Carathéodoryの拡張定理

1. $m$ についての帰納法。$m=1$ は集合半環の条件 (iii) である。$P\setminus(Q_1\cup\cdots\cup Q_{m-1})=R_1\sqcup\cdots\sqcup R_l$ と書けたとすると、$P\setminus(Q_1\cup\cdots\cup Q_m)=\bigsqcup_{i}(R_i\setminus Q_m)$ であり、各 $R_i\setminus Q_m$ は条件 (iii) で互いに交わらない有限個の元の和になる。$R_i$ が互いに交わらないので、全体も互いに交わらない。

2. 1 により $C\setminus(D_1\cup\cdots\cup D_m)=R_1\sqcup\cdots\sqcup R_l$ と書ける。$C$ は $D_1,\dots,D_m,R_1,\dots,R_l$ の互いに交わらない和で $C\in\mathcal{P}$ なので、前測度の条件（残りを空集合で埋める）から $\mu_0(C)=\sum_j\mu_0(D_j)+\sum_i\mu_0(R_i)\ge\sum_j\mu_0(D_j)$。単調性は $m=1$ の場合である。

3. $C\cap C_k\in\mathcal{P}$ であり、1 により $(C\cap C_k)\setminus(C_0\cup\cdots\cup C_{k-1})=D_{k,1}\sqcup\cdots\sqcup D_{k,l_k}$ と書ける。$D_{k,j}$ 全体は互いに交わらず、和は $C\cap\bigcup_kC_k=C$ である。前測度の条件と 2 から $$\mu_0(C)=\sum_k\sum_j\mu_0(D_{k,j})\le\sum_k\mu_0(C_k)$$ である（$D_{k,1},\dots,D_{k,l_k}$ は $C_k$ に含まれ互いに交わらない）。$\square$

σ-代数：$E\in\mathcal{S}$ は $A=B=E$ で挟める。$A\subset E\subset B$ なら $X\setminus B\subset X\setminus E\subset X\setminus A$ で $(X\setminus A)\setminus(X\setminus B)=B\setminus A$。$A_k\subset E_k\subset B_k$、$\mu(B_k\setminus A_k)=0$ なら $\bigcup_kA_k\subset\bigcup_kE_k\subset\bigcup_kB_k$ で、差は $\bigcup_k(B_k\setminus A_k)$ に含まれ測度 $0$ である（可算劣加法性）。

well-defined：$A\subset E\subset B$、$A'\subset E\subset B'$ がともに条件を満たすなら、$A\setminus A'\subset B'\setminus A'$ なので $\mu(A\setminus A')=0$、同様に $\mu(A'\setminus A)=0$ であり、$\mu(A)=\mu(A\cap A')=\mu(A')$。

測度：$E_k$ が互いに交わらず $A_k\subset E_k\subset B_k$ なら、$A_k$ も互いに交わらず $\bigcup_kA_k$ は $\bigcup_kE_k$ を挟む下側の集合なので、$\overline{\mu}(\bigcup_kE_k)=\mu(\bigcup_kA_k)=\sum_k\mu(A_k)=\sum_k\overline{\mu}(E_k)$。

完備性：$\overline{\mu}(N)=0$、$A\subset N\subset B$、$\mu(B\setminus A)=0$ なら $\mu(B)=0$ で、$N'\subset N$ は $\emptyset\subset N'\subset B$ と挟めるので $N'\in\overline{\mathcal{S}}$。

最小性：$E\in\overline{\mathcal{S}}$、$A\subset E\subset B$ とする。$\tau(B\setminus A)=\mu(B\setminus A)=0$ で $\tau$ は完備なので、$E\setminus A\subset B\setminus A$ は $\mathcal{T}$ に属し $\tau(E\setminus A)=0$。よって $E=A\cup(E\setminus A)\in\mathcal{T}$、$\tau(E)=\mu(A)=\overline{\mu}(E)$。$\square$

1. thm-cext-main の 3 の証明のように、$X$ を $\mu_0$ の値が有限な $P_0,P_1,\ldots\in\mathcal{P}$ の互いに交わらない和に書く。$E_m:=E\cap P_m$ は可測で $\mu^*(E_m)\le\mu_0(P_m)<\infty$ である。$j\ge1$、$m\in\mathbb{N}$ について、$E_m$ の被覆 $C_{m,j,k}\in\mathcal{P}$（$k\in\mathbb{N}$）で $\sum_k\mu_0(C_{m,j,k})\le\mu^*(E_m)+2^{-m}/j$ となるものを選び（可算選択公理）、 $$G_{m,j}:=\bigcup_kC_{m,j,k},\qquad G_j:=\bigcup_mG_{m,j},\qquad F:=\bigcap_{j\ge1}G_j$$ とおく。$G_j$ は $\mathcal{P}$ の元の可算個の和で $E\subset G_j$ なので、$F\in\sigma(\mathcal{P})$、$E\subset F$ である。$E_m\subset G_{m,j}$ はどちらも可測で $\mu^*(E_m)<\infty$ なので $\mu^*(G_{m,j}\setminus E_m)=\mu^*(G_{m,j})-\mu^*(E_m)\le2^{-m}/j$ である。$x\in G_j\setminus E$ ならある $m$ で $x\in G_{m,j}$、$x\notin E_m$ なので $G_j\setminus E\subset\bigcup_m(G_{m,j}\setminus E_m)$ であり、 $$\mu^*(F\setminus E)\le\mu^*(G_j\setminus E)\le\sum_m\frac{2^{-m}}{j}=\frac2j$$ である。$j\to\infty$ として $\mu^*(F\setminus E)=0$ を得る。

2. $\overline{\sigma(\mathcal{P})}\subset\mathcal{M}(\mu^*)$ と、その上で $\mu^*=\overline{\mu}$ であることは、$\mu^*|_{\mathcal{M}(\mu^*)}$ が完備で $\sigma(\mathcal{P})$ の上で $\mu$ に一致すること（prop-cext-completion の最小性）から従う。逆に $E\in\mathcal{M}(\mu^*)$ とする。1 を $E$ に使って $F\supset E$、$\mu^*(F\setminus E)=0$ をとり、$X\setminus E\in\mathcal{M}(\mu^*)$ に使って $F'\supset X\setminus E$、$\mu^*(F'\setminus(X\setminus E))=0$ をとる。$A:=X\setminus F'$、$B:=F$ とおくと $A,B\in\sigma(\mathcal{P})$、$A\subset E\subset B$ であり、$B\setminus A\subset(F\setminus E)\cup(F'\setminus(X\setminus E))$ なので $\mu(B\setminus A)=0$ である。よって $E\in\overline{\sigma(\mathcal{P})}$ である。$\square$

段 1（単調性と格子による分割）。半開直方体 $Q\subset Q'$ なら、空でない場合は各座標の区間が含まれ $F_i$ は単調非減少なので、各因子が小さく $V(Q)\le V(Q')$ である（$Q=\emptyset$ なら $V(Q)=0$）。空でない $P=\prod_i(a_i,b_i]$ と、有限個の半開直方体 $P_1,\dots,P_m\subset P$ をとる。各座標 $i$ で、$a_i,b_i$ と、空でない $P_j$ の第 $i$ 座標の端点のすべてを小さい順に $a_i=t_{i,0}< t_{i,1}<\cdots< t_{i,r_i}=b_i$ と並べ、格子の小直方体 $\prod_i(t_{i,l_i-1},t_{i,l_i}]$ を作る。$P$ はそれらの互いに交わらない和であり、各 $P_j$ は、$P_j$ に含まれる小直方体の和で、それ以外の小直方体とは交わらない（$P_j$ の端点が格子点なので）。さらに、小直方体の和になっている半開直方体 $Q=\prod_i(t_{i,p_i},t_{i,q_i}]$ について、各座標で $F_i(t_{i,q_i})-F_i(t_{i,p_i})=\sum_{l=p_i+1}^{q_i}\bigl(F_i(t_{i,l})-F_i(t_{i,l-1})\bigr)$（和が打ち消し合う）なので、積を展開すると $V(Q)$ は $Q$ に含まれる小直方体の $V$ の和に等しい。

段 2（有限個の加法性と劣加法性）。段 1 から次の 2 つが従う。(a) $P$ が $P_1,\dots,P_m$ の互いに交わらない和なら、各小直方体はちょうど 1 つの $P_j$ に含まれるので $V(P)=\sum_jV(P_j)$。(b) 半開直方体 $Q_1,\dots,Q_m$ が $P$ を覆うなら、$P_j:=Q_j\cap P$ に段 1 を使うと、各小直方体は少なくとも 1 つの $P_j$ に含まれるので $V(P)\le\sum_jV(P_j)\le\sum_jV(Q_j)$。

段 3（可算劣加法性）。空でない $P=\prod_i(a_i,b_i]$ が半開直方体 $Q_k=\prod_i(a_{k,i},b_{k,i}]$（$k\in\mathbb{N}$）で覆われるとし、$\varepsilon>0$ をとる。$F_i$ の $a_i$ での右連続性と積の連続性から、$a_i< a'_i< b_i$ を $V(\prod_i(a'_i,b_i])>V(P)-\varepsilon$ となるようにとれる。同様に $b_{k,i}$ での右連続性から $b'_{k,i}>b_{k,i}$ を $V(\prod_i(a_{k,i},b'_{k,i}])< V(Q_k)+\varepsilon2^{-k-1}$ となるようにとれる（たとえば条件を満たす $b_{k,i}+1/l$ の最小の $l$ をとれば選択は要らない）。閉直方体 $K:=\prod_i[a'_i,b_i]$ は有界閉集合なのでコンパクトであり（コンパクト空間 の記事の定理「有界閉集合とコンパクト性の一致」）、開直方体 $U_k:=\prod_i(a_{k,i},b'_{k,i})$ の族は $K\subset P\subset\bigcup_kQ_k\subset\bigcup_kU_k$ を満たすので、有限個 $U_0,\dots,U_N$ で $K$ が覆える。すると $\prod_i(a'_i,b_i]\subset K\subset\bigcup_{k\le N}\prod_i(a_{k,i},b'_{k,i}]$ なので段 2 の (b) から $$V(P)-\varepsilon< V\Bigl(\prod_i(a'_i,b_i]\Bigr)\le\sum_{k\le N}\Bigl(V(Q_k)+\frac{\varepsilon}{2^{k+1}}\Bigr)\le\sum_kV(Q_k)+\varepsilon$$ である。$\varepsilon\to0$ として $V(P)\le\sum_kV(Q_k)$ を得る（$P=\emptyset$ なら自明）。

段 4（前測度）。$P\in\mathcal{P}_n$ が互いに交わらない $Q_0,Q_1,\ldots\in\mathcal{P}_n$ の和であるとする。段 3 から $V(P)\le\sum_kV(Q_k)$ である。逆に、$N$ を固定すると lem-cext-premeasure-basic の 1 により $P\setminus(Q_0\cup\cdots\cup Q_N)$ は半開直方体の互いに交わらない有限個の和なので、段 2 の (a) から $\sum_{k\le N}V(Q_k)\le V(P)$ であり、$N\to\infty$ として等号を得る。σ-有限性は $\mathbb{R}^n=\bigcup_{j\ge1}(-j,j]^n$、$V((-j,j]^n)<\infty$ による。$\square$

端点が 2 進有理数 $j2^{-k}$ の半開直方体の全体 $\mathcal{D}$ は、ex-cext-boxes と同じ理由で集合半環であり、prop-cext-boxes-borel の証明で有理数を 2 進有理数に替えれば $\sigma(\mathcal{D})=\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ である。$(0,1]^n$ は、1 辺 $2^{-k}$ の立方体 $(0,2^{-k}]^n$ の $2^{nk}$ 個の平行移動の互いに交わらない和なので、不変性から $\nu((0,2^{-k}]^n)=2^{-nk}$ である。$\mathcal{D}$ の元は、ある $k$ についてこの立方体の平行移動の互いに交わらない有限個の和なので、$\mathcal{D}$ の上で $\nu$ は体積に一致する。$\operatorname{vol}|_{\mathcal{D}}$ は $V$ の制限なので $\mathcal{D}$ 上の σ-有限な前測度であり（$(-j,j]^n\in\mathcal{D}$）、thm-cext-main の 3 により $\nu$ と $\lambda_n$ はどちらもその延長として $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ の上で一致する。$\square$

$E$ の被覆 $C_k\in\mathcal{P}$ で $\sum_k\mu_0(C_k)<\mu^*(E)+\varepsilon/2$ となるものをとり、$G:=\bigcup_kC_k$ とおく。$\mu^*(G\setminus E)=\mu^*(G)-\mu^*(E)<\varepsilon/2$ である。$G_N:=C_0\cup\cdots\cup C_N$ は $G$ に増加し $\mu^*(G)<\infty$ なので、測度の連続性から $\mu^*(G\setminus G_N)<\varepsilon/2$ となる $N$ がある。$E\triangle G_N\subset(G\setminus E)\cup(G\setminus G_N)$ なので $\mu^*(E\triangle G_N)<\varepsilon$ である。最後に、lem-cext-premeasure-basic の 1 を $C_k\setminus(C_0\cup\cdots\cup C_{k-1})$ に使えば、$G_N$ は $\mathcal{P}$ の互いに交わらない有限個の元の和に書ける。$\square$