楕円に内接する多角形の最大面積

要点：円の 2 点 $V_s$、$V_t$ の行列式は $\det(V_s,V_t)=R^2\sin(t-s)$ である。これを使うと、どの辺 $V_iV_{i+1}$ とほかの頂点 $V_k$ についても靴ひもの和が $2R^2\sin\dfrac x2\sin\dfrac y2\sin\dfrac{x+y}2>0$（$x$、$y$ は媒介変数の差）になるので、頂点は反時計回りに並んだ凸多角形である。靴ひも公式 の定理「靴ひも公式（凸多角形）」から、面積は $\dfrac12\sum\det(V_k,V_{k+1})=\dfrac{R^2}2\sum\sin\theta_k$ である。

場合 1（すべての $\theta_k$ が $\pi$ より小さい）。$f(x)=-\sin x$ は $0< x<\pi$ で $f''(x)=\sin x>0$ なので、この区間で（狭義）凸である。Jensenの不等式（高校数学） の定理（重みをすべて $\dfrac1n$ にした形と、$f''>0$ のときの等号の条件）を $f$ に使うと
$$ -\sin\frac{\theta_1+\cdots+\theta_n}n\le\frac{-\sin\theta_1-\cdots-\sin\theta_n}n $$
で、等号はすべての $\theta_k$ が等しいときに限る。$\dfrac{\theta_1+\cdots+\theta_n}n=\dfrac{2\pi}n$ なので、両辺に $-n$ を掛けて $\sin\theta_1+\cdots+\sin\theta_n\le n\sin\dfrac{2\pi}n$ を得る。$n\ge3$ なので $\dfrac{2\pi}n<\pi$ で、等号の $\theta_k=\dfrac{2\pi}n$ はこの場合に入っている。
場合 2（$\theta_j\ge\pi$ となる $j$ がある）。$\sin\theta_j\le0$ である（$\theta_j<2\pi$ なので）。残りの差の和は $2\pi-\theta_j\le\pi$ である。この場合は等号が成り立たないこと、つまり左辺が $n\sin\dfrac{2\pi}n$ より小さいことを示す。

• $n=3$ のとき。残りの 2 つを $\theta,\theta'$ とすると、和を積に直す公式で $\sin\theta+\sin\theta'=2\sin\dfrac{\theta+\theta'}2\cos\dfrac{\theta-\theta'}2\le2$ である。よって左辺は $2$ 以下で、$3\sin\dfrac{2\pi}3=\dfrac{3\sqrt3}2=2.598\ldots$ より小さい。
• $n\ge4$ のとき。$x>0$ なら $\sin x< x$ である（$0< x<\dfrac\pi2$ では 正多角形で円周率を挟む の補題「正弦・角・正接の大小」、$x\ge\dfrac\pi2$ では $\sin x\le1< x$）。よって左辺は、残りの差の和 $2\pi-\theta_j\le\pi$ より小さい。一方、$u=\dfrac{2\pi}n$ は $0< u\le\dfrac\pi2$ にあり、$\sin$ は $0\le x\le\dfrac\pi2$ で上に凸なので、グラフは 2 点 $(0,0)$、$\left(\dfrac\pi2,1\right)$ を結ぶ弦より上にあり、$\sin u\ge\dfrac2\pi u$ である（相加平均・相乗平均と凸関数 の凸関数の定義を $-\sin$ に使う）。よって $n\sin\dfrac{2\pi}n\ge n\cdot\dfrac2\pi\cdot\dfrac{2\pi}n=4>\pi$ で、左辺は $n\sin\dfrac{2\pi}n$ より小さい。
  どちらの場合も結論が成り立ち、等号は場合 1 の $\theta_1=\cdots=\theta_n=\dfrac{2\pi}n$ のときだけである。$\square$

方針：$y$ 座標を $\dfrac ba$ 倍する 1 次変換 $\psi$ で、円に内接する多角形を楕円に内接する多角形に移す。面積は一律に $\dfrac ba$ 倍になるので、円の場合の最大に帰着する。
段 1（円に移す）。$\psi(x,y)=\left(x,\ \dfrac ba\,y\right)$ とする。円 $C:\ x^2+y^2=a^2$ の点 $V(t)=(a\cos t,\ a\sin t)$ は $\psi(V(t))=(a\cos t,\ b\sin t)=P(t)$ に移る。$\psi$ は行列 $\begin{pmatrix}1&0\\0&\frac ba\end{pmatrix}$ による 1 次変換で、線分を線分に移す（楕円の共役直径 の補題「変換 $\varphi$ の性質」の $\varphi$ の逆の変換である）。したがって、$E$ に内接する $n$ 角形 $P(t_1)\cdots P(t_n)$ は、$C$ に内接する $n$ 角形 $V(t_1)\cdots V(t_n)$ の $\psi$ による像である。
段 2（面積の比）。$\psi$ の行列式は $\dfrac ba$ なので、多角形の面積は一律に $\dfrac ba$ 倍になる（1次変換と行列式：面積の拡大率 の主定理）。lem-lpie-circle-area（$R=a$）により
$$ S=\frac ba\cdot\frac{a^2}2\sum_{k=1}^n\sin\theta_k=\frac{ab}2\sum_{k=1}^n\sin\theta_k $$
である。ここで $\theta_k$ は媒介変数の差で、$V(t_k)$ の中心角の差でもある。
段 3（最大）。lem-lpie-sines により $\sum\sin\theta_k\le n\sin\dfrac{2\pi}n$ なので、$S\le\dfrac n2ab\sin\dfrac{2\pi}n$ である。等号はすべての $\theta_k$ が $\dfrac{2\pi}n$ のときに限る。このとき $V(t_1),\ldots,V(t_n)$ は円を $n$ 等分する点で、$C$ に内接する正 $n$ 角形の頂点である。$\square$

1. 最大値は thm-lpie-main で $n=3$ とした $\dfrac32ab\sin\dfrac{2\pi}3=\dfrac{3\sqrt3}4ab$ である。
   最大の三角形の頂点は $P(t)$、$P\!\left(t+\dfrac{2\pi}3\right)$、$P\!\left(t+\dfrac{4\pi}3\right)$ で、重心の $x$ 座標は $\dfrac a3\left\{\cos t+\cos\left(t+\dfrac{2\pi}3\right)+\cos\left(t+\dfrac{4\pi}3\right)\right\}$ である。加法定理で展開すると $\cos\dfrac{2\pi}3+\cos\dfrac{4\pi}3=-1$、$\sin\dfrac{2\pi}3+\sin\dfrac{4\pi}3=0$ なので、括弧の中は $\cos t-\cos t=0$ である。$y$ 座標も同じく $0$ で、重心は $O$ である。
   逆に、内接三角形 $ABC$ の重心が $O$ だとする。thm-lpie-main の証明の段 1 の $\psi$ の逆の変換で円 $x^2+y^2=a^2$ に移すと、1 次変換は重心を重心に移す（$\dfrac{A+B+C}3$ の像は像の平均）ので、円に内接する三角形 $A'B'C'$ の重心が $O$ になる。$O$ は外心でもある。辺 $B'C'$ の中点を $M$ とすると、中線 $A'M$ は重心 $O$ を通る。$M\ne O$ である（$M=O$ なら $B'C'$ が直径で、重心は中線 $A'O$ の上で $O$ から $\dfrac13A'O$ の位置にあり、$O$ にならない）。外心 $O$ と中点 $M$ を結ぶ直線は $B'C'$ の垂直二等分線なので、中線 $A'M$ は $B'C'$ に垂直で、$A'B'=A'C'$ である。同じく $B'C'=B'A'$ で、三角形 $A'B'C'$ は正三角形である。正三角形の 3 つの中心角は等しいので、媒介変数の差はどれも $\dfrac{2\pi}3$ で、thm-lpie-main により $ABC$ は最大である。
2. 最大値は $n=4$ として $2ab\sin\dfrac\pi2=2ab$ である。最大の四角形の頂点は $P(t)$、$P\!\left(t+\dfrac\pi2\right)$、$P(t+\pi)$、$P\!\left(t+\dfrac{3\pi}2\right)$、つまり $P$、$Q$、$-P$、$-Q$（$P=P(t)$、$Q=P\!\left(t+\dfrac\pi2\right)$）で、対角線 $P(-P)$ と $Q(-Q)$ は 楕円の共役直径 の主定理により互いに共役な直径である。逆に対角線が互いに共役な直径なら、同じ主定理により頂点は $\pm P(t)$、$\pm P\!\left(t+\dfrac\pi2\right)$ の形で、媒介変数の差はどれも $\dfrac\pi2$ なので最大である。$\square$