbaseのprime pointが上で消えません。
## finite morphismはclosed
&&&thm finite morphisms are closed [15-thm-finite-morphisms-closed]
$k$ をalgebraically closed fieldとする。finite morphism
$$
\varphi:X\to Y
$$
はZariski closed mapである。さらに
$$
\varphi(X)=V_Y(\ker\varphi^*).
$$
&&&
&&&prf [15-prf-finite-morphisms-closed]
$A=k[Y]$、$B=k[X]$ とします。まず $X$ 自身の像を考えます。$\varphi^*:A\to B$ のkernelを $K$ とすると、像の全点では $K$ が消えるので
$$
\varphi(X)\subseteq V_Y(K).
$$
$y\in V_Y(K)$ に対応するmaximal ideal $\mathfrak m_y\supseteq K$ を取ります。$A/K$ は $B$ の部分環とみなせ、$B$ はその上integralです。lying-overにより $\mathfrak m_y/K$ の上にprime ideal $\mathfrak q\subseteq B$ があります。integral extensionでmaximal idealの上のprimeはmaximalです。実際商domainsのfield criterionを使えば従います。弱零点定理から $\mathfrak q$ はある点 $x\in X$ に対応し、そのcontractionが $\mathfrak m_y$ なので $\varphi(x)=y$ です。従って像は $V_Y(K)$ です。
一般のclosed subset $Z\subseteq X$ に対し、制限 $Z\to Y$ の座標環は $B/J$ です。これは $A$ 上module-finiteな $B$ のquotientなのでmodule-finiteです。今証明した像の公式から $\varphi(Z)$ はclosedです。□
&&&
これは[[finite morphisms are closed|finite morphismの閉写像性]]です。特に $\varphi^*$ がinjectiveならfinite morphismはsurjectiveです。
最後の帰結を[[finite morphism surjectivity criterion|finite morphismのsurjectivity判定]]と呼びます。
## fiberの座標環
点 $y\in Y$ に対応するmaximal idealを $\mathfrak m_y$ とします。
&&&thm coordinate algebra of a fiber [15-thm-fiber-coordinate-algebra]
finite morphism $\varphi:X\to Y$ のset-theoretic fiber $\varphi^{-1}(y)$ の方程式は $\mathfrak m_yB$ で与えられ、そのscheme的coordinate algebraは
$$
B\otimes_A\kappa(y)
\cong B/\mathfrak m_yB.
$$
代数閉体上のclosed pointでは $\kappa(y)=k$ である。
&&&
&&&prf [15-prf-fiber-coordinate-algebra]
$x\in X$ が $y$ へ写ることは、全ての $f\in\mathfrak m_y$ について
$$
(\varphi^*f)(x)=f(\varphi(x))=f(y)=0
$$
となることと同値です。従ってfiberの点集合は $V_X(\mathfrak m_yB)$ です。
一般のmodule恒等式
$$
B\otimes_A A/\mathfrak m_y\cong B/\mathfrak m_yB
$$
を使います。写像 $b\otimes\overline a\mapsto\overline{ab}$ はbalancedで全射です。逆写像 $\overline b\mapsto b\otimes1$ は $\mathfrak m_yB$ を0へ送るのでwell-definedで、両合成は恒等です。$\kappa(y)=A/\mathfrak m_y$ から主張が従います。□
&&&
これは[[coordinate algebra of a fiber|fiberのcoordinate algebra]]です。
&&&thm finite morphisms have finite fibers [15-thm-finite-fibers]
finite morphismの各closed fiberは有限集合である。
&&&
&&&prf [15-prf-finite-fibers]
$B$ が有限生成$A$-moduleなら
$$
B/\mathfrak m_yB
$$
は有限次元$\kappa(y)$-vector spaceです。代数閉体上では有限次元$k$-algebra $C$ のclosed pointsはmaximal idealsに対応します。
異なるmaximal ideals $\mathfrak n_1,\ldots,\mathfrak n_N$ はpairwise comaximalです。Chinese remainder theoremから
$$
C\longrightarrow\prod_{i=1}^N C/\mathfrak n_i\cong k^N
$$
はsurjectiveです。従って
$$
N\le\dim_kC.
$$
任意の有限部分集合に同じ上界があるため、maximal ideals全体も有限です。よってfiberの点は有限個です。□
&&&
これは[[finite morphisms have finite fibers|finite morphismの有限fiber定理]]です。fiber algebraにnilpotentがあれば、点の個数だけでなく重複度も記録します。
このnilpotentを含む情報を[[fiber multiplicity of a finite morphism|finite morphismのfiber重複度]]と呼びます。
## 基本例：二乗写像
$$
\pi:\mathbb A^1\to\mathbb A^1,\qquad t\mapsto t^2
$$
では $k[t]$ は $k[x]$ 上 $1,t$ で生成されるのでfiniteです。点 $a$ のfiber algebraは
$$
k[t]/(t^2-a).
$$
$a\ne0$ かつcharacteristic not 2なら二つのreduced points、$a=0$ なら
$$
k[t]/(t^2)
$$
となり一点にnilpotentな重複度が残ります。
## cusp normalization
&&&example finite bijective non-isomorphism [15-example-cusp-normalization]
cusp
$$
C=V(y^2-x^3)
$$
への写像
$$
\nu:\mathbb A^1\to C,\qquad t\mapsto(t^2,t^3)
$$
を考えます。座標環写像は
$$
k[x,y]/(y^2-x^3)\longrightarrow k[t],
\qquad x\mapsto t^2,\quad y\mapsto t^3.
$$
像を $A=k[t^2,t^3]$ と書くと、$t$ は $T^2-t^2=0$ を満たすのでintegralです。また
$$
k[t]=A+At
$$
なので $\nu$ はfiniteです。
$\nu$ は点集合上bijectiveです。$t\ne0$ なら $t=y/x$ で復元でき、原点のpreimageは $t=0$ だけです。しかし同型ではありません。もし同型なら逆写像に対応する $t$ が $A=k[t^2,t^3]$ に入るはずですが、$A$ のnonconstant monomialの次数は2以上であり $t$ は作れません。
これは[[finite bijective morphism not an isomorphism|finiteかつbijectiveだが同型でない射]]であり、[[cusp normalization|cuspのnormalization]]の基本例です。finite morphismは位相的な点だけでなく、local ringの欠損も運びます。
&&&
## 演習
&&&exercise [15-exercise-1]
$A\subseteq B$ がmodule-finiteで、$B\subseteq C$ がmodule-finiteなら $C$ がmodule-finite $A$-algebraであることを生成元から証明せよ。
&&&
&&&solution [15-solution-1]
$B=\sum_iAb_i$、$C=\sum_jBc_j$ とします。任意の $c\in C$ は
$$
c=\sum_j\beta_jc_j,\qquad\beta_j=\sum_i a_{ij}b_i
$$
と書けるので
$$
c=\sum_{i,j}a_{ij}b_ic_j.
$$
有限個の $b_ic_j$ が $C$ を $A$-moduleとして生成します。□
&&&
&&&exercise [15-exercise-2]
写像 $\mathbb A^1\to\mathbb A^1$, $t\mapsto t^n$ がfiniteであることを示し、点 $a$ のfiber algebraを書け。
&&&
&&&solution [15-solution-2]
座標環写像は $k[x]\to k[t]$, $x\mapsto t^n$ です。$t$ はmonic方程式 $T^n-x=0$ を満たし、
$$
k[t]=k[x]+k[x]t+\cdots+k[x]t^{n-1}.
$$
従ってfiniteです。fiber algebraは
$$
k[t]\otimes_{k[x]}k[x]/(x-a)
\cong k[t]/(t^n-a).
$$
□
&&&
&&&exercise [15-exercise-3]
finite morphism $\varphi:X\to Y$ とclosed subset $Z\subseteq X$ に対し、restriction $Z\to Y$ がfiniteであることをmodule生成元から示せ。
&&&
&&&solution [15-solution-3]
$A=k[Y]$、$B=k[X]$、$k[Z]=B/J$ とします。$B$ が $b_1,\ldots,b_m$ で $A$-moduleとして生成されるなら、そのclasses $\overline b_i$ が $B/J$ を生成します。従って $A\to B/J$ はmodule-finiteで、restrictionはfiniteです。□
&&&
&&&exercise [15-exercise-4]
cusp normalizationの原点fiber algebraを計算せよ。
&&&
&&&solution [15-solution-4]
cusp原点のmaximal idealは $(x,y)$ です。$k[t]$ への像は $(t^2,t^3)=(t^2)$ なのでfiber algebraは
$$
k[t]/(t^2,t^3)\cong k[t]/(t^2).
$$
点集合としてfiberは一点ですが、長さ2のnilpotent構造を持ちます。これは原点で写像が単純な一対一対応以上の情報を持つことを示します。□
&&&
&&&exercise [15-exercise-5]
finite morphism $\varphi:X\to Y$ のpullbackがinjectiveなら $\varphi$ がsurjectiveであることを、closed image theoremから証明せよ。
&&&
&&&solution [15-solution-5]
closed image theoremから
$$
\varphi(X)=V_Y(\ker\varphi^*).
$$
injectivityによりkernelは0です。$V_Y(0)$ は $Y$ 全体なので
$$
\varphi(X)=Y.
$$
従って $\varphi$ はsurjectiveです。□
&&&
## この章で得た橋
finite morphismは座標環がmodule-finiteになるaffine morphismです。整性によりprime idealsはlying overし、finite morphismの像とclosed subsetの像はclosedになります。各fiberのcoordinate algebraは有限次元なので点は有限個で、nilpotentが重複度を保持します。
次の頁では任意の有限生成domainを多項式環上module-finiteにするNoether normalizationを証明します。これにより一般のaffine varietyからaffine spaceへのfinite surjective morphismが得られ、dimensionを座標の個数として測れるようになります。


2-5 整拡大と有限射

> **前提知識**：Zariski位相
> 
## この章でいうregular map
affine代数幾何には、二つの同値になる定義が現れます。
1. 各座標が多項式で与えられる写像。
2. 各点の近傍で、多項式の商として書ける関数をpullbackで保つ写像。
両者の一致を証明するには、代数閉体上のNullstellensatzと局所化が必要です。本書では論理を循環させないため、「正則写像と座標環」では1を採用します。「Hilbert零点定理」でNullstellensatz、「局所化と主開集合」「局所環とgerm」で局所化と局所環を扱った後、2との一致を回収します。
&&&def affine regular map [07-def-affine-regular-map]
affine代数的集合 $X\subseteq\mathbb A_k^n$、$Y\subseteq\mathbb A_k^m$ の間の写像 $F:X\to Y$ が
$$
F(a)=\bigl(f_1(a),\ldots,f_m(a)\bigr)
$$
と $f_i\in k[x_1,\ldots,x_n]$ で表されるとき、本章では $F$ を[[affine regular map|affine正則写像]]という。
&&&
これは「イデアルと座標環」の多項式写像と同じ概念です。呼び名を変えるのは、これをaffine代数幾何の射として採用することを強調するためです。
## 表示は一意でなく、pullbackは一意である
$f_i$ と $f_i'$ が $X$ 上で同じ関数を定めれば
$$
f_i-f_i'\in I(X).
$$
したがって座標多項式そのものではなく、そのclass $\overline f_i\in k[X]$ が本質です。
&&&prop coordinate-free criterion for affine regular maps [07-prop-coordinate-free-regular-map]
写像 $F:X\to Y$ について次は同値である。
1. $F$ はaffine正則写像である。
2. $Y$ の各座標関数 $\overline y_j\in k[Y]$ に対し、合成 $\overline y_j\circ F$ は $X$ 上の多項式関数である。
3. 任意の $h\in k[Y]$ に対し $h\circ F$ は $k[X]$ の元である。
&&&
&&&prf [07-prf-coordinate-free-regular-map]
$1\Rightarrow3$ とします。$F=(f_1,\ldots,f_m)$ なら、$h$ の代表多項式を $H(y_1,\ldots,y_m)$ として
$$
h\circ F=H(f_1,\ldots,f_m)
$$
は $X$ 上の多項式関数です。
$3\Rightarrow2$ は座標関数も $k[Y]$ の元なので直ちに従います。
$2\Rightarrow1$ とします。各 $\overline y_j\circ F$ を表す多項式 $f_j\in k[x_1,\ldots,x_n]$ を選びます。すると各 $a\in X$ で
$$
F(a)=\bigl(f_1(a),\ldots,f_m(a)\bigr)
$$
なので $F$ はaffine正則写像です。□
&&&
この判定を[[coordinate-free affine regularity criterion|affine正則性の座標環判定]]と呼びます。
&&&def regular pullback [07-def-regular-pullback]
affine正則写像 $F:X\to Y$ に対し
$$
F^*:k[Y]\to k[X],
\qquad
h\mapsto h\circ F
$$
を[[regular pullback|正則pullback]]という。
&&&
「イデアルと座標環」で、これはwell-definedな $k$-algebra準同型であり
$$
(G\circ F)^*=F^*\circ G^*
$$
を満たすことを証明しました。ここでは、その反変性を幾何学的構成へ使います。
## affine algebraic category
&&&def category of affine algebraic sets [07-def-category-affine-algebraic-sets]
affine代数的集合をobject、affine正則写像をmorphismとするcategoryを[[category of affine algebraic sets|affine代数的集合の圏]]と書く。恒等写像と合成は集合としての恒等写像・合成で定める。
&&&
&&&prop affine regular maps form a category [07-prop-affine-regular-category]
affine正則写像の合成はaffine正則であり、恒等写像はaffine正則である。従って前定義はcategoryをなす。
&&&
&&&prf [07-prf-affine-regular-category]
$F:X\to Y$ を座標 $f_1,\ldots,f_m$、$G:Y\to Z\subseteq\mathbb A_k^r$ を座標 $g_1,\ldots,g_r$ で表します。合成は
$$
G\circ F
=\bigl(g_1(f_1,\ldots,f_m),\ldots,
g_r(f_1,\ldots,f_m)\bigr)
$$
で、各成分は多項式です。恒等写像は座標多項式 $x_1,\ldots,x_n$ で表されます。集合写像の合成が結合的で、恒等写像が単位なのでcategory公理を満たします。□
&&&
これは[[affine regular map category laws|affine正則写像の圏公理]]です。
&&&thm coordinate ring contravariant embedding [07-thm-coordinate-ring-contravariant-embedding]
対応
$$
X\longmapsto k[X],
\qquad
(F:X\to Y)\longmapsto(F^*:k[Y]\to k[X])
$$
は、affine代数的集合の圏から有限生成reduced $k$-algebraの圏の反対圏へのcontravariant functorであり、各morphism集合上で全単射である。
&&&
&&&prf [07-prf-coordinate-ring-contravariant-embedding]
「イデアルと座標環」で恒等写像と合成について
$$
(\operatorname{id}_X)^*=\operatorname{id}_{k[X]},
\qquad
(G\circ F)^*=F^*\circ G^*
$$
を証明したのでcontravariant functorです。
$k[X]$ は多項式環の商なので有限生成 $k$-algebraであり、消滅イデアルがradicalなのでreducedです。
また「イデアルと座標環」で、任意の $k$-algebra準同型 $\varphi:k[Y]\to k[X]$ から、$Y$ の座標classの像を座標とする一意のaffine正則写像 $F_\varphi:X\to Y$ を構成し、$F_\varphi^*=\varphi$ を示しました。従ってmorphism集合上の対応は全単射です。□
&&&
これを[[coordinate ring contravariant full embedding|座標環の充満忠実な反変埋入]]と呼びます。ただし任意の有限生成reduced $k$-algebraが点集合座標環になるというessential surjectivityは、任意の体では成り立ちません。代数閉体上ではNullstellensatzにより成立し、「Hilbert零点定理」で反同値へ強めます。
## graph of a regular map
$X\subseteq\mathbb A_k^n$、$Y\subseteq\mathbb A_k^m$ なら
$$
X\times Y
=V\bigl(I(X)k[x,y]+I(Y)k[x,y]\bigr)
\subseteq\mathbb A_k^{n+m}
$$
なので、Cartesian productもaffine代数的集合です。ここで二つのイデアルは、それぞれ $x$-変数、$y$-変数を持つ大きな多項式環へ拡張しています。
&&&def graph of an affine regular map [07-def-graph-affine-regular-map]
$F:X\to Y$ のgraphを
$$
\Gamma_F=\{(x,F(x))\mid x\in X\}
\subseteq X\times Y
$$
と書く。これを[[graph of an affine regular map|affine正則写像のgraph]]という。
&&&
&&&thm graph of an affine regular map is closed [07-thm-regular-graph-closed]
affine正則写像 $F:X\to Y$ のgraph $\Gamma_F$ は $X\times Y$ のZariski閉集合である。第一射影
$$
p_X:\Gamma_F\to X
$$
はaffine代数的同型である。
&&&
&&&prf [07-prf-regular-graph-closed]
$X\subseteq\mathbb A_k^n$、$Y\subseteq\mathbb A_k^m$、
$$
F=(f_1,\ldots,f_m)
$$
とします。積空間の座標を $(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)$ とすると
$$
\Gamma_F
=(X\times Y)\cap
V(y_1-f_1(x),\ldots,y_m-f_m(x)).
$$
右辺は $X\times Y$ の相対閉集合なのでgraphは閉じています。
$p_X$ は座標射影なのでaffine正則です。逆写像
$$
s:X\to\Gamma_F,
\qquad
x\mapsto(x,F(x))
$$
も座標が $x_1,\ldots,x_n,f_1,\ldots,f_m$ なのでaffine正則です。集合写像として
$$
p_X\circ s=\operatorname{id}_X,
\qquad
s\circ p_X=\operatorname{id}_{\Gamma_F}
$$
だから同型です。□
&&&
これは[[closed graph theorem for affine regular maps|affine正則写像のgraph閉性]]です。graphは写像を部分集合へ変換します。後にschemeの分離性では、対角写像のgraphが閉じることを一般化します。
## imageは閉じるとは限らない
連続写像は閉集合を閉集合へ送るとは限りません。affine正則写像でも同じです。
&&&example regular image need not be closed [07-exa-regular-image-not-closed]
双曲線
$$
H=V(xy-1)\subseteq\mathbb A_k^2
$$
から第一座標への射影
$$
p:H\to\mathbb A_k^1,
\qquad
(x,y)\mapsto x
$$
を考える。像は
$$
p(H)=k^\times=\mathbb A_k^1\setminus\{0\}=D(x).
$$
$k$ が無限体なら $k^\times$ は無限proper subsetなので、affine直線のZariski閉集合ではない。従って正則写像の像は閉じるとは限らない。
&&&
これは[[regular image need not be closed|正則写像の像が閉じない例]]です。像は任意の集合になるわけでもありません。消去定理により、正則写像の像は閉集合の有限和と開集合の有限交叉で作られる[[constructible image theorem|constructible像定理]]へつながります。「消去とGröbner基底への入口」で具体的な射影計算から入口を作ります。
## maps to affine line are functions
&&&prop regular functions as maps to affine line [07-prop-regular-functions-affine-line]
affine正則写像 $f:X\to\mathbb A_k^1$ 全体と座標環 $k[X]$ の元は自然に一対一対応する。
&&&
&&&prf [07-prf-regular-functions-affine-line]
$\mathbb A_k^1$ の座標関数を $t$ とします。写像 $f$ からpullback
$$
f^*:k[\mathbb A_k^1]\to k[X]
$$
を取り、$f^*(t)$ を対応させます。これは点 $x$ で $t(f(x))=f(x)$ を値に持つので、写像自身を表す座標環の元です。
逆に $h\in k[X]$ は多項式関数 $h:X\to k=\mathbb A_k^1$ を定めます。この二構成は互いに逆です。□
&&&
これを[[regular functions as affine-line morphisms|正則関数とaffine直線への射の同一視]]と呼びます。schemeでも大域切断は $\mathbb A^1$ への射として理解できます。
## automorphisms of the affine line
抽象的な同型判定を、完全に計算できる例へ使います。
&&&thm automorphisms of the affine line [07-thm-affine-line-automorphisms]
$k$ を無限体とする。$\mathbb A_k^1$ のaffine代数的自己同型はちょうど
$$
t\longmapsto at+b,
\qquad
a\in k^\times, b\in k
$$
の形である。
&&&
&&&prf [07-prf-affine-line-automorphisms]
自己同型 $F$ はある多項式 $f(t)\in k[t]$ で表され、その逆 $G$ はある $g(t)\in k[t]$ で表されます。合成が恒等写像なので
$$
g(f(t))=t.
$$
$f,g$ が定数なら合成も定数となり不可能です。非定数多項式の次数について
$$
\deg(g\circ f)=(\deg g)(\deg f)
$$
なので
$$
1=(\deg g)(\deg f).
$$
正整数の積が1だから $\deg f=\deg g=1$ です。従って $f(t)=at+b$ で $a\ne0$ です。
逆に $f(t)=at+b$ なら
$$
g(t)=a^{-1}(t-b)
$$
が多項式逆写像なので自己同型です。□
&&&
これは[[affine line automorphism group|affine直線の自己同型群]]が $k\rtimes k^\times$ であることを示します。
## 全単射との違いを再確認する
$k$ を無限体とし、cusp
$$
C=V(y^2-x^3)
$$
への写像 $\nu(t)=(t^2,t^3)$ を考えます。これは点集合として全単射ですが、pullback
$$
\nu^*:k[C]=k[t^2,t^3]\hookrightarrow k[t]
$$
は $t$ をimageに含まず同型ではありません。
&&&prop bijective regular map can fail to be an isomorphism [07-prop-bijective-regular-not-iso]
affine正則写像は、点集合として全単射でもaffine代数的同型とは限らない。
&&&
&&&prf [07-prf-bijective-regular-not-iso]
上の $\nu$ が反例です。「アフィン空間と多項式の零点集合」で全単射性を証明しました。もしaffine代数的同型なら、座標環pullback $\nu^*$ は同型でなければなりません。しかしimage $k[t^2,t^3]$ は $t$ を含まないので全射ではなく、矛盾です。□
&&&
これは[[bijective regular morphism not isomorphism|全単射正則射が同型とは限らない現象]]です。位相的にも $\nu$ はZariski homeomorphismになり得ますが、structure sheafが持つ関数環は異なります。代数幾何で空間を「点と位相」だけでなく「関数の層」として扱う必要が、ここに現れます。
## retractionと座標環
&&&prop affine retraction criterion [07-prop-affine-retraction-criterion]
affine正則写像 $i:Y\to X$ がaffine正則retraction $r:X\to Y$、すなわち
$$
r\circ i=\operatorname{id}_Y
$$
を持つなら、pullbackは
$$
i^*\circ r^*=\operatorname{id}_{k[Y]}
$$
を満たす。従って $r^*$ は単射、$i^*$ は全射である。
&&&
&&&prf [07-prf-affine-retraction-criterion]
反変関手性から
$$
(r\circ i)^*=i^*\circ r^*.
$$
左辺は恒等写像のpullbackなので $\operatorname{id}_{k[Y]}$ です。左逆を持つ写像は単射、右逆を持つ写像は全射なので結論が従います。□
&&&
これは[[affine retraction coordinate-ring criterion|affine retractionの座標環判定]]です。topologyで使ったretraction obstructionと同じ論理が、ここでは座標環準同型へ翻訳されています。
## 演習
最後の演習では[[coordinate-ring idempotent decomposition|座標環のidempotentが与える開閉分解]]を計算します。
&&&exercise graph ideal [07-ex-06-graph]
$X=\mathbb A_k^1$、$F(t)=(t^2,t^3):X\to\mathbb A_k^2$ とする。graph $\Gamma_F\subseteq\mathbb A_k^3$ の定義イデアルを求め、$\Gamma_F\cong\mathbb A_k^1$ を座標環でも確認せよ。
&&&
&&&exercise hyperbola projection image [07-ex-06-hyperbola-image]
$H=V(xy-1)$ の第一射影 $p:H\to\mathbb A_k^1$ について、pullback $p^*$ を書き、像が $D(t)$ であることを示せ。$k$ が無限体なら像が閉じていないことも証明せよ。
&&&
&&&exercise affine line endomorphisms [07-ex-06-line-endomorphism]
$F(t)=t^d$ が定める $\mathbb A_k^1$ の自己写像のpullbackを求めよ。どの $d\ge0$ でaffine代数的自己同型になるか判定せよ。
&&&
&&&exercise maps to affine line [07-ex-06-functions]
$X=V(xy)\subseteq\mathbb A_k^2$ とする。affine正則写像 $X\to\mathbb A_k^1$ が
$$
c+xA(x)+yB(y)
$$
の形で一意に表されることを示し、二本のaxis上の多項式関数を交点で接着する条件を説明せよ。ただし $k$ は無限体とする。
&&&
&&&exercise regular idempotent and decomposition [07-ex-06-idempotent]
$X$ をaffine代数的集合とする。$e\in k[X]$ が $e^2=e$ を満たすとき
$$
X=V_X(e)\sqcup V_X(1-e)
$$
が互いに交わらない開かつ閉な部分集合への分解になることを示せ。$e\ne0,1$ なら両部分が非空であり、$X$ が非連結、従ってreducibleであることも示せ。
&&&
## 完全解答
&&&solution graph ideal・解答 [07-sol-06-graph]
ambient座標を $(t,x,y)$ とすると
$$
\Gamma_F=V(x-t^2,y-t^3).
$$
従って定義イデアルは
$$
I(\Gamma_F)=(x-t^2,y-t^3)
$$
です。厳密には $k$ が無限なら、商写像
$$
k[t,x,y]\to k[t],
\qquad
t\mapsto t,\qquad x\mapsto t^2,\qquad y\mapsto t^3
$$
のkernelがこのイデアルで、点集合の消滅イデアルとも一致します。
座標環は
$$
k[\Gamma_F]
\cong k[t,x,y]/(x-t^2,y-t^3)
\cong k[t].
$$
第一射影のpullbackは $k[t]\to k[\Gamma_F]$ のこの同型なので、graphは $\mathbb A_k^1$ とaffine代数的に同型です。□
&&&
&&&solution hyperbola projection image・解答 [07-sol-06-hyperbola-image]
$k$ を無限体とすると
$$
k[H]\cong k[x,y]/(xy-1)\cong k[x,x^{-1}].
$$
射影のpullbackは
$$
p^*:k[t]\to k[x,x^{-1}],
\qquad
t\mapsto x.
$$
点 $(a,b)\in H$ では $ab=1$ なので $a\ne0$、従って像は $k^\times=D(t)$ に含まれます。逆に $a\ne0$ なら $(a,a^{-1})\in H$ なので全ての $a\in D(t)$ が像に入ります。
$D(t)=k\setminus\{0\}$ は無限proper subsetです。無限体上のaffine直線の閉集合は有限集合か全空間だけなので、像は閉じていません。□
&&&
&&&solution affine line endomorphisms・解答 [07-sol-06-line-endomorphism]
pullbackは
$$
F^*:k[t]\to k[t],
\qquad
t\mapsto t^d.
$$
$d=1$ なら恒等写像で自己同型です。$d=0$ なら定値写像で、pullbackのimageは定数だけなので同型ではありません。$d\ge2$ ではimageは $k[t^d]$ で $t$ を含まないため全射でなく、自己同型ではありません。従って $d=1$ のとき、かつそのときに限り自己同型です。□
&&&
&&&solution maps to affine line・解答 [07-sol-06-functions]
$k[X]=k[x,y]/(xy)$ です。任意のmonomial $x^iy^j$ は $i,j>0$ なら0になり、従って各classは
$$
c+xA(x)+yB(y)
$$
と書けます。
一意性を示します。この式が0 in $k[X]$ なら、$x$-axisへ制限して
$$
c+xA(x)=0
$$
as a polynomial function on an infinite fieldです。従って多項式恒等原理から $c=0,A=0$。同様に $y$-axisへ制限して $B=0$ です。
二本のaxis上の関数を $p(x),q(y)$ とすると、一つの $X$ 上の関数へ接着できる必要十分条件は交点で
$$
p(0)=q(0)
$$
となることです。共通値を $c$ とすれば $p=c+xA(x)$、$q=c+yB(y)$ と書け、上の式が接着した関数を与えます。□
&&&
&&&solution regular idempotent and decomposition・解答 [07-sol-06-idempotent]
$e^2=e$ なら各点 $x\in X$ で
$$
e(x)(e(x)-1)=0.
$$
体上なので $e(x)=0$ または1です。従って
$$
X=V_X(e)\cup V_X(1-e),
$$
両者は交わりません。どちらも零点集合なので閉じています。一方
$$
V_X(e)=X\setminus V_X(1-e),
$$
$$
V_X(1-e)=X\setminus V_X(e)
$$
なので開でもあります。
$e\ne0$ なら $e$ は $X$ 全体で0ではないので、$V_X(e)\ne X$、従って $V_X(1-e)$ は非空です。同様に $e\ne1$ なら $1-e\ne0$ だから $V_X(e)$ は非空です。よって非自明idempotentは $X$ を二つの非空clopen集合へ分け、$X$ は非連結です。既約空間は任意の二非空開集合が交わるため連結なので、$X$ はreducibleでもあります。□
&&&

1-6 正則写像と座標環

> **前提知識**：Hilbert基底定理、整拡大と有限射
> 
## 任意のaffine図形に座標軸を通す
放物線
$$
C=V(y-x^2)\subseteq\mathbb A_k^2
$$
を $y$ 軸へ射影すると、一つの $y$ に対して $x^2=y$ を満たす点は高々二つです。座標環では
$$
k[y]\longrightarrow k[C]=k[x,y]/(y-x^2)\cong k[x]
$$
となり、$x$ は $T^2-y=0$ を満たします。従って $k[C]$ は $k[y]$ 上module-finiteです。
一般のaffine代数的集合にも、適切に選んだ少数の「座標」へ有限に射影できるでしょうか。Noether正規化定理は、答えが常にyesであることを述べます。複雑な有限生成algebraの内部に多項式環を見つけ、残りの全ての元をその上のmonic方程式へ閉じ込める定理です。
本章では任意の体上で代数版を証明し、代数閉体上で有限全射という幾何版へ翻訳します。次の頁までは、正規化に現れる変数の個数をdimensionと同一視せず、「独立な座標の個数」として扱います。
## algebraic independenceと正規化部分環
&&&def algebraically independent elements [16-def-algebraic-independence]
$k$-algebra $A$ の元 $z_1,\ldots,z_d$ に対し、評価準同型
$$
k[T_1,\ldots,T_d]\longrightarrow A,
\qquad T_i\longmapsto z_i
$$
がinjectiveであるとき、$z_1,\ldots,z_d$ は $k$ 上[[algebraic independence|algebraically independent]]であるという。
&&&
これは、$z_i$ の間に係数が $k$ にある非自明な多項式関係が一つもないことと同値です。このとき $k[z_1,\ldots,z_d]$ は抽象的な多項式環 $k[T_1,\ldots,T_d]$ と同型です。
&&&def Noether normalizing subalgebra [16-def-normalizing-subalgebra]
有限生成$k$-algebra $A$ の部分algebra
$$
R=k[z_1,\ldots,z_d]\subseteq A
$$
が多項式環と同型であり、$A$ がmodule-finite $R$-algebraであるとき、$R$ を $A$ の[[Noether normalizing subalgebra|Noether正規化部分環]]という。
&&&
ここでいうNoether正規化は、domainをそのintegral closureへ移すnormalizationとは別の操作です。本章の正規化は「多項式環を有限部分環として選ぶこと」です。
## 一つの関係式から生成元を一つ減らす
定理の心臓部は、代数関係が一つあれば座標を曲げて生成元を一つ減らせるという補題です。
&&&lem separation of finitely many monomial weights [16-lem-weight-separation]
有限集合 $E\subseteq\mathbb N^n$ に対し、正整数
$$
w_1,\ldots,w_n
$$
を、写像
$$
(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\longmapsto
\sum_{i=1}^n\alpha_iw_i
$$
が $E$ 上injectiveになるように選べる。
&&&
&&&prf [16-prf-weight-separation]
$E$ に現れる全ての成分より大きい整数 $M$ を取ります。$w_i=M^{i-1}$ と置きます。もし
$$
\sum_i\alpha_iM^{i-1}=\sum_i\beta_iM^{i-1}
$$
なら、両辺は各桁が $0$ 以上 $M-1$ 以下のbase $M$ 展開です。base $M$ 表示の一意性により $\alpha_i=\beta_i$ が全ての $i$ で成り立ちます。従って写像は $E$ 上injectiveです。□
&&&
&&&lem monic change of generators [16-lem-monic-change-generators]
$A=k[x_1,\ldots,x_n]$ とし、$x_1,\ldots,x_n$ がalgebraically dependentであるとする。このとき、適切な正整数 $m_1,\ldots,m_{n-1}$ に対して
$$
y_i=x_i-x_n^{m_i}\qquad(1\le i<n)
$$
と置けば、$x_n$ は $B=k[y_1,\ldots,y_{n-1}]$ 上integralになり、$A$ はmodule-finite $B$-algebraになる。
&&&
&&&prf [16-prf-monic-change-generators]
algebraic dependenceにより、零でない多項式
$$
f(X_1,\ldots,X_n)=
\sum_{\alpha\in E}c_\alpha X_1^{\alpha_1}\cdots X_n^{\alpha_n}
$$
で $f(x_1,\ldots,x_n)=0$ となるものがあります。$E$ は $c_\alpha\ne0$ となる指数の有限集合です。
前補題でweightsを選びます。$w_n=1$ としたいので、$E$ の各成分より大きい $M$ を取り
$$
m_i=M^i\quad(1\le i<n),
\qquad w_n=1
$$
とします。指数
$$
\alpha_n+\sum_{i<n}m_i\alpha_i
$$
は $E$ 上で全て異なります。
形式的な代入
$$
X_i=Y_i+X_n^{m_i}\quad(i<n)
$$
を $f$ に行います。各monomialから $Y_i$ を一つも選ばない項の $X_n$-degreeは
$$
\alpha_n+\sum_{i<n}m_i\alpha_i.
$$
これらは互いに異なるので、最大degreeの項はただ一つです。その係数は対応する $c_\alpha\ne0$ であり、別の項とcancelしません。従って
$$
g(Y_1,\ldots,Y_{n-1},X_n)
=f(Y_1+X_n^{m_1},\ldots,Y_{n-1}+X_n^{m_{n-1}},X_n)
$$
は $X_n$ の多項式としてnonzero constantをleading coefficientに持ちます。そのconstantで割れば、$X_n$ についてmonicにできます。
$Y_i=y_i$、$X_n=x_n$ と評価すると $g(y_1,\ldots,y_{n-1},x_n)=0$ です。従って $x_n$ は $B$ 上integralです。さらに
$$
x_i=y_i+x_n^{m_i}
$$
なので
$$
A=B[x_n].
$$
$x_n$ がmonic方程式を満たすことから、「整拡大と有限射」の冪を下げる議論により $A$ は有限生成$B$-moduleです。□
&&&
この操作を[[Noether normalization change of generators|Noether正規化の生成元変換]]と呼びます。係数体が有限体でも、係数を一般的に選ぶ必要はなく、冪による変換なのでそのまま働きます。
## Noether正規化定理
&&&thm Noether normalization theorem [16-thm-noether-normalization]
$A$ を零でない有限生成$k$-algebraとする。このとき、あるalgebraically independent elements
$$
z_1,\ldots,z_d\in A
$$
が存在し、$A$ は
$$
k[z_1,\ldots,z_d]
$$
上module-finiteである。
&&&
&&&prf [16-prf-noether-normalization]
$A$ のalgebra生成元の個数 $n$ に関するinductionを行います。
$n=0$ なら $A=k$ であり、$d=0$ としてよいです。$n>0$ とし
$$
A=k[x_1,\ldots,x_n]
$$
と書きます。$x_1,\ldots,x_n$ がalgebraically independentなら、$A$ 自身が多項式環なので $z_i=x_i$ とすれば終わりです。
dependentならmonic change lemmaにより
$$
B=k[y_1,\ldots,y_{n-1}]\subseteq A
$$
で、$A$ がmodule-finite $B$-algebraとなるものがあります。$B$ は高々 $n-1$ 個の元で生成されるので、induction hypothesisによりalgebraically independentな $z_1,\ldots,z_d\in B$ が存在し、$B$ は
$$
R=k[z_1,\ldots,z_d]
$$
上module-finiteです。
$B$ の有限個の$R$-module生成元を $b_1,\ldots,b_r$、$A$ の有限個の$B$-module生成元を $a_1,\ldots,a_s$ とします。任意の $a\in A$ の係数をさらに $R$ 上へ展開すれば、有限個の積
$$
b_i a_j\qquad(1\le i\le r, 1\le j\le s)
$$
が $A$ を $R$-moduleとして生成します。従って $A$ は $R$ 上module-finiteです。$z_i$ のalgebraic independenceは $R$ が多項式環であることから保たれます。□
&&&
これは[[Noether normalization theorem|Noether正規化定理]]です。証明は存在だけでなく、関係式を見つけて生成元変換を繰り返す[[Noether normalization algorithm|Noether正規化algorithm]]も与えています。ただし得られる正規化部分環は一意ではありません。
## 幾何版：affine spaceへの有限全射
$k$ をalgebraically closed fieldとし、$X$ を空でないaffine代数的集合とします。$A=k[X]$ にNoether正規化を適用して
$$
k[z_1,\ldots,z_d]\hookrightarrow A
$$
を得ます。各 $z_i$ は $X$ 上の正則関数なので
$$
\pi:X\longrightarrow\mathbb A_k^d,
\qquad p\longmapsto(z_1(p),\ldots,z_d(p))
$$
を定めます。
&&&thm finite surjective projection to affine space [16-thm-finite-surjective-projection]
上の $\pi$ はfiniteかつsurjectiveである。従って任意の空でないaffine代数的集合は、あるaffine spaceへの[[finite surjective projection|有限全射]]を持つ。
&&&
&&&prf [16-prf-finite-surjective-projection]
pullbackは正規化部分環の包含
$$
k[T_1,\ldots,T_d]\cong k[z_1,\ldots,z_d]
\hookrightarrow A=k[X]
$$
です。$A$ はこの部分環上module-finiteなので、定義から $\pi$ はfiniteです。
またpullbackはinjectiveです。「整拡大と有限射」のfinite morphismのsurjectivity判定により、finite morphismでpullbackがinjectiveなら像は
$$
V(\ker\pi^*)=V(0)=\mathbb A_k^d
$$
です。従って $\pi$ はsurjectiveです。□
&&&
幾何的には、$X$ の各点を $d$ 個の数で記録し、各記録値の上に有限個の点だけが残る座標を選べるということです。この状態を[[Noether position|Noether position]]にあるといいます。
## 手計算1：放物線と二乗写像
$$
A=k[x,y]/(y-x^2)\cong k[x]
$$
では $k[y]\subseteq A$ を選ぶと、$x$ は
$$
T^2-y=0
$$
を満たします。従って
$$
A=k[y]+k[y]x.
$$
対応する射影 $(x,y)\mapsto y$ のfiber algebraは $a\in k$ に対して
$$
A/(y-a)A\cong k[x]/(x^2-a).
$$
$a\ne0$ で二つの異なる平方根を持つ場合には二点、$a=0$ では一点ですが $k[x]/(x^2)$ という長さ2の構造を持ちます。有限射は点数が衝突する場所でも代数的重複度を失いません。
## 手計算2：悪い射影を座標変換で直す
hyperbola
$$
H=V(xy-1)
$$
の座標環は
$$
A=k[x,y]/(xy-1)\cong k[x,x^{-1}].
$$
$k[x]\subseteq A$ に関して $A$ はfiniteではありません。もし $x^{-1}$ が $k[x]$ 上integralなら、「整拡大と有限射」のfield criterionと同じconstant-term argumentから $x^{-1}$ は $k[x]$ に入らなければなりませんが、実際には入りません。幾何的にも $x$ 軸への像は $\mathbb A^1\setminus\{0\}$ で、closedですらありません。
そこで
$$
u=x+y=x+x^{-1}
$$
を選びます。$x$ は
$$
T^2-uT+1=0
$$
を満たし、$y=u-x$ です。従って
$$
A=k[u]+k[u]x
$$
で、$H\to\mathbb A^1$, $(x,y)\mapsto x+y$ はfinite surjectiveです。これは[[repairing a nonfinite projection|非有限射影の正規化]]の最小例です。
## hypersurfaceでは最高次項を見る
&&&prop monic hypersurface projection criterion [16-prop-monic-hypersurface]
$$
X=V(f)\subseteq\mathbb A_k^n
$$
とする。ある座標変換後に $f$ が $x_n$ についてmonicなら、projection
$$
X\longrightarrow\mathbb A_k^{n-1}
$$
はfiniteである。
&&&
&&&prf [16-prf-monic-hypersurface]
座標環
$$
k[X]=k[x_1,\ldots,x_n]/(f)
$$
で $x_n$ のclassは $f=0$ というmonic equationを満たします。従って $k[X]$ は $k[x_1,\ldots,x_{n-1}]$ 上、$1,x_n,\ldots,x_n^{r-1}$ で生成されます。ここで $r=\deg_{x_n}f$ です。従って対応するprojectionはfiniteです。□
&&&
この判定を[[monic hypersurface projection criterion|monic hypersurface射影判定]]と呼びます。Noether正規化の証明は、一般の有限生成algebraに対してこのmonic化を一関係式ずつ繰り返したものです。
## 有限表示から得られるfiberの一様上界
正規化によって $A$ が
$$
A=Ra_1+\cdots+Ra_N,
\qquad R=k[z_1,\ldots,z_d]
$$
と書けたとします。$q\in\mathbb A^d$ のmaximal idealを $\mathfrak m_q$ とすると、fiber algebra
$$
A\otimes_R R/\mathfrak m_q\cong A/\mathfrak m_qA
$$
は $a_1,\ldots,a_N$ のclassesで生成されます。従って
$$
\dim_k(A/\mathfrak m_qA)\le N.
$$
特に各fiberの異なる点の個数も $N$ 以下です。これは[[uniform fiber bound from finite generators|有限生成元によるfiber一様上界]]です。正規化は単に各fiberが有限だと言うだけでなく、全fiberを一つの有限数で同時に抑えます。
## 正規化で何が解けるようになるか
Noether正規化は、一般のaffine algebraを多項式環と比較可能にします。
1. 多項式環上の問題へ有限moduleとして帰着できる。
2. 図形をaffine space上の有限個のsheetとして見ることができる。
3. 独立な座標の個数を取り出し、次の頁でKrull dimensionと一致させられる。
4. fiber algebraを計算して、点数だけでなく衝突の重複度も追跡できる。
「抽象的な有限生成algebra」を「自由に動ける $d$ 個の座標と、その上でmonic方程式を満たす有限個の追加元」に分解することが、この定理の実用上の意味です。
## 演習
&&&exercise [16-exercise-1]
$A=k[x,y]/(y^3-x^2)$ が $k[x]$ 上module-finiteであることを示し、明示的なmodule生成元を与えよ。
&&&
&&&solution [16-solution-1]
$y$ のclassは
$$
T^3-x^2=0
$$
という $k[x]$ 係数のmonic equationを満たします。従って $y^3$ 以上の冪を下げられ、
$$
A=k[x]+k[x]y+k[x]y^2.
$$
よって $1,y,y^2$ がmodule生成元です。□
&&&
&&&exercise [16-exercise-2]
$A=k[x,x^{-1}]$ が $k[u]$, $u=x+x^{-1}$ 上module-finiteであることを示し、$x^{-1}$ も $1,x$ の $k[u]$-linear combinationで書け。
&&&
&&&solution [16-solution-2]
$x$ は $T^2-uT+1=0$ を満たします。また
$$
x^{-1}=u-x.
$$
従って $A=k[u][x]$ であり、二次のmonic equationにより
$$
A=k[u]+k[u]x.
$$
特に $x^{-1}=u\cdot1-1\cdot x$ です。□
&&&
&&&exercise [16-exercise-3]
$A$ が $R$ 上 $N$ 個の元でmodule生成され、$R\to K$ がfieldへの準同型なら、$A\otimes_RK$ の $K$-dimensionが高々 $N$ であることを証明せよ。
&&&
&&&solution [16-solution-3]
$A=Ra_1+\cdots+Ra_N$ とします。tensor productの任意のpure tensorは
$$
a\otimes\lambda
=\left(\sum_i r_i a_i\right)\otimes\lambda
=\sum_i a_i\otimes(r_i\lambda).
$$
一般の元はpure tensorsの有限和なので、$a_i\otimes1$ が $A\otimes_RK$ を $K$-vector spaceとして生成します。従ってdimensionは高々 $N$ です。□
&&&
&&&exercise [16-exercise-4]
$A=k[x,y]/(xy)$ に対して $u=x+y$ を取る。$A$ が $k[u]$ 上module-finiteであることを示せ。
&&&
&&&solution [16-solution-4]
$y=u-x$ をrelation $xy=0$ に代入すると
$$
x(u-x)=0,
$$
すなわち
$$
x^2-ux=0.
$$
従って $x$ は $k[u]$ 上integralです。また $y=u-x$ なので
$$
A=k[u][x]=k[u]+k[u]x.
$$
よって対応する二直線の和集合からaffine lineへの写像はfiniteです。一般の $u$ の上には二点があり、$u=0$ で交点へ衝突します。□
&&&
&&&exercise [16-exercise-5]
Noether正規化 $R=k[z_1,\ldots,z_d]\subseteq A$ とideal $I\subseteq A$ に対し、$A/I$ が $R/(I\cap R)$ 上module-finiteであることを証明せよ。
&&&
&&&solution [16-solution-5]
$A=Ra_1+\cdots+Ra_N$ とします。商を取れば
$$
A/I=(R/(I\cap R))\overline a_1+\cdots+(R/(I\cap R))\overline a_N.
$$
実際、$r\in I\cap R$ は $A/I$ 上で0として作用するので、係数作用は $R/(I\cap R)$ を経由します。従って $A/I$ はこの商環上module-finiteです。□
&&&
## この章で得た橋
有限生成$k$-algebraの内部には、多項式環 $k[z_1,\ldots,z_d]$ があり、元のalgebraはその上でmodule-finiteになります。幾何側では任意の空でないaffine代数的集合からaffine spaceへの有限全射が得られ、fiberの大きさには一様上界があります。
次の頁では、正規化に現れる $d$ が選び方によらないことを示し、Krull dimension、prime ideal chain、超越次数を結びます。


2-6 Noether正規化

## なぜ有限生成性が幾何に必要か
affine代数的集合を
$$
V(S)=\{a\mid f(a)=0\text{ for every }f\in S\}
$$
と定義したとき、$S$ は無限集合でもよいとしました。しかし実際の計算では、有限個の方程式へ落とせなければ始まりません。
Hilbert基底定理は、体上の多項式環の全イデアルが有限生成であることを保証します。これにより次が同時に従います。
- 任意のaffine代数的集合は有限個の方程式で定義できる。
- Zariski閉集合の真の下降列は無限に続かない。
- 任意のaffine代数的集合は有限個の既約成分を持つ。
抽象的な環論の定理が、方程式・位相・図形分解の有限性を一度に説明します。
## Noetherian ringの同値条件
&&&def Noetherian ring [07-def-noetherian-ring]
可換環 $R$ の全てのイデアルが有限生成であるとき、$R$ を[[Noetherian ring|Noetherian環]]という。
&&&
&&&def ascending chain condition on ideals [07-def-acc-ideals]
イデアルの任意の昇鎖
$$
I_1\subseteq I_2\subseteq I_3\subseteq\cdots
$$
が、ある $N$ 以後
$$
I_N=I_{N+1}=I_{N+2}=\cdots
$$
となる性質を[[ascending chain condition on ideals|イデアル昇鎖条件]]という。
&&&
&&&thm Noetherian equivalent conditions [07-thm-noetherian-equivalent-conditions]
可換環 $R$ について次は同値である。
1. 全てのイデアルが有限生成である。
2. イデアル昇鎖条件を満たす。
3. イデアルの空でない任意の集合が、包含関係について極大元を持つ。
&&&
&&&prf [07-prf-noetherian-equivalent-conditions]
$1\Rightarrow2$ を示します。昇鎖 $(I_n)$ に対し
$$
I=\bigcup_{n\ge1}I_n
$$
と置きます。昇鎖なので、$a,b\in I$ はある共通の $I_N$ に入り、和・差・$R$ 倍も $I_N$ に入ります。従って $I$ はイデアルです。1から
$$
I=(a_1,\ldots,a_r)
$$
と有限生成です。各 $a_i$ はある $I_{n_i}$ に入り、$N=\max n_i$ とすれば全生成元が $I_N$ に入ります。従って
$$
I\subseteq I_N\subseteq I
$$
で $I=I_N$。$n\ge N$ では $I_N\subseteq I_n\subseteq I$ なので全て等しくなります。
$2\Rightarrow3$ を示します。極大元を持たない空でないイデアル族 $\mathcal S$ があると仮定します。$I_1\in\mathcal S$ を選ぶと極大でないため $I_1\subsetneq I_2$ となる $I_2\in\mathcal S$ があります。同様に続けて真の昇鎖
$$
I_1\subsetneq I_2\subsetneq I_3\subsetneq\cdots
$$
を作れ、2に反します。
$3\Rightarrow1$ を示します。イデアル $I$ を固定し、その有限生成部分イデアル全体
$$
\mathcal S=\{(a_1,\ldots,a_r)\mid r\ge0, a_i\in I\}
$$
を考えます。零イデアルを含むので空でなく、3から極大元 $J=(a_1,\ldots,a_r)$ を持ちます。もし $J\ne I$ なら $b\in I\setminus J$ を取り
$$
J\subsetneq J+(b)\subseteq I
$$
とでき、$J+(b)$ も有限生成なので極大性に反します。従って $I=J$ は有限生成です。□
&&&
これを[[Noetherian ring equivalent criteria|Noetherian環の三つの同値条件]]と呼びます。証明は、有限生成性を「過程が止まる」という形へ翻訳しています。
## Hilbert基底定理
&&&thm Hilbert basis theorem [07-thm-hilbert-basis]
$R$ がNoetherian環なら、一変数多項式環 $R[x]$ もNoetherian環である。
&&&
これが[[Hilbert basis theorem|Hilbert基底定理]]です。
証明の核心は、イデアル $I\subseteq R[x]$ の元を次数ごとに追うのではなく、leading coefficientだけを $R$ のイデアルへ集めることです。
&&&prf [07-prf-hilbert-basis]
$I\subseteq R[x]$ をイデアルとします。$I=0$ なら空集合または0一個で生成されるのでよいです。$I\ne0$ とします。
$I$ の非零多項式のleading coefficient全体と0を集めた集合を $L\subseteq R$ とします。$a,b\in L$ を取ります。leading coefficientが $a,b$ の多項式 $f,g\in I$ を選び、次数をそれぞれ $m,n$ とします。$m\le n$ として $x^{n-m}f$ を使えば両者の次数を揃えられます。leading coefficientの和 $a+b$ が0でなければ
$$
x^{n-m}f+g\in I
$$
のleading coefficientは $a+b$ です。0なら0は既に $L$ に入っています。$r\in R$ に対し $rf\in I$ のleading coefficientは、$ra\ne0$ なら $ra$ です。$ra=0$ なら0です。したがって $L$ は $R$ のイデアルです。
$R$ はNoetherianなので
$$
L=(a_1,\ldots,a_s)
$$
と有限生成です。各 $a_i$ をleading coefficientに持つ $f_i\in I$ を選び、その次数を $d_i$ とします。$d=\max_i d_i$ と置きます。
次に、次数が $d$ 未満の $I$ の多項式全体を
$$
M=I\cap R[x]_{<d}
$$
とします。ここで $R[x]_{<d}$ は次数 $<d$ の多項式からなる自由 $R$-moduleで、基底 $1,x,\ldots,x^{d-1}$ を持ちます。Noetherian環上の有限生成moduleの部分moduleは有限生成です。この事実を確認します。
まず自由module $R^d$ の部分module $N$ について $d$ に関する帰納法を使います。$d=1$ はイデアルの有限生成性です。最後の座標への射影 $p:N\to R$ のimageは有限生成イデアル $(c_1,\ldots,c_u)$ です。各 $c_i$ のlift $v_i\in N$ を選びます。一方 $N\cap\ker p$ は $R^{d-1}$ の部分moduleなので、帰納法から $w_1,\ldots,w_v$ で生成されます。任意の $z\in N$ に対し $p(z)=\sum r_ic_i$ と書き、
$$
z-\sum r_iv_i\in N\cap\ker p
$$
とすれば、これは $w_j$ の線形結合です。従って $v_i,w_j$ が $N$ を生成します。
一般の有限生成module $Q$ にはある全射 $R^d\to Q$ があります。部分module $N\subseteq Q$ の逆像は $R^d$ の有限生成部分moduleで、その有限生成元の像が $N$ を生成します。以上から $M$ は有限生成で、
$$
M=Rg_1+\cdots+Rg_t
$$
となる $g_j\in I$ を取れます。
ここで
$$
J=(f_1,\ldots,f_s,g_1,\ldots,g_t)\subseteq I
$$
と置き、逆包含を次数に関する帰納法で示します。$0\ne f\in I$ とし、$\deg f<d$ なら $f\in M$ なので $f$ は $g_j$ の $R$-線形結合、特に $J$ に入ります。
$\deg f=N\ge d$ とします。$f$ のleading coefficientを $a\in L$ とすれば
$$
a=r_1a_1+\cdots+r_sa_s
$$
と書けます。各 $d_i\le d\le N$ なので
$$
h=f-\sum_{i=1}^s r_i x^{N-d_i}f_i
$$
と置けます。右の和は $f$ と同じleading term $ax^N$ を持つので
$$
\deg h<N
$$
です。また $h\in I$ です。帰納法の仮定から $h\in J$、右の和も $J$ に入るので $f\in J$ です。
従って $I=J$ は有限生成です。任意のイデアルで示したので $R[x]$ はNoetherianです。□
&&&
証明中で使った[[Noetherian module submodule theorem|Noetherian環上の有限生成moduleの部分module定理]]も展開して証明したため、論理上の穴はありません。
## 多変数多項式環
&&&cor multivariable Hilbert basis theorem [07-cor-multivariable-hilbert-basis]
$R$ がNoetherianなら
$$
R[x_1,\ldots,x_n]
$$
は全ての $n\ge0$ でNoetherianである。特に体 $k$ 上の多項式環 $k[x_1,\ldots,x_n]$ はNoetherianである。
&&&
&&&prf [07-prf-multivariable-hilbert-basis]
$n=0$ は $R$ 自身です。$n-1$ 変数の場合がNoetherianなら
$$
R[x_1,\ldots,x_n]
=\bigl(R[x_1,\ldots,x_{n-1}]\bigr)[x_n]
$$
へ一変数版を適用できます。帰納法で全 $n$ に従います。
体 $k$ のイデアルは $(0)$ と $(1)$ だけなので有限生成、従って $k$ はNoetherianです。□
&&&
これが[[multivariable Hilbert basis theorem|多変数Hilbert基底定理]]です。
## 商環と有限型代数
&&&prop quotients of Noetherian rings [07-prop-noetherian-quotient]
$R$ がNoetherian、$I\subseteq R$ がイデアルなら $R/I$ もNoetherianである。
&&&
&&&prf [07-prf-noetherian-quotient]
$R/I$ のイデアル $J$ の逆像を商写像 $\pi:R\to R/I$ で取ると、$\pi^{-1}(J)$ は $I$ を含む $R$ のイデアルです。有限生成
$$
\pi^{-1}(J)=(a_1,\ldots,a_r)
$$
を取れば
$$
J=(\overline a_1,\ldots,\overline a_r)
$$
です。従って全イデアルが有限生成です。□
&&&
これは[[Noetherian quotient theorem|Noetherian環の商環定理]]です。
&&&cor affine coordinate rings are Noetherian [07-cor-coordinate-rings-noetherian]
任意の体 $k$ 上のaffine代数的集合 $X\subseteq\mathbb A_k^n$ の座標環
$$
k[X]=k[x_1,\ldots,x_n]/I(X)
$$
はNoetherianである。
&&&
&&&prf [07-prf-coordinate-rings-noetherian]
多変数Hilbert基底定理により多項式環がNoetherianで、前命題によりその商もNoetherianです。□
&&&
これは[[Noetherian affine coordinate ring|affine座標環のNoether性]]です。
## 無限方程式は有限個で足りる
&&&thm finite equation theorem [07-thm-finite-equations]
任意の体 $k$ と任意の部分集合 $S\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ に対し、有限個の $s_1,\ldots,s_N\in S$ が存在して
$$
V(S)=V(s_1,\ldots,s_N)
$$
となる。
&&&
&&&prf [07-prf-finite-equations]
Hilbert基底定理により $S$ が生成するイデアルは有限生成で
$$
(S)=(f_1,\ldots,f_r)
$$
と書けます。各 $f_i$ は $S$ の元の有限個の多項式係数結合です。全 $i$ の表示に現れる $S$ の元を集めると有限集合 $\{s_1,\ldots,s_N\}\subseteq S$ を得ます。すると
$$
(f_1,\ldots,f_r)
\subseteq(s_1,\ldots,s_N)
\subseteq(S).
$$
左端と右端が等しいので三者は等しいです。「アフィン空間と多項式の零点集合」で零点集合は生成イデアルだけに依存することを証明したので
$$
V(S)=V((S))=V(s_1,\ldots,s_N).
$$
□
&&&
これを[[finite equation presentation|affine代数的集合の有限方程式表示]]と呼びます。有限生成元は一般に一意ではなく、最小個数も座標変換で見え方が変わります。
## affine Zariski spaceはNoetherianである
&&&thm affine Zariski topology is Noetherian [07-thm-affine-zariski-noetherian]
$\mathbb A_k^n$ およびその任意のaffine代数的部分集合 $X$ はNoetherian位相空間である。
&&&
&&&prf [07-prf-affine-zariski-noetherian]
$X$ の閉集合の下降列
$$
F_1\supseteq F_2\supseteq F_3\supseteq\cdots
$$
を取ります。各消滅イデアルは包含を逆転するので
$$
I_X(F_1)\subseteq I_X(F_2)\subseteq I_X(F_3)\subseteq\cdots
$$
は $k[X]$ のイデアル昇鎖です。座標環はNoetherianなので、ある $N$ 以後この昇鎖は停止します。
各 $F_i$ は $X$ の閉集合なので
$$
F_i=V_X(I_X(F_i)).
$$
従って消滅イデアルが等しくなれば閉集合も等しくなり、$F_N=F_{N+1}=\cdots$ です。よって $X$ はNoetherian位相空間です。$X=\mathbb A_k^n$ とすればaffine spaceも含まれます。□
&&&
これは[[Noetherian affine Zariski topology|affine Zariski位相のNoether性]]です。任意の開集合がquasi-compactであることもNoetherian topologyの一般論から従いますが、その証明は演習で行います。
## 既約成分の有限存在を回収する
&&&cor finite irreducible components of affine algebraic sets [07-cor-finite-irreducible-components]
任意のaffine代数的集合 $X$ は有限個の既約成分を持ち、それらの和として一意に表される。
&&&
&&&prf [07-prf-finite-irreducible-components]
前定理から $X$ はNoetherian位相空間です。「既約集合と既約成分」で、Noetherian位相空間の任意の非空閉集合が有限既約分解を持つことを完証しました。$X$ 自身は $X$ の閉集合なので有限既約分解を持ちます。包含で冗長な成分を除けば、「既約集合と既約成分」の一意性定理により残ったものがちょうど既約成分で、一意です。空集合では成分は0個とします。□
&&&
これは[[finite irreducible components theorem|affine代数的集合の有限既約成分定理]]です。これで「既約集合と既約成分」に残していた存在条件が閉じました。
## Noetherian topologyのquasi-compact性
&&&prop every open subset of a Noetherian space is quasi-compact [07-prop-noetherian-open-quasicompact]
Noetherian位相空間 $X$ の任意の開部分集合 $U$ はquasi-compactである。すなわち、$U$ の任意の開被覆は有限部分被覆を持つ。
&&&
&&&prf [07-prf-noetherian-open-quasicompact]
有限部分被覆を持たない開被覆 $(U_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ があると仮定します。有限和
$$
U_{\lambda_1}\cup\cdots\cup U_{\lambda_r}
$$
全体を包含で比較します。Noetherian空間では開集合の昇鎖条件が成立します。実際、開集合の昇鎖の補集合は閉集合の下降鎖なので停止します。従って有限和全体に極大元 $W$ が存在します。
被覆全体が $U$ を覆うのに $W\ne U$ なので、$x\in U\setminus W$ を取れます。ある $\mu$ で $x\in U_\mu$ です。すると
$$
W\subsetneq W\cup U_\mu
$$
で、右辺も有限個の被覆要素の和です。これは $W$ の極大性に反します。従って有限部分被覆が存在します。□
&&&
これは[[Noetherian open quasi-compactness|Noetherian空間の開部分のquasi-compact性]]です。主開集合の任意の被覆から有限個を選べることは、局所表示を有限個へ圧縮するときに重要です。
## 具体例：見かけ上無限な生成系
$k[x,y]$ のイデアル
$$
I=(x,xy,xy^2,xy^3,\ldots)
$$
は無限個の生成元で書かれていますが
$$
I=(x)
$$
です。全ての後続項が最初の生成元 $x$ の倍数だからです。
もう少し見えにくい例として
$$
J=(x^2,xy,x^2y,xy^2,x^2y^2,\ldots)
$$
も
$$
J=(x^2,xy)
$$
です。Hilbert基底定理は、どれほど複雑な無限族でも、何らかの有限部分が同じイデアルを生成することを保証します。ただし定理の存在証明だけでは効率的な生成元計算は与えません。「消去とGröbner基底への入口」のGröbner基底がalgorithmを補います。
## 境界例：無限変数では失敗する
&&&example infinitely many variables are not Noetherian [07-exa-infinite-variable-nonnoetherian]
多項式環
$$
k[x_1,x_2,x_3,\ldots]
$$
では
$$
(x_1)\subsetneq(x_1,x_2)\subsetneq(x_1,x_2,x_3)\subsetneq\cdots
$$
が停止しない。従ってこの環はNoetherianでない。
&&&
これは[[infinite-variable polynomial ring non-Noetherian|無限変数多項式環の非Noether性]]です。各包含が真であることは、$x_{n+1}$ を含まない変数だけのイデアル $(x_1,\ldots,x_n)$ に $x_{n+1}$ が入らないことから分かります。有限変数という仮定は本質的です。
## 演習
&&&exercise noetherian conditions [07-ex-07-equivalence]
Noetherian環 $R$ のイデアル族 $\mathcal S$ が空でないとき、$\mathcal S$ の元を一つ選び、真に大きい元を選び続ける手続きが有限回で止まることを昇鎖条件から示せ。その停止点が極大元であることを確認せよ。
&&&
&&&exercise quotient noetherian [07-ex-07-quotient]
$k[x,y]/(x^2,xy,y^3)$ がNoetherianであることを示し、その全ての元が
$$
a+bx+cy+dy^2
$$
の形に一意に書けることを証明せよ。
&&&
&&&exercise infinite equations finite [07-ex-07-finite-equations]
$\mathbb A_k^2$ の方程式族
$$
x=0,\quad xy=0,\quad xy^2=0,\quad xy^3=0,\ldots
$$
の共通零点集合を求め、有限個の方程式だけで同じ集合を定義せよ。
&&&
&&&exercise noetherian quasi compact [07-ex-07-quasicompact]
Noetherian空間では、開集合の任意の昇鎖が停止することを閉集合の下降鎖から直接示せ。それを使い、本文とは別に「有限部分被覆を持つ開部分集合の有限和も有限部分被覆を持つ」という形からquasi-compact性を証明せよ。
&&&
&&&exercise irreducible components with powers [07-ex-07-components]
$k$ を無限体とし
$$
X=V(x^2y^3(x-y)^4)\subseteq\mathbb A_k^2
$$
の既約成分を求めよ。冪指数が点集合と既約成分に影響しない理由を説明せよ。
&&&
## 完全解答
&&&solution noetherian conditions・解答 [07-sol-07-equivalence]
$I_1\in\mathcal S$ を選びます。極大でなければ $I_1\subsetneq I_2$ となる $I_2\in\mathcal S$ を選びます。同様に、現在の元が極大でない限り真に大きい元を選びます。
もし有限回で止まらなければ
$$
I_1\subsetneq I_2\subsetneq I_3\subsetneq\cdots
$$
という停止しない昇鎖ができ、Noetherian環の昇鎖条件に反します。従ってある $I_N$ で止まります。止まるとは $I_N$ を真に含む $\mathcal S$ の元がないことなので、$I_N$ は極大元です。□
&&&
&&&solution quotient noetherian・解答 [07-sol-07-quotient]
$k$ はNoetherianなのでHilbert基底定理から $k[x,y]$ はNoetherianです。その商
$$
A=k[x,y]/(x^2,xy,y^3)
$$
もNoetherianです。
任意のmonomial $x^iy^j$ は、$i\ge2$ なら $x^2$ の倍数、$i,j\ge1$ なら $xy$ の倍数、$j\ge3$ なら $y^3$ の倍数として0になります。残るmonomialは
$$
1,x,y,y^2
$$
だけなので全てのclassが $a+bx+cy+dy^2$ と書けます。
一意性は、イデアル $(x^2,xy,y^3)$ の各元が次数0項、$x$ 項、$y$ 項、$y^2$ 項を持たないことから従います。これら四monomialの線形結合がイデアルへ入るなら全係数が0です。□
&&&
&&&solution infinite equations finite・解答 [07-sol-07-finite-equations]
最初の方程式 $x=0$ が成立すれば、全ての $m\ge1$ について $xy^m=0$ は自動的に成立します。従って共通零点集合は
$$
V(x)=\{(0,b)\mid b\in k\},
$$
すなわち $y$-axisです。一つの方程式 $x=0$ だけで同じ集合を定義できます。イデアルとしても
$$
(x,xy,xy^2,\ldots)=(x)
$$
です。□
&&&
&&&solution noetherian quasi compact・解答 [07-sol-07-quasicompact]
開集合の昇鎖
$$
U_1\subseteq U_2\subseteq\cdots
$$
に補集合を取ると
$$
X\setminus U_1\supseteq X\setminus U_2\supseteq\cdots
$$
は閉集合の下降鎖です。Noetherian性により停止するので元の昇鎖も停止します。
開被覆 $(V_\lambda)$ に対し、有限個の $V_\lambda$ の和として書ける開集合全体を考えます。空集合は0個の和なのでこの族は空でありません。開集合の昇鎖条件とNoetherian環の極大元条件と同じ議論により、この族は包含極大元 $W$ を持ちます。
もし $W\ne U$ なら $x\in U\setminus W$ を取れます。被覆なので、ある $\mu$ について $x\in V_\mu$ です。すると $W\cup V_\mu$ も有限個の被覆要素の和であり
$$
W\subsetneq W\cup V_\mu,
$$
これは極大性に反します。従って $W=U$ で、$U$ は有限個の $V_\lambda$ により覆われます。□
&&&
&&&solution irreducible components with powers・解答 [07-sol-07-components]
体には非零nilpotentがないので
$$
x^2y^3(x-y)^4=0
$$
であることは
$$
x=0,\quad y=0,\quad\text{または}\quad x-y=0
$$
と同値です。従って
$$
X=V(x)\cup V(y)\cup V(x-y).
$$
各直線は座標環が $k[t]$ なので既約で、互いを含みません。よって三本が既約成分です。
一般に $V(f^r)=V(f)$ なので、冪指数は古典的点集合を変えません。積の各因子に付いた指数はnilpotentな厚みとしてschemeでは意味を持ちますが、affine代数的集合とその既約成分には影響しません。□
&&&

1-7 Hilbert基底定理

> **前提知識**：正則点と特異点、整拡大と有限射、Noether正規化
> 
## 「図形の次元」を環から読みたい
直線には一つ、平面には二つ、空間には三つの独立な座標があります。しかし
$$
C=V(y^2-x^3)\subseteq\mathbb A_k^2
$$
は二つの座標で書かれていても、$x=t^2,y=t^3$ と一つのparameterで動く曲線です。一方、交わる二直線は一つのparameter表示では全体を一度に表しにくいものの、各既約成分は一次元です。
本章では次元を三つの姿で捉えます。
1. prime idealを真に包含するchainの長さ。
2. function fieldに含まれるalgebraically independentな元の最大個数。
3. Noether正規化で得られるaffine spaceの座標数。
有限生成domainでは三者が一致します。証明の要点は、integral extensionのprime chainが縮みも増えもしないことです。可換環一般の次元論は03「環と加群」、体の超越次数一般は04「体とGalois理論」を正本とし、本章では代数幾何で必要な有限生成の場合を自足的に証明します。
## prime chainとKrull次元
&&&def prime chain length [17-def-prime-chain-length]
環 $A$ のprime idealsのstrict chain
$$
\mathfrak p_0\subsetneq\mathfrak p_1\subsetneq\cdots
\subsetneq\mathfrak p_r
$$
の[[prime chain length|長さ]]を、包含記号の個数 $r$ と定める。
&&&
点が一つのchain $(\mathfrak p)$ は長さ0です。
&&&def Krull dimension [17-def-krull-dimension]
$A$ のprime ideal chainの長さのsupremumを
$$
\dim A
$$
と書き、$A$ の[[Krull dimension|Krull次元]]という。
&&&
例えばfield $K$ のprime idealは $(0)$ だけなので $\dim K=0$ です。多項式環には
$$
(0)\subsetneq (x_1)\subsetneq(x_1,x_2)
\subsetneq\cdots\subsetneq(x_1,\ldots,x_d)
$$
があるので
$$
\dim k[x_1,\ldots,x_d]\ge d.
$$
逆向きの不等式は超越次数から証明します。
## 超越基底
&&&def transcendence degree [17-def-transcendence-degree]
field extension $K/k$ に含まれるalgebraically independent subsetの濃度の最大値を[[transcendence degree|超越次数]]といい、
$$
\operatorname{trdeg}_kK
$$
と書く。有限生成拡大だけを扱うとき、この値は有限整数である。
&&&
&&&def transcendence basis [17-def-transcendence-basis]
$z_1,\ldots,z_d\in K$ が $k$ 上algebraically independentで、$K$ が $k(z_1,\ldots,z_d)$ 上algebraicであるとき、集合 $\{z_1,\ldots,z_d\}$ を[[transcendence basis|超越基底]]という。
&&&
&&&prop existence of a transcendence basis in a finitely generated field [17-prop-transcendence-basis-existence]
$K=k(a_1,\ldots,a_n)$ なら、$a_i$ の一部からtranscendence basisを選べる。
&&&
&&&prf [17-prf-transcendence-basis-existence]
$a_1,\ldots,a_n$ の部分集合のうちalgebraically independentなものを、包含についてmaximalに取ります。有限集合なので選択に問題はありません。それを $z_1,\ldots,z_d$ とします。
残りの任意の生成元 $a_j$ について、$z_1,\ldots,z_d,a_j$ はmaximalityによりdependentです。従って
$$
F(z_1,\ldots,z_d,a_j)=0
$$
となる零でない多項式 $F$ があります。$z_i$ のindependenceにより、$F$ を最後の変数の多項式と見たとき全係数が0になることはありません。よって $a_j$ は $k(z_1,\ldots,z_d)$ 上algebraicです。有限個のalgebraic elementsで生成されるfield extensionはalgebraicなので、$K$ 全体が同field上algebraicです。□
&&&
二つの超越基底が同じ個数を持つことは04で交換補題から証明します。本章では後で得る次元との一致から、有限生成domainのfunction fieldについても個数の不変性が確認できます。
## 非零の方程式を加えると自由度が下がる
&&&lem strict quotient lowers transcendence degree [17-lem-strict-quotient-lowers-trdeg]
$C$ を有限生成$k$-domain、$0\ne\mathfrak p\subseteq C$ をprime idealとする。このとき
$$
\operatorname{trdeg}_k\operatorname{Frac}(C/\mathfrak p)
<
\operatorname{trdeg}_k\operatorname{Frac}(C).
$$
&&&
&&&prf [17-prf-strict-quotient-lowers-trdeg]
$\overline z_1,\ldots,\overline z_s\in C/\mathfrak p$ をそのfraction fieldのtranscendence basisとし、代表元 $z_i\in C$ を取ります。また $0\ne a\in\mathfrak p$ を取ります。
$a,z_1,\ldots,z_s$ が $k$ 上algebraically independentであることを示します。もし
$$
F(z_1,\ldots,z_s,a)=0
$$
なら、最後の変数 $T$ について
$$
F(Z_1,\ldots,Z_s,T)=F_0(Z)+TF_1(Z)+\cdots+T^mF_m(Z)
$$
と書きます。$C/\mathfrak p$ へ移すと $a$ の像は0なので
$$
F_0(\overline z_1,\ldots,\overline z_s)=0.
$$
$\overline z_i$ のindependenceから $F_0=0$ です。従って元の関係は
$$
a\bigl(F_1(z)+aF_2(z)+\cdots+a^{m-1}F_m(z)\bigr)=0.
$$
$C$ はdomainで $a\ne0$ なので括弧内が0です。同じ議論を繰り返すと全ての $F_i$ が0になり、$F=0$ です。従って $a,z_1,\ldots,z_s$ はindependentです。
ゆえに $\operatorname{Frac}(C)$ の超越次数は少なくとも $s+1$ であり、商の超越次数 $s$ より真に大きくなります。□
&&&
&&&prop chain bound by transcendence degree [17-prop-chain-bound-trdeg]
$A$ を有限生成$k$-domainとする。任意のprime chainの長さは
$$
\operatorname{trdeg}_k\operatorname{Frac}(A)
$$
以下である。
&&&
&&&prf [17-prf-chain-bound-trdeg]
chain
$$
\mathfrak p_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_r
$$
を取ります。各 $i$ について $A/\mathfrak p_i$ は有限生成domainであり、$\mathfrak p_{i+1}/\mathfrak p_i$ はその非零prime idealです。前補題により、fraction fieldの超越次数は一段ごとに少なくとも1下がります。従って
$$
r\le
\operatorname{trdeg}_k\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p_0)
\le
\operatorname{trdeg}_k\operatorname{Frac}(A).
$$
最後の不等式は、$A/\mathfrak p_0$ のalgebraically independent elementsの代表元を取れば、同じ持ち上げの議論で確認できます。□
&&&
この評価を[[transcendence-degree bound for prime chains|prime chainの超越次数上界]]と呼びます。
## integral extensionでchainを比較する
「整拡大と有限射」ではlying-overを証明しました。ここではchain全体を扱います。
&&&thm going-up theorem [17-thm-going-up]
$A\subseteq B$ をintegral extensionとする。$\mathfrak q\in\operatorname{Spec}B$ とし、$\mathfrak p=\mathfrak q\cap A$ と置く。$A$ のprime ideal $\mathfrak p'$ が
$$
\mathfrak p\subseteq\mathfrak p'
$$
を満たすなら、あるprime ideal $\mathfrak q'\subseteq B$ が存在して
$$
\mathfrak q\subseteq\mathfrak q',
\qquad \mathfrak q'\cap A=\mathfrak p'
$$
となる。
&&&
&&&prf [17-prf-going-up]
商写像により $A/\mathfrak p$ は $B/\mathfrak q$ の部分環とみなせます。$B$ の各元のmonic equationを商へ移せば、$B/\mathfrak q$ は $A/\mathfrak p$ 上integralです。
$\mathfrak p'/\mathfrak p$ は $A/\mathfrak p$ のprime idealです。lying-over theoremを商extensionへ適用すると、$B/\mathfrak q$ にprime ideal $\overline{\mathfrak q'}$ があり、そのcontractionは $\mathfrak p'/\mathfrak p$ です。$B$ における逆像を $\mathfrak q'$ とすれば、$\mathfrak q\subseteq\mathfrak q'$ かつ $\mathfrak q'\cap A=\mathfrak p'$ です。□
&&&
&&&thm incomparability theorem for integral extensions [17-thm-incomparability]
$A\subseteq B$ をintegral extensionとする。prime ideals $\mathfrak q\subseteq\mathfrak q'$ が同じcontraction
$$
\mathfrak q\cap A=\mathfrak q'\cap A=\mathfrak p
$$
を持つなら $\mathfrak q=\mathfrak q'$ である。
&&&
&&&prf [17-prf-incomparability]
$\mathfrak q$ で商を取り、$A/\mathfrak p\subseteq B/\mathfrak q$ とします。両者はdomainsです。さらに $S=(A/\mathfrak p)\setminus\{0\}$ でlocalizeすると
$$
K=\operatorname{Frac}(A/\mathfrak p)
\subseteq S^{-1}(B/\mathfrak q)
$$
はintegral extensionのままです。右辺はdomainで、左辺はfieldなので、「整拡大と有限射」のfield criterionにより右辺もfieldです。
$\mathfrak q'/\mathfrak q$ は $S$ と交わりません。従ってlocalization後にprime idealを与えますが、fieldのprime idealは0だけです。ゆえに $b\in\mathfrak q'$ なら、ある $s\in A\setminus\mathfrak p$ に対して $sb\in\mathfrak q$ です。$s\notin\mathfrak q$ で $\mathfrak q$ はprimeなので $b\in\mathfrak q$ です。従って $\mathfrak q'\subseteq\mathfrak q$、ゆえに両者は等しいです。□
&&&
これは[[incomparability theorem|integral extensionのincomparability theorem]]です。
&&&thm dimension invariance under integral extensions [17-thm-integral-dimension-invariance]
$A\subseteq B$ がintegralなら
$$
\dim A=\dim B.
$$
&&&
&&&prf [17-prf-integral-dimension-invariance]
$B$ のstrict prime chainを $A$ へcontractionします。隣接する二primeのcontractionが同じならincomparabilityにより元の二primeも同じになり矛盾します。従ってstrict chainは同じ長さのstrict chainへ移り、$\dim B\le\dim A$ です。
逆に $A$ のstrict prime chain
$$
\mathfrak p_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak p_r
$$
を取ります。lying-overで $\mathfrak p_0$ の上のprime $\mathfrak q_0$ を選び、going-upを順に適用して
$$
\mathfrak q_0\subseteq\cdots\subseteq\mathfrak q_r,
\qquad \mathfrak q_i\cap A=\mathfrak p_i
$$
を作ります。contractionsが異なるので各包含はstrictです。従って $\dim A\le\dim B$ です。両不等式から等号を得ます。□
&&&
## 三つの次元が一致する
&&&thm dimension of a polynomial ring over a field [17-thm-polynomial-ring-dimension]
$$
\dim k[x_1,\ldots,x_d]=d.
$$
&&&
&&&prf [17-prf-polynomial-ring-dimension]
既に
$$
(0)\subsetneq(x_1)\subsetneq\cdots\subsetneq(x_1,\ldots,x_d)
$$
という長さ $d$ のchainを得ました。一方、fraction field $k(x_1,\ldots,x_d)$ の超越次数は $d$ なので、prime chainの超越次数上界により全てのchainの長さは $d$ 以下です。従って次元はちょうど $d$ です。□
&&&
&&&thm dimension-transcendence degree theorem [17-thm-dimension-trdeg]
$A$ を有限生成$k$-domainとする。このとき
$$
\dim A=
\operatorname{trdeg}_k\operatorname{Frac}(A).
$$
さらにNoether正規化
$$
k[z_1,\ldots,z_d]\subseteq A
$$
に現れる変数の個数 $d$ はこの共通値に等しい。
&&&
&&&prf [17-prf-dimension-trdeg]
Noether正規化により $R=k[z_1,\ldots,z_d]\subseteq A$ で $A$ がmodule-finite、従ってintegralとなるものがあります。integral extensionの次元不変性と多項式環の計算から
$$
\dim A=\dim R=d.
$$
また $A$ の各元は $R$ 上integralなので、$\operatorname{Frac}(A)$ の各元は $\operatorname{Frac}(R)$ 上algebraicです。実際 $a/b$ の $a,b\in A$ はともに $\operatorname{Frac}(R)$ 上algebraicであり、algebraic elementsはfieldをなします。従って
$$
\operatorname{Frac}(A)/k(z_1,\ldots,z_d)
$$
はalgebraicで、超越次数は $d$ です。□
&&&
これが[[dimension transcendence degree theorem|次元と超越次数の一致]]です。Noether正規化で選ぶ座標自体は一意でなくても、その個数は一意です。
## affine代数的集合の次元
&&&def dimension of an affine algebraic set [17-def-affine-dimension]
affine代数的集合 $X$ の[[dimension of an affine algebraic set|次元]]を
$$
\dim X:=\dim k[X]
$$
と定める。
&&&
$X$ がirreducibleなら $k[X]$ はdomainなので、そのfraction field
$$
k(X)=\operatorname{Frac}(k[X])
$$
をfunction fieldと呼び、
$$
\dim X=\operatorname{trdeg}_k k(X)
$$
です。
reducibleな $X=X_1\cup\cdots\cup X_r$ では、irreducible componentsに対応するminimal prime idealsを $\mathfrak p_i$ とすると
$$
\dim X=\max_i\dim X_i
=\max_i\dim(k[X]/\mathfrak p_i).
$$
実際、任意のprime chainの最下端の下にminimal primeを選べるのでchainはある $A/\mathfrak p_i$ のchainとして読めます。逆に各商のchainは $A$ のchainへ逆像で戻ります。これは[[dimension by irreducible components|既約成分による次元計算]]です。
## 計算例
### affine space
$$
k[\mathbb A^n]=k[x_1,\ldots,x_n]
$$
なので $\dim\mathbb A^n=n$ です。
### irreducible hypersurface
irreducibleなnonconstant $f\in k[x_1,\ldots,x_n]$ を取り、$X=V(f)$ とします。変数を並べ替えて $f$ が $x_n$ に依存するとします。$k[x_1,\ldots,x_{n-1}]$ とideal $(f)$ の交わりは0です。実際、$x_n$ に正degreeを持つ $f$ の非零倍は $x_n$ に正degreeを持つからです。一方 $x_n$ のclassは
$$
f(x_1,\ldots,x_{n-1},T)=0
$$
を満たし、fraction field上algebraicです。従って
$$
\operatorname{trdeg}_k k(X)=n-1,
$$
すなわち $\dim X=n-1$ です。これは[[dimension of an irreducible hypersurface|既約hypersurfaceの次元公式]]です。
### cusp
$C=V(y^2-x^3)$ では $k[C]\subseteq k[t]$ を $x=t^2,y=t^3$ で埋め込め、fraction fieldsは
$$
k(C)=k(t)
$$
です。実際 $t=y/x$ がfraction fieldに入ります。従って $\dim C=1$ です。原点がsingularでも、図形全体の次元は変わりません。
### 異なる次元の成分
$$
X=V(xy,xz)\subseteq\mathbb A^3
$$
では
$$
(xy,xz)=(x)\cap(y,z).
$$
従って $X$ は平面 $V(x)$ と $x$ 軸 $V(y,z)$ の和です。成分の次元はそれぞれ2と1なので
$$
\dim X=2.
$$
「次元」は全ての点や成分が同じ局所的形を持つという意味ではなく、最長のprime chainが測る最大値です。
## heightとlocal dimension
&&&def height of a prime ideal [17-def-height]
prime ideal $\mathfrak p\subseteq A$ で終わるstrict prime chainの長さのsupremumを $\mathfrak p$ の[[height of a prime ideal|height]]といい、$\operatorname{ht}(\mathfrak p)$ と書く。
&&&
「局所化と主開集合」のlocalizationにおけるprime対応から、$A_{\mathfrak p}$ のprime idealsは $\mathfrak p$ に含まれるprime idealsと包含を保って対応します。従って
$$
\dim A_{\mathfrak p}=\operatorname{ht}(\mathfrak p).
$$
これは[[local dimension equals prime height|local dimensionとheightの一致]]です。
点 $p\in X$ に対応するmaximal idealを $\mathfrak m_p$ とすれば
$$
\dim_pX=\dim\mathcal O_{X,p}
=\operatorname{ht}(\mathfrak m_p).
$$
「正則点と特異点」のregularity判定に現れたlocal dimensionは、このprime chainの長さです。embedding dimension
$$
\dim_k\mathfrak m_p/\mathfrak m_p^2
$$
は接方向の個数であり、regular pointではlocal dimensionと一致し、singular pointでは大きくなり得ます。
## finite morphismは次元を保つ
&&&prop finite surjective morphisms preserve dimension [17-prop-finite-surjective-dimension]
affine代数的集合のfinite surjective morphism $X\to Y$ に対して
$$
\dim X=\dim Y.
$$
&&&
&&&prf [17-prf-finite-surjective-dimension]
座標環写像 $k[Y]\to k[X]$ はfiniteであり、surjectivityによりkernelは0です。従って $k[Y]\subseteq k[X]$ はintegral extensionです。integral extensionの次元不変性から
$$
\dim k[Y]=\dim k[X].
$$
定義により $\dim Y=\dim X$ です。□
&&&
これは[[dimension invariance under finite surjective morphisms|有限全射による次元不変性]]です。Noether正規化 $X\to\mathbb A^d$ が、$d$ を $X$ の次元として本当に測っている理由でもあります。
## 演習
&&&exercise [17-exercise-1]
$k[x,y]$ のchain
$$
(0)\subsetneq(x)\subsetneq(x,y)
$$
の各idealがprimeであることを示し、$\dim k[x,y]=2$ を確認せよ。
&&&
&&&solution [17-solution-1]
$k[x,y]$ はdomainなので $(0)$ はprimeです。また
$$
k[x,y]/(x)\cong k[y]
$$
はdomainなので $(x)$ はprime、
$$
k[x,y]/(x,y)\cong k
$$
はfieldなので $(x,y)$ はmaximal、従ってprimeです。chainの長さは2なので次元は2以上です。一方fraction field $k(x,y)$ の超越次数は2で、chain boundから次元は2以下です。従って次元は2です。□
&&&
&&&exercise [17-exercise-2]
$A=k[u,v]/(v^2-u^5)$ の次元を求めよ。ただし $v^2-u^5$ はirreducibleであるとする。
&&&
&&&solution [17-solution-2]
$A$ は二変数多項式環を一つのirreducible nonconstant equationで割ったdomainです。irreducible hypersurfaceの次元公式から
$$
\dim A=2-1=1.
$$
また $u=t^2,v=t^5$ と置けばfunction fieldは $k(t)$ になり、超越次数1からも同じ結論を得ます。□
&&&
&&&exercise [17-exercise-3]
integral extension $A\subseteq B$ とprime chain $\mathfrak q_0\subsetneq\mathfrak q_1$ in $B$ に対し、contractionsもstrictであることを証明せよ。
&&&
&&&solution [17-solution-3]
もし
$$
\mathfrak q_0\cap A=\mathfrak q_1\cap A
$$
なら、incomparability theoremにより $\mathfrak q_0=\mathfrak q_1$ となり、strictnessに反します。従って
$$
\mathfrak q_0\cap A\subsetneq\mathfrak q_1\cap A.
$$
□
&&&
&&&exercise [17-exercise-4]
$X=V(xy,xz)\subseteq\mathbb A^3$ について $(xy,xz)=(x)\cap(y,z)$ を直接証明せよ。
&&&
&&&solution [17-solution-4]
$(xy,xz)$ は $(x)$ と $(y,z)$ の両方に含まれます。逆に $f\in(x)\cap(y,z)$ とします。$f=xg$ と書けます。$f\in(y,z)$ なので $k[x,y,z]/(y,z)\cong k[x]$ で $x\overline g=0$ です。$k[x]$ はdomainで $x\ne0$ だから $\overline g=0$、従って $g\in(y,z)$ です。よって
$$
f=xg\in(xy,xz).
$$
両包含から等号が従います。□
&&&
&&&exercise [17-exercise-5]
finite-dimensional $k$-algebra $A$ のKrull dimensionが0であることを示せ。
&&&
&&&solution [17-solution-5]
任意のprime ideal $\mathfrak p$ を取ります。$A/\mathfrak p$ はfinite-dimensional $k$-algebraかつdomainです。零でない $a\in A/\mathfrak p$ に対し、multiplication by $a$ は有限次元vector space上のinjective linear mapなのでsurjectiveです。従ってある $b$ があり $ab=1$、ゆえに $A/\mathfrak p$ はfieldです。従って全prime idealはmaximalであり、異なるprime idealsのstrict inclusionはありません。よって $\dim A=0$ です。□
&&&
## この章で得た橋
有限生成domainでは、prime chainの最大長、function fieldの超越次数、Noether正規化で残る独立変数の個数が一致します。reducibleな図形では既約成分の次元の最大値を取り、localizationすれば点でのlocal dimensionは対応するprime idealのheightになります。
次の頁では一次元の具体的modelである平面曲線へ戻り、局所環・接空間・最低次斉次項を使って点の重複度と接線を計算します。


2-7 Krull次元と超越次数

> **前提知識**：Hilbert基底定理
> 
## 方程式の無矛盾性は解の存在を意味するか
連立方程式
$$
f_1(x_1,\ldots,x_n)=\cdots=f_r(x_1,\ldots,x_n)=0
$$
から $1$ を多項式の組合せとして作れてしまえば、解はありません。実際、
$$
1=g_1f_1+\cdots+g_rf_r
$$
なら、共通零点で右辺を評価すると $1=0$ になるからです。
逆は成り立つでしょうか。実数上では
$$
x^2+1=0
$$
に解がないのに $(x^2+1)$ はproper idealです。したがって係数体には条件が要ります。代数閉体上では驚くほど強い逆が成立します。
この章の目標は次の三段階です。
1. 有限個の元で生成された体は、基礎体上代数的なら有限次元になる。
2. 実は「体である有限生成代数」は自動的に基礎体上有限代数拡大になる。
3. 基礎体が代数閉なら、そのような拡大は基礎体自身なので、maximal idealは点から来る。
第2段階がZariski補題、第3段階が弱零点定理です。
## 有限生成代数と有限拡大は別物である
&&&def finitely generated algebra [08-def-finitely-generated-algebra]
体 $k$ を部分環として含む可換環 $A$ が
$$
A=k[a_1,\ldots,a_n]
$$
と有限個の元で $k$-algebraとして生成されるとき、$A$ を[[finitely generated algebra|有限生成$k$-algebra]]という。
&&&
ここで有限生成とは、$a_i$ の多項式で全要素が書けるという意味です。$k$-vector spaceとして有限次元という意味ではありません。例えば $k[x]$ は一元 $x$ で $k$-algebraとして生成されますが、
$$
1,x,x^2,x^3,\ldots
$$
が一次独立なので無限次元です。
&&&def finite algebra [08-def-finite-algebra]
$k$-algebra $A$ が $k$-vector spaceとして有限次元であるとき、$A$ を[[finite algebra|有限$k$-algebra]]という。
&&&
有限$k$-algebraなら有限生成$k$-algebraですが、逆は一般に偽です。ところが $A$ が体である場合、逆が成立するというのがZariski補題です。
## 代数的な生成元は有限次元性を与える
&&&def integral element [08-def-integral-element]
環拡大 $A\subseteq B$ と $b\in B$ に対し、あるmonic polynomial
$$
T^d+c_{d-1}T^{d-1}+\cdots+c_0\in A[T]
$$
が $b$ を零点に持つとき、$b$ は $A$ 上[[integral element|integral]]であるという。
&&&
体拡大 $k\subseteq K$ では、$K$ の元が $k$ 上integralであることとalgebraicであることは同値です。非零の多項式関係があればleading coefficientで割ってmonicにできるからです。
&&&prop integral generators give a finite module [08-prop-integral-generators-finite-module]
$A\subseteq B$ とし、$b_1,\ldots,b_s\in B$ が全て $A$ 上integralなら、
$$
A[b_1,\ldots,b_s]
$$
は有限生成$A$-moduleである。
&&&
&&&prf [08-prf-integral-generators-finite-module]
まず一元 $b$ の場合を考えます。$b$ が次数 $d$ のmonic relation
$$
b^d+c_{d-1}b^{d-1}+\cdots+c_0=0
$$
を満たすなら、
$$
b^d=-c_{d-1}b^{d-1}-\cdots-c_0
$$
です。これを繰り返し使えば $b^m$ は全て $1,b,\ldots,b^{d-1}$ の$A$-linear combinationに下げられます。従って $A[b]$ はこの $d$ 元で生成されます。
一般の場合は生成元を一つずつ加えます。$b_i$ が $A$ 上integralなら、同じmonic relationは係数を大きい環に移しても有効なので、$b_i$ は $A[b_1,\ldots,b_{i-1}]$ 上もintegralです。各段階が有限moduleであり、有限生成moduleの有限生成moduleは有限生成です。具体的には各 $b_i$ のrelationの次数を $d_i$ とすれば、
$$
b_1^{e_1}\cdots b_s^{e_s}
\qquad(0\le e_i<d_i)
$$
という有限個のmonomialが全体を生成します。□
&&&
従って、体拡大 $K=k(a_1,\ldots,a_s)$ の生成元が全て $k$ 上algebraicなら、$K=k[a_1,\ldots,a_s]$ は有限次元です。これを[[finitely generated algebraic extension is finite|有限生成代数拡大の有限性]]と呼びます。
## 有限moduleである体の部分環
次の補題が、Zariski補題の証明で局所化を排除します。
&&&prop finite module subring of a field [08-prop-finite-module-subring-field]
$A\subseteq B$ は可換環の包含で、$B$ は体かつ有限生成$A$-moduleであるとする。このとき $A$ も体である。
&&&
&&&prf [08-prf-finite-module-subring-field]
$0\ne a\in A$ を取ります。$B$ は体なので $a^{-1}\in B$ です。写像
$$
T:B\longrightarrow B,\qquad z\longmapsto a^{-1}z
$$
は$A$-linearです。
$B$ の$A$-module生成元を $v_1,\ldots,v_m$ とします。各 $T(v_j)$ を生成元で表すと
$$
T(v_j)=\sum_{i=1}^m c_{ij}v_i\qquad(c_{ij}\in A)
$$
です。行列 $C=(c_{ij})$ を用いれば $(TI_m-C)v=0$ です。adjugate matrixを左から掛けると
$$
\det(TI_m-C)v_j=0
$$
が全ての $j$ について従います。$1$ も $v_j$ の$A$-linear combinationなので
$$
T^m+d_{m-1}T^{m-1}+\cdots+d_0
$$
を $1$ に作用させた結果は0です。従って
$$
(a^{-1})^m+d_{m-1}(a^{-1})^{m-1}+\cdots+d_0=0.
$$
両辺に $a^{m-1}$ を掛ければ
$$
a^{-1}=-(d_{m-1}+d_{m-2}a+\cdots+d_0a^{m-1})\in A.
$$
任意の非零元が $A$ 内に逆元を持つので、$A$ は体です。□
&&&
この議論は[[determinant trick|determinant trick]]の基本形です。行列式は、有限個のmodule生成元に対する作用からmonic relationを作っています。
## Zariski補題
&&&thm Zariski lemma [08-thm-zariski-lemma]
$k$ を体とし、$K$ を $k$-algebraとする。$K$ が体で、かつ有限生成$k$-algebraなら、$K/k$ は有限代数拡大である。
&&&
これを[[Zariski lemma|Zariski補題]]といいます。「有限個の元と四則演算で作った体」にtranscendentalな生成元は残れない、という主張です。
&&&prf [08-prf-zariski-lemma]
$$
K=k[a_1,\ldots,a_n]
$$
とします。生成元のうち極大なalgebraically independent部分集合を取り、添字を並べ替えて
$$
t_1=a_1,\ldots,t_r=a_r
$$
と書きます。極大性により残りの $a_{r+1},\ldots,a_n$ は
$$
F=k(t_1,\ldots,t_r)
$$
上algebraicです。
各 $a_i$ は $F$ 係数のmonic polynomialを満たします。現れる有限個の係数の分母を全て掛け合わせた非零多項式を
$$
f\in k[t_1,\ldots,t_r]
$$
とすれば、全ての $a_i$ は
$$
R=k[t_1,\ldots,t_r,1/f]
$$
上integralです。さらに $1/f\in K$ であり、元の全生成元を含むので
$$
K=R[a_{r+1},\ldots,a_n].
$$
integralな有限個の生成元に関する命題から、$K$ は有限生成$R$-moduleです。直前の命題により $R$ は体でなければなりません。
$r\ge1$ と仮定して矛盾を導きます。$k[t_1]$ にはmonic irreducible polynomialが無限個あります。実際、有限個 $p_1,\ldots,p_s$ しかないなら、
$$
p_1\cdots p_s+1
$$
のirreducible factorはどの $p_i$ とも異なり矛盾します。
$f$ を $t_2,\ldots,t_r$ の多項式と見たとき、その係数は有限個の $k[t_1]$ の元です。従って、それらの非零係数を全て割るようなirreducible polynomialも有限個しかありません。$f$ を割らないmonic irreducible polynomial $g(t_1)$ を一つ選べます。
$g$ が $R$ のunitなら、ある $h\in k[t_1,\ldots,t_r]$ と $N\ge0$ により
$$
g h=f^N
$$
となります。$(g)$ で割った商
$$
(k[t_1]/(g))[t_2,\ldots,t_r]
$$
はdomainです。上の等式をこの商へ移すと $f^N=0$ なので $f=0$ となり、$g$ が $f$ を割らないことに反します。従って $g$ は $R$ の非零非unitで、$R$ が体であることに反します。
よって $r=0$ です。すなわち全ての $a_i$ は $k$ 上algebraicです。有限生成代数拡大の有限性から $K/k$ は有限です。□
&&&
証明で本質的なのは、transcendentalな元を残すと「多項式のほとんどは逆元にならない」一方、有限moduleである体の部分環なら「全ての非零元が逆元になる」という衝突です。
## 代数閉体上の有限拡大
&&&prop finite extension of an algebraically closed field [08-prop-algebraically-closed-no-extension]
$k$ がalgebraically closedで、$K/k$ が有限代数拡大なら $K=k$ である。
&&&
&&&prf [08-prf-algebraically-closed-no-extension]
$\alpha\in K$ を取ります。$\alpha$ は $k$ 上algebraicなのでminimal polynomial $m_\alpha(T)\in k[T]$ を持ちます。$k$ はalgebraically closedだから $m_\alpha$ は一次式の積に分解します。一方minimal polynomialはirreducibleなので一次であり、$\alpha\in k$ です。任意の $\alpha$ について成り立つので $K=k$ です。□
&&&
## 弱零点定理
点 $a=(a_1,\ldots,a_n)\in k^n$ に対し
$$
\mathfrak m_a=(x_1-a_1,\ldots,x_n-a_n)
$$
と置きます。評価写像
$$
\operatorname{ev}_a:k[x_1,\ldots,x_n]\longrightarrow k,
\qquad f\longmapsto f(a)
$$
はsurjectiveで、kernelは $\mathfrak m_a$ です。従って
$$
k[x_1,\ldots,x_n]/\mathfrak m_a\cong k
$$
であり、$\mathfrak m_a$ はmaximal idealです。
&&&thm weak Nullstellensatz [08-thm-weak-nullstellensatz]
$k$ をalgebraically closed fieldとする。$k[x_1,\ldots,x_n]$ の任意のmaximal ideal $\mathfrak m$ は、ただ一つの点 $a=(a_1,\ldots,a_n)\in k^n$ により
$$
\mathfrak m=(x_1-a_1,\ldots,x_n-a_n)
$$
と書ける。
&&&
これが[[weak Nullstellensatz|弱Hilbert零点定理]]です。
&&&prf [08-prf-weak-nullstellensatz]
商
$$
K=k[x_1,\ldots,x_n]/\mathfrak m
$$
は体であり、$x_i$ の剰余類 $\overline{x_i}$ で有限生成される $k$-algebraです。Zariski補題により $K/k$ は有限代数拡大です。$k$ はalgebraically closedなので直前の命題から $K=k$ です。
$\overline{x_i}$ に対応する $k$ の元を $a_i$ とします。商で $\overline{x_i}=a_i$ なので
$$
x_i-a_i\in\mathfrak m.
$$
従って
$$
(x_1-a_1,\ldots,x_n-a_n)\subseteq\mathfrak m.
$$
左辺は既にmaximal idealなので等号です。
一意性を示します。同じidealが $a,b\in k^n$ から得られたなら、$x_i-a_i$ を点 $b$ で評価して
$$
b_i-a_i=0
$$
です。全ての $i$ で $a_i=b_i$ なので $a=b$ です。□
&&&
これは[[maximal ideals of a polynomial ring over an algebraically closed field|代数閉体上の多項式環のmaximal ideal分類]]です。抽象的なmaximal idealが、具体的な一点での消滅条件へ完全に戻りました。
## proper idealは共通零点を持つ
弱零点定理を連立方程式へ翻訳します。そのために標準的な存在命題を確認します。
&&&prop maximal ideal existence [08-prop-maximal-ideal-existence]
単位環 $R$ の任意のproper ideal $I$ は、あるmaximal idealに含まれる。
&&&
&&&prf [08-prf-maximal-ideal-existence]
$I$ を含むproper ideal全体を包含関係で順序づけます。空でないchain $\mathcal C$ に対し
$$
J=\bigcup_{L\in\mathcal C}L
$$
と置きます。chainなので二元はどちらか大きい方のidealに同時に入り、$J$ はidealです。もし $1\in J$ なら、ある $L\in\mathcal C$ が $1$ を含んでproperでないことになり矛盾します。従って $J$ はproperで、chainの上界です。Zorn's lemmaにより極大元が存在し、それが $I$ を含むmaximal idealです。□
&&&
&&&cor proper ideal common zero theorem [08-cor-proper-ideal-common-zero]
$k$ をalgebraically closed fieldとする。ideal
$$
I\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]
$$
について、次は同値である。
1. $I$ はproper idealである。
2. $V(I)\ne\varnothing$ である。
&&&
&&&prf [08-prf-proper-ideal-common-zero]
$V(I)$ に点 $a$ があれば、$I\subseteq\mathfrak m_a$ なので $1\notin I$、従って $I$ はproperです。
逆に $I$ がproperなら、maximal ideal $\mathfrak m\supseteq I$ を取れます。弱零点定理により $\mathfrak m=\mathfrak m_a$ となる $a\in k^n$ があります。全ての $f\in I$ は $\mathfrak m_a$ に属するので $f(a)=0$、従って $a\in V(I)$ です。□
&&&
これを[[proper ideal common zero theorem|proper idealの共通零点定理]]と呼びます。有限個の多項式 $f_1,\ldots,f_r$ については
$$
V(f_1,\ldots,f_r)=\varnothing
\quad\Longleftrightarrow\quad
1\in(f_1,\ldots,f_r)
$$
です。つまり解がないことは、ある $g_1,\ldots,g_r$ を用いたcertificate
$$
1=g_1f_1+\cdots+g_rf_r
$$
で証明できます。これは[[Nullstellensatz infeasibility certificate|零点定理による非可解certificate]]です。
## 手で確かめる例
&&&example maximal ideals over the complex numbers [08-example-complex-maximal-ideals]
$\mathbb C[x,y]$ では
$$
(x^2+1,y-2)=(x-i,y-2)\cap(x+i,y-2)
$$
で、左辺はmaximalではありません。実際、$x^2+1=(x-i)(x+i)$ と分解し、零点は $(i,2),(-i,2)$ の二点です。
一方
$$
(x-i,y-2)
$$
の商は $\mathbb C$ でありmaximalです。弱零点定理は、$\mathbb C[x,y]$ のmaximal idealが必ずこの形になると主張します。
&&&
&&&example real counterexample [08-example-real-counterexample]
$\mathbb R[x]$ のideal $(x^2+1)$ はmaximalです。商
$$
\mathbb R[x]/(x^2+1)\cong\mathbb C
$$
が体だからです。しかし実数零点はありません。基礎体がalgebraically closedという仮定を外すと、maximal idealは必ずしも基礎体上の点になりません。これは[[weak Nullstellensatz over nonclosed fields|非代数閉体上の弱零点定理の失敗]]です。
&&&
## 零点を持たない関数は逆元になる
弱零点定理から、幾何的な条件を環の計算へ翻訳する便利な系が出ます。
&&&cor nowhere zero polynomial is a unit on an affine set [08-cor-nowhere-zero-unit]
$k$ をalgebraically closed field、$I\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ をidealとする。多項式 $f$ が $V(I)$ のどの点でも0にならないことと、$f$ のclassが $k[x_1,\ldots,x_n]/I$ のunitであることは同値である。
&&&
&&&prf [08-prf-nowhere-zero-unit]
$f$ が $V(I)$ 上零点を持たないなら
$$
V(I+(f))=V(I)\cap V(f)=\varnothing.
$$
proper idealの共通零点定理により $I+(f)$ はproperでなく、$1\in I+(f)$ です。従ってある $h\in I$ と $g\in k[x_1,\ldots,x_n]$ により
$$
1=h+gf.
$$
商環では $\overline g\,\overline f=1$ なので $\overline f$ はunitです。
逆に $\overline g\,\overline f=1$ なら、$a\in V(I)$ で評価して $g(a)f(a)=1$ です。従って $f(a)\ne0$ です。□
&&&
これは[[nowhere-zero regular function unit criterion|零点を持たない正則関数のunit判定]]です。例えばhyperbola
$$
X=V(xy-1)
$$
では $x$ は決して0にならず、座標環
$$
k[x,y]/(xy-1)
$$
で $y$ が $x$ のinverseです。幾何的な「0を避ける」が、環論的な「逆元を持つ」に変わっています。
## 演習
&&&exercise [08-exercise-1]
$k$ を体、$\alpha$ を $k$ 上algebraicな元とする。$k[\alpha]$ が体であり $k(\alpha)=k[\alpha]$ となることを、minimal polynomialを用いて証明せよ。
&&&
&&&solution [08-solution-1]
$\alpha$ のminimal polynomialを $m(T)$ とします。評価写像 $k[T]\to k[\alpha]$ のkernelは $(m)$ です。$m$ はirreducibleなので $(m)$ はmaximal ideal、従って
$$
k[\alpha]\cong k[T]/(m)
$$
は体です。$\alpha$ を含む最小の体 $k(\alpha)$ は $k[\alpha]$ を含みますが、後者が既に体なので等号です。□
&&&
&&&exercise [08-exercise-2]
$K=k[a,b]$ が体で、$a$ が $k$ 上transcendental、$b$ が $k(a)$ 上algebraicであると仮定する。Zariski補題の証明がどこで矛盾を生むかを説明せよ。
&&&
&&&solution [08-solution-2]
$b$ のmonic relationの係数の分母を一つの $f(a)\in k[a]$ にまとめると、$b$ は $R=k[a,1/f]$ 上integralです。従って $K=R[b]$ は有限生成$R$-moduleです。$K$ が体なので命題から $R$ も体であるはずです。しかし $k[a]$ には $f$ を割らないirreducible polynomial $g(a)$ があり、$g$ は $R$ で逆元を持ちません。これは $R$ が体であることに反します。従ってこのような表示の体 $K=k[a,b]$ は存在しません。□
&&&
&&&exercise [08-exercise-3]
$k$ をalgebraically closed fieldとする。$k[x,y]$ のideal
$$
I=(x-2,y^2-1)
$$
を含むmaximal idealを全て求めよ。
&&&
&&&solution [08-solution-3]
弱零点定理によりmaximal idealは $(x-a,y-b)$ の形です。$I$ を含むには
$$
a-2=0,\qquad b^2-1=0
$$
が必要十分です。従って $a=2$、$b=1$ または $-1$ であり、求めるidealは
$$
(x-2,y-1),\qquad(x-2,y+1)
$$
です。□
&&&
&&&exercise [08-exercise-4]
$k$ をalgebraically closed fieldとする。方程式
$$
x=0,\qquad xy-1=0
$$
が共通零点を持たないことを、$1$ のideal表示によって証明せよ。
&&&
&&&solution [08-solution-4]
生成多項式を $f_1=x$, $f_2=xy-1$ とします。直接
$$
yf_1-f_2=yx-(xy-1)=1
$$
です。従って $1\in(x,xy-1)$ であり、このidealは全環です。proper idealの共通零点定理から共通零点はありません。もちろん $x=0$ を第2式へ代入して $-1=0$ となる計算の、環論的certificateがこの等式です。□
&&&
&&&exercise [08-exercise-5]
$k$ をalgebraically closed fieldとし、
$$
A=k[x,y]/(xy-1)
$$
とする。$x+y$ のclassがunitであるための条件を幾何的に調べ、characteristicが2の場合とそうでない場合を分けよ。
&&&
&&&solution [08-solution-5]
$X=V(xy-1)$ 上で $x\ne0$ かつ $y=x^{-1}$ です。従って
$$
x+y=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x+x^{-1}=0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x^2+1=0.
$$
$k$ はalgebraically closedなので $x^2+1$ は根を持ちます。characteristicが2でなければ根 $\alpha$ に対し $(\alpha,\alpha^{-1})$ は零点です。characteristicが2でも $x^2+1=(x+1)^2$ で、$(1,1)$ が零点です。従ってcharacteristicによらず $x+y$ は $X$ 上で零点を持ち、unitではありません。
場合分けで変わるのは零点の重複度です。characteristic $\ne2$ では二つの根があり、characteristic $2$ では一つの重根になります。unit判定は点集合だけを見れば同じですが、重複度は後の章以降のscheme的情報に関わります。□
&&&
## この章で得た橋
Zariski補題は「有限生成$k$-algebraである体」を有限代数拡大へ圧縮しました。代数閉体上では拡大が消え、maximal idealは一点での評価kernelになります。その結果、proper idealは共通零点を持ち、連立方程式の非可解性は $1$ のideal表示で証明できました。
ただし、まだ
$$
I(V(I))=\sqrt I
$$
は証明していません。弱零点定理が扱うのはmaximal idealと「零点が存在するか」だけです。次の頁ではRabinowitsch trickを使い、任意のidealについて零点上で消える全多項式を根基まで正確に回収する強いHilbert零点定理を証明します。


1-8 Zariski補題と弱零点定理

> **前提知識**：イデアルと座標環、Zariski補題と弱零点定理
> 
## 同じ図形を定める方程式はどこまで同じか
一変数の方程式
$$
x=0,\qquad x^2=0,\qquad x^{100}=0
$$
は、点集合としては全て原点だけを定めます。しかし生成するidealは
$$
(x)\supsetneq(x^2)\supsetneq(x^{100})
$$
で異なります。零点集合は、方程式が何重に消えるかを忘れるからです。
ではideal $I$ の零点全体で消える多項式を集めた $I(V(I))$ は、$I$ から何を忘れたものなのでしょうか。答えはradicalです。
$$
I(V(I))=\sqrt I.
$$
この等式が強いHilbert零点定理です。左辺は点で定義された幾何、右辺は冪で定義された代数です。その二つが代数閉体上で一致します。
## 根基が零点集合に現れる理由
ideal $I\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ のradicalを
$$
\sqrt I=\{f\mid f^N\in I\text{ for some }N\ge1\}
$$
と定義しました。
&&&prop radical polynomials vanish [09-prop-radical-polynomials-vanish]
任意の体 $k$ とideal $I\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ に対し
$$
\sqrt I\subseteq I(V(I))
$$
である。
&&&
&&&prf [09-prf-radical-polynomials-vanish]
$f\in\sqrt I$ とします。ある $N\ge1$ について $f^N\in I$ です。$a\in V(I)$ なら
$$
f(a)^N=f^N(a)=0.
$$
体には非零nilpotent元がないので $f(a)=0$ です。従って $f$ は $V(I)$ の全点で消え、$f\in I(V(I))$ です。□
&&&
この包含には代数閉性は要りません。難しいのは逆包含です。零点上で消えるという点ごとの情報から、ある冪がidealに属するという一つの代数的等式を作らなければなりません。
## 逆元を新しい変数で表す
多項式 $f$ が $V(I)$ 上で0になるとします。新しい変数 $y$ を加え、
$$
1-yf
$$
も方程式に加えます。この式が0なら $yf=1$、すなわち $y=f^{-1}$ です。一方 $V(I)$ 上では $f=0$ なので、そのような $y$ は存在できません。
&&&def Rabinowitsch ideal [09-def-rabinowitsch-ideal]
$I\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ と $f\in k[x_1,\ldots,x_n]$ に対し
$$
J=I\,k[x_1,\ldots,x_n,y]+(1-yf)
$$
を[[Rabinowitsch trick|Rabinowitsch trick]]で用いる補助idealという。
&&&
ここで $I$ を一変数多い多項式環へ拡張しています。方程式 $1-yf=0$ は、$f\ne0$ である領域を方程式だけで表す装置です。
&&&prop Rabinowitsch emptiness lemma [09-prop-rabinowitsch-emptiness]
$k$ をalgebraically closed fieldとする。$f$ が $V(I)$ 上で恒等的に0なら、Rabinowitsch ideal
$$
J=I\,k[x_1,\ldots,x_n,y]+(1-yf)
$$
は全環である。
&&&
&&&prf [09-prf-rabinowitsch-emptiness]
$J$ がproper idealだと仮定します。「Zariski補題と弱零点定理」のproper idealの共通零点定理を $n+1$ 変数の多項式環に適用すると、ある
$$
(a_1,\ldots,a_n,b)\in k^{n+1}
$$
が $J$ の全要素を零にします。$I\subseteq J$ なので $a=(a_1,\ldots,a_n)\in V(I)$ です。仮定から $f(a)=0$ です。しかし $1-yf\in J$ なので
$$
0=1-bf(a)=1,
$$
という矛盾になります。従って $J$ はproperでなく、$J=k[x_1,\ldots,x_n,y]$ です。□
&&&
この短い補題は、幾何的な「$f=0$ と $f\ne0$ は両立しない」を、idealが $1$ を含むという代数的事実へ変換します。
## 強いHilbert零点定理
&&&thm Hilbert Nullstellensatz [09-thm-hilbert-nullstellensatz]
$k$ をalgebraically closed fieldとし、$I\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ をidealとする。このとき
$$
I(V(I))=\sqrt I.
$$
&&&
これを[[strong Hilbert Nullstellensatz|強いHilbert零点定理]]、または単にHilbert零点定理といいます。
&&&prf [09-prf-hilbert-nullstellensatz]
既に $\sqrt I\subseteq I(V(I))$ を証明しました。逆包含を示します。
$f\in I(V(I))$ を取ります。$f=0$ なら $f\in\sqrt I$ は直ちに従うので、以下 $f\ne0$ とします。Hilbert基底定理により
$$
I=(h_1,\ldots,h_r)
$$
と有限生成です。Rabinowitsch emptiness lemmaから
$$
1\in(h_1,\ldots,h_r,1-yf)
\subseteq k[x_1,\ldots,x_n,y].
$$
従って、ある多項式 $A_1,\ldots,A_r,B$ が存在して
$$
1=A_1(x,y)h_1(x)+\cdots+A_r(x,y)h_r(x)
  +B(x,y)(1-yf(x))
$$
となります。
この等式を局所化 $k[x_1,\ldots,x_n,1/f]$ へ移し、$y=1/f$ を代入します。最後の項は
$$
B(x,1/f)(1-(1/f)f)=0
$$
となるので
$$
1=\sum_{i=1}^r A_i(x,1/f)h_i(x).
$$
各 $A_i(x,1/f)$ は分母が $f$ の冪である分数です。有限個しかないので、全ての分母を払う共通の $N\ge1$ を取れます。両辺に $f^N$ を掛ければ
$$
f^N=\sum_{i=1}^r C_i(x)h_i(x)\in I
$$
となります。従って $f\in\sqrt I$ です。
以上から $I(V(I))\subseteq\sqrt I$ も成り立ち、等号を得ます。□
&&&
この証明を[[Rabinowitsch proof of the Nullstellensatz|Rabinowitsch trickによる零点定理の証明]]と呼びます。新変数 $y$ は、不等式 $f\ne0$ を方程式 $yf-1=0$ に変える役割を持ちます。
## 零点集合が等しいidealの判定
&&&cor same zero locus radical criterion [09-cor-same-zero-locus-radical]
$k$ をalgebraically closed fieldとし、$I,J\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ をidealとする。このとき
$$
V(I)=V(J)
\quad\Longleftrightarrow\quad
\sqrt I=\sqrt J.
$$
&&&
&&&prf [09-prf-same-zero-locus-radical]
$V(I)=V(J)$ なら零点定理により
$$
\sqrt I=I(V(I))=I(V(J))=\sqrt J.
$$
逆に $\sqrt I=\sqrt J$ なら、根基を取っても零点集合は変わらないので
$$
V(I)=V(\sqrt I)=V(\sqrt J)=V(J).
$$
□
&&&
これは[[same zero locus radical criterion|同じ零点集合を持つidealの根基判定]]です。点集合としてのaffine幾何が保持するのはidealそのものではなく、そのradicalだけです。
&&&example a thickened line [09-example-thickened-line]
$$
I=(x^2,xy)\subseteq k[x,y]
$$
とします。$x^2=0$ から零点では $x=0$ なので
$$
V(I)=V(x).
$$
従って代数閉体上では
$$
\sqrt I=I(V(I))=I(V(x))=(x).
$$
$I$ は直線 $x=0$ と同じ点を持ちますが、$x\notin I$ かつ $x^2\in I$ です。$I$ に残る「二重化」の情報は点集合から失われます。後のschemeは、この失われたnilpotent情報を保持します。
&&&
## affine代数的集合とradical idealの反変対応
&&&thm radical ideal algebraic set correspondence [09-thm-radical-ideal-algebraic-set-correspondence]
$k$ をalgebraically closed fieldとする。対応
$$
X\longmapsto I(X),
\qquad
I\longmapsto V(I)
$$
は、$k^n$ のaffine代数的集合と $k[x_1,\ldots,x_n]$ のradical idealとの間の包含関係を逆にするbijectionを与える。
&&&
&&&prf [09-prf-radical-ideal-algebraic-set-correspondence]
affine代数的集合 $X$ はあるideal $J$ により $X=V(J)$ と書けます。従って
$$
V(I(X))=V(I(V(J)))=V(\sqrt J)=V(J)=X.
$$
一方、radical ideal $I$ なら $\sqrt I=I$ なので、零点定理から
$$
I(V(I))=\sqrt I=I.
$$
従って二つの対応は互いに逆です。
$X\subseteq Y$ なら、$Y$ 上で消える多項式は $X$ 上でも消えるので $I(Y)\subseteq I(X)$ です。同様に $I\subseteq J$ なら $V(J)\subseteq V(I)$ です。従って包含関係は反転します。□
&&&
この結果を[[radical ideals and affine algebraic sets anti-isomorphism|radical idealとaffine代数的集合の反変対応]]と呼びます。さらに「既約集合と既約成分」の結果と合わせると、irreducible affine algebraic setはprime idealに、点はmaximal idealに対応します。
| 幾何側 | 代数側 |
|---|---|
| affine代数的集合 | radical ideal |
| irreducible集合 | prime ideal |
| 一点 | maximal ideal |
| 包含 $X\subseteq Y$ | 逆向きの包含 $I(Y)\subseteq I(X)$ |
## 和・共通部分・合併の翻訳
&&&prop ideals of unions and intersections [09-prop-ideals-unions-intersections]
$k$ をalgebraically closed fieldとし、$X,Y\subseteq k^n$ をaffine代数的集合とする。このとき
$$
I(X\cup Y)=I(X)\cap I(Y),
$$
$$
I(X\cap Y)=\sqrt{I(X)+I(Y)}.
$$
&&&
&&&prf [09-prf-ideals-unions-intersections]
多項式が $X\cup Y$ 上で消えることは、$X$ と $Y$ の両方で消えることと同値です。従って第一式が成り立ちます。
第二式について、
$$
X\cap Y=V(I(X))\cap V(I(Y))=V(I(X)+I(Y)).
$$
両辺の消滅idealを取り、零点定理を使えば
$$
I(X\cap Y)=I(V(I(X)+I(Y)))=\sqrt{I(X)+I(Y)}.
$$
□
&&&
これらを[[ideals of unions and intersections of algebraic sets|代数的集合の合併・共通部分のideal公式]]と呼びます。共通部分では和idealそのものではなくradicalが現れる点が重要です。
&&&example coordinate axes [09-example-coordinate-axes]
平面の二本の座標軸を
$$
X=V(x),\qquad Y=V(y)
$$
とします。合併は $V(xy)$ で、
$$
I(X\cup Y)=(x)\cap(y)=(xy).
$$
共通部分は原点なので
$$
I(X\cap Y)=(x,y)=\sqrt{(x)+(y)}.
$$
積 $xy$ は「どちらか一方が0」を表し、和ideal $(x,y)$ は「両方が0」を表しています。
&&&
## 座標環は図形を完全に記録する
affine代数的集合 $X$ の座標環は
$$
k[X]=k[x_1,\ldots,x_n]/I(X)
$$
でした。$I(X)$ は常にradical idealなので $k[X]$ はreducedです。零点定理により、代数閉体上では点集合 $X$ から $I(X)$ を取り、さらに座標環を作ることで、$X$ に属する全多項式関数の関係を復元できます。
一方、一般のideal $I$ から点集合 $V(I)$ を作ると
$$
k[V(I)]
=k[x_1,\ldots,x_n]/\sqrt I
$$
となります。$k[x]/(x^2)$ と $k[x]/(x)$ は同じ一点を与えますが、前者にあるnonzero nilpotent $\overline x$ は後者では消えます。これは[[reduction of an affine algebra|affine algebraのreduction]]
$$
A_{\mathrm{red}}=A/\sqrt{(0)}
$$
の最初の例です。
## 仮定を外したときの失敗
&&&example failure over the real numbers [09-example-real-failure]
$k=\mathbb R$、$I=(x^2+1)$ とします。実零点がないので
$$
V_{\mathbb R}(I)=\varnothing,
\qquad
I(V_{\mathbb R}(I))=\mathbb R[x].
$$
しかし $x^2+1$ はirreducibleで $(x^2+1)$ はradical ideal、従って
$$
\sqrt I=I\ne\mathbb R[x].
$$
したがって通常の零点定理は実数上では成立しません。実数上では正値性を記録するreal radicalが必要になります。
&&&
&&&example failure over a finite field [09-example-finite-field-failure]
$k=\mathbb F_q$ とし、零ideal $I=(0)\subseteq k[x]$ を考えます。$V(I)=k$ は全ての $q$ 個の点ですが、
$$
x^q-x
$$
はFermatの関係により全ての $a\in\mathbb F_q$ で0になります。従って
$$
x^q-x\in I(V(I))
$$
である一方、$x^q-x\notin\sqrt{(0)}=(0)$ です。これは[[finite-field Nullstellensatz failure|有限体上の零点定理の失敗]]です。
&&&
代数閉性は単に証明を便利にする仮定ではありません。基礎体上に十分な点が存在し、点での評価が多項式関係を検出するために必要です。
## 演習
&&&exercise [09-exercise-1]
$k$ をalgebraically closed fieldとし、正整数 $m,n$ に対して
$$
I=(x^m,y^n)\subseteq k[x,y]
$$
のradicalを求めよ。
&&&
&&&solution [09-solution-1]
$x^m=y^n=0$ なら体の中で $x=y=0$ です。従って
$$
V(I)=\{(0,0)\}.
$$
原点の消滅idealは $(x,y)$ なので、零点定理から
$$
\sqrt I=I(V(I))=(x,y).
$$
直接にも $x^m,y^n\in I$ から $x,y\in\sqrt I$ で $(x,y)\subseteq\sqrt I$、逆包含は $I\subseteq(x,y)$ と $(x,y)$ がradicalであることから従います。□
&&&
&&&exercise [09-exercise-2]
$$
I=(x^2,xy),\qquad J=(x)
$$
について $V(I)=V(J)$ と $I\ne J$ を直接確かめ、$\sqrt I=\sqrt J$ を示せ。
&&&
&&&solution [09-solution-2]
$I\subseteq J$ なので $V(J)\subseteq V(I)$ です。一方 $(a,b)\in V(I)$ なら $a^2=0$ から $a=0$、従って $(a,b)\in V(J)$ です。よって零点集合は等しいです。
$x\in J$ ですが、$I$ の任意の元は $x^2A+xyB=x(xA+yB)$ の形であり $x$ 自身はこの形に書けないので $I\ne J$ です。$x^2\in I$ だから $x\in\sqrt I$ で、
$$
J=(x)\subseteq\sqrt I.
$$
また $I\subseteq J$ かつ $J$ はprime、従ってradicalなので $\sqrt I\subseteq J$ です。ゆえに
$$
\sqrt I=J=\sqrt J.
$$
□
&&&
&&&exercise [09-exercise-3]
$X=V(x-y)$、$Y=V(x+y)$ を $k^2$ の二直線とする。ただし $\operatorname{char}k\ne2$ とする。$I(X\cup Y)$ と $I(X\cap Y)$ を求めよ。
&&&
&&&solution [09-solution-3]
二直線のidealはそれぞれ $(x-y)$ と $(x+y)$ です。二つの一次式は互いにassociateでなく、共通の非定数因子を持たないので
$$
I(X\cup Y)=(x-y)\cap(x+y)=((x-y)(x+y))=(x^2-y^2).
$$
共通部分では $x-y=x+y=0$ です。差を取ると $2y=0$、和を取ると $2x=0$ であり、characteristicの仮定から $x=y=0$ です。従って
$$
I(X\cap Y)=(x,y).
$$
idealの和からも
$$
(x-y,x+y)=(x,y)
$$
が得られます。□
&&&
&&&exercise [09-exercise-4]
$k=\mathbb F_p$ とし、多変数多項式
$$
f_i=x_i^p-x_i\qquad(1\le i\le n)
$$
を考える。$V(f_1,\ldots,f_n)=k^n$ を示し、有限体上で点集合だけを使うとどの情報が失われるか説明せよ。
&&&
&&&solution [09-solution-4]
Fermatの小定理から全ての $a\in\mathbb F_p$ について $a^p=a$ です。従って任意の $(a_1,\ldots,a_n)\in k^n$ は全ての $f_i$ を零にし、零点集合は $k^n$ 全体です。
零ideal $(0)$ も $V(0)=k^n$ を定めます。しかし $(f_1,\ldots,f_n)\ne(0)$ です。したがって有限体の有理点だけを見ると、非零多項式と零多項式を区別できない場合があります。点が有限個しかないため、多項式関数への写像がinjectiveでないことが原因です。□
&&&
&&&exercise [09-exercise-5]
$k$ をalgebraically closed field、$I=(x^2,xy)\subseteq k[x,y]$ とする。$f=x$ は $V(I)$ 上で消えるが $I$ には属さない。零点定理が保証する冪 $f^N\in I$ を具体的に一つ与えよ。また $f+ y$ が $V(I)$ 上で消えるか判定せよ。
&&&
&&&solution [09-solution-5]
$f=x$ については
$$
f^2=x^2\in I
$$
なので $N=2$ が使えます。これは $x\in\sqrt I$ を直接示します。
$V(I)=V(x)$ は $y$ 軸全体です。$x+y$ を点 $(0,b)$ で評価すると $b$ です。例えば $(0,1)\in V(I)$ で値は1なので、$x+y$ は $V(I)$ 上で恒等的には消えません。従って $x+y\notin I(V(I))=\sqrt I=(x)$ です。□
&&&
## この章で得た橋
弱零点定理はmaximal idealを点として分類しました。強い零点定理はさらに、任意のidealの零点上で消える全多項式をradicalとして回収します。これにより、affine代数的集合とradical ideal、irreducible集合とprime ideal、点とmaximal idealという三層の対応が一つの辞書になりました。
しかしこの対応は点集合へ移る際にnilpotentを捨てます。「消去とGröbner基底への入口」ではideal membershipと消去を実際に計算するGröbner基底へ進みます。その後、局所化・Spec・schemeへ進むと、ここで捨てた重複度やnilpotentを保持した幾何を扱えるようになります。


1-9 Hilbert零点定理

1-10 消去とGröbner基底への入口

Algebraic Curves, An Introduction to Algebraic Geometry (Online version)

多項式の共通零点集合（アフィン代数的集合）と座標環の対応から出発し、Zariski位相、Hilbertの基底定理・零点定理、局所環と接空間、次元を扱う。後半では前層と層、局所環付き空間、環のスペクトラム Spec とアフィンスキーム、スキームの貼り合わせと射、ファイバー積と特殊化、閉埋入・有限型・有限射を順に導入し、「環と幾何の翻訳」を一貫した軸にする。最後に射影空間と斉次座標を橋渡しとして導入し、総合問題で全体を往復する。前提は可換環論（イデアル・局所化・素イデアル）と体の初歩である。

3-0 章の見取り図

この章の問い

道筋

読み方

章末で言えること

前の章から持ち込むもの

参考文献