Liouville–Arnoldの定理

段 1（近くの等位集合）．臨界点（$df_1,\dots,df_n$ が 1 次従属な点）の集合と $f^{-1}(c^0)\setminus L_0$ はどちらも閉集合で、コンパクトな $L_0$ と交わらない（$L_0$ は $f^{-1}(c^0)$ の開かつ閉な成分）。そこで $L_0$ の開近傍 $V$ を、閉包 $\bar V$ がコンパクトで、これら 2 つの閉集合と交わらないようにとる。$\bar V\cap f^{-1}(c^0)=L_0\subset V$ なので、境界 $\partial V=\bar V\setminus V$ のコンパクトな像 $f(\partial V)$ は $c^0$ を含まず、$c^0$ を中心とする開球 $B$ で $f(\partial V)$ と交わらないものがある。$W=V\cap f^{-1}(B)$ とおく。$p\in W$ を通る $X_{f_i}$ の積分曲線は等位集合 $f^{-1}(f(p))$ の中を動き、$V$ を出るには $\partial V$ を通らなければならないが、$\partial V$ はこの等位集合と交わらない。よって積分曲線はコンパクト集合 $\bar V\cap f^{-1}(f(p))$ にとどまり、すべての時刻で定義される（ベクトル場の流れ の定理「完備性の判定」と同じ理由）。こうして 1 の証明の段 1 と同じ式で、可換な流れから $\mathbb R^n$ の $W$ への作用 $\Phi$ が定まり、$f\circ\Phi(t,\cdot)=f$ である。

段 2（切断と局所座標）．点 $p_0\in L_0$ を固定する。$df_{p_0}$ は全射なので、$p_0$ を通る $n$ 次元の部分多様体 $S\subset W$ で $f|_S$ が $c^0$ の近傍への微分同相になるものがある（$df_{p_0}$ の核の補空間に接するように、座標で 1 次の部分空間をとり、逆関数定理 を使う）。$B$ を小さくとり直して、逆写像を $\sigma\colon B\to S$（$f\circ\sigma=\mathrm{id}$）とする。$E(c,s)=\Phi(s,\sigma(c))$ の $(c^0,0)$ での微分は、$\partial/\partial s_i$ を $X_{f_i}(p_0)$（$\ker df_{p_0}$ の基底）に、$\partial/\partial c_i$ を $f$ で写すと $\partial/\partial c_i$ になるベクトルに写すので同型である。よって $E$ は $(c^0,0)$ の近傍 $B_1\times\{|s|< r\}$ から $p_0$ の近傍への微分同相である。とくに $c\in B_1$、$0<|s|< r$ なら $\Phi(s,\sigma(c))\ne\sigma(c)$ である。

段 3（周期の格子が滑らかに動く）．$c\in B$ について $\Lambda(c)=\{t\mid\Phi(t,\sigma(c))=\sigma(c)\}$ とおき、1 の証明で得た $\Lambda(c^0)$ の基底を $v_1^0,\dots,v_n^0$ とする。$(c,t)$ が $(c^0,v_k^0)$ に近いとき $\Phi(t,\sigma(c))$ は $p_0$ に近く、$f$ の値が $c$ なので $\Phi(t,\sigma(c))=E(c,S(c,t))$ となる滑らかな $S(c,t)$ がただ 1 つある。小さい $u$ について $\Phi(t+u,\sigma(c))=\Phi(u,\Phi(t,\sigma(c)))=E(c,S(c,t)+u)$ なので $S(c,t+u)=S(c,t)+u$ で、$\partial S/\partial t$ は単位行列である。$S(c,t)=0$ は $t\in\Lambda(c)$ と同値なので、陰関数定理 により、$c^0$ の近くで滑らかな $v_k(c)\in\Lambda(c)$ で $v_k(c^0)=v_k^0$ となるものがある。$c$ が $c^0$ に十分近ければ $v_1(c),\dots,v_n(c)$ は 1 次独立で、$\Lambda(c)$ を生成する。実際、そうでない $c_m\to c^0$ があれば、$\Lambda(c_m)$ の元で $v_k(c_m)$ の整数結合でないものを、整数結合を引いて $w_m=\sum_ka_{m,k}v_k(c_m)$（$0\le a_{m,k}<1$）とできる。部分列で $a_{m,k}\to a_k\in[0,1]$ とすると、極限 $w=\sum_ka_kv_k^0$ は $\Phi(w,\sigma(c^0))=\sigma(c^0)$ をみたし、$a_k\in\{0,1\}$ である。$w_m-\sum_ka_kv_k(c_m)$ は $\Lambda(c_m)$ の $0$ でない元で $0$ に近づくので、段 2 の最後の主張に反する。$B$ を小さくとり直して、これらが $B$ の上で成り立つとする。

段 4（近傍の形）．$\Psi(c,\theta)=\Phi\bigl(\frac1{2\pi}\sum_k\theta_kv_k(c),\ \sigma(c)\bigr)$ は $B\times\mathbb T^n$ から $W$ への写像として定まる。$f\circ\Psi(c,\theta)=c$ と 1 の証明（各等位集合の上の軌道は $\mathbb R^n/\Lambda(c)$）から $\Psi$ は単射で、微分は $\theta$ の方向を等位集合の接空間に同型に写し、$c$ の方向は $f$ で写すと $\partial/\partial c$ になるので、$\Psi$ は局所微分同相である。よって $U=\Psi(B\times\mathbb T^n)$ は $L_0$ を含む開集合で、$\Psi\colon B\times\mathbb T^n\to U$ は微分同相である。

段 5（$\omega$ は完全）．$\chi\colon\mathbb R\to[0,1]$ を $s\le0$ で $0$、$s\ge1$ で $1$ となる滑らかな関数（de Rhamコホモロジー の系「ホモトピー不変性と Poincaré の補題」の 2 の証明のもの）とする。$r_s(\Psi(c,\theta))=\Psi(c^0+\chi(s)(c-c^0),\theta)$（$s\in\mathbb R$）は $U$ の恒等写像 $r_1$ と、$L_0$ への写像 $r_0$ を結ぶ滑らかなホモトピーである。$L_0$ は Lagrange 部分多様体なので $\omega$ の $L_0$ への引き戻しは $0$ で、$r_0^*\omega=0$ である。de Rhamコホモロジー の系「ホモトピー不変性と Poincaré の補題」の 1 から $[\omega]=[r_1^*\omega]=[r_0^*\omega]=0$ で、$U$ の上で $\omega=d\lambda$ となる 1 次形式 $\lambda$ がある。

段 6（作用変数）．閉曲線 $\gamma_k(c)\colon[0,1]\to U$、$s\mapsto\Phi(s\,v_k(c),\sigma(c))$ をとり、$A_k(c)=\int_{\gamma_k(c)}\lambda$、$I_k(c)=-\frac1{2\pi}A_k(c)$ とおく。$B$ の中の曲線 $c(\tau)$ について $\Gamma(\tau,s)=\Phi(s\,v_k(c(\tau)),\sigma(c(\tau)))$ とすると、$s=0$ と $s=1$ の辺はどちらも $\sigma(c(\tau))$ で打ち消し合うので、Stokes の定理から $A_k(c(\tau_1))-A_k(c(0))=\int_0^{\tau_1}\!\int_0^1\omega(\partial_\tau\Gamma,\partial_s\Gamma)\,ds\,d\tau$ である。$\partial_s\Gamma=\sum_iv_k(c)_iX_{f_i}$ で、$\omega(\partial_\tau\Gamma,X_{f_i})=-df_i(\partial_\tau\Gamma)=-\dot c_i(\tau)$（$f_i\circ\Gamma=c_i(\tau)$）なので、$\frac{d}{d\tau}A_k(c(\tau))=-\sum_iv_k(c)_i\dot c_i$、すなわち $$dI_k=\frac1{2\pi}\sum_{i=1}^nv_k(c)_i\,dc_i$$ である。$v_k(c)$ は 1 次独立なので $c\mapsto I(c)$ は局所微分同相で、$B$ を小さくとり直して $B$ から開球 $D$ への微分同相としてよい。$U$ の上の関数 $I_k\circ f$ も $I_k$ と書くと、$dI_k=\frac1{2\pi}\sum_iv_k(c)_i\,df_i$ と $\iota_X\omega$ の線形性から $X_{I_k}=\frac1{2\pi}\sum_iv_k(c)_iX_{f_i}$ である。係数は等位集合の上で一定なので、$X_{I_k}$ の時刻 $\tau$ の流れは $\Phi\bigl(\frac\tau{2\pi}v_k(c),\cdot\bigr)$ で、$\tau=2\pi$ で恒等写像になる。

段 7（角変数）．$\Psi$ を座標 $(I,\theta)\in D\times\mathbb T^n$ で読み直すと、$\partial/\partial\theta_k=X_{I_k}$ である。よって $\iota_{\partial/\partial\theta_k}\omega=dI_k$ で、$\omega=\sum_{j< k}a_{jk}d\theta_j\wedge d\theta_k+\sum_{j,k}b_{jk}d\theta_j\wedge dI_k+\sum_{j< k}c_{jk}dI_j\wedge dI_k$ と書いて比べると $a_{jk}=0$、$b_{jk}=\delta_{jk}$ である。$\beta=\sum_{j< k}c_{jk}dI_j\wedge dI_k$ とおくと $d\omega=0$ から $d\beta=0$ で、$d\beta$ の $d\theta_l\wedge dI_j\wedge dI_k$ の係数 $\partial c_{jk}/\partial\theta_l$ は $0$ である。よって $\beta$ は球 $D$ の上の閉 2 形式で、Poincaréの補題 により $\beta=d\bigl(\sum_jb_j(I)\,dI_j\bigr)$ と書ける。$\varphi_j=\theta_j+b_j(I)$ とおくと $\omega=\sum_jd\theta_j\wedge dI_j+\sum_jdb_j\wedge dI_j=\sum_jd\varphi_j\wedge dI_j$ である。$(I,\theta)\mapsto(I,\varphi)$ は $D\times\mathbb T^n$ の微分同相なので、$(I,\varphi)$ が求める座標である。各 $f_i$ は $c=c(I)$ の成分なので $I$ だけの関数である。$\square$