Vojta予想

前提知識: Weil高さ, Rothの定理, Nevanlinna理論, Diophantus幾何学, 因子

Vojta 予想（Vojta's conjecture）とは、代数体 $k$ 上の滑らかな射影多様体 $X$ と正規交差因子 $D$ について、$X$ の $k$ 有理点 $x$ が $D$ に近づく度合い（近接関数 $m_S(D,x)$）と標準束の高さ $h_K(x)$ の和が、ほとんどすべての点で豊富な直線束の高さの $\varepsilon$ 倍程度を超えないと予想する主張である。P. Vojta が 1987 年の本で、Nevanlinna 理論との類似から定式化した（Voj11 §6、p. 130、Oes88 I.5、p. 171）。
Nevanlinna 理論と Diophantus 近似のあいだの記号の対応を Vojta の辞書（Vojta's dictionary）という。辞書の 1 次元の場合、Nevanlinna 理論の第一主要定理は高さの性質に、欠除関係は Rothの定理 に対応する。Vojta 予想は、これを高次元の多様体に広げたときに第二主要定理に対応すると予想される不等式である。$X$ が射影直線の場合が Roth の定理そのもの、種数 $2$ 以上の曲線で $D=0$ の場合から Faltings の定理（Mordell 予想）の有限性が出る。打ち切った個数関数を使う形は abc予想 を含む。
この記事では、辞書の 1 次元の場合について、数論の第一主要定理と、Roth の定理から数論の欠除関係が従うことを完全に証明する。次に予想を述べ、予想から Roth の定理の形と Faltings の定理の形が出ることを示す（どちらも予想からの導出であり、予想そのものは未解決である）。最後に、予想の各仮定が外せないことを反例で確かめる。

辞書の 1 次元の場合

以下 $k$ を 代数体、$M_k$ をその素点全体とし、$\|\cdot\|_v$ を Weil高さ の節「素点と正規化された絶対値」の正規化された絶対値とする。$S\subset M_k$ を無限素点をすべて含む有限集合とする。$v$ が実素点なら $N_v:=1$、複素素点なら $N_v:=2$、有限素点なら $N_v:=0$ とおくと、$\sum_{v}N_v=[k:\mathbb{Q}]$ であり、すべての $v$ と $x,y\in k$ について
$$ \|x+y\|_v\le2^{N_v}\max(\|x\|_v,\|y\|_v) \qquad(1) $$
である（有限素点では超距離不等式、実素点では三角不等式、複素素点では $\|\cdot\|_v=\lvert\cdot\rvert^2$ なので $(\lvert x\rvert+\lvert y\rvert)^2\le4\max(\lvert x\rvert,\lvert y\rvert)^2$）。

これは Voj11 Definition 5.1（p. 126）と同じである。$h_k(x)=m_S(x)+N_S(x)$ は定義から明らかで、$h_k(x)=[k:\mathbb{Q}]\,h(x)$（$h$ は Weil高さ、$x$ を $\mathbb{P}^1$ の点 $[x:1]$ とみる）である。$m_S(a,x)$ は $S$ の素点で $x$ が $a$ に近いほど大きく、$N_S(a,x)$ は $S$ の外の素点で $x-a$ が素イデアルで割れる度合いを重み $\log N(\mathfrak{p})$ で数えたものである。これが Nevanlinna 理論の近接関数と個数関数（Nevanlinna理論 の定義「近接関数・個数関数・特性関数」）に対応する。

主張は Voj11 Theorem 5.5（pp. 127–128）と同じで、証明も同所の Lemma 5.4 と同じ考え方による。Nevanlinna 理論の第一主要定理（Nevanlinna理論 の定理「第一主要定理」）では Jensen の公式が使われ、ここでは積公式が使われる。辞書で Jensen の公式と積公式が対応するのはこのためである（Voj11 Table 1、p. 131）。

Roth の定理と欠除関係

Rothの定理 は、代数体と有限個の素点の形で次のように言い換えられる（Voj11 Theorem 3.5、pp. 121–122 の不等式を $[k:\mathbb{Q}]$ 倍したもの）。互いに異なる $a_1,\dots,a_q\in k$、$\varepsilon>0$、$c\in\mathbb{R}$ について、
$$ \sum_{j=1}^qm_S(a_j,x)\le(2+\varepsilon)\,h_k(x)+c \qquad(2) $$
が、有限個を除くすべての $x\in k$ で成り立つ。これは Nevanlinna 理論の第二主要定理の誤差項を粗くした形 $\sum_jm_f(a_j,r)\le(2+\varepsilon)T_f(r)+c$（例外集合を除いて）と同じ形である（Voj11 (4.9)・§5、pp. 125, 128）。

$\Sigma$ は無限集合なので、Weil高さ の定理「Northcott の定理」により、高さが有界な $x\in\Sigma$ は有限個である。したがって $\Sigma$ の有限個を除けば $h_k(x)>0$ で、定義は意味をもつ。さらに thm-vc-first-main と $N_S\ge0$ により $m_S(a,x)\le h_k(x)+O(1)$ なので、$0\le\delta_{S,\Sigma}(a)\le1$ である。これは Voj11 Definition 5.6（p. 129）と同じである。

これは Voj11 §5（p. 129）が述べている対応であり、Nevanlinna 理論の欠除関係（Nevanlinna理論 の定理「欠除関係」）と同じ形をしている。辞書で Roth の定理に対応するのは、誤差項まで込めた第二主要定理ではなく、この欠除関係である。第二主要定理の誤差項 $O(\log^+T_f(r))$ に対応する精密な形 $\sum_jm_S(a_j,x)\le2h_k(x)+O(\log h_k(x))$ は、予想として残っている（Voj11 §5、p. 128 と Table 1、p. 131）。
辞書で「定数でない有理型関数 $f$」に対応するのは、$k$ の元の 無限列 であり、1 つの点ではない。第二主要定理は不等式に反する関数が存在しないことを述べ、Roth の定理は不等式に反する無限列が存在しないことを述べる（Voj11 §6、p. 130）。

予想の主張

用語

高次元に広げるための用語を、Voj11 に従って用意する。$k$ を代数体、$S$ を前節のとおりとする。

• Weil 関数．$X$ を $k$ 上の射影多様体、$D$ を $X$ 上の Cartier 因子 とする。$D$ の Weil 関数 $\lambda_D=(\lambda_{D,v})_{v\in M_k}$ は、$D$ の台の外で定義された関数の族で、局所的に $D$ が関数 $f$ で定義されるところでは $\lambda_{D,v}(x)=-\log\|f(x)\|_v+(\text{有界な連続関数})$ の形をもつもの（有界性は素点について一様）である。存在し、有界な差（$M_k$ 定数）を除いて一意で、因子について加法的である（Voj11 Definition 8.6、Theorem 8.7、Theorem 8.8 (a)(d)、pp. 140–141）。直観的には、$\lambda_{D,v}(x)$ は $v$ 進的に $x$ が $D$ に近いほど大きい。
• 近接関数・個数関数・高さ．$x\in X(k)$ が $D$ の台の上になければ $m_S(D,x):=\sum_{v\in S}\lambda_{D,v}(x)$、$N_S(D,x):=\sum_{v\notin S}\lambda_{D,v}(x)$ とおく。和 $h_{D,k}(x)=m_S(D,x)+N_S(D,x)$ は、有界な差を除いて $D$ の線形同値類（直線束 $O(D)$）だけで決まり、Weil高さ の定理「Weil の高さ機械」の高さ $h_{O(D)}$ の $[k:\mathbb{Q}]$ 倍に有界な差を除いて等しい（Voj11 Definition 9.6、Theorem 9.7、pp. 144–145、Definition 10.1、p. 148）。$m_S$ と $N_S$ は $D$ について加法的である（同 Proposition 10.2 (a)、pp. 148–149）。
• 正規交差因子．非特異な多様体 $X$ 上の因子 $D$ が 正規交差 であるとは、$D$ が被約（重複度がすべて $0$ か $1$）で、局所的に（エタール位相で）既約成分が非特異で横断的に交わっていることをいう（Voj11 Definition 14.4、p. 159）。$X=\mathbb{P}^n$ で $D$ が超平面の和のときは、超平面が一般の位置にあることと同値である（同 Conjecture 14.2 の後の段落、p. 159）。
• 生成的．$X(k)$ の部分集合が 生成的（generic）であるとは、その無限部分集合がすべて $X$ の中で Zariski 稠密であることをいう（Voj11 Definition 14.5、p. 160）。曲線では無限集合はすべて生成的である。

主張

これは Voj11 Conjecture 14.6（p. 160）である。Nevanlinna 理論の側の対応物は、$\mathbb{C}$ から $X$ への正則曲線 $f$ について
$$ m_f(D,r)+T_{K,f}(r)\le O(\log^+T_{A,f}(r))+o(\log r)\qquad(\text{例外集合を除いて}) $$
と予想する Griffiths の予想で（Voj11 Conjecture 14.2、p. 158）、$X$ が曲線の場合は定理である（同 p. 159）。$X=\mathbb{P}^1$ では標準束は $O(-2)$ なので、この不等式は第二主要定理（Nevanlinna理論 の定理「第二主要定理」）そのものになる（同 p. 158）。

高次元の辞書

辞書は高次元にも広がる（Voj11 §7、§13、§14、§22）。

Borel の補題と単数定理は Voj11 Theorem 13.1（p. 156）と Theorem 13.2（p. 157）、Cartan と Schmidt は Theorem 7.7（p. 134）と Theorem 7.11・7.12（pp. 135–136）、一般型の場合は Proposition 14.3（p. 159）と Proposition 14.9（p. 161）、打ち切りの形は Theorem 22.2（p. 188）と Conjecture 22.5（p. 189）である。S 単数定理は Schmidtの部分空間定理 の記事で証明されている。

予想から出ること

予想の特別な場合が、既知の大きな定理と一致する。以下の 2 つは「予想の特別な場合が既知の定理の形になる」ことの説明であり、予想そのものの証明ではない。

2. は Roth の定理（代数体と有限個の素点の形）なので、この場合の予想の 2 は正しい。Voj11 p. 160 は、曲線の場合の 2 が、種数 $0$ では Roth の定理、種数 $1$ では Lang の定理、種数 $2$ 以上では Faltings の定理により知られていると述べている。種数 $2$ 以上の場合を次に確かめる。

Faltings の定理（Mordell 予想）は予想なしに証明されている（Diophantus幾何学 の節「曲線の有理点と整数点」）。したがってこの命題は、予想が既知の定理と矛盾しないことと、予想がどの程度強いかを示すものである。同じ議論を $\operatorname{Supp}D$ の外の整数点に当てると、$X\setminus D$ が対数的一般型なら $S$ 整数点の集合は Zariski 稠密でない、という形になる（Voj11 Proposition 14.9、p. 161）。$D=0$ の場合は、一般型の多様体の有理点は Zariski 稠密でないという Bombieri–Lang 予想（Diophantus幾何学 の節「高次元の予想」）の形である。

知られていること

Voj11 §14（pp. 160–161）と RV16 によれば、次の場合が知られている。

• 曲線．2 は種数によらず知られている（前節）。1 は誤差項を除けば 2 と同じ形だが、射影直線の場合の 1 は誤差項 $O(\log^+h_k(x))$ をもつ Roth の定理の精密化で、知られていない（Voj11 p. 160、Table 1、p. 131）。
• 射影空間と超平面．$X=\mathbb{P}^n$、$D$ が一般の位置にある超平面の和の場合は、Schmidtの部分空間定理 により、1 の誤差項と 2 の $Z$ の依存の仕方を除いて知られている（Voj11 p. 160）。
• アーベル多様体・半アーベル多様体．$X$ がアーベル多様体で $D$ が豊富な場合の 2 は Faltings（1991）、半アーベル多様体の整数点に限った形は Vojta（1999）による（Voj11 p. 161）。
• Nevanlinna 定数．Ru と Vojta は、射影多様体上の有効 Cartier 因子 $D$ に対する数 $\operatorname{Nev}_{\mathrm{bir}}(D)$ を定め、各 $\varepsilon>0$ について $m_S(D,x)\le(\operatorname{Nev}_{\mathrm{bir}}(D)+\varepsilon)h_{D}(x)$ が真の Zariski 閉集合の外のすべての $x\in X(k)$ で成り立つことを示した（RV16 Theorem 1.5、pp. 3–4）。$D$ が豊富で $\operatorname{Nev}_{\mathrm{bir}}(D)< 1$ なら、$D$ 整数点は真の Zariski 閉集合の外に有限個しかない（同 Corollary 1.6、p. 4）。同じ形の定理が Nevanlinna 理論の側でも成り立つ（同 Theorem 1.4、p. 3）。
  一般の場合は未解決であり、打ち切った個数関数の形（abc予想 を含む）は、Nevanlinna 側で曲線の場合が定理であるのに対し、数論側ではどの場合も知られていない（Voj11 p. 190）。代数的な点（次数が有界な点）に広げた形では、体の判別式の項が加わる（同 Conjecture 24.1、p. 200）。その曲線で $D=0$ の場合（「$1+\varepsilon$ 予想」）からも abc 予想が従う（同 Conjecture 25.1、Proposition 25.2、p. 202）。

反例と注意

予想の仮定を外すと、主張は成り立たなくなる。確かめは表の下にある。

各行の反例が、どの条件を破っているかを確かめる。

• $Z$ は $\varepsilon$ によってよい．2 の例外集合 $Z$ を $\varepsilon$ によらずにとることはできない。Levin–McKinnon–Winkelmann は、無限個の有理曲線 $Z_i$ をもつ曲面で、1 の不等式が $Z_i$ の上で成り立たない例を与えている（Voj11 Theorem 14.10、p. 161）。これは 2 と矛盾しないが、1 と 2 を 1 つの主張にまとめることを妨げる（同 p. 162）。
• 証明の方法は対応しない．Nevanlinna 側の証明は導関数（対数微分の補題）を使うが、数論にはその類似物が見つかっていない（Voj11 §5、p. 128）。辞書は主張の対応であり、証明の対応ではない。

関連項目

• 前提: Weil高さ, Rothの定理, Nevanlinna理論, Diophantus幾何学, 因子
• 比較: Schmidtの部分空間定理, 豊富な直線束, 標準因子
• 直後に読む: abc予想, Faltingsの定理
• 発展: Bombieri–Lang予想, Mordell–Weilの定理