Hilbertの問題

前提知識: ノルム空間, モノドロミー

Hilbert の問題（Hilbert's problems）は、David Hilbert が 1900 年 8 月 8 日にパリの国際数学者会議で行った講演「数学の問題」に基づく論文に挙げた 23 の問題である（Hil02、Pap13 p. 2）。講演で実際に述べたのはそのうち 10 問で、23 問すべては印刷された論文に載っている（Pap13 p. 2 の脚注）。問題の多くは、その後の数学の分野を動かす課題になった。
問題の性格はさまざまである。第 3 問題や第 10 問題のように答えがはっきり定まるものもあれば、第 6 問題や第 23 問題のように研究の方向を示す呼びかけに近いものもある。この記事は 23 問の一覧と現状の案内で、個々の問題の内容はそれぞれの記事に任せる。現状は年を付けて述べる。第 4 問題と第 21 問題では、完全に証明できる場合を 1 つずつ示す（thm-hp-minkowski、thm-hp-rank-one）。

23 問の一覧

現状の欄は 2026 年の整理（Lam26）と各問題の節に挙げた文献による。頁は Hil02 で問題が始まる頁である。

「解決」の読み方

一覧の「解決」には注意が要る。問題の文が厳密な命題の形をしていないことがあり、現代の言葉に翻訳する段階で判断が入るからである。ある文脈で解決しても別の文脈では開いたままであることが多く、解決がかえって同じ問いを新しい設定で開くこともある（Lam26）。Lam26 も、多くの問題で解決か未解決かを断定しにくいと述べている。文献によって区分が違う問題もある。以下の節では、何が示され何が残っているかを問題ごとに述べる。一つの問題の答えが「否定的」であるとは、問われた方法や対象が存在しないことが証明された、という意味である。

基礎

第 1 問題。 実数の無限部分集合は、自然数全体か実数全体のどちらかと対等か（連続体仮説）。Hilbert は実数の整列可能性も問うた（Zermeloの整列定理）。ZFC が無矛盾なら、ZFC に連続体仮説を加えた理論も無矛盾であること（Gödel、1938 年）と、ZFC に連続体仮説の否定を加えた理論も無矛盾であること（Cohen、1963 年）が示された（Koe13 §1.1）。したがって、ZFC が無矛盾なら連続体仮説は ZFC からは決まらない。ただし、新しい公理で決められるかどうかは今も研究の主題で、Koe13 は連続体仮説を集合論の中心的な未解決問題の一つと述べている。
第 2 問題。 算術の公理（Hilbert の意味では実数の公理）が矛盾を生じないことを証明せよ。第 2 不完全性定理と Gentzen の証明との関係は Hilbertの第2問題 で述べる。この問題は Hilbertのプログラム へ発展した。
第 6 問題。 確率論と力学を第一に、数学が重要な役割を果たす物理の諸分野を幾何学の基礎と同じように公理で扱え、という問題である（Hil02 pp. 454–455）。Hilbert は確率の公理の研究に、気体分子運動論の平均値の方法の厳密な展開が伴うことを望んだ。Lam26 はこの問題を、分野ごとに公理化が進む継続的な課題と整理している。

数論

第 7 問題。 $\alpha$ が $0,1$ でない代数的数、$\beta$ が無理数の代数的数のとき、$\alpha^\beta$ は超越数か。肯定的な答えが Gelfond–Schneiderの定理 である（1934 年に Gelfond と Schneider がそれぞれ独立に証明した。Lam26）。Hil02 pp. 455–456 は例として $2^{\sqrt2}$ と $e^\pi$ を挙げている。
第 8 問題。 Riemann予想 を第一に、Goldbach の問題（Goldbach予想）、差が $2$ の素数の組が無限にあるか、より一般に $ax+by+c=0$ が素数解をもつか、さらに代数体の素イデアルの分布を問う（Hil02 pp. 456–457）。Lam26 の時点で Riemann 予想は未解決である。
第 9 問題。 任意の数体で $\ell$ 乗剰余の相互法則を証明せよ（Hil02 pp. 457–458）。Abel 拡大については 類体論 の Artinの相互法則 が相互法則の一般の形を与える。一方、Lam26 は問題の全体を、大きく進んだが完全には解決していないと整理している。
第 10 問題。 整数係数の Diophantus 方程式が整数解をもつかどうかを有限回の操作で判定する方法を求めよ。Matiyasevich の 1970 年の結果で完成した MRDP の定理により、そのような方法は存在しない（Hilbertの第10問題）。
第 11 問題。 代数的な数を係数とする 2 次方程式を、係数の体の数で解け、という問題である（Hil02 p. 458）。Hasse–Minkowskiの定理 と Hasse原理 が局所と大域を結ぶ答えを与える。Lam26 は、Hasse が一つの文脈で解き、ほかの文脈で研究が続くと整理している。
第 12 問題。 $\mathbb Q$ の Abel 拡大を 1 の冪根で作る Kronecker の定理を、任意の代数体へ拡張せよ。虚 2 次体などの場合を除いて、2026 年の時点で未解決である（Hilbertの第12問題、Lam26）。

代数と代数幾何

第 13 問題。 一般の 7 次方程式の解は 2 変数の関数の合成で表せないことを示せ（Hil02 pp. 461–462）。「関数」の意味で問題が変わる。連続関数の範囲では、1957 年の Arnold と Kolmogorov の結果により変数を減らす障害はなく（Kolmogorov–Arnoldの表現定理）、否定的に答えが出た。代数関数の範囲の問題は 2020 年の FW20 pp. 3–4 で開いたままとされている。同論文は、解の公式に要る変数の最小個数を表す不変量 resolvent degree（RD）を用いて、この問題を 7 次の場合に $\operatorname{RD}=3$ という主張として述べている。
第 14 問題。 体上の多項式環の部分環のある種のものは有限生成か。永田雅宜の反例により一般には否定的である（Hilbertの第14問題）。
第 15 問題。 Schubert の数え上げの結果を、適用の限界まで含めて厳密に基礎づけよ（Hil02 p. 464）。Grassmann 多様体の Chow 環の計算としての理論は Schubert計算 にある。Schubert の数の全体がこれで正当化されたかについては、2020 年の Duan と Zhao の仕事の評価を含めて合意がない（Lam26）。
第 17 問題。 実数の上で負にならない有理関数は、有理関数の平方の和か。Artin が 1927 年に肯定的に解いた（Hilbertの第17問題）。多項式の平方の和では足りない反例として Motzkin の多項式がある。

幾何

第 3 問題。 底面積と高さの等しい 2 つの四面体が、切り貼りで移り合うとは限らないことを示せ。論文の印刷の前に Dehn が解いた（Hil02 p. 449 の脚注、Hilbertの第3問題）。23 問のうち最初に片付いた問題である（Lam26）。
第 4 問題。 平行線の公理を外すと双曲幾何が得られるように、ユークリッド幾何の公理の一部を外し、「2 点を結ぶ最短の線は直線である」という定理を公理として残す幾何を構成し調べよ、という問題である（Hil02 pp. 449–451）。Hilbert 自身が例に挙げるのが Minkowski の幾何である。そこでは、原点を中心とする凸閉曲面の上の点が原点から等距離で、線分の長さの比較は平行移動で行う。これは今の言葉では ノルム空間 である。
有限次元のノルム空間 $(V,\|\cdot\|)$ の連続曲線 $\gamma\colon[0,1]\to V$ の長さを $L(\gamma):=\sup\sum_i\|\gamma(t_i)-\gamma(t_{i-1})\|$（分割についての上限）で定める。ノルムが狭義凸とは、$0$ でない $u,v$ について $\|u+v\|=\|u\|+\|v\|$ なら $u$ が $v$ の正の定数倍であることをいう。

狭義凸性は省けない。$\mathbb R^2$ の $\ell^1$ ノルムは狭義凸でない反例で、$(0,0)$ から $(1,1)$ へ $(1,0)$ を経由する折れ線は線分と同じ長さ $2$ をもち、最短線は一意でない。
第 4 問題は定式化が広く、複数の解釈がある。Hamel はこれを凸集合の上の距離で直線が測地線になるものを特徴づける問題に帰着させ、Hilbert 計量もその例である（Pap13 pp. 2–3、pp. 11–12）。Lam26 はこの問題を、明確な解決を語るには広すぎるが研究を生んできた問題と整理している。
第 5 問題。 Lie の連続変換群の理論で、関数の微分可能性の仮定は外せるか。局所 Euclid な位相群は Lie 群であるという形では 1950 年代の初めに肯定的に解かれた。より一般の形である Hilbert–Smith 予想は 2015 年の文献でも未解決とされ（Hilbertの第5問題）、Lam26 も 2026 年の時点で、より一般の解釈は未解決としている。
第 18 問題。 3 つの問いからなる（Hil02 pp. 466–467）。(a) $n$ 次元の Euclid 空間で、基本領域をもつ運動群の種類は有限個か（結晶群）。(b) 群の基本領域にならない多面体で、合同な写しで空間を埋め尽くせるものはあるか。(c) 球などの合同な立体の最も密な詰め方は何か。(a) は Bieberbach が 1912 年、(b) は Reinhardt が 1928 年に答えた（Hal15 p. 1）。(c) のうち球の場合が Kepler 予想で、Ferguson と Hales が 1998 年に証明を発表し、2006 年に全体が刊行された。査読者が計算機証明を完全には検証できなかったため、形式的な検証の計画が続けられ、2015 年の論文でその完了が報告された（同 p. 1）。

解析

第 16 問題。 代数曲線と代数曲面の位相と、平面の多項式ベクトル場の極限周期軌道の個数を問う。後半は 2 次の多項式ベクトル場の場合でも、個数の上限が有限かどうかさえ 2025 年の時点の文献で未知とされている（Hilbertの第16問題）。
第 19 問題。 正則な変分問題の解は必ず解析的か。De Giorgi と Nash の定理（De Giorgi–Nash–Moserの定理）が有界可測な係数の場合の Hölder 連続性を与え、これと Schauder 評価により問題の中心の形が解かれた（FRRO22 §3.4、p. 94）。
第 20 問題。 正則な変分問題は、境界条件に適当な仮定をおき、必要なら解の概念を拡げれば、解をもつか（Hil02 p. 470）。Hilbert の予告どおり、解の概念を弱い解へ拡げることが現代の 変分法の直接法 の出発点になった。方程式の型ごとに結果が積み上げられており、Lam26 も一つの答えが出た問題とはしていない。
第 21 問題。 与えられた特異点とモノドロミー群をもつ Fuchs 型の線形微分方程式が存在することを示せ（Hil02 pp. 470–471）。現在は 2 つの問いに分けて述べる。リーマン球面の有限集合 $\Sigma$ の補集合の基本群の表現 $\rho\colon\pi_1(\mathbb P^1\setminus\Sigma)\to GL_n(\mathbb C)$ に対して、

• 第 1 の問いは、$\rho$ をモノドロミーにもつ正則特異点の系はあるか、である。
• 第 2 の問いは、$\rho$ をモノドロミーにもつ単純な極だけの系（Fuchs 系）$y'=\bigl(\sum_{a\in\Sigma}A_a/(z-a)\bigr)y$ はあるか、である。
  Bea93 によると第 1 の問いの答えは肯定的である（同 §6 a、p. 116）。1 本の高階の方程式では、$\Sigma$ の外に特異点を許さないとパラメータの個数が足りず、一般にはすべての表現を実現することはできない（同 §6 c、pp. 116–117）。Hilbert の文脈では方程式に見かけの特異点を許してよいので、Hilbert の問題は第 1 の問いから肯定的に解ける（同 §6 d、p. 117）。一方、Plemelj と Birkhoff の議論は第 2 の問いの最後の段階に穴があり、長く解決と考えられていた（同 pp. 104–106）。Bolibrukh は反例を与えた。$\Sigma$ が $3$ 点、$n=4$ の表現で、Fuchs 系のモノドロミーにならないものがある（同 §4、pp. 111–114）。反対に既約な表現は Fuchs 系のモノドロミーになる（Bolibrukh、Kostov。同 Proposition 3、p. 115）。次の $n=1$ の場合は、表現がいつも Fuchs 系で実現できる最も簡単な例である。

第 22 問題。 解析的な関係を保型関数で一意化せよ。すべての正則な点が実際に現れるようにできるか、を問う（Hil02 pp. 471–472）。1 複素変数の場合は 1907 年の Koebe と Poincaré の 一意化定理 が答える。Hilbert は 3 変数以上の関係の一意化も問うており、Lam26 は研究が続く問題と整理している。
第 23 問題。 変分法の方法をさらに発展させよ、という呼びかけで、特定の命題ではない（Hil02 p. 472 以下）。変分法 の展開そのものが答えにあたり、終点は定まっていない（Lam26）。

補足

1990 年代の半ばに、Göttingen に残された Hilbert の資料の中から第 24 の問題が見つかった。より簡単な証明と、簡単さの基準を問うものである（Pap13 p. 2 の脚注）。
Riemann予想 は、Clay 数学研究所の Millennium 懸賞問題の 1 つでもある。

関連項目

• 例: Hilbertの第2問題, Hilbertの第3問題, Hilbertの第10問題, Hilbertの第12問題, Hilbertの第14問題, Hilbertの第16問題, Hilbertの第17問題
• 比較: Hilbertのプログラム
• 道具: ノルム空間, モノドロミー