Riesz–Thorinの補間定理

$G(z):=F(z)A_0^{z-1}A_1^{-z}$ とおく（$A^{w}:=e^{w\log A}$）。$|A_0^{z-1}A_1^{-z}|=A_0^{x-1}A_1^{-x}$（$x=\operatorname{Re}z$）は $S$ 上で有界なので $G$ も有界で、$|G|\le B$ とする。2 本の境界線の上では $|G|\le1$ である。$\varepsilon>0$ に対し $G_\varepsilon(z):=G(z)e^{\varepsilon z^2}$ とおくと、$z=x+iy$ で $|e^{\varepsilon z^2}|=e^{\varepsilon(x^2-y^2)}\le e^{\varepsilon}e^{-\varepsilon y^2}$ である。$Y>0$ を $Be^{-\varepsilon Y^2}\le1$ となるように大きくとり、長方形 $R_Y:=\{0\le x\le1,\ |y|\le Y\}$ を考える。$R_Y$ の縦の辺では $|G_\varepsilon|\le e^{\varepsilon}$、横の辺では $|G_\varepsilon|\le Be^{\varepsilon}e^{-\varepsilon Y^2}\le e^{\varepsilon}$ である。下の最大値の原理により $R_Y$ 全体で $|G_\varepsilon|\le e^{\varepsilon}$ であり、$Y$ はいくらでも大きくとれるので $S$ 全体で $|G(z)|\le e^{\varepsilon}e^{-\varepsilon(x^2-y^2)}$ である。$\varepsilon\to0$ として $|G|\le1$、すなわち $|F(\theta+it)|\le A_0^{1-\theta}A_1^{\theta}$ を得る。

右辺が $\|h\|_q$ 以下であることは Hölderの不等式 による。逆向きを示す。$\varphi:=\overline h/|h|$（$h\ne0$ の点）、$\varphi:=1$（$h=0$ の点）とおく。σ-有限性から $\nu(E_n)<\infty$ の増加列 $E_n$ で $\bigcup_nE_n=Y$ となるものをとり、$H_n:=|h|\,1_{E_n\cap\{|h|\le n\}}$ とおく。$H_n$ は増加して $|h|$ にほとんど至るところ収束する。$0\le c_n\le H_n$ で $c_n\uparrow|h|$（ほとんど至るところ）となる単関数 $c_n$ をとる（$H_n$ を下から近似する単関数の最大値をとればよい）。

$\{|f|>1\}$ の上では $|f|^{r_0}\le|f|^p$、$\{|f|\le1\}$ の上では $|f|^{r_1}\le|f|^p$（$r_1<\infty$）または $|v|\le1$（$r_1=\infty$）なので、前半が従う。$\mu(\{|f|>1/n\})\le n^p\|f\|_p^p<\infty$ である。$u$ と $v$（$r_1<\infty$ のとき）には、$|s_n|\le|f|$ で各点収束する単関数 $s_n$（Lp空間 の命題「単関数の稠密性」の証明のもの）を当て、優収束定理 を使えばよい。

段階 0（$p_0=p_1$ の場合）。 このとき $p=p_0=p_1$ で、$f\in L^p$ について $Tf\in L^{q_0}\cap L^{q_1}$ である。$q_0\ne q_1$ なら Hölderの不等式 の系「補間の不等式」から
$$ \|Tf\|_q\le\|Tf\|_{q_0}^{1-\theta}\|Tf\|_{q_1}^{\theta}\le M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}\|f\|_p $$
であり、$q_0=q_1$ なら $\|Tf\|_q\le\min(M_0,M_1)\|f\|_p$ である。以下 $p_0\ne p_1$ とする。このとき $p$ は $p_0$ と $p_1$ の真に間にあり、$p<\infty$ である。
段階 1（単関数）。 $f=\sum_ja_j1_{A_j}$（有限和、$A_j$ は互いに交わらず $\mu(A_j)<\infty$、$a_j\ne0$）で $\|f\|_p=1$ とする。$h:=Tf$ は $L^{q_0}+L^{q_1}$ に属するのでほとんど至るところ有限であり、lem-rt-duality により、$g=\varphi b\in\mathcal G_h$、$\|g\|_{q'}=1$、$b=\sum_kb_k1_{B_k}$（$b_k>0$、$B_k$ は互いに交わらず測度有限）について $\bigl|\int hg\bigr|\le M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}$ を示せばよい。
$$ \alpha(z):=p\Bigl(\frac{1-z}{p_0}+\frac{z}{p_1}\Bigr),\qquad \beta(z):=q'\Bigl(\frac{1-z}{q_0'}+\frac{z}{q_1'}\Bigr) $$
とおき（$q'=\infty$ のときは $\beta$ を使わない）、
$$ f_z:=\sum_j|a_j|^{\alpha(z)}\frac{a_j}{|a_j|}1_{A_j},\qquad g_z:=\varphi\sum_kb_k^{\beta(z)}1_{B_k}\quad(q'=\infty\text{ なら }g_z:=g) $$
と定め、$F(z):=\int_YT(f_z)\,g_z\,d\nu$ とおく。線形性から
$$ F(z)=\sum_{j,k}|a_j|^{\alpha(z)}b_k^{\beta(z)}\frac{a_j}{|a_j|}\int_YT(1_{A_j})\,\varphi1_{B_k}\,d\nu $$
であり、各積分は Hölder の不等式で有限である（$T(1_{A_j})\in L^{q_0}+L^{q_1}$、$\varphi1_{B_k}\in L^{q_0'}\cap L^{q_1'}$）。したがって $F$ は $e^{cz}$ 型の関数の有限和で、整関数であり $S$ 上で有界である。$\alpha(\theta)=\beta(\theta)=1$ だから $F(\theta)=\int hg$ である。
$\operatorname{Re}z=0$ のとき、$p_0<\infty$ なら $|f_{it}|=|f|^{p/p_0}$ で $\|f_{it}\|_{p_0}=\|f\|_p^{p/p_0}=1$、$p_0=\infty$ なら $\alpha(it)$ は純虚数で $|f_{it}|=1_{\{f\ne0\}}$ だから $\|f_{it}\|_{\infty}\le1$ である。同様に $\|g_{it}\|_{q_0'}\le1$ である。よって Hölder の不等式から
$$ |F(it)|\le\|T(f_{it})\|_{q_0}\|g_{it}\|_{q_0'}\le M_0 $$
であり、同じく $|F(1+it)|\le M_1$ である。$\delta>0$ について lem-rt-three-lines を $A_0=M_0+\delta$、$A_1=M_1+\delta$ で使い、$\delta\to0$ とすれば $|F(\theta)|\le M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}$ である。
段階 2（一般の $f$）。 $r_0:=\min(p_0,p_1)$、$r_1:=\max(p_0,p_1)$ とし、lem-rt-split の $u_n,v_n$ で $f_n:=u_n+v_n$ とおく。$f_n\to f$（$L^p$）であり、仮定の 2 つの評価から $Tu_n\to Tu$、$Tv_n\to Tv$ がそれぞれ対応する $L^{q_i}$ で成り立つ。部分列をとれば $Tf_n\to Tf$ がほとんど至るところ成り立つ（Lp空間 の系「各点収束する部分列」）。Fatou の補題（$q=\infty$ では本質的上限の定義）と段階 1 から
$$ \|Tf\|_q\le\liminf_n\|Tf_n\|_q\le M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}\lim_n\|f_n\|_p=M_0^{1-\theta}M_1^{\theta}\|f\|_p.\qquad\square $$

複素化 $T_{\mathbb C}(u+iv):=Tu+iTv$（$u,v$ 実数値）は複素線形である。実数 $a,b$ について $|a+ib|=\frac14\int_0^{2\pi}|a\cos t+b\sin t|\,dt$（$a\cos t+b\sin t=|a+ib|\cos(t-t_0)$ と $\int_0^{2\pi}|\cos s|\,ds=4$ による）だから、Tonelliの定理 と $T$ の線形性から
$$ \|T_{\mathbb C}(u+iv)\|_1=\frac14\int_0^{2\pi}\|T(u\cos t+v\sin t)\|_1\,dt\le\frac{M_1}4\int_0^{2\pi}\!\!\int_X|u\cos t+v\sin t|\,d\mu\,dt=M_1\|u+iv\|_1 $$
である。また $|a+ib|=\sup_{t\in D}(a\cos t+b\sin t)$（$D$ は $[0,2\pi)$ の可算稠密部分集合）であり、各 $t\in D$ でほとんど至るところ $\cos t\,Tu+\sin t\,Tv\le M_\infty\|u\cos t+v\sin t\|_\infty\le M_\infty\|u+iv\|_\infty$ なので、可算個の例外集合を除いて $|T_{\mathbb C}(u+iv)|\le M_\infty\|u+iv\|_\infty$ である。定理を $p_0=q_0=1$、$p_1=q_1=\infty$、$\theta=1-1/p$ で $T_{\mathbb C}$ に使えばよい。$\square$