2次曲線の焦点と準線

方針：1 ⇒ 2 は、上の等式 $\mathrm{PF}'^2-\mathrm{PF}^2=4cx$ から $\mathrm{PF}$ を $x$ の 1 次式で表してから 2 乗する。2 ⇒ 1 は、$y^2$ を消して $\mathrm{PF}^2$ を完全平方の形にし、根号を正しく外す。
段 1（1 ⇒ 2：差を求める）。$\mathrm{PF}+\mathrm{PF}'=2a$ とする。$\mathrm{PF}'^2-\mathrm{PF}^2=(\mathrm{PF}'-\mathrm{PF})(\mathrm{PF}'+\mathrm{PF})$ なので、$4cx=(\mathrm{PF}'-\mathrm{PF})\cdot2a$ であり、$\mathrm{PF}'-\mathrm{PF}=\dfrac{2cx}a=2ex$ である。
段 2（1 ⇒ 2：距離を求める）。和 $\mathrm{PF}'+\mathrm{PF}=2a$ と差 $\mathrm{PF}'-\mathrm{PF}=2ex$ から、引いて 2 で割ると $\mathrm{PF}=a-ex$、足して 2 で割ると $\mathrm{PF}'=a+ex$ である。
段 3（1 ⇒ 2：2 乗して整理する）。$\mathrm{PF}^2=(x-c)^2+y^2$ と $\mathrm{PF}=a-ex$ から
$$ (x-c)^2+y^2=(a-ex)^2 $$
である。左辺は $x^2-2cx+c^2+y^2$、右辺は $ex=\frac{cx}a$ を使って $a^2-2cx+\frac{c^2}{a^2}x^2$ である。$-2cx$ が両辺で打ち消し合い、
$$ \Bigl(1-\frac{c^2}{a^2}\Bigr)x^2+y^2=a^2-c^2,\qquad\text{すなわち}\qquad \frac{b^2}{a^2}x^2+y^2=b^2 $$
となる（$a^2-c^2=b^2$）。両辺を $b^2>0$ で割ると 2 を得る。
段 4（2 ⇒ 1：$\mathrm{PF}^2$ を計算する）。2 を仮定すると $y^2=b^2\bigl(1-\frac{x^2}{a^2}\bigr)=b^2-\frac{b^2}{a^2}x^2$ である。これと $b^2=a^2-c^2$ を代入して
$$ \mathrm{PF}^2=x^2-2cx+c^2+(a^2-c^2)-\frac{a^2-c^2}{a^2}x^2=\frac{c^2}{a^2}x^2-2cx+a^2=(a-ex)^2 $$
である。同様に $\mathrm{PF}'^2=\frac{c^2}{a^2}x^2+2cx+a^2=(a+ex)^2$ である。
段 5（2 ⇒ 1：根号を外す）。$\sqrt{u^2}=|u|$ なので $\mathrm{PF}=|a-ex|$、$\mathrm{PF}'=|a+ex|$ である。2 から $\frac{x^2}{a^2}\le1$、すなわち $|x|\le a$ であり、$0< e<1$ なので $|ex|\le ea< a$ である。よって $a-ex>0$、$a+ex>0$ で、$\mathrm{PF}=a-ex$、$\mathrm{PF}'=a+ex$ となる。足すと $\mathrm{PF}+\mathrm{PF}'=2a$ で、1 が成り立つ。
焦点半径の公式は、1 ⇒ 2 の向きでは段 2、2 ⇒ 1 の向きでは段 5 で得られている。$\square$

thm-fdc-ellipse から $\mathrm{PF}=a-ex=e\bigl(\frac ae-x\bigr)$ である。楕円上では $x\le a$ であり、$0< e<1$ から $a<\frac ae$ なので、$\frac ae-x>0$ である。点 $(x,y)$ と直線 $x=\frac ae$ の距離は $\bigl|\frac ae-x\bigr|=\frac ae-x$ なので、$\mathrm{PF}=e\cdot\mathrm{PH}$ である。$\mathrm{F}'$ についても、$\mathrm{PF}'=a+ex=e\bigl(x+\frac ae\bigr)$ と $x\ge-a>-\frac ae$ から同じように示せる。
逆向き（$\mathrm{PF}=e\cdot\mathrm{PH}$ を満たす点が楕円上にあること）は、後の thm-fdc-unified で一般の形で示す。実際、焦点 $\mathrm{F}(c,0)$ と準線 $x=\frac ae$ の距離は $d=\frac ae-c=\frac{a^2}c-c=\frac{b^2}c$ で、thm-fdc-unified の式に $e=\frac ca$ と $d=\frac{b^2}c$ を入れると $A=a$、$B=b$、中心と焦点の距離 $C=x_0=c$ となり、同じ楕円である（ここでは準線が焦点の右にあり、thm-fdc-unified では左にあるので、向きは左右が逆である）。$\square$

方針：thm-fdc-ellipse の証明と同じ道筋をたどる。今度は差 $\mathrm{PF}'-\mathrm{PF}$ が分かっているので、等式 $\mathrm{PF}'^2-\mathrm{PF}^2=4cx$ から和を求める。
段 1（1 ⇒ 2：和を求める）。1 から $\mathrm{PF}'-\mathrm{PF}=2a\varepsilon$ となる $\varepsilon\in\{1,-1\}$ がある。$4cx=(\mathrm{PF}'-\mathrm{PF})(\mathrm{PF}'+\mathrm{PF})=2a\varepsilon(\mathrm{PF}'+\mathrm{PF})$ なので、$\mathrm{PF}'+\mathrm{PF}=\dfrac{2cx}{a\varepsilon}=2\varepsilon ex$ である（$\frac1\varepsilon=\varepsilon$）。
段 2（1 ⇒ 2：距離を求める）。和から差を引いて 2 で割ると $\mathrm{PF}=\varepsilon ex-\varepsilon a=\varepsilon(ex-a)$ である。
段 3（1 ⇒ 2：2 乗して整理する）。$\varepsilon^2=1$ なので $(x-c)^2+y^2=(ex-a)^2$ である。左辺は $x^2-2cx+c^2+y^2$、右辺は $\frac{c^2}{a^2}x^2-2cx+a^2$ で、
$$ \Bigl(1-\frac{c^2}{a^2}\Bigr)x^2+y^2=a^2-c^2,\qquad\text{すなわち}\qquad -\frac{b^2}{a^2}x^2+y^2=-b^2 $$
となる（$c^2-a^2=b^2$）。両辺を $-b^2$ で割ると 2 を得る。
段 4（2 ⇒ 1：$\mathrm{PF}^2$ を計算する）。2 を仮定すると $y^2=\frac{b^2}{a^2}x^2-b^2$ である。$b^2=c^2-a^2$ を代入して
$$ \mathrm{PF}^2=x^2-2cx+c^2+\frac{c^2-a^2}{a^2}x^2-(c^2-a^2)=\frac{c^2}{a^2}x^2-2cx+a^2=(ex-a)^2 $$
である。同様に $\mathrm{PF}'^2=(ex+a)^2$ である。よって $\mathrm{PF}=|ex-a|$、$\mathrm{PF}'=|ex+a|$ である。
段 5（2 ⇒ 1：枝ごとに絶対値を外す）。2 から $\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}\ge1$ なので $|x|\ge a$ であり、$e>1$ から $e|x|\ge ea>a$ である。

• $x\ge a$ のとき：$ex>a$ なので $\mathrm{PF}=ex-a$、$\mathrm{PF}'=ex+a$ であり、$\mathrm{PF}'-\mathrm{PF}=2a$ である。
• $x\le-a$ のとき：$ex<-a$ なので $ex-a<0$、$ex+a<0$ であり、$\mathrm{PF}=a-ex$、$\mathrm{PF}'=-ex-a$ で、$\mathrm{PF}-\mathrm{PF}'=2a$ である。
  どちらの場合も $|\mathrm{PF}-\mathrm{PF}'|=2a$ で、1 が成り立つ。$\square$

thm-fdc-hyperbola から $\mathrm{PF}=|ex-a|=e\bigl|x-\frac ae\bigr|$ であり（$e>0$）、$\bigl|x-\frac ae\bigr|$ は点 $(x,y)$ と直線 $x=\frac ae$ の距離である。よって $\mathrm{PF}=e\cdot\mathrm{PH}$ である。$\mathrm{PF}'=|ex+a|=e\bigl|x+\frac ae\bigr|$ についても同じである。逆向き（$\mathrm{PF}=e\cdot\mathrm{PH}$ を満たす点が双曲線上にあること）も thm-fdc-unified から分かる。焦点 $\mathrm{F}(c,0)$ と準線 $x=\frac ae$ の距離は $d=c-\frac ae=c-\frac{a^2}c=\frac{b^2}c$ で、$e=\frac ca$ と合わせて thm-fdc-unified の 3 に入れると $A=a$、$B=b$、$x_0=-c$ となる（準線は焦点の左にあり、向きも同じ）。$\square$

方針：両辺を 2 乗して根号と絶対値を外し、$x$ について平方完成する。最後に、中心と焦点の位置を計算して、$\mathrm{F}$ が焦点、$e$ が離心率になっていることを確かめる。
段 1（2 乗する）。両辺は $0$ 以上なので、$\mathrm{PF}=e\cdot\mathrm{PH}\iff\mathrm{PF}^2=e^2\mathrm{PH}^2\iff x^2+y^2=e^2(x+d)^2$ である（$|x+d|^2=(x+d)^2$）。右辺を展開して移項すると
$$ (1-e^2)x^2-2e^2dx+y^2=e^2d^2 $$
となる。
段 2（$e=1$）。$x^2$ の項が消えて $-2dx+y^2=d^2$、すなわち $y^2=2dx+d^2=2d\bigl(x+\frac d2\bigr)$ である。これは放物線 $y^2=4pX$ で $p=\frac d2$、$X=x+\frac d2$ としたもので、頂点は $\mathrm{F}$ と $\ell$ の中点 $\bigl(-\frac d2,0\bigr)$ である。
段 3（$e\ne1$：平方完成）。$1-e^2\ne0$ なので、$x$ の部分を平方完成する。$x_0:=\frac{e^2d}{1-e^2}$ とおくと
$$ (1-e^2)x^2-2e^2dx=(1-e^2)\bigl(x^2-2x_0x\bigr)=(1-e^2)(x-x_0)^2-(1-e^2)x_0^2 $$
であり、$(1-e^2)x_0^2=\frac{e^4d^2}{1-e^2}$ である。段 1 の式は
$$ (1-e^2)(x-x_0)^2+y^2=e^2d^2+\frac{e^4d^2}{1-e^2}=\frac{e^2d^2\bigl((1-e^2)+e^2\bigr)}{1-e^2}=\frac{e^2d^2}{1-e^2} $$
となる。
段 4（$0< e<1$）。$1-e^2>0$ なので、両辺を $\frac{e^2d^2}{1-e^2}>0$ で割ると
$$ \frac{(1-e^2)^2}{e^2d^2}(x-x_0)^2+\frac{1-e^2}{e^2d^2}y^2=1 $$
であり、これは $A=\frac{ed}{1-e^2}$、$B=\frac{ed}{\sqrt{1-e^2}}$ とした 2 の式である。さらに
$$ A^2-B^2=\frac{e^2d^2}{(1-e^2)^2}-\frac{e^2d^2(1-e^2)}{(1-e^2)^2}=\frac{e^4d^2}{(1-e^2)^2}=x_0^2 $$
なので $C=x_0$ である。楕円の中心は $(x_0,0)$ で、焦点は $(x_0\pm C,0)$、すなわち $(0,0)$ と $(2x_0,0)$ である。$\mathrm{F}(0,0)$ は焦点の 1 つであり、$\frac CA=\frac{e^2d}{1-e^2}\cdot\frac{1-e^2}{ed}=e$ である。
段 5（$e>1$）。$1-e^2<0$ なので、段 3 の式の両辺に $-1$ を掛けて $(e^2-1)(x-x_0)^2-y^2=\frac{e^2d^2}{e^2-1}$ とし、右辺 $>0$ で割ると、$A=\frac{ed}{e^2-1}$、$B=\frac{ed}{\sqrt{e^2-1}}$ とした 3 の式を得る。$x_0=\frac{e^2d}{1-e^2}=-\frac{e^2d}{e^2-1}<0$ である。
$$ A^2+B^2=\frac{e^2d^2}{(e^2-1)^2}+\frac{e^2d^2(e^2-1)}{(e^2-1)^2}=\frac{e^4d^2}{(e^2-1)^2}=x_0^2 $$
なので $C=|x_0|=-x_0$ であり、焦点 $(x_0\pm C,0)$ の一方は $(x_0+C,0)=(0,0)=\mathrm{F}$ である。$\frac CA=\frac{e^2d}{e^2-1}\cdot\frac{e^2-1}{ed}=e$ である。
段 1〜5 の変形はすべて同値なので、定理が成り立つ。$\square$

段 1（点と直線の距離）。$u^2+v^2=1$ なので、点 $(x,y)$ と $\ell$ の距離は $\mathrm{PH}=\frac{|ux+vy+w|}{\sqrt{u^2+v^2}}=|ux+vy+w|$ である（点と直線の距離の公式）。両辺 $0$ 以上の $\mathrm{PF}=e\cdot\mathrm{PH}$ を 2 乗すると、上の方程式になる。
段 2（2 次の項の係数）。左辺の 2 次の項は $x^2+y^2$ である。右辺の 2 次の項は $e^2(ux+vy)^2=e^2u^2x^2+2e^2uv\,xy+e^2v^2y^2$ である。右辺を左辺に移すと
$$ A=1-e^2u^2,\qquad B=-2e^2uv,\qquad C=1-e^2v^2 $$
である。
段 3（判別式の計算）。
$$ B^2-4AC=4e^4u^2v^2-4\bigl(1-e^2u^2-e^2v^2+e^4u^2v^2\bigr)=4\bigl(e^2(u^2+v^2)-1\bigr)=4(e^2-1) $$
である。最後に $u^2+v^2=1$ を使った。符号についての主張は、$e>0$ から $e^2-1$ と $e-1$ の符号が同じであることによる。$\square$

段 1（同値）。$x>-d$ なので $\mathrm{PH}=x+d=r\cos\theta+d$ である。よって $\mathrm{PF}=e\cdot\mathrm{PH}\iff r=e(r\cos\theta+d)\iff r(1-e\cos\theta)=ed$ である。右辺 $ed>0$、$r\ge0$ なので、この式が成り立てば $r>0$ かつ $1-e\cos\theta>0$ であり、両辺を $1-e\cos\theta$ で割って $r=\frac{ed}{1-e\cos\theta}$ を得る。逆も同じ式変形をさかのぼればよい。
段 2（$e\le1$ の場合）。$\mathrm{P}(x,y)$ が $x\le-d$ にあるとする。このとき $\mathrm{PH}=|x+d|=-x-d$ である。一方 $\mathrm{PF}=\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{x^2}=|x|=-x$ なので、$\mathrm{PF}\ge-x=\mathrm{PH}+d>\mathrm{PH}$ である。$e\le1$ なら $e\cdot\mathrm{PH}\le\mathrm{PH}<\mathrm{PF}$ となり、$\mathrm{PF}=e\cdot\mathrm{PH}$ は成り立たない。よって $e\le1$ の曲線の点はすべて $x>-d$ にある。$\square$