消去理論の主定理

まず準備を 2 つ述べる。
(i) 各 $j$ で $x_j^m\in I$ なら、$d=(n+1)(m-1)+1$ のとき $R_d\subset I$ である。$d$ 次の単項式 $x_0^{e_0}\cdots x_n^{e_n}$ は $\sum e_j=d$ を満たすので、どれかの $e_j$ が $m$ 以上であり、$x_j^m$ で割り切れるからである。
(ii) $\varphi_d$ は $K$ の元を成分とする行列で表される $K$ 線形写像である。行列の階数は係数体を広げても変わらないから、$\varphi_d$ が全射かどうかは $K$ 上で見ても $L$ 上で見ても同じである。
2 ⇒ 1：$a\in\overline{K}^{\,n+1}$ が共通零点なら、$I$ のすべての元が $a$ で消える。$x_j^d\in R_d\subset I$ なので $a_j^d=0$、すなわち $a_j=0$ がすべての $j$ で成り立ち、$a=0$ である。
1 ⇒ 2：$I\overline{K}[x_0,\dots,x_n]$ の $\overline{K}^{\,n+1}$ における零点集合は $\{0\}$ か空集合である。いずれの場合も各座標関数 $x_j$ はこの零点集合の上で消えるので、Hilbertの零点定理の定理「Hilbertの零点定理」の 3（零点集合が空なら 2）により、ある $m$ で $x_j^m\in I\overline{K}[x_0,\dots,x_n]$ がすべての $j$ で成り立つ。(i) により $\overline{K}$ 上の $\varphi_d$ はある $d$ で全射であり、(ii) により $K$ 上の $\varphi_d$ も全射である。
2 ⇔ 3：Proj(次数付き環の射影スキーム)の命題「空になる場合」により、3 は $(R/I)_+$ のすべての元が冪零であることと同値である。$(R/I)_+$ は $x_0,\dots,x_n$ の像が生成するイデアルであり、冪零元の有限個で生成されるイデアルの元はすべて冪零なので、3 は「各 $j$ である $m$ について $x_j^m\in I$」と同値である。これは (i) により 2 を導き、逆に 2 なら $x_j^d\in I$ である。
最後の主張のうち、次数を上げてよいことは $R_{d+1}=\sum_jx_jR_d$ から従う。体の取り替えについては、(ii) と 1 ⇔ 2 による。$\square$

1：$\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A$ を固定し、$K=\kappa(\mathfrak{p})$ とおく。$S_d\otimes_AK=K[x_0,\dots,x_n]_d$ であり、$\varphi_d\otimes_AK$ は $K$ 上の $f_1,\dots,f_r$ に対する掛け算写像で、その行列は $M_d$ の成分を $K$ へ写したものである。lem-elim-projective-nullstellensatz の 1 ⇔ 2 により、$\mathfrak{p}\notin Z(f_1,\dots,f_r)$ はある $d$ で $\varphi_d\otimes_AK$ が全射であることと同値である。これは $M_d$ の像の階数が $N_d$ であること、すなわち $M_d$ のある $N_d$ 次小行列式の $K$ における像が $0$ でないことと同値であり、小行列式が $\mathfrak{p}$ に属さないこと、つまり $J_d\not\subset\mathfrak{p}$ と同値である。よって $Z(f_1,\dots,f_r)$ の補集合は開集合 $D(J_d)=\operatorname{Spec}A\setminus V(J_d)$ の合併であり、$Z(f_1,\dots,f_r)=\bigcap_dV(J_d)$ は閉集合である。
2：1 の議論により、$\mathfrak{p}\notin V(J_d)$ は $\kappa(\mathfrak{p})$ 上の $\varphi_d$ が全射であることと同値である。lem-elim-projective-nullstellensatz によりそのとき $\varphi_{d+1}$ も全射なので $\mathfrak{p}\notin V(J_{d+1})$ であり、$V(J_{d+1})\subset V(J_d)$ が成り立つ。$A$ が Noether 環なら $\operatorname{Spec}A$ は Noether 空間であり（Noetherスキーム）、閉集合の減少列 $V(J_0)\supset V(J_1)\supset\cdots$ はある $D$ から先で一定になる。1 によりその値が $Z(f_1,\dots,f_r)$ である。$\square$

$A_0=\mathbb{Z}[c_{i,\nu}]$ は Noether 環なので（Hilbertの基底定理）、thm-elim-main の 2 により $Z(f_1,\dots,f_r)=V(J_D)$ となる $D$ がある。$g_1,\dots,g_t$ を $M_D$ の $N_D$ 次小行列式の全体とする。値 $\gamma$ の代入は環準同型 $\psi\colon A_0\to k$ であり、$\mathfrak{p}=\ker\psi$ は素イデアルで、$\psi$ は体の埋め込み $\kappa(\mathfrak{p})\to k$ を引き起こす。$k$ 上の $f_i$ は $\kappa(\mathfrak{p})$ 上の $f_i$ の係数をこの埋め込みで写したものだから、lem-elim-projective-nullstellensatz の最後の主張により、$k$ 上で自明でない共通零点をもつことは $\mathfrak{p}\in Z(f_1,\dots,f_r)=V(J_D)$ と同値である。これは全ての $g_j$ が $\mathfrak{p}$ に属すること、すなわち $g_j(\gamma)=\psi(g_j)=0$ と同値である。$\square$

1：$\mathfrak{p}\in\operatorname{Spec}A$ を固定し、$K=\kappa(\mathfrak{p})$、$R=K[x_0,\dots,x_n]=S_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}S_{\mathfrak{p}}$ とする。$A\setminus\mathfrak{p}$ による局所化と $\mathfrak{p}$ による剰余は次数 $0$ の元によるので、$S\to R$ は次数を保つ環準同型であり、素イデアルの対応（引き戻しと拡大）は斉次素イデアルどうしを対応させる（斉次イデアルの引き戻しは斉次で、斉次イデアルの拡大は斉次元で生成される）。また $R_+$ は $x_0,\dots,x_n$ の像で生成されるので、$S_+$ を含むことと対応する素イデアルが $R_+$ を含むことは同値である。したがって $\pi^{-1}(\mathfrak{p})\cap V_+(I)$ の点、すなわち $I+\mathfrak{p}S$ を含み $S_+$ を含まず $A$ との共通部分が $\mathfrak{p}$ である斉次素イデアルは、$\operatorname{Proj}(R/IR)$ の点と 1 対 1 に対応する。lem-elim-projective-nullstellensatz の 2 ⇔ 3 により、$\mathfrak{p}\notin\pi(V_+(I))$ はある $d$ で $(IR)_d=R_d$ となることと同値である。
このとき、$(IR)_d$ は $I_d$ の像で張られ $R_d$ は有限次元なので、$I_d$ の有限個の元 $h_1,\dots,h_s$ の像が $R_d$ を張る。$h_1,\dots,h_s$ の係数を並べた $N_d\times s$ 行列のある $N_d$ 次小行列式 $\delta$ は $\mathfrak{p}$ に属さない。$\mathfrak{q}\in D(\delta)$ なら同じ小行列式が $\kappa(\mathfrak{q})$ で $0$ でないので $(IR')_d=R'_d$（$R'=\kappa(\mathfrak{q})[x_0,\dots,x_n]$）となり、上と同じ理由で $\mathfrak{q}\notin\pi(V_+(I))$ である。よって補集合は開集合で、$\pi(V_+(I))$ は閉集合である。$I$ が $f_1,\dots,f_r$ で生成されるとき、$IR$ は $R$ の中の $f_1,\dots,f_r$ で生成されるので、lem-elim-projective-nullstellensatz の 1 ⇔ 2 により $\pi(V_+(I))=Z(f_1,\dots,f_r)$ である。
2：$Y$ のアフィン開被覆 $\{V_\alpha=\operatorname{Spec}A_\alpha\}$ をとると、構造射 $\pi_Y$ による $V_\alpha$ の逆像は $\mathbb{P}^n_{A_\alpha}$ である。閉集合 $C\subset\mathbb{P}^n_Y$ について $\pi_Y(C)\cap V_\alpha=\pi_{A_\alpha}(C\cap\mathbb{P}^n_{A_\alpha})$ は 1 により $V_\alpha$ の閉集合であり、部分集合が閉であることは開被覆の各成分で確かめられるので、$\pi_Y(C)$ は閉集合である。$\mathbb{P}^n_{\mathbb{Z}}\to\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の任意の底変換は $\mathbb{P}^n_Y\to Y$ の形なので、普遍閉である。$\square$

$\subset$ は thm-elim-main の 1 による。逆に $\mathfrak{p}\notin Z(f,g)$ とし、$K=\overline{\kappa(\mathfrak{p})}$ 上で考える。$f$ が $K$ 上で $0$ なら、$g$ は（$0$ でも、$K$ 上で 1 次式の積に分解しても）$\mathbb{P}^1(K)$ に零点をもち、それが共通零点になるので矛盾する。同様に $g\ne0$ である。代数閉体上の $0$ でない 2 元形式は 1 次形式の積に分解し、1 次形式の零点は $\mathbb{P}^1(K)$ の 1 点なので、$f$ と $g$ は共通の 1 次因子をもたない。$(u,v)\in K[x_0,x_1]_{l-1}\oplus K[x_0,x_1]_{m-1}$ が $uf+vg=0$ を満たすとすると、一意分解性により $f$ は $vg$ を割り、$g$ と互いに素なので $v$ を割る。$\deg v< m$ だから $v=0$、したがって $uf=0$ から $u=0$ である。よって $K$ 上の $\varphi_{m+l-1}$ は単射であり、正方行列なので行列式は $0$ でない。行列式の値は $\kappa(\mathfrak{p})$ で計算しても同じなので $\operatorname{Res}_{m,l}(\tilde f,\tilde g)\notin\mathfrak{p}$ である。$\square$

そのような族があったとする。$(a,b,c)=(1,0,1)$ とすると、$x_0^2+x_1^2$ は $\mathbb{R}^2$ に自明でない零点をもたないので、ある $j$ で $g_j(1,0,1)\ne0$ である。$g_j(1,0,1)$ は整数であり、$\mathbb{R}$ で計算しても $\mathbb{C}$ で計算しても同じ値である。ところが $\mathbb{C}^2$ では $(1,i)$ が自明でない零点なので、すべての $j$ で $g_j(1,0,1)=0$ でなければならない。矛盾である。$\square$